적분공식 벡터해석과 미분기하4-일어

証明最初に,

D

がある局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に含まれ,

φ (D)

が次のように与えられる場合を考えることにする：

\begin{matrix} (3.10.1) & φ (D) = {(x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i} (i = 1, \dots, n)} \end{matrix}

ここで,

a_{i}, b_{i}

は定数を表す.

S_{i}^{\pm} (i = 1, \dots, n)

を

\begin{aligned} S_{i}^{+} := {φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ x_{i} = b_{i}, a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j} (j \neq i)} \\ S_{i}^{-} := {φ^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ x_{i} = a_{i}, a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j} (j \neq i)} \end{aligned}

によって定義される

\partial D

内の閉領域とする. このとき,

\partial D = \cup_{i = 1}^{n} (S_{i}^{+} \cup S_{i}^{-})

となる. 各

S_{i}^{\pm}

には,

O

から誘導される向きが上述のように定義される。

ω

の局所表示を

ω = \sum_{i = 1}^{n} ω_{i} d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n}

とする. ここで

\hat{d x_{i}}

は、

d x_{i}

を取り除くことを意味する. このとき,

d ω

は

d ω = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} (\frac{\partial (ω_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) d x_{1} \land \dots \land d x_{n}

と局所表示され, それゆえ,

\begin{matrix} (3.10.2) & \begin{array}{r} \int_{D} d ω = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} (ω_{i} \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, b_{i}, \dots, x_{n}) \\ d x_{1} \dots \hat{d x_{i}} \dots d x_{n} \\ - \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} (ω_{i} \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, a_{i}, \dots, x_{n}) \\ d x_{1} \dots \hat{d x_{i}} \dots d x_{n} \end{array} \end{matrix}

をえる.

\partial D

から

M

への包含写像を

ι

で表し,

S_{j}^{\pm}

から

M

への包含写像を

ι_{j}^{\pm}

で表すことにする. このとき,

\begin{aligned} \int_{\partial D} ι^{*} ω = \sum_{j = 1}^{n} (\int_{S_{j}^{+}} {(ι_{j}^{+})}^{*} ω + \int_{S_{j}^{-}} {(ι_{j}^{-})}^{*} ω) \\ = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} (\int_{S_{j}^{+}} (ω_{i} \circ ι_{j}^{+}) \cdot {(ι_{j}^{+})}^{*} (d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n}) \\ + \int_{S_{j}^{-}} (ω_{i} \circ ι_{j}^{-}) \cdot {(ι_{j}^{-})}^{*} (d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n})) \end{aligned}

をえる。一方,

{(ι_{i}^{\pm})}^{*} d x_{i} (:= d {(x_{i} \circ ι_{i}^{\pm})}_{*}) = 0

に注意することにより,

j \neq i

のとき，

\int_{S_{j}^{\pm}} (ω_{i} \circ ι_{j}^{\pm}) \cdot {(ι_{j}^{\pm})}^{*} (d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n}) = 0

が示される.

η_{i}^{\pm} : φ (S_{i}^{\pm}) \to R^{n - 1}

を

\begin{aligned} η_{i}^{+} (x_{1}, \dots, b_{i}, \dots, x_{n}) := ((- 1)^{i - 1} x_{1}, x_{2}, \dots, \hat{x_{i}}, \dots, x_{n}) \\ η_{i}^{-} (x_{1}, \dots, a_{i}, \dots, x_{n}) := ((- 1)^{i} x_{1}, x_{2}, \dots, \hat{x_{i}}, \dots, x_{n}) \end{aligned}

で定める. ここで

\hat{x_{i}}

は,

x_{i}

を取り除くことを意味する.

φ_{i}^{\pm} := {(η_{i}^{\pm} \circ φ) |}_{S_{i}^{\pm}}

とおく. このとき

(S_{i}^{\pm}, φ_{i}^{\pm})

は,

S_{i}^{\pm}

の向きに関して, 正の局所チャートになる.

φ_{i}^{\pm} = (y_{1}^{i, \pm}, \dots, y_{i - 1}^{i, \pm}, y_{i + 1}^{i, \pm}, \dots, y_{n}^{i, \pm})

とする. このとき，

\begin{aligned} \int_{S_{i}^{+}} (ω_{i} \circ ι_{i}^{+}) \cdot {(ι_{i}^{+})}^{*} (d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n}) \\ = \int_{S_{i}^{+}} (ω_{i} \circ ι_{i}^{+}) \cdot (- 1)^{i - 1} (d y_{1}^{i, +} \land \dots \land d y_{i - 1}^{i, +} \land d y_{i + 1}^{i, +} \land \dots \land d y_{n}^{i, +}) \\ = (- 1)^{i - 1} \int_{(- 1)^{i - 1} a_{1}}^{(- 1)^{i - 1} b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} (ω_{i} \circ {(φ_{i}^{+})}^{- 1}) (y_{1}, \dots, \hat{y_{i}}, \dots, y_{n}) \\ d y_{1} \dots \hat{d y_{i}} \dots d y_{n} \\ = (- 1)^{i - 1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} (ω_{i} \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, b_{i}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots \hat{d x_{i}} \dots d x_{n} \end{aligned}

および,

\begin{aligned} \int_{S_{i}^{-}} (ω_{i} \circ ι_{i}^{-}) \cdot {(ι_{i}^{-})}^{*} (d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n}) \\ = \int_{S_{i}^{-}} (ω_{i} \circ ι_{i}^{-}) \cdot (- 1)^{i} (d y_{1}^{i, -} \land \dots \land d y_{i - 1}^{i, -} \land d y_{i + 1}^{i, -} \land \dots \land d y_{n}^{i, -}) \\ = (- 1)^{i} \int_{(- 1)^{i} a_{1}}^{(- 1)^{i} b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} ω_{i} (y_{1}, \dots, \hat{y_{i}}, \dots, y_{n}) \\ d y_{1} \dots \hat{d y_{i}} \dots d y_{n} \\ = (- 1)^{i} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} (ω_{i} \circ φ^{- 1}) (x_{1}, \dots, a_{i}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots \hat{d x_{i}} \dots d x_{n} \end{aligned}

が示され, それゆえ,

\begin{aligned} \int_{\partial D} ι^{*} ω \\ = & \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} ω_{i} (x_{1}, \dots, b_{i}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots \hat{d x_{i}} \dots d x_{n} \\ (3.10.3) & - \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \dots \hat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \dots \int_{a_{n}}^{b_{n}} ω_{i} (x_{1}, \dots, a_{i}, \dots, x_{n}) d x_{1} \dots \hat{d x_{i}} \dots d x_{n} \end{aligned}

をえる。式 (3.10.2) と式 (3.10.3) から,

\int_{D} d ω = \int_{\partial D} ι^{*} ω

が導かれる。

次に,

D

がある局所チャート

(U, φ)

に含まれるが,

φ (D)

が式 (3.10.1)のような領域でない場合を考える。まず，図 3.10 .2 におけるように式 (3.10.1) タイプの小閉領域

{E_{k}^{j}}_{j = 1}^{m_{k}}

に分割されるような（Dに含まれる）閉領域

D_{k}

の増加列

{D_{k}}_{k = 1}^{\infty}

で，その境界の列

{\partial D_{k}}_{k = 1}^{\infty}

が，次の意味で

\partial D

に収束するようなものをとる：

(*)

\partial D

から

\partial D_{k}

への同相写像

η_{k}

の族

{η_{k}}_{k = 1}^{\infty}

で

lim_{k \to \infty} sup_{p \in \partial D} ‖ (φ \circ η_{k}) (p) - φ (p) ‖ = 0

となるようなものを許容する（このとき, “

D ∖ D_{k}

の面積”

\to 0 (k \to \infty)

となる).

このとき,

斜線部は

φ (D_{k})

を表す.

図 3.10.2

φ (D_{k})

を構成する小閉領域の境界の向きの様子

\begin{aligned} \int_{D} d ω & = lim_{k \to \infty} \int_{D_{k}} d ω = lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^{m_{k}} \int_{E_{k}^{j}} d ω \\ = lim_{k \to \infty} \sum_{j = 1}^{m_{k}} \int_{\partial E_{k}^{j}} {(ι_{k}^{j})}^{*} ω = lim_{k \to \infty} \int_{\partial D_{k}} ι_{k}^{*} ω \end{aligned}

をえる。ここで,

ι_{k}, ι_{k}^{j}

は各々，

\partial D_{k}, \partial E_{k}^{j}

から

M

への包含写像を表す. この変形における最後の等号は，

E_{k}^{j}

と

E_{k}^{j^{'}}

が隣接するとき，その隣接する各々の境界上の積分は，向きが逆転するため相殺されることにより，成り立つことを注意しておく. さらに,

lim_{k \to \infty} sup_{p \in \partial D} ‖ (φ \circ η_{k}) (p) - φ (p) ‖ = 0

から,

lim_{k \to \infty} \int_{\partial D_{k}} ι_{k}^{*} ω = \int_{\partial D} ι^{*} ω

を示すことができる. したがって,

\int_{D} d ω = \int_{\partial D} ι^{*} ω

が導かれる.

次に,

D

が一般の場合を考える。このとき,

D

を区分的に

C^{r}

級の超曲面を境界にもつコンパクト閉領域の族

{D_{i}}_{i = 1}^{k}

で, 各

D_{i}

がある局所チャートに含まれるようなものに分割する。このとき, すでに示した事実により,

\int_{D} d ω = \sum_{i = 1}^{k} \int_{D_{i}} d ω = \sum_{i = 1}^{k} \int_{\partial D_{i}} ι_{i}^{*} ω

が示される. ここで

ι_{i}

は,

\partial D_{i}

から

M

への包含写像を表す.

D_{i}

と

D_{j}

が隣接するとき, その隣接する各々の境界上の積分は, 向きが逆転するため相殺される. この事実を用いて,

\sum_{i = 1}^{k} \int_{\partial D_{i}} ι_{i}^{*} ω = \int_{\partial D} ι^{*} ω

が導かれる. したがって,

\int_{D} d ω = \int_{\partial D} ι^{*} ω

が示される.

3.11 リーマン計量・リーマン接続

この節において, リーマン計量, およびリーマン接続を定義し, さらに, それらに付随するいくつかの概念を定義する.

g

を

C^{\infty}

多様体

M

上の

C^{r} (r \geq

0) 級の対称 2 次共変テンソル場とする. 各点

p \in M

に対し,

g_{p}

が正定値である, つまり,

T_{p} M

の内積を与えるとき,

g

を

M

の

C^{r}

リーマン計量（

C^{r_{-}}

Riemannian metric) といい, 組

(M, g)

を

C^{r}

リーマン多様体（

C^{r_{-}}

Riemannian manifold）という. 以下, この節では

r \geq 1

とする. 任意の

C^{\infty}

多様体上で,

C^{\infty}

リーマン計量が構成できることを示しておこう.

M

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とする。命題3.1.3により,

M

の任意の開被覆

U

に対し,

M

上の

C^{\infty}

級関数からなるUに従属する 1 の分割が存在する。この事実を用いることにする.

D = {(U_{λ}, φ_{λ} = (x_{1}^{λ}, \dots, x_{n}^{λ})) ∣ λ \in Λ}

を

M

の

C^{\infty}

構造とする.

M

の開被覆

{U_{λ}}_{λ \in Λ}

に従属する 1 の分割

{ρ_{i}}_{i \in I}

で,

M

上の

C^{\infty}

級関数からなるようなものをとる. このとき, 開被覆に従属する1の分割の定義から, 各

i \in I

に対し,

supp ρ_{i} \subset U_{λ_{i}}

となる

Λ

の部分族

{λ_{i}}_{i \in I}

をとることができ, これを用いて,

M

上の

C^{\infty}

リーマン計量

g

を

g := \sum_{i \in I} ρ_{i} (d x_{1}^{λ_{i}} \otimes d x_{1}^{λ_{i}} + \dots + d x_{n}^{λ_{i}} \otimes d x_{n}^{λ_{i}})

によって定義することができる。ここで, 右辺の各項は,

ρ_{i} (d x_{1}^{λ_{i}} \otimes d x_{1}^{λ_{i}} +

\dots + d x_{n}^{λ_{i}} \otimes d x_{n}^{λ_{i}})

を

U_{λ_{i}}

の外で 0 になるよう拡張した

M

上の 2 次共変テンソル場を表す.

2.2 節で,

E^{n + 1}

内の

C^{\infty}

超曲面

S

に対し, 第 1 基本形式

g

を定義した. これは,

S

上の

C^{\infty}

級のリーマン計量を与える. この第 1 基本形式に相当する概念を,

C^{\infty}

級リーマン多様体内のはめ込まれた

C^{r}

部分多様体に対し定義し

よう.

f

を

n

次元

C^{r}

多様体

M

から

(n + k)

次元

C^{\infty}

級リーマン多様体

(\tilde{M}, \tilde{g})

への

C^{r}

写像とする。このとき,

\tilde{g}

の

f

による引き戻し

f^{*} \tilde{g}

が

{(f^{*} \tilde{g})}_{p} (v, w) := {\tilde{g}}_{f (p)} (d f_{p} (v), d f_{p} (w)) (p \in M, v, w \in T_{p} M)

によって定義される。これ,

M

上の

C^{r - 1}

級の対称 2 次共変テンソル場になる。この事実は，次のように示される。

g := f^{*} \tilde{g}

とおく.

g

が

M

上の対称 2 次共変テンソル場であることは, 明らかである.

g

が

C^{r - 1}

級であることを示す.

p \in M

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

と

f (p)

のまわりの局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n + r}))

をとる。必要ならば

U

を縮めることにより,

f (U) \subset V

としてよい。

g

の

(U, φ)

に関する成分を

g_{i j} (1 \leq i, j \leq n)

とし，

\tilde{g}

の

(V, ψ)

に関する成分を

{\tilde{g}}_{α β} (1 \leq α, β \leq n + r)

とする. このとき，式 (3.4.1) を用いて,

g_{i j} \circ φ^{- 1} = \sum_{α = 1}^{n + k} \sum_{β = 1}^{n + k} \frac{\partial (y_{α} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \frac{\partial (y_{β} \circ f \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}} ({\tilde{g}}_{α β} \circ f \circ φ^{- 1})

が示される。それゆえ，

\tilde{g}, f

が

C^{r}

級であることより,

g_{i j} \circ φ^{- 1}

が

C^{r - 1}

であること，つまり，

g

が

U

上で

C^{r - 1}

級であることがわかる.

p

の任意性により,

g

が

M

上で

C^{r - 1}

級であることが示される. 特に,

f

が

C^{r}

はめ込みである場合を考えよう. この場合,

g_{p} (v, v) = 0

とすると、

g_{p} (v, v) = {\tilde{g}}_{f (p)} (d f_{p} (v), d f_{p} (v)) = 0

となり,

{\tilde{g}}_{f (p)}

の正定值性から

d f_{p} (v) = 0_{f (p)}

が導かれる. さらに,

f

がはめ込み（それゆえ

d f_{p}

が単射）であることから，

v = 0_{p}

が導かれる.したがって,

g_{p}

は正定値である。これは, 上述の事実と合わせて,

g

が

M

の

C^{r - 1}

級リーマン計量であることを導く。この

C^{r - 1}

級リーマン計量

g

を

\tilde{g}

から

f

によって誘導されるリーマン計量（induced Riemannian metric）といい,

(M, g)

(または

f (M)

)を

f

によってはめ込まれた

(\tilde{M}, \tilde{g})

内の

C^{r - 1}

リーマン部分多様体（Riemannian submanifold）という. た。,

f

を

(M, g)

から

(\tilde{M}, \tilde{g})

への等長はめ込み（isometric immersion）という. 特に

k =

1 のとき,

(M, g)

を,

f

によってはめ込まれた

(\tilde{M}, \tilde{g})

内の

C^{r - 1}

リーマン超曲面（Riemannian hypersurface）という. また,

f

が埋め込みである

とき,

(M, g)

（または

f (M)

)を

f

によって埋め込まれた

(\tilde{M}, \tilde{g})

内の

C^{r - 1}

リーマン部分多様体といい,

f

(M, g)

から

(\tilde{M}, \tilde{g})

への等長埋め込み (isometric embedding) という.

の包含写像とする. このとき,

ι

は

S

から

E^{n + 1}

への

C^{r}

埋め込みであり,

{\tilde{g}}_{E}

からしによって誘導されるリーマン計量

g := ι^{*} {\tilde{g}}_{E}

は, 2.2 節で述べた

S

の第 1 基本形式であり,

(S, g)

は

E^{n + 1}

内のしによって埋め达まれた

C^{r}

リーマン超曲面である.

問 3.11.1

c : [a, b] \to E^{n} (= (A^{n}, {\tilde{g}}_{E}))

を

C^{r} (r \geq 1)

正則曲線とする.

(i)

c

が

C^{r}

はめ込みであることを示せ.

(ii)

s

を

c

の弧長パラメーター（つまり

s (t) = \int_{a}^{t} ‖ {\vec{c}}^{'} (t) ‖ d t)

とする。誘導リーマン計量

c^{*} {\tilde{g}}_{E}

を関数

s

の微分

d s

を用いて表せ.

問 3.11.2

n

次元単位球面

S^{n} (1) = {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in R^{n + 1} ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{2} = 1} (\subset R^{n + 1})

は, 問 3.1.2 で述べたように,

n

次元

C^{ω}

多様体になる.

R^{n + 1}

と

A^{n + 1}

の同一視の下,

S^{n} (1)

E^{n + 1} = (A^{n + 1}, {\tilde{g}}_{E})

の正則部分多様体とみなすことにする.

を

S^{n} (1)

から

E^{n + 1}

への包含写像とし,

{\tilde{g}}_{E} を R^{n + 1}

のユークリッド計量, つまり,

{\tilde{g}}_{E} (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) = δ_{i j}

({id}_{R^{n + 1}} = (x_{1}, \dots, x_{n + 1}))

にって定義される

A^{n + 1} (= R^{n + 1})

の

C^{ω}

級リーマン計量とする.

{\tilde{g}}_{E}

からしによって誘導される

S^{n} (1)

のリーマン計量

ι^{*} {\tilde{g}}_{E}

を

g

と表し.

(U_{1}^{+}, φ_{1}^{+} = (y_{1}, \dots, y_{n}))

を

\begin{matrix} U_{1}^{+} := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in S^{n} (1) ∣ x_{1} > 0} \\ φ_{1}^{+} (x_{1}, \dots, x_{n + 1}) := (x_{2}, \dots, x_{n + 1}) \end{matrix}

と定義される

S^{n} (1)

の局所チャートとする.

(U_{1}^{+}, φ_{1}^{+} = (y_{1}, \dots, y_{n}))

に関する

g

の成分

g_{i j}

を求めよ.

(M_{i}, g_{i}) (i = 1, 2)

を

n_{i}

次元

C^{\infty}

リーマン多様体とし，

ρ_{i} (i = 1, 2)

を

M_{1} \times M_{2}

上の正値

C^{r}

級関数とする。また, 積多様体

M_{1} \times M_{2}

から

M_{i}

への自然な射影を

π_{i}

で表す. 積多様体

M_{1} \times M_{2}

上の

C^{\infty}

級 2 次共変テンソル場

ρ_{1} g_{1} \times_{ρ_{2}} g_{2}

を

\begin{aligned} {(ρ_{1} g_{1} \times_{ρ_{2}} g_{2})}_{(p_{1}, p_{2})} (v, w) := & ρ_{1} (p_{1}, p_{2}) {(g_{1})}_{p_{1}} (d {(π_{1})}_{(p_{1}, p_{2})} (v), d {(π_{1})}_{(p_{1}, p_{2})} (w)) \\ + ρ_{2} (p_{1}, p_{2}) {(g_{2})}_{p_{2}} (d {(π_{2})}_{(p_{1}, p_{2})} (v), d {(π_{2})}_{(p_{1}, p_{2})} (w)) \\ ((p_{1}, p_{2}) \in M_{1} \times M_{2}, v, w \in T_{(p_{1}, p_{2})} (M_{1} \times M_{2})) \end{aligned}

によって定義する。これは明らかに,

M_{1} \times M_{2}

の

C^{\infty}

級リーマン計量になり、

C^{\infty}

リーマン多様体

(M_{1} \times M_{2}, ρ_{1} g_{1} \times_{ρ_{2}} g_{2})

は,

(M_{1}, g_{1})

と

(M_{2}, g_{2})

の 2 重捩れ積リーマン多様体（doubly twisted product Riemannian manifold）とよばれる. 特に

ρ_{1} \equiv 1

の場合,

ρ_{1} g_{1} \times_{ρ_{2}} g_{2}

は

g_{1} \times_{ρ_{2}} g_{2}

と表され,

(M_{1} \times

M_{2}, g_{1} \times_{ρ_{2}} g_{2})

は

(M_{1}, g_{1})

と

(M_{2}, g_{2})

の捩れ積リーマン多様体（twisted product Riemannian manifold）とよばれ，さらに

ρ_{2} \equiv 1

の場合，

ρ_{1} g_{1}

\times_{ρ_{2}} g_{2}

は

g_{1} \times g_{2}

と表され,

(M_{1} \times M_{2}, g_{1} \times g_{2})

は

(M_{1}, g_{1})

と

(M_{2}, g_{2})

の積リーマン多様体（product Riemannian manifold）とよばれる.

例 3.11.1 単位円

(S^{1} (1), g_{S}) (g_{S} := ι^{*} {\tilde{g}}_{E})

と 1 次元ユークリッド空間

E^{1} =

(A^{1}, g_{E})

を考える。ここで, しは

S^{1} (1)

から

E^{2}

への包含写像を表し，

{\tilde{g}}_{E}

は

E^{2}

のユークリッド計量を表す.

S^{1} (1) \times A^{1}

上の正値

C^{\infty}

級関数

ρ

を

ρ ((\cos θ, \sin θ), t) := \sin^{2} \frac{θ}{2} + 1 (θ \in [0, 2 π), t \in A^{1} (= R))

と定義する. このとき, 積リーマン多様体

(S (1) \times A^{1}, g_{S} \times g_{E})

と抳れ積リーマン多様体

(S (1) \times A^{1}, g_{S} \times_{ρ} g_{E})

は各々, 3 次元ユークリッド空間

E^{3}

へ図 3.11.1のように等長的に埋め込まれる。

次に, アフィン接続を定義しよう. 写像

\nabla : X (M) \times X (M) \to X (M)

で，次の 4 条件を満たすものを

M

のアフィン接続（affine connection）という：

(i)

\nabla_{a X + b Y} Z = a \nabla_{X} Z + b \nabla_{Y} Z (X, Y, Z \in X (M), a, b \in R)

;

(ii)

\nabla_{X} (a Y + b Z) = a \nabla_{X} Y + b \nabla_{X} Z (X, Y, Z \in X (M), a, b \in R)

;

(iii)

\nabla_{f X} Y = f \nabla_{X} Y (X, Y \in X (M), f \in C^{\infty} (M))

;

(iv)

\nabla_{X} (f Y) = X (f) Y + f \nabla_{X} Y (X, Y \in X (M), f \in C^{\infty} (M))

ただし，

\nabla_{X} Y

等は

\nabla (X, Y)

等を表す。また, 組

(M, \nabla)

はアフィン接続多様体（affinely connected manifold）とよばれる。

\nabla

をのアフィン接

図 3.11.1捩れ積リーマン多様体の例

続とする.

v \in T_{p} M

と

M

上のベクトル場

Y

に対し,

\nabla_{v} Y (\in T_{p} M)

を

\nabla_{v} Y := {(\nabla_{X} Y)}_{p}

(ただし,

X

は

X_{p} = v

となる

M

上の

C^{\infty}

級べクトル場）によって定義する。

\nabla_{v} Y

は,

v

の拡張

X

のとり方によらずに定まることを示そう.

p

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

をとり,

X

の

(U, φ)

に関する局所表示を

X = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}

とする. このとき, 条件 (i) と (iii) を用いて,

{(\nabla_{X} Y)}_{p} = {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} Y)}_{p} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (p) {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} Y)}_{p}

をえる。一方,

v = X_{p} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (p) {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}

なので,

X_{i} (p)

は

v

の拡張

X

のとり方によらずに定まり, それゆえ,

{(\nabla_{X} Y)}_{p}

が

v

の拡張

X

のとり方によらずに定まることが示される。

p \in M

に対し,

T_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \to T_{p} M

を

T_{p} (v, w) := {(\nabla_{X} Y - \nabla_{Y} X - [X, Y])}_{p} (v, w \in T_{p} M)

によって定義する. ここで,

X, Y

は各々,

X_{p} = v, Y_{p} = w

となる

M

上の

C^{\infty}

級ベクトル場を表す.

T_{p} (v, w)

は well-defined, つまり,

v, w

の拡張

X, Y

のとり方によらずに定まり, さらに,

T_{p}

は双線形であることが示される. また, 各点

p \in M

に対し,

T_{p}

を対応させる対応

T

は,

M

上の

C^{\infty}

級の

(1, 2)

次テンソル場を与えることが示される. この

(1, 2)

次テンソル場

T

を

\nabla

の捩れテンソル場（torsion tensor field）という.

T = 0

を満たすアフィン接続は, 捩れ０のアフィン接続（torsion-free affine connection）とよばれる。

問 3.11.3

T_{p} (v, w)

は well-defined, つまり,

v, w

の拡張

X, Y

のとり方によらずに定まることを示せ.

\nabla

をの捩れ0のアフィン接続とし,

W

を

M

の開集合とする. このとき,

\nabla

を用いて, 開部分多様体

W

のアフィン接続

\nabla^{W}

が,

\nabla_{X}^{W} Y := {(\nabla_{\tilde{X}} \tilde{Y}) |}_{W} (X, Y \in X (W))

によって定義される。ここで,

\tilde{X}, \tilde{Y}

は各々,

{\tilde{X} |}_{W} = X, {\tilde{Y} |}_{W} = Y

となる

X (M)

の元である.

\nabla_{X}^{W} Y

は,

X, Y

の拡張

\tilde{X}, \tilde{Y}

のとり方によらずに定まることが容易に示される。以下，簡単のため，

\nabla^{W}

を

\nabla

略記することにする.

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し，

\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} = \sum_{k = 1} Γ_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}

によって定義される

U

上の関数

Γ_{i j}^{k}

をの

(U, φ)

に関する接続係数（connection coefficient）という。一般に,

M

にアフィン接続

\nabla

が与えられているとき,

M

上の

C^{\infty}

級ベクトル場

Y

に対し,

M

上の

C^{\infty}

級

(1, 1)

次テンソル場

\nabla Y

が次のように定義される：

(\nabla Y)_{p} (v) := \nabla_{v} Y (p \in M, v \in T_{p} M)

また,

M

上の

C^{\infty}

級

k

次共変テンソル場

S

と

C^{\infty}

級

(1, k)

次テンソル場

\hat{S}

に対し,

C^{\infty}

級

(k + 1)

次共変テンソル場

\nabla S

と

C^{\infty}

級

(1, k + 1)

次テンソル場

\nabla \hat{S}

が各々，次のように定義される：

\begin{aligned} (\nabla S)_{p} (v, w_{1}, \dots, w_{k}) := v (S (Y_{1}, \dots, Y_{k})) - \sum_{i = 1}^{k} S_{p} (w_{1}, \dots, \nabla_{v} Y_{i}, \dots, w_{k}) \\ (\nabla \hat{S})_{p} (v, w_{1}, \dots, w_{k}) := \nabla_{v} (\hat{S} (Y_{1}, \dots, Y_{k})) - \sum_{i = 1}^{k} {\hat{S}}_{p} (w_{1}, \dots, \nabla_{v} Y_{i}, \dots, w_{k}) \\ (p \in M, v, w_{1}, \dots, w_{k} \in T_{p} M) . ここで, Y_{i} は {(Y_{i})}_{p} = w_{i} となる X (M) \end{aligned}

の元を表す. これらはwell-defined, つまり,

w_{1}, \dots, w_{k}

の拡張

Y_{1}, \dots, Y_{k}

のとり方によらずに定まることを注意しておく．上述の

\nabla Y, \nabla S, \nabla \hat{S}

を各々，

Y, S, \hat{S}

の

\nabla

に関する共変微分という。以下,

(\nabla S)_{p} (v, w_{1}, \dots, w_{k})

を

{(\nabla_{v} S)}_{p} (w_{1}, \dots, w_{k})

と表し,

(\nabla S) (X, Y_{1}, \dots, Y_{k})

を

(\nabla_{X} S) (Y_{1}, \dots, Y_{k})

と表す。

g

を

C^{\infty}

多様体

M

の

C^{\infty}

リマン計量とする.

M

の捩れ 0 のアフィン接続

\nabla

で

\nabla g = 0

を満たすようなものは一意に定まる. 実際, 一意性は下で述べる Koszul の公式から直接導かれ, 存在性も容易に示される。このようなアフィン接続をリーマン多様体

(M, g)

のリーマン接続（Riemannian connection), または, レヴィ・チビタ接続（Levi-Civita connection）という.

\nabla

を

n

次元

C^{\infty}

級リーマン多様体

(M, g)

のリーマン接続とする.

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し，

g

の

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に関する成分を

g_{i j}

とし, 正則行列

(g_{i j})

の逆行列を

(g^{i j})

として,

U

上の関数

{\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}}

を

{\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}} := \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{n} g^{k l} (\frac{\partial g_{l j}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial g_{i l}}{\partial x_{j}} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x_{l}})

によって定義する.

{\begin{matrix} k \\ i j \end{matrix}}

を

g

の

(U, φ)

に関するクリストッフェルの記号という.問 3.11.4 上述の命題を証明せよ.

リーマン接続に対して, 次の Koszul の公式（Koszul formula）とよばれる関係式が成り立つ.

命題 3.11.2

\nabla

を

M

のリマン計量

g

のリーマン接続とする. このとき,次の関係式が成り立つ：

\begin{aligned} 2 g (\nabla_{X} Y, Z) = X (g (Y, Z)) + Y (g (Z, X)) - Z (g (X, Y)) \\ - g (X, [Y, Z]) + g (Y, [Z, X]) + g (Z, [X, Y]) \\ (X, Y, Z \in X (M)) \end{aligned}

証明

\nabla g = 0

より, 次式が成り立つ：

\begin{aligned} X (g (Y, Z)) = g (\nabla_{X} Y, Z) + g (Y, \nabla_{X} Z) \\ Y (g (Z, X)) = g (\nabla_{Y} Z, X) + g (Z, \nabla_{Y} X) \\ Z (g (X, Y)) = g (\nabla_{Z} X, Y) + g (X, \nabla_{Z} Y) \end{aligned}

これらの関係式と

T = 0

より, 求めるべき関係式が導かれる.

3.12 ガウスの発散定理（微分幾何学版）

この節において, リーマン多様体上のベクトル場に対するガウスの発散定理について述べることにする。まず、リーマン体積要素を定義する。

(M, g, O)

を向き付けられた

n

次元

C^{\infty}

級リーマン多様体とする。

M

の各正の局所チャ一ト

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に対し,

U

上の

C^{\infty}

級の

n

次微分形式

{(d V_{g})}_{(U, φ)}

を

{(d V_{g})}_{(U, φ)} := \sqrt{\det (g_{i j})} d x_{1} \land \dots \land d x_{n}

によって定義する. ここで,

g_{i j}

は

g

の

(U, φ)

に関する成分を表す.

U \cap V \neq

\emptyset

となる

M

の正の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

をとり,

V

上の

C^{\infty}

級の

n

次微分形式

{(d V_{g})}_{(V, ψ)}

を同様に定義する.つまり,

{(d V_{g})}_{(V, ψ)} := \sqrt{\det ({\bar{g}}_{i j})} d y_{1} \land \dots \land d y_{n}

によって定義する。ここで,

{\bar{g}}_{i j}

は

g

の

(V, ψ)

に関する成分を表す.

U \cap V

上で

{(d V_{g})}_{(U, φ)} = {(d V_{g})}_{(V, ψ)}

が成り立つことを示そう.

g_{i j} = g (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} \frac{\partial (y_{k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \frac{\partial (y_{l} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}} {\bar{g}}_{k l}

となるので,

\det (g_{i j}) = {(\det (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}}))}^{2} \cdot \det ({\bar{g}}_{i j})

が示される. さらに,

(U, φ)

と

(V, ψ)

が共に正の局所チャートなので,

\begin{array}{r} \det (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}}) > 0 となるので, 上式から \\ \sqrt{\det (g_{i j})} = \det (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}}) \cdot \sqrt{\det ({\bar{g}}_{i j})} \end{array}

が導かれる. 一方,

n

文字の置換

σ

に対し,

d x_{σ (1)} \land \dots \land d x_{σ (n)} = sgn (σ) d x_{1}

\land \dots \land d x_{n}

が成り立つので,

d y_{1} \land \dots \land d y_{n} = \det (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}}) \cdot d x_{1} \land \dots \land d x_{n}

が示される. これらの関係式から，

U \cap V

上で

{(d V_{g})}_{(U, φ)} = {(d V_{g})}_{(V, ψ)}

が成り立つことがわかる．それゆえ，

{(d V_{g})}_{(U, φ)}

らを貼り合わせて

M

上の

C^{\infty}

級の

n

次微分形式がえられる。これを

d V_{g}

と表し,

g

のリーマン体積要素 (Riemannian volume element), または単に, 体積要素 (volume element）という.

ρ

を

M

上のコンパクトな台をもつ

C^{\infty}

級関数とする。

M

上の

C^{\infty}

級

n

次微分形式

ρ d V_{g}

の積分

\int_{M} ρ d V_{g}

を

ρ

の

M

上のリーマン体積要素

d V_{g}

に関する積分（the integral of

ρ

over

M

with respect to

d V_{g}

) という. また，DをＭのコンパクト閉領域とするとき,

\int_{D} 1 d V_{g}

を

D

のリ

ーマン計量

g

に関する体積（the volume of

D

with respect to

g

）とよび,

{Vol}_{g} (D)

と表す. 特に,

M

がコンパクトであるとき,

\int_{M} 1 d V_{g}

をリーマン多様体

(M, g)

の体積（the volume of

(M, g)

) とよび,

Vol (M, g)

と表す。

次に,

C^{\infty}

リーマン多様体

(M, g)

上の

C^{r} (r \geq 1)

ベクトル場の発散を定義することにする.

\nabla

を

g

のリーマン接続とする。

(M, g)

上の

C^{r}

ベクトル場

X

に対し,

(1, 1)

次テンソル場

\nabla X

のトレース

T r \nabla X

を

X

の

g

に関する発散といい,

{div}_{g} X

と表す.

(M, g)

上の

C^{r} (r \geq 2)

級関数

ρ

に対し,

d ρ_{p} (v) = g_{p} (Y_{p}, v) (\forall p \in M, \forall v \in T_{p} M)

を満たす

M

上の

C^{r - 1}

ベクトル場

Y

が一意に定まる. このベクトル場

Y

を,

{grad}_{g} ρ

と表し,

ρ

の

g

に関する勾配ベクトル場という.

{grad}_{g} ρ

の発散

{div}_{g} (\nabla {grad}_{g} ρ)

は,

ρ

のラプラシアン（Laplacian）とよばれ,

Δ_{g} ρ

と表される。

注意一般に,

n

次元リーマン多様体

(M, g)

上の任意の 2 次共変テンソル場

S

に対し,

S

の

g

に関するトレース

{Tr}_{g} S

が,

{({Tr}_{g} S)}_{p} := \sum_{i = 1}^{n} S_{p} (e_{i}, e_{i}) (p \in M)

((e_{1}, \dots, e_{n})

は

(T_{p} M, g_{p})

の正規直交基底）によって矛盾なく定義され，

g, S

の

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に関する成分を各々,

g_{i j}, S_{i j}

とし, 行列

(g_{i j})

の逆行列を

(g^{i j})

として,

U

上で

\begin{matrix} (3.12.1) & {Tr}_{g} S = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} S_{i j} g^{i j} \end{matrix}

が成り立つ.

Δ_{g} ρ

は,

Δ_{g} ρ := {Tr}_{g} \nabla d ρ

, つまり,

{(Δ_{g} ρ)}_{p} := \sum_{i = 1}^{n} (\nabla d ρ)_{p} (e_{i}, e_{i}) (p \in M)

と定義することもできる.

3.10 節で述べたストークスの定理（定理 3.10.1）を用いて，1.12 節で述べたガウスの発散定理（定理 1.12.1）を一般化した結果として, 次のガウスの発散定理（Gauss' divergence theorem）が導かれる。

定理 3.12.1（ガウスの発散定理）

r \geq 1

とする。

(M, g, O)

を向き付けられた

n

次元

C^{\infty}

リーマン多様体とし,

D

を

M

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつコンパクト閉領域とする。このとき,

M

上の

C^{r}

級ベクトル場

X

に対し，次の関係式が成り立つ：

\int_{D} {div}_{g} X d V_{g} = \int_{\partial D} g (X, N) d V_{ι^{*} g}

ただし,

N

は

\partial D

の外向きの単位法べクトル場を表し,

は \partial D

から

M

への包含写像を表す（図 3.12 .1 を参照）。特に,

X = {grad}_{g} ρ (ρ \in C^{r + 1} (M))

の場合に，次の関係式をえる：

\int_{D} Δ_{g} ρ d V_{g} = \int_{\partial D} g ({grad}_{g} ρ, N) d V_{ι^{*} g}

図 3.12.1 リーマン多様体上のベクトル場に対する発散定理

証明最初に,

D

が

M

のある正の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に含まれている場合に示すことにする。

X, g

の

(U, φ)

に関する成分を各々,

X_{i}, g_{i j}

とし,

(g^{i j}) := {(g_{i j})}^{- 1}

とする. 簡単のため,

G := \det (g_{i j})

とおく. まず,

\begin{matrix} (3.12.2) & {div}_{g} X = \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial ((\sqrt{G} X_{i}) \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) \end{matrix}

が成り立つことを示そう.

\begin{aligned} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} X & = \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} (\sum_{j = 1}^{n} X_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}) \\ = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial (X_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) \frac{\partial}{\partial x_{j}} + X_{j} \sum_{k = 1}^{n} {\begin{array}{c} k \\ i j \end{array}} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \\ = \sum_{j = 1}^{n} ((\frac{\partial (X_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) + \sum_{k = 1}^{n} X_{k} {\begin{array}{c} j \\ i k \end{array}}) \frac{\partial}{\partial x_{j}} \end{aligned}

となるので,

\begin{aligned} {div}_{g} X = Tr \nabla X \\ = & \sum_{i = 1}^{n} ((\frac{\partial (X_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) + \sum_{j = 1}^{n} X_{j} {\begin{array}{c} i \\ i j \end{array}}) \\ (3.12.3) & = & \sum_{i = 1}^{n} ((\frac{\partial (X_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{j} (\frac{\partial (g_{i k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}} \circ φ) g^{i k}) \end{aligned}

をえる。一方, クラメールの公式を用いて,

\begin{aligned} \frac{\partial (\sqrt{G} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ & = \frac{1}{2 \sqrt{G}} \sum_{j = 1}^{n} | \begin{array}{ccccc} g_{11} & \dots & \frac{\partial (g_{1 j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ & \dots & g_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ g_{n 1} & \dots & \frac{\partial (g_{n j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ & \dots & g_{n n} \end{array} | \\ = \frac{1}{2 \sqrt{G}} \sum_{j = 1}^{n} (G \sum_{k = 1}^{n} (\frac{\partial (g_{k j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) g^{j k}) \\ = \frac{\sqrt{G}}{2} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{\partial (g_{j k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) g^{j k} \end{aligned}

が示され, それゆえ,

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{\partial ((\sqrt{G} X_{i}) \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) \\ = & \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i = 1}^{n} ((\frac{\partial (\sqrt{G} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) X_{i} + \sqrt{G} (\frac{\partial (X_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ)) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} ((\frac{\partial (X_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) + \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{i} (\frac{\partial (g_{j k} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) g^{j k}) \end{aligned}

をえる. この関係式と式 (3.12.3) から, 式 (3.12.2) が導かれる.

(M, g)

上の

C^{\infty}

級

(n - 1)

次微分形式

ω

を, 各正の局所チャート

(U, φ =

(x_{1}, \dots, x_{n}))

に関する局所表示が

\begin{matrix} (3.12.4) & ω := \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \sqrt{G} X_{i} d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n} \end{matrix}

となるようなものとして定義する. この

ω

が well-defined であることを示そ

う.

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n})), (V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{n}))

を

U \cap V \neq \emptyset

となるような正の局所チャートとし,

g, X

の

(U, φ)

と

(V, ψ)

に関する成分を各々,

g_{i j}, X_{i}

, および

{\bar{g}}_{i j}, {\bar{X}}_{i}

とし,

G := \det (g_{i j}), \bar{G} := \det ({\bar{g}}_{i j})

として,

U \cap V

上で,

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \sqrt{G} X_{i} d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} \sqrt{\bar{G}} {\bar{X}}_{i} d y_{1} \land \dots \land \hat{d y_{i}} \land \dots \land d y_{n} \end{aligned}

が成り立つことを示さねばならないが, この関係式は,

\begin{aligned} \sqrt{\bar{G}} & = {(\det (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}}) \circ φ)}^{- 1} \sqrt{G} \\ {\bar{X}}_{i} & = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}} \circ φ) X_{j} \\ d y_{i} & = \sum_{j = 1}^{n} (\frac{\partial (y_{i} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{j}} \circ φ) d x_{j} \end{aligned}

および, クラメールの公式を用いて示すことができる。それゆえ,

ω

は welldefinedである。

ω

の定義式（上述の局所表示式 (3.12.4)）と式 (3.12.2) から,単純計算により,

d ω = {div}_{g} X d V_{g}

が示され, 同じく

ω

の定義式 (3.12.4) から,

\begin{aligned} ι^{*} ω & = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i - 1} (X_{i} \circ ι) (\sqrt{G} \circ ι) ι^{*} (d x_{1} \land \dots \land \hat{d x_{i}} \land \dots \land d x_{n}) \\ = (\sqrt{G} \circ ι) (d x_{1} \land \dots \land d x_{n}) (X, ι_{*} (\cdot), \dots, ι_{*} (\cdot)) \\ = (\sqrt{G} \circ ι) (d x_{1} \land \dots \land d x_{n}) (g (X, N) N, ι_{*} (\cdot), \dots, ι_{*} (\cdot)) \\ = g (X, N) (\sqrt{G} \circ ι) (d x_{1} \land \dots \land d x_{n}) (N, ι_{*} (\cdot), \dots, ι_{*} (\cdot)) \\ = g (X, N) d V_{ι^{*} g} \end{aligned}

が示される. したがって, ストークスの定理（定理 3.10.1）より, 求めるべき
関係式が導かれる。

D

を含む

M

の正の局所チャートが存在しない場合は, 定理3.10.1 の証明におけるようにDを局所チャートに含まれる小閉領域に分割し, 各小閉領域上で主張における関係式が成り立つこと（上ですでに証明済み）を利用して，求めるべき関係式を導くことができる。

特に,

M

が向き付けられた

C^{\infty}

閉リーマン多様体の場合に次の事実が導かれる。

系 3.12.2

(M, g, O)

を向き付けられた

n

次元

C^{\infty}

閉リーマン多様体とする. このとき,

M

上の

C^{r} (r \geq 1)

級ベクトル場

X

に対し, 次の関係式が成り立つ:

\int_{M} {div}_{g} X d V_{g} = 0

特に,

X = {grad}_{g} ρ (ρ \in C^{r + 1} (M))

の場合に, 次の関係式が成り立つ：

\int_{M} Δ_{g} ρ d V_{g} = 0

4 微分幾何学における体積沉関数の

\overset{―}{CHAPTER}

変分公式

この章の前半部では, 微分幾何学における基礎的概念, および基本的事実を述べ, 最後の 2 節で, 微分幾何学における体積汎関数の第 1 変分公式, および第 2 変分公式を紹介し，その厳密な証明を与えることにする.

4.1 平行移動・測地線・指数写像

この節において, アフィン接続多様体上の

C^{\infty}

曲線に沿う平行移動, および測地線の概念を定義し, さらに, 指数写像の概念を定義する. この節では

r \geq 2

とする.

(M, \nabla)

を

n

次元

C^{\infty}

アフィン接続多様体とし,

c : [a, b] \to M

を

C^{\infty}

曲線とする. 各

t \in [a, b]

に対し,

T_{c (t)} M

の元

X_{t}

を対応させる対応

X

をに沿うべクトル場という.

t_{0} \in [a, b]

を 1 つ固定する.

(U, φ = (x_{1}

\dots, x_{n}))

を

c (t_{0})

のまわりの局所チャートとし,

X_{t} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} (t) (\frac{\partial}{\partial x_{i}})

によって定義される

t_{0}

を含む十分小さな開区間上の関数

X_{i}

が

t_{0}

で

C^{r}

級であるとき,

X

は

t_{0}

で

C^{r}

級であるという. この

t_{0}

における

C^{r}

級性が welldefined であること、つまり,

c (t_{0})

のまわりの局所チャート

(U, φ)

のとり方によらないことが示される.

X

が各

t \in [a, b]

で

C^{r}

級であるとき,

X

を

c

に沿う

C^{r}

級ベクトル場という.

c

に沿う

C^{\infty}

級ベクトル場の全体を

X_{c} (M)

と表す. 写像

\nabla_{c^{'}} : X_{c} (M) \to X_{c} (M)

で次の 3 条件を満たすようなものは, ただ 1 つ存在する：

(i)

\nabla_{c^{'}} (α X + β Y) = α \nabla_{c^{'}} X + β \nabla_{c^{'}} Y (X, Y \in X_{c} (M), α, β \in R);

(ii)

\nabla_{c^{'}} (f X) = f^{'} X + f \nabla_{c^{'}} X (X \in X_{c} (M), f \in C^{\infty} ([a, b]))

;

(iii)

Z \in X (M)

に対し,

Z_{c} \in X_{c} (M)

を

{(Z_{c})}_{t} := Z_{c (t)} (a \leq t \leq b)

によ

って定義するとき,

{(\nabla_{c^{'}} Z_{c})}_{t} = \nabla_{c^{'} (t)} Z (a \leq t \leq b)

が成り立つ.

条件 (iii)の関係式の右辺

\nabla_{c^{'} (t)} Z

は,

t

を留めて

c^{'} (t)

を

T_{c (t)} M

の元とみており, それゆえ, 3.11 節の

\nabla_{v} Y (v \in T_{p} M, Y \in X (M))

の定義に従って定義されるものであることに注意する。

\nabla_{c^{'}} X

は

c

に沿うベクトル場

X

の共変微分とよばれる. 各

t \in [a, b]

に

T_{c (t)} M

の零ベクトル

0_{c (t)}

を対応させる対応

0

は,

c

に沿う

C^{\infty}

級ベクトル場である. これを

c

に沿う零ベクトル場という.

次に, 平行ベクトル場と測地線を定義することにする。

X \in X_{c} (M)

とする.

\nabla_{c^{'}} X = 0

が成り立つとき,

X

を

c

に沿う平行ベクトル場という.

c^{'} \in X_{c} (M)

を

c_{t}^{'} := c^{'} (t) (a \leq t \leq b)

によって定義する. これは

c

の速度ベクトル場とよばれる.

\nabla_{c^{'}} c^{'} = 0

が成り立つとき,

c

を

(M, \nabla)

上の測地線という. 特に,

\nabla

が

M

のあるリーマン計量

g

のリーマン接続である場合,

(M, \nabla)

上の測地線は,

(M, g)

上の測地線とよばれる. ここで,

c

を

(M, g)

上の物体の運動の軌道とみなしたとき,

\nabla_{c^{'}} c^{'}

はその加速度ベクトル場と解釈され，それゆえ

\nabla_{c^{'}} c^{'} = 0

は，

c

が等速度運動であることを意味する。このように,

(M, g)

上の測地線は,

(M, g)

上の等速度運動をする物体の軌道を意味することになる。

命題 4.1.1 (i)

C^{\infty}

リーマン多様体

(M, g)

上の

C^{\infty}

曲線

c

に沿う平行ベクトル場

X, Y

に対し,

g_{c (t)} (X_{t}, Y_{t})

は

t

によらず一定である.

(ii)

C^{\infty}

リーマン多様体

(M, g)

上の測地線

c

に対し,

‖ c^{'} (t) ‖ := \sqrt{| g_{c (t)} (c^{'} (t), c^{'} (t)) |}

は

t

にらず一定である.

証明

\nabla

を

g

のリマン接続とする.

\nabla g = 0

より,

\frac{d}{d t} (g_{c (t)} (X_{t}, Y_{t})) = g_{c (t)} ({(\nabla_{c^{'}} X)}_{t}, Y_{t}) + g_{c (t)} (X_{t}, {(\nabla_{c^{'}} Y)}_{t})

が成り立つ. この式の右辺は,

X, Y

が平行べクトル場であることより, 0 になることがわかる。それゆえ

\frac{d}{d t} (g_{c (t)} (X_{t}, Y_{t})) = 0

, つまり,

g_{c (t)} (X_{t}, Y_{t})

が

t

によず一定であることが導かれる。主張の後半部は, 前半部の主張より
直接導かれる。

平行ベクトル場と測地線に関して, 次の存在性・一意性定理が成り立つ.

定理 4.1.2 (i)

c : [a, b] \to (M, \nabla)

を

C^{\infty}

曲線とする。各

v \in T_{c (a)} M

に対し,

c

に沿う平行ベクトル場

X

で

X_{a} = v

となるようなものが, ただ 1 つ存在する.

(ii) 各

v \in T_{p} M

と十分小さな正の数

ε

に対し,

(M, \nabla)

上の測地線

c

(- ε, ε) \to M

で

c^{'} (0) = v

となるようなものがただ 1 つ存在する.

証明定理 2.4.7 の証明に倣って示される.

C^{\infty}

級アフィン接続多様体

(M, \nabla)

内の

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to M

に対し,

T_{c (a)} M

から

T_{c (b)} M

への写像

P_{c}

を

\begin{matrix} P_{c} (v) := X_{b} (v \in T_{c (a)} M) \\ (X : X_{a} = v を満たす c に沿う平行べクトル場) \end{matrix}

によって定義する. この写像

P_{c}

を

c

に沿う平行移動という. 平行移動に関して, 次の事実が成り立つ.

定理 4.1.3 (i)

P_{c}

は線形同型写像になる。

(ii)

\nabla

がリーマン計量

g

のリーマン接続であるとき,

P_{c}

は

(T_{c (a)} M, g_{c (a)})

から

(T_{c (b)} M, g_{c (b)})

への線形等長変換になる.

証明主張 (i) は, 定理 2.4 .8 の証明に做って示される. 主張 (ii) は, 命題 4.1.1 から直接導かれる。

次に, 指数写像を定義する.

n

次元

C^{\infty}

級アフィン接続多様体

(M, \nabla)

の点

p

における各接ベクトル

v

に対し,

γ_{v} : I_{v} \to M

を

γ_{v}^{'} (0) = v

を満たす

(M, \nabla)

上の測地線でそれ以上延長不可能であるようなものとする.

W_{p} :=

{v \in T_{p} M ∣ 1 \in I_{v}}

とおく. 写像

\exp_{p} : W_{p} \to M

を

\exp_{p} (v) := γ_{v} (1) (v \in W_{p})

によって定義する. この写像

\exp_{p}

を

(M, \nabla)

の

p

における指数写像（expo-

図 4.1.1 指数写像

nential map）という.

ベクトル空間

T_{p} M

に付随するアフィン空間を

A_{p}

と表すことにする。o

\in

A_{p}

を基点としてとる. このとき, 対応

Φ_{o} (p \mapsto \vec{o p})

により,

T_{p} M

は

A_{p}

と同一視される。この同一視の下,

W_{p}

は

o

の

A_{p}

における開近傍になり,

A_{p}

の開部分多様体として

n

次元

C^{ω}

多様体とみなされる（図 4.1.1 を参照）.

命題 4.1.4 oのある開近傍

W (\subset W_{p})

に対し,

\exp_{p} ∣ W

は

M

のある開集合への

C^{\infty}

同型写像になる（図 4.1.1 を参照）.

証明各

v \in T_{p} M

に対し,

c_{v} (t) := Φ_{o}^{- 1} (t v)

によって定義される

A_{p}

上の

C^{ω}

曲線

c_{v}

の初速度

c_{v}^{'} (0) \in T_{o} A_{p}

を対応させる対応（問 3.3.1 で述べた対応

Ψ_{o})

により,

T_{p} M

と

T_{o} A_{p}

は同一視される. このとき,

{(d \exp_{p})}_{o} (c_{v}^{'} (0)) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\exp_{p} \circ c_{v}) (t) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} \exp_{p} (t v) = γ_{v}^{'} (0) = v

となり,

{(d \exp_{p})}_{o}

が線形同型写像であることが示される。それゆえ, 逆関数定理（定理 3.6.1）により主張が示される。

注意

\nabla

が

M

のリーマン計量

g

のリーマン接続である場合を考えよう. この場合,

\exp_{p}

は, リーマン多様体

(M, g)

を点

p

において無限小化してえられる空間（(M,g）の点

p

における 1 次近似）である

(T_{p} M, g_{p})

(これはユークリッド空間と

みなされる）と

(M, g)

とを幾何学的に結びつける重要な写像である. 特に,

(M, g)

がユークリッド空間の場合,

\exp_{p}

は, 2 つのユークリッド空間

(T_{p} M, g_{p})

と

(M, g)

の間の等長写像とよばれる写像になり, それゆえ,

\exp_{p}

を通じて,

(T_{p} M, g_{p})

と

(M, g)

は同一視される.

4.2 リーマン距離関数

この節では, リーマン計量に付随して定義されるリーマン距離関数とよばれる距離関数を定義しよう。まず, リーマン多様体上の区分的に

C^{1}

級の曲線の長さを定義しよう。

(M, g)

を

n

次元

C^{\infty}

級リーマン多様体とする.

p, q \in M

に対し,

C^{1} (M; p, q)

を,

p

を始点,

q

を終点とするような

[0, 1]

を定義域とする区分的に

C^{1}

級の曲線全体からなる集合とする。

c \in C^{1} (M; p, q)

に対し,

c

の長さ

L_{g} (c)

が

L_{g} (c) := \sum_{i = 0}^{k - 1} \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} \sqrt{g_{c (t)} (c^{'} (t), c^{'} (t))} d t

により定義される. ここで,

0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k - 1} < t_{k} = 1

は,

c

の各制限

{c |}_{[t_{i}, t_{i + 1}]} (i = 0, 1, \dots, k - 1)

が

C^{1}

曲線であるような

[0, 1]

の分割を表す.写像

d_{g} : M \times M \to R

を

d_{g} (p, q) := inf {L_{g} (c) ∣ c \in C^{1} (M; p, q)} (p, q \in M)

によって定義する. この関数

d_{g}

は

M

の距離関数を与えることが示される. この距離関数

d_{g}

は,

(M, g)

のリーマン距離関数（Riemannian distance function）とよばれる（図 4.2 .1 を参照）.

実際に,

d_{g}

が

M

の距離関数を与えることを示そう。任意の 2 点

p, q \in M

に対し

d_{g} (p, q) \geq 0

が成り立つことは, 定義より明らかである.

p \in M

を任意にとる。

c_{p} : [0, 1] \to M

を

p

における停留曲線（つまり,

c_{p} (t) = p (\forall t \in

[0, 1]))

とする. このとき,

L_{g} (c_{p}) = \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{p} (t)} (c_{p}^{'} (t) c_{p}^{'} (t))} d t = \int_{0}^{1} \sqrt{g_{p} (0, 0)} d t = 0

となる。それゆえ,

d_{g} (p, p) = 0

をえる。一方, この逆の主張 “

d_{g} (p, q) = 0

\Rightarrow p = q "

の証明はデリケートな議論を要するので, ここでは省略するこ

\exists c \in C^{1} (M; p, q)

s.t.

L_{g} (c) = d_{g} (p, q)

図 4.2.1 リーマン距離関数と最短線の存在性

とにする（この証明については，例えば[加須栄]の 1.3 節を参照のこと）. 次に,

d_{g} (p, q) = d_{g} (q, p)

を示す.

c \in C^{1} (M; p, q)

に対し,

c

の逆

c^{- 1}

(これは

c^{- 1} (t) := c (1 - t)

によって定義される）は，

C^{1} (M; q, p)

に属する。また、

\begin{aligned} L_{g} (c^{- 1}) & = \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c^{- 1} (t)} ({(c^{- 1})}^{'} (t), {(c^{- 1})}^{'} (t))} d t \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c (1 - t)} (- c^{'} (1 - t), - c^{'} (1 - t))} d t \\ = \int_{1}^{0} \sqrt{g_{c (s)} (- c^{'} (s), - c^{'} (s))} \cdot (- 1) d s \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c (s)} (c^{'} (s), c^{'} (s))} d s = L_{g} (c) \end{aligned}

が示される. これらの事実から,

d_{g} (p, q) = d_{g} (q, p)

が導かれる.

次に, 三角不等式

d_{g} (p_{1}, p_{2}) + d_{g} (p_{2}, p_{3}) \geq d_{g} (p_{1}, p_{3})

を示す.

c_{1} \in

C^{1} (M; p_{1}, p_{2}), c_{2} \in C^{1} (M; p_{2}, p_{3})

に対し,

c_{1} \cdot c_{2} \in C^{1} (M; p_{1}, p_{3})

が

(c_{1} \cdot c_{2}) (t) := {\begin{cases} c_{1} (2 t) & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ c_{2} (2 t - 1) & (\frac{1}{2} \leq t \leq 1) \end{cases}

によって定義される.

\hat{c} (t) := c_{1} (2 t), \overset{˘}{c} (t) := c_{2} (2 t - 1)

とおく. このとき，

{\hat{c}}^{'} (t) = 2 c_{1}^{'} (2 t), {\overset{˘}{c}}^{'} (t) = 2 c_{2}^{'} (2 t - 1)

となるので,

\begin{aligned} L_{g} (c_{1} \cdot c_{2}) = & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{(c_{1} \cdot c_{2}) (t)} ({(c_{1} \cdot c_{2})}^{'} (t), {(c_{1} \cdot c_{2})}^{'} (t))} d t \\ = & \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{g_{c_{1} (2 t)} (2 c_{1}^{'} (2 t), 2 c_{1}^{'} (2 t))} d t \\ + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{g_{c_{2} (2 t - 1)} (2 c_{2}^{'} (2 t - 1), 2 c_{2}^{'} (2 t - 1))} d t \\ = & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{1} (s)} (2 c_{1}^{'} (s), 2 c_{1}^{'} (s))} \cdot \frac{1}{2} d s + \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{2} (s)} (2 c_{2}^{'} (s), 2 c_{2}^{'} (s))} \cdot \frac{1}{2} d s \\ = & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{1} (s)} (c_{1}^{'} (s), c_{1}^{'} (s))} d s + \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{2} (s)} (c_{2}^{'} (s), c_{2}^{'} (s))} d s \\ = & L_{g} (c_{1}) + L_{g} (c_{2}) \end{aligned}

が示される.さらに, この事実を用いて,

\begin{aligned} d_{g} (p_{1}, p_{2}) + d_{g} (p_{2}, p_{3}) & = inf_{c_{1} \in C^{1} (M; p_{1}, p_{2})} L_{g} (c_{1}) + inf_{c_{2} \in C^{1} (M; p_{2}, p_{3})} L_{g} (c_{2}) \\ = inf_{(c_{1}, c_{2}) \in C^{1} (M; p_{1}, p_{2}) \times C^{1} (M; p_{2}, p_{3})} (L_{g} (c_{1}) + L_{g} (c_{2})) \\ = inf_{(c_{1}, c_{2}) \in C^{1} (M; p_{1}, p_{2}) \times C^{1} (M; p_{2}, p_{3})} L_{g} (c_{1} \cdot c_{2}) \\ \geq inf_{c \in C^{1} (M; p_{1}, p_{3})} L_{g} (c) = d_{g} (p_{1}, p_{3}) \end{aligned}

が示される. したがって,

d_{g}

が

M

の距離関数を与えることがわかる.

命題 4.2.1

d_{g}

の定める（距離）位相は, 多様体

M

の元の位相と一致する.

証明

M

は多様体なので, 各点の十分小さな近傍はユークリッド空間の開集合とみなされる。

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

をとり,

φ : U \to R^{n}

により

R^{n}

のユークリッド計量

g_{E}

から誘導される

U

上リリーマン計量

φ^{*} g_{E}

を

g_{E}^{φ}

と表す.

p \in U

を任意にとる.

p

の

d_{g}

に関する

ε

近傍を

B_{g} (p, ε)

と表し,

p

の

d_{g_{E}^{φ}}

に関する

ε

近傍を

B_{g_{E}^{φ}} (p, ε)

と表す.

d_{g_{E}^{φ}}

の定める

U

の位相は,

M

の元の位相から誘導される

U

の部分位相（=相対位相）と一致するので,

d_{g_{1}^{φ}}

の定める

U

の位相と

d_{{g |}_{U}}

の定める

U

の位相が一致することを示せばよい。そのためには，次の 2 つの事実を示せばよい：

(I) 任意の十分小さな

ε > 0

に対し,

U_{g} (p, δ) \subset U_{g_{E}^{φ}} (p, ε)

となる

δ > 0

が存在する；

(II) 任意の十分小さな

ε > 0

に対し,

U_{g_{E}^{φ}} (p, δ) \subset U_{g} (p, ε)

となる

δ > 0

が存在する.

この 2 つの事実を示そう.

V

を,

p

を含む

U

の開部分集合で相対コンパクト（つまり，Vの閉包

\bar{V}

がコンパクト）であるようなものとする.

S_{q} M (q \in

\bar{V})

を

S_{q} M := {v \in T_{q} M ∣ g_{E}^{φ} (v, v) = 1}

によって定義し,

S \bar{V}

を

S \bar{V} := ⨿_{q \in \bar{V}} S_{q} M

によって定義する.

S \bar{V}

は

T M

のコンパクト部分集合になることが容易に示される。

S \bar{V}

上の関数

ρ

を

ρ (v) := \sqrt{g_{π (v)} (v, v)} (v \in S \bar{V})

によって定義する。この関数は連続になることが容易に示される。

ρ

はコンパクト集合

S \bar{V}

上の連続関数なので, 最大値と最小値をもつ。

a := min_{\bar{V}} ρ

b := max_{\bar{V}} ρ

とおく.また,

α_{1} := inf_{q \in \partial V} d_{g} (p, q), α_{2} := inf_{q \in \partial V} d_{g_{E}^{φ}} (p, q)

とおく.

V

内の区分的に

C^{1}

級の曲線

c : [0, 1] \to V

に対し,

\begin{aligned} L_{g} (c) & = \sum_{i = 0}^{k - 1} L_{g} (c ‖_{[t_{i - 1}, t_{i}]}) = \sum_{i = 0}^{k - 1} \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} \sqrt{g_{c (t)} (c^{'} (t), c^{'} (t))} d t \\ = \sum_{i = 0}^{k - 1} \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} \sqrt{{(g_{E}^{φ})}_{c (t)} (c^{'} (t), c^{'} (t))} ρ (\frac{c^{'} (t)}{{‖ c^{'} (t) ‖}_{g_{E}^{φ}}}) d t \end{aligned}

が成り立ち, それゆえ,

\begin{matrix} (4.2.1) & a L_{g_{E}^{φ}} (c) \leq L_{g} (c) \leq b L_{g_{E}^{φ}} (c) \end{matrix}

が成り立つ. したがって,

q \in U_{g} (p, α_{1})

に対し.

\begin{aligned} (4.2.2) & d_{g} (p, q) = inf_{c \in C_{p, q}^{1} s.t. c ([0, 1]) \subset U_{g} (p, α_{1})} L_{g} (c) \\ \geq a_{c \in C_{p, q}^{1}} inf_{c ([0, 1]) \subset U_{g} (p, α_{1})} L_{g_{E}^{φ}} (c) \geq a d_{g_{E}^{φ}} (p, q) \end{aligned}

が成り立つ. 十分小さな正の数

ε

をとる.

δ := min {a ε, α_{1}}

とおく.

q \in

U_{g} (p, δ)

とする. このとき, 式 (4.2.2) より,

d_{g_{⊵}^{φ}} (p, q) \leq \frac{1}{a} d_{g} (p, q) < \frac{δ}{a} \leq ε

が示され，それゆえ

q \in U_{g_{E}^{φ}} (p, ε)

が示される.したがって,

U_{g} (p, δ) \subset

U_{g_{E}^{φ}} (p, ε)

が示される.

一方, 式 (4.2.1) より,

q \in U_{g_{E}^{φ}} (p, α_{2})

に対し,

\begin{aligned} d_{g_{E}^{φ}} (p, q) & = inf_{c \in C^{1} (M; p, q) s.t. c ([0, 1]) \subset U_{g_{E}^{φ}} (p, α_{2})} L_{g_{E}^{φ}} (c) \\ (4.2.3) & \geq \frac{1}{b} inf_{c \in C^{1} (M; p, q) s.t. c ([0, 1]) \subset U_{g_{E}^{φ}} (p, α_{2})} L_{g} (c) \geq \frac{1}{b} d_{g} (p, q) \end{aligned}

が成り立つ. 十分小さな正の数

ε

をとる.

δ := min {\frac{ε}{b}, α_{2}}

とおく.

q \in U_{g_{E}^{φ}} (p, δ)

とする. このとき, 式 (4.2.3) より,

d_{g} (p, q) \leq b d_{g_{ε}^{φ}} (p, q) < b δ \leq ε

が示され，それゆえ

q \in U_{g} (p, ε)

が示される.したがって,

U_{g_{E}^{φ}} (p, δ) \subset

U_{g} (p, ε)

が示される. 以上で,

d_{g_{ε}^{φ}}

の定める

U

の位相と

d_{{g |}_{U}}

の定める

U

の位相が一致することが示される。この事実から, この命題の主張が導かれる.

v \in T_{p} M

に対し,

v

を初速度にもつ測地線でそれ以上延長不可能なものを

γ_{v} : I_{v} \to M

とする.

(M, g)

の任意の点

p

と任意の

v \in T_{p} M

に対し,

γ_{v}

が

R

全体で定義される（つまり

I_{v} = R

) とき,

(M, g)

は測地的完備 (geodesically complete) であるという。

測地的完備性について, 次のHopf-Rinow（ホップ・リノー）の定理（Hopf-Rinow's theorem）が成り立つ.

定理 4.2.2 (Hopf-Rinow) 距離空間

(M, d_{g})

が完備であることと

(M, g)

が測地的完備であることは同値である.

この定理の証明については, 例えば [加須栄 1] の 3.10.1 節を参照のこと.

注意

(M, g)

が測地的完備であるとき,

(M, g)

の任意の 2 点

p, q

に対し,

p

と

q

を結ぶ最短測地線が存在する。この事実は, 測地的完備性より、

M

の任意の点

p

における指数写像

\exp_{p}

が

T_{p} M

全体で定義されることを用いて導かれる.

4.3 曲率テンソル場

この節において, リーマン多様体の歪みを表す曲率テンソル場, および, それに付随して定義されるリッチテンソル場, スカラー曲率, さらに断面曲率を定義する. まず, より一般に,

n

次元

C^{\infty}

アフィン接続多様体

(M, \nabla)

を考える.

R_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \times T_{p} M \to T_{p} M

を

\begin{array}{r} R_{p} (v_{1}, v_{2}, v_{3}) := {(\nabla_{X_{1}} (\nabla_{X_{2}} X_{3}) - \nabla_{X_{2}} (\nabla_{X_{1}} X_{3}) - \nabla_{[X_{1}, X_{2}]} X_{3})}_{p} \\ (v_{1}, v_{2}, v_{3} \in T_{p} M) \end{array}

によって定義する。ここで,

X_{i} (i = 1, 2, 3)

は

{(X_{i})}_{p} = v_{i}

となる

X (M)

の元を表す.

R_{p}

が well-defined であることを示そう.

p

のまわりの局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

をとり,

X_{i} = \sum_{j = 1}^{n} {(X_{i})}^{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (i = 1, 2, 3)

とする. このとき, これらを

\nabla_{X_{1}} (\nabla_{X_{2}} X_{3}) - \nabla_{X_{2}} (\nabla_{X_{1}} X_{3}) - \nabla_{[X_{1}, X_{2}]} X_{3}

に代入して,

\nabla

と

[

] の 性 質, お よ び [\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}] = 0

を用いて計算すると、

\begin{aligned} \nabla_{X_{1}} (\nabla_{X_{2}} X_{3}) - \nabla_{X_{2}} (\nabla_{X_{1}} X_{3}) - \nabla_{[X_{1}, X_{2}]} X_{3} \\ (4.3.1) & = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} {(X_{1})}^{i} {(X_{2})}^{j} {(X_{3})}^{k} \\ \times (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}) - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}})) \end{aligned}

が示され, それゆえ,

\begin{aligned} {(\nabla_{X_{1}} (\nabla_{X_{2}} X_{3}) - \nabla_{X_{2}} (\nabla_{X_{1}} X_{3}) - \nabla_{[X_{1}, X_{2}]} X_{3})}_{p} \\ (4.3.2) & = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} {(X_{1})}^{i} (p) {(X_{2})}^{j} (p) {(X_{3})}^{k} (p) \end{aligned}

\times {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}) - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}))}_{p}

をえる。一方,

v_{i} = {(X_{i})}_{p} = \sum_{j = 1}^{n} {(X_{i})}^{j} (p) {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}

なので,

{(X_{i})}^{j} (p)

は,

v_{i}

の拡張

X_{i}

のとり方によらずに定まる。それゆえ,

{(\nabla_{X_{1}} (\nabla_{X_{2}} X_{3}) - \nabla_{X_{2}} (\nabla_{X_{1}} X_{3}) - \nabla_{[X_{1}, X_{2}]} X_{3})}_{p}

が

v_{i}

の拡張

X_{i}

のとり方によらずに定まることがわかり, ゆえに,

R_{p}

が well-defined であることが示される. 同時に式 (4.3.2) から,

R_{p}

が

T_{p} M

上の

(1, 3)

次テンソルであることが示される.

各点

p \in M

に対し,

R_{p}

を対応させることにより定義される

M

上の

(1, 3)

次テンソル場

R

を考えよう。

R

の定義より,

\begin{aligned} R (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}, \frac{\partial}{\partial x_{k}}) \\ (4.3.3) & = & (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}) - \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}})) \\ = & \sum_{l = 1}^{n} (\frac{\partial Γ_{j k}^{l}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial Γ_{i k}^{l}}{\partial x_{j}} + \sum_{m = 1}^{n} (Γ_{j k}^{m} Γ_{i m}^{l} - Γ_{i k}^{m} Γ_{j m}^{l})) \frac{\partial}{\partial x_{l}} \end{aligned}

をえる. ここで,

Γ_{i j}^{k}

等は,

(U, φ)

に関する接続係数を表す. したがって,

R

の

(U, φ)

に関する成分

R_{i j k}^{l}

は,

R_{i j k}^{l} = \frac{\partial Γ_{j k}^{l}}{\partial x_{i}} - \frac{\partial Γ_{i k}^{l}}{\partial x_{j}} + \sum_{l = 1}^{n} (Γ_{j k}^{m} Γ_{i m}^{l} - Γ_{i k}^{m} Γ_{j m}^{l})

によって与えられる。この式から,

R_{i j k}^{l} \circ φ^{- 1}

が

C^{\infty}

級であることがわかる. したがって,

R

は

C^{\infty}

級の

(1, 3)

次テンソル場である。

R

を

(M, \nabla)

の曲率テンソル場（curvature tensor field）という.

R = 0

であるとき,アフイン接続

\nabla

は平坦（flat）であるという. 特に,

\nabla

がリーマン多様体

(M, g)

のリーマン接続である場合,

R

をリーマン多様体

(M, g)

の曲率テンソル場

\cdot ((W) X ∋ M^{'} Z^{'} X^{'} X)

\begin{aligned} (Λ^{'} X (M^{'} Z) Ψ) E & = {(M^{'} Z (x^{'} X) Ψ)}^{E} \\ : (Z^{'} M (x^{'} X) Ψ) E - & = {(M^{'} Z (x^{'} X) Ψ)}^{E} \end{aligned}

\begin{matrix} (I) & \begin{array}{r} 0 = M (X^{'} X) (y^{z} Δ) + M (X^{'} Z) (y^{λ} Δ) + M (Z^{'} X) (U^{x Δ}) \\ ⋮ 0 = Λ (X^{'} Z) Ψ + X (Z^{'} X) Z + Z (Λ^{'} X) U \\ ⋮ Z (X^{'} X) Ψ - = Z (Λ^{'} X) Ψ \end{array} \end{matrix}

I \cdot & \cdot \bar{\nabla}

瞕㟽

^{[z} X^{^{c} X} X Δ - [^{z} X Δ^{^{T} X} Δ] = (^{z} X^{^{I} X} X) U

∵\neq 0

\cdot (^{ε} X) ([^{z} X^{^{1} X} X] - [^{z} X Δ^{^{1} X} Δ]) =

^{ε} X^{[^{[} X^{'} X]} Δ - (^{ε} X) (^{I} X Δ \circ^{z} X Δ -^{z} X Δ \circ^{I} X Δ) = (^{ε} X) (^{z} X^{L} X) y

{Ric}_{p} (v, w) := Tr R_{p} (\cdot, v) w (p \in M, v, w \in T_{p} M)

によって定義する。命題4.3.1 の（ii），(iv）を用いて, Ric が対称であることが示される. Ricを

(M, g)

のリッチテンソル場（Ricci tensor field）という. また,

M

上の

C^{\infty}

級関数

S

を

S := {Tr}_{g} Ric

にって定義する

({Tr}_{g} (\cdot)

の定義については 3.12 節を参照).

S

は

(M, g)

のスカラー曲率（scalar curvature) とよばれる.

T_{p} M

の 2 次元部分ベクトル空間

Π

に対し,

K (Π)

を

K (Π) := g_{p} (R_{p} (e_{1}, e_{2}) e_{2}, e_{1})

（ (e_{1}, e_{2})

はの（

g_{p}

に関する）正規直交基底）によって定義する。

K (Π)

を

(M, g)

の Пに関する断面曲率（sectional curvature）という。

K (Π)

が well-defined であることを示そう.

Π

の正規直交基底

({\overset{―}{e}}_{1}, {\overset{―}{e}}_{2})

をもう1つとり,

{\overset{―}{e}}_{i} = \sum_{j = 1}^{2} a_{i j} e_{j} (i = 1, 2)

とするとき, 命題 4.3.1と

| \det (a_{i j}) | = 1

を用いて,

\begin{aligned} g_{p} (R_{p} ({\overset{―}{e}}_{1}, {\overset{―}{e}}_{2}) {\overset{―}{e}}_{2}, {\overset{―}{e}}_{1}) & = {(\det (a_{i j}))}^{2} \cdot g_{p} (R_{p} (e_{1}, e_{2}) e_{2}, e_{1}) \\ = g_{p} (R_{p} (e_{1}, e_{2}) e_{2}, e_{1}) \end{aligned}

が示されるので,

K (Π)

がwell-defined であることがわかる. 特に,

\dim M

= 2

のとき,

K_{p} := K (T_{p} M)

は,

(M, g)

の

p

におけるガウス曲率（the Gaussian curvature of

(M, g)

p)

とよばれる。各

p \in M

に

K_{p}

を対応させることにより定義される関数

K : M \to R を, (M, g)

のガウス曲率（the Gaussian curvature of

(M, g)

) とよぶ.

M

の任意の点

p

と

T_{p} M

の任意の 2 次元部分ベクトル空間

Π

に対し,

K (Π)

が一定値

c

をとるとき,

(M, g)

を一定の断面曲率

c

をもつ定曲率空間（the space of constant curvature c) という. 特に, 一定の断面曲率 0 をもつ定曲率空間を平坦な空間（flat space）という。

命題 4.3.2

(M, g)

が一定の断面曲率

c

をもつことと,

R

が次式を満たすことは同値である：

\begin{matrix} (4.3.4) & R (X, Y) Z = c (g (Y, Z) X - g (X, Z) Y) (X, Y, Z \in X (M)) \end{matrix}

証明

(M, g)

の曲率テンソル場

R

が式 (4.3.4)を満たすならば,

(M, g)

が一定の断面曲率

c

をもつことは明らかである。逆を示そう。

M

上の 4 次共変テンソル場

R, \hat{R}

を各々,

\begin{array}{r} R_{p} (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) := g_{p} (R_{p} (v_{1}, v_{2}) v_{3}, v_{4}), \\ {\hat{R}}_{p} (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) := c (g_{p} (v_{2}, v_{3}) g_{p} (v_{1}, v_{4}) - g_{p} (v_{1}, v_{3}) g_{p} (v_{2}, v_{4})) \\ (p \in M, v_{1}, \dots, v_{4} \in T_{p} M) \end{array}

によって定義する。

(M, g)

が一定の断面曲率

c

をもつとすると, 任意に

p \in

M

，および

(T_{p} M, g_{p})

の正規直交基底

(e_{1}, \dots, e_{n})

をとったとき，任意の

i, j

\in {1, \dots, n}

に対し，

R_{p} (e_{i}, e_{j}, e_{j}, e_{i}) = {\hat{R}}_{p} (e_{i}, e_{j}, e_{j}, e_{i}) (= c (1 - δ_{i j}))

が成り立つ.一方,

R

と同様に,

\hat{R}

も命題4.3.1における関係式 (i), (ii), (iv), および (v)を満たすことが容易に示される。これらの事実から，任意の

i, j, k, l \in {1, \dots, n}

に対し，

R_{p} (e_{i}, e_{j}, e_{k}, e_{l}) = {\hat{R}}_{p} (e_{i}, e_{j}, e_{k}, e_{l})

が成り立つこと，それゆえ，

R_{p} = {\hat{R}}_{p}

が成り立つことが示される.

ここで，定曲率空間の例を紹介する.

例 4.3.1 (i)

n (\geq 2)

次元ユークリッド空間

E^{n} := (A^{n}, g_{E})

は平坦な空間である.

(ii)

n \geq 2

とする.

(n + 1)

次元ユークリッド空間

E^{n + 1} = (A^{n + 1}, g_{E})

内の半径

r

の

n (\geq 2)

次元球面

S^{n} (r) := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in R^{n + 1} (= A^{n + 1}) ∣ \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{2} = r^{2}}

を考える. ここで

o \in A^{n + 1}

を基点として,

Φ_{o}

を通じて,

A^{n + 1}

を

R^{n + 1}

と同
一視している.

g_{S, r}

を超曲面

S^{n} (r)

の第 1 基本形式とする.このとき,

(S^{n} (r), g_{S, r})

は一定の断面曲率

\frac{1}{r^{2}}

をもつ定曲率空間になる.

（iii）数べクトル空間

R^{n + 1}

の指数 1 の非退化対称形式〈，〉

⟩_{L}

を

\begin{matrix} ⟨ v, w ⟩_{L} := - v_{1} w_{1} + \sum_{i = 2}^{n + 1} v_{i} w_{i} \\ (v = (v_{1}, \dots, v_{n + 1}), w = (w_{1}, \dots, w_{n + 1}) \in R^{n + 1}) \end{matrix}

と定義し,

A^{n + 1}

上の指数 1 の非退化かつ対称な 2 次共変テンソル場

g_{L}

を

{(g_{L})}_{p} (v, w) := ⟨ v, w ⟩_{L} (p \in A^{n + 1}, v, w \in T_{p} A^{n + 1})

と定義する. ここで各点

p \in A^{n + 1}

に対し,

T_{p} A^{n + 1}

は

R^{n + 1}

と同一視されている. このとき,

L^{n + 1} := (A^{n + 1}, g_{L})

は,

(n + 1)

次元ローレンツ空間

((n +

1)-dimensional Lorentzian space) とよばれる。

L^{n + 1}

内の超曲面

H^{n} (- r) := {(x_{1}, \dots, x_{n + 1}) \in R^{n + 1} ∣ - x_{1}^{2} + \sum_{i = 2}^{n + 1} x_{i}^{2} = - r^{2} かつ x_{1} > 0}

上の 2 次共変テンソル場

g_{H, r}

を

{(g_{H, r})}_{p} (v, w) := ⟨ v, w ⟩_{L} (v, w \in T_{p} H^{n} (- r))

によって定義する。ここで,

T_{p} A^{n + 1}

と

R^{n + 1}

の同一視の下,

T_{p} H^{n} (- r)

を

R^{n + 1}

の部分べクトル空間とみなしている.

g_{H, r}

は,

H^{n} (- r)

の

C^{\infty}

リーマン計量になり,

(H^{n} (- r), g_{H, r})

は一定の断面曲率

- \frac{1}{r^{2}}

をもつ定曲率空間になることが示される。

(H^{n} (- r), g_{H, r})

は,

n

次元双曲空間（

n

-dimensional hyperbolic space）とよばれる.

4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場

この節において,

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルの接続, およびその曲率テンソル場について説明する。

C^{\infty}

級実ベクトルバンドル

E \overset{π}{\to} M

に対し，

E

の

C^{\infty}

切断の全体を

Γ^{\infty} (E)

で表す. 写像

\nabla : X (M) \times Γ^{\infty} (E) \to Γ^{\infty} (E)

で,次の 4 条件を満たすものを実ベクトルバンドル

E

の接続（connection of

a

real vector bundle

E

) という :

(i)

\nabla_{a X + b Y} σ = a \nabla_{X} σ + b \nabla_{Y} σ (X, Y \in X (M), a, b \in R, σ \in Γ^{\infty} (E))

;

(ii)

\nabla_{X} (a σ_{1} + b σ_{2}) = a \nabla_{X} σ_{1} + b \nabla_{X} σ_{2} (X \in X (M), a, b \in R, σ_{1}, σ_{2} \in

Γ^{\infty} (E))

;

(iii)

\nabla_{f X} σ = f \nabla_{X} σ (X \in X (M), f \in C^{\infty} (M), σ \in Γ^{\infty} (E))

;

(iv)

\nabla_{X} (f σ) = X (f) σ + f \nabla_{X} σ (X \in X (M), f \in C^{\infty} (M), σ \in Γ^{\infty} (E))

ここで,

\nabla (X, σ)

を

\nabla_{X} σ

と表している.

v \in T_{p} M

に対し,

\nabla_{v} σ \in E_{p}

を

\nabla_{v} σ := {(\nabla_{X} σ)}_{p} (X

は

X_{p} = v

となる

X (M)

の元

)

にって定義する.

\nabla_{v} σ

は well-defined, つまり,

v

の拡張

X

のとり方によらずに定まることが示される。

M

の

C^{\infty}

級実ベクトルバンドル

E

の接続

\nabla

の曲率テンソル場を定義しよう.

R_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \times E_{p} \to E_{p}

を

\begin{array}{r} R_{p} (v_{1}, v_{2}, ξ) := {(\nabla_{X_{1}} (\nabla_{X_{2}} σ) - \nabla_{X_{2}} (\nabla_{X_{1}} σ) - \nabla_{[X_{1}, X_{2}]} σ)}_{p} \\ (v_{1}, v_{2} \in T_{p} M, ξ \in E_{p}) \end{array}

（其

(i = 1, 2)

は

{(X_{i})}_{p} = v_{i}

となる

X (M)

の元,

σ

は

σ (p) = ξ

となる

Γ^{\infty} (E)

の元）によって定義する。

R_{p} (v_{1}, v_{2}, ξ)

はwell-defined, つまり,

v_{1}

v_{2}

の拡張

X_{1}, X_{2}

と

ξ

の拡張

σ

のとり方によらずに定まることが示される.明らかに,

R_{p}

は多重線形, つまり, テンソル積空間

T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes E_{p}^{*} \otimes E_{p}

の元であり, 各点

p \in M

に対し,

R_{p}

を対応させる対応

R

はテンソル積バンドル

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E := \underset{p \in M}{⨿} (T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes E_{p}^{*} \otimes E_{p})

の

C^{\infty}

切断を与えることが示される.

R

を

\nabla

の曲率テンソル場という. 以下,

R_{p} (v_{1}, v_{2}, ξ)

を

R_{p} (v_{1}, v_{2}) ξ

と表し,

R (X_{1}, X_{2}, σ)

を

R (X_{1}, X_{2}) σ

と表す.

注意

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E

の

C^{\infty}

構造が,

M

の局所チャートと

T^{*} M, E^{*}

E

の局所自明化写像を用いて自然に定義され，その

C^{\infty}

構造の下に, 自然な射影

π : T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E \to M

は

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになる.

E \overset{π}{\to} \tilde{M}

を階数

k

の

C^{\infty}

実ベクトルバンドルとし,

f : M \to \tilde{M}

を

C^{\infty}

写像とする.

f^{*} E := \underset{p \in M}{⨿} ({p} \times E_{f (p)})

とおき,

π^{f} : f^{*} E \to M

を自然な射
影とする. このとき,

f^{*} E

の

C^{\infty}

構造が自然に定義され, その

C^{\infty}

構造の下に,

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになる。この実ベクトルバンドル

f^{*} E \overset{π^{f}}{\to} M

を、

E

の

f

にる誘導実ベクトルバンドル（induced real vector bundle) という.

f^{*} E

の切断は,

{p} \times E_{f (p)}

と

E_{f (p)}

の同一視の下, 各

p \in M

に対し,

E_{f (p)}

の元を対応させる対応とみなせる. 特に,

f^{*} T \tilde{M}

の切断, つまり, 各

p \in M

に対し,

T_{f (p)} \tilde{M}

の元を対応させる対応を

f

に沿うべクトル場という.

f

に沿うベクトル場

X

が

C^{r}

級であることは,

f^{*} T \tilde{M}

の切断として

C^{r}

級であることで定められる.

m := \dim \tilde{M}

とする.

X

が

C^{r}

級であるための必要十分条件は, 任意の

p_{0} \in M

と

f (p_{0})

のまわりの

\tilde{M}

の局所チャート

(V, ψ = (y_{1}, \dots, y_{m}))

に対して,

X_{p} = \sum_{i = 1}^{m} X_{i} (p) {(\frac{\partial}{\partial y_{i}})}_{f (p)} (p \in f^{- 1} (V))

によって定義される関数

X_{i} : f^{- 1} (V) \to R (i = 1, \dots, m)

が

C^{r}

級であることである.

f

に沿う

C^{\infty}

級べクトル場の全体

Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M})

を

X_{f} (M, \tilde{M})

と表す.

\nabla

を

C^{\infty}

実ベクトルバンドル

E \overset{π}{\to} \tilde{M}

の接続とする。このとき,

f^{*} E

の接続

\nabla^{f}

で次の条件を満たすようなものがただ 1 つ存在する：

(*)

σ \in Γ^{\infty} (E)

に対し，

σ_{f} \in Γ^{\infty} (f^{*} E)

を

{(σ_{f})}_{p} := σ_{f (p)} (p \in M)

によって定義するとき, 任意の

X \in X (M)

に対し,

{(\nabla_{X}^{f} σ_{f})}_{p} = \nabla_{d f_{p} (X_{p})} σ

(p \in M)

が成り立つ.

この接続

\nabla^{f}

を

\nabla f

による誘導接続（induced connection），または、引き戻し接続（pull-back connection）という.

特に,

\nabla

の

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to \tilde{M}

による誘導接続

\nabla^{c}

に対し,

\nabla_{\frac{d}{d t}}^{c}

は 4.1 節で述べた

\nabla_{c^{'}}

と一致する.

σ \in Γ^{\infty} (c^{*} E)

に対し，

\nabla_{c^{'}} σ = 0

が成り立つとき,

σ

を

c

に沿う

E

の平行切断（parallel section of

E

along

c

）という.定理 4.1.2 の (i) に類似して, 次の事実が示される。

定理 4.4.1

c : [a, b] \to \tilde{M}

を

C^{\infty}

曲線とする。各

ξ \in E_{c (a)}

に対し,

c

に沿う

E

の平行切断

σ

で

σ (a) = ξ

となるようなものが, ただ 1 つ存在する.

\tilde{M}

上の

C^{\infty}

曲線

c : [a, b] \to \tilde{M}

に対し,

E_{c (a)}

から

E_{c (b)}

への写像

P_{c}

を

\begin{matrix} P_{c} (ξ) := σ (b) (ξ \in E_{c (a)}) \\ (σ : σ (a) = ξ を満たす c に沿う平行切断) \end{matrix}

によって定義する. この写像

P_{c}

を

\nabla

に関する

c

に沿う平行移動という.

4.5 測地変形とヤコビ場

この節において, リーマン多様体

(M, g)

上の測地線に沿うヤコビ場を，ある 2 階常微分方程式（ヤコビ方程式とよばれるもの）の解として定義し, 測地変形（測地線の滑らかな 1 パラメーター族）の変分ベクトル場がヤコビ場であること，逆に，測地線に沿う任意のヤコビ場に対し，それを変分ベクトル場にもつ測地変形が構成できることを説明する。このように,

(M, g)

上の測地線族の振る舞いは, ヤコビ場の振る舞いによって支配されることがわかる。一方, ヤコビ場の振る舞いは, ヤコビ方程式が曲率テンソル場を用いて定義されるため，

(M, g)

の曲率によって支配されることがわかる。したがって，

(M, g)

上の測地線族の振る舞いは,

(M, g)

の曲率によって支配されることになる．例えば，２次元リーマン多様体上の測地三角形の形状（例えば, 内角の和）は，ヤコビ場の振る舞いを分析することにより，ある程度わかる。このように，2.8 節で述べた曲面に対するガウス・ボンネの定理（局所版）から導かれる曲面上の測地三角形の内角の和に関する情報は, 実は, ヤコビ場の振る舞いを分析することによってもある程度わかる。

注意この節で述べる内容は, より一般に, 抳れのないアフィン接続多様体上で成り立つことを注意しておく。

(M, g)

を

C^{\infty}

級リーマン多様体とし,

\nabla, R

を各々,

g

のリーマン接続, 曲率テンソル場とする。以下,

I

は 0 を含む開区間とする。

γ : I \to M

を

(M, g)

上の測地線とし,

Y : I \to T M

を

γ

に沿う

C^{\infty}

ベクトル場とする。簡単のため,

\nabla_{γ^{'}} Y, \nabla_{γ^{'}} (\nabla_{γ^{'}} Y)

を各々,

Y^{'}, Y^{''}

と略記することにする。Yが 2 階常微分方程式

\begin{matrix} (4.5.1) & Y^{''} (s) + R_{γ (s)} (Y (s), γ^{'} (s)) γ^{'} (s) = 0 (s \in I) \end{matrix}

を満たすとき,

Y

を

γ

に沿うヤコビ場（Jacobi field）という. また, 式

(4.5.1) はヤコビ方程式（Jacobi equation）とよばれる.

γ : I \to M

を測地線とし,

{γ_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

(M, g)

上の

I

を定義域とする測地線の 1 パラメーター族で, 次の 2 条件を満たすようなものとする：

(i)

δ (s, t) := γ_{t} (s) ((s, t) \in I \times (- ε, ε))

によって定義される写像

δ

I \times (- ε, ε) \to M

は,

C^{\infty}

写像である；

(ii)

γ_{0} = γ

このような族

{γ_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

γ

の

C^{\infty}

級の測地変形 (geodesic deformation）といい,

s \mapsto d δ_{(s, 0)} ({(\frac{\partial}{\partial t}) |}_{(s, 0)})

をその変分ベクトル場という.

命題 4.5.1 測地線

γ

の

C^{\infty}

級の測地変形の変分べクトル場は

γ

に沿うヤコビ場になり, 逆に, 測地線

γ

に沿う任意のヤコビ場に対し, それを変分べクトル場とする

γ

の

C^{\infty}

級の測地変形が存在する.

証明

δ = {γ_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

(M, g)

上の測地線

γ : I \to M

の

C^{\infty}

級の測地変形とし，その変分ベクトル場を

Y

とする。

δ

は測地変形なので,

\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial s})

= 0

が成り立つ. ここで,

\nabla^{δ}

は

\nabla

の

δ

に誘導接続を表す.

\nabla

が抳れ 0 であることと

[\frac{\partial}{\partial s}, \frac{\partial}{\partial t}] = 0

より,

\begin{matrix} (4.5.2) & \nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial t}) = \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial s}) \end{matrix}

が示される。

Y^{''}

を計算しよう. 式 (4.5.2) と曲率テンソル場

R

の定義から,

\begin{aligned} Y^{''} (s) = & {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial t})))}_{(s, 0)} = {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial s})))}_{(s, 0)} \\ = & {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{δ} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial s})))}_{(s, 0)} \\ + R_{γ (s)} (d δ_{(s, 0)} ({(\frac{\partial}{\partial s})}_{(s, 0)}), d δ_{(s, 0)} ({(\frac{\partial}{\partial t})}_{(s, 0)})) d δ_{(s, 0)} ({(\frac{\partial}{\partial s})}_{(s, 0)}) \\ = & - R_{γ (s)} (Y (s), γ^{'} (s)) γ^{'} (s) \end{aligned}

が導かれる。こように,

Y

がヤコビ方程式 (4.5.1)を満たすこと，つまり、

γ

に沿うヤコビ場であることが示される.

\begin{matrix} Y : Y (0) = 0, Y^{'} (0) \neq 0 となるヤコビ場 \\ {\nabla_{α^{'}} Z |}_{t = 0} = {\frac{d Z}{d t} |}_{t = 0} = Y^{'} (0) \end{matrix}

図 4.5.1 ヤコビ場から測地変形を構成する方法（例 1 ）

次に，逆を示す．

Y

を

γ

に沿うヤコビ場とする.

α^{'} (0) = Y (0)

となる

C^{\infty}

曲線

α : (- ε, ε) \to M

をとり,

Z : (- ε, ε) \to T M

を

Z (0) = γ^{'} (0), {(\nabla_{α^{'}} Z)}_{0}

= Y^{'} (0)

を満たす

α

に沿う

C^{\infty}

ベクトル場とする. このベクトル場

Z

を用いて,

I

を定義域とする測地線の 1 パラメーター族

{γ_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

γ_{t} (s) := \exp_{α (t)} (s Z (t)) (s \in I)

によって定義し（図 4.5.1, 4.5.2を参照）,

δ : I \times (- ε, ε) \to M

を

δ (s, t) :=

γ_{t} (s)

により定義する。明らかに,

δ = {γ_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

は

γ

の

C^{\infty}

級の測地変形を与える。それゆえ，

δ

の変分ベクトル場

\hat{Y} (s) := d δ_{(s, 0)} ({(\frac{\partial}{\partial t})}_{(s, 0)})

は、

γ

に沿うヤコビ場になる。一方,

\hat{Y} (0) = Y (0)

, および

\begin{aligned} {\hat{Y}}^{'} (0) = {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial t}))}_{(0, 0)} & = {(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{δ} d δ (\frac{\partial}{\partial s}))}_{(0, 0)} \\ = {(\nabla_{α^{'}} Z)}_{0} = Y^{'} (0) \end{aligned}

をえる. このように,

Y, \hat{Y}

は共にヤコビ方程式（これは， 2 階正規型常微分方程式）の解であり，

Y (0) = \hat{Y} (0), Y^{'} (0) = {\hat{Y}}^{'} (0)

が成り立つので, 2 階正規型常微分方程式の解の一意性定理によりそれらは一致する.したがって,

図 4.5.2 ヤコビ場から測地変形を構成する方法（例 2 ）

δ = {γ_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

は,

Y

を変分ベクトル場にもつ

γ

の

C^{\infty}

級の測地変形である.

例 4.5.1

n

次元ユークリッド空間

E^{n}

におけるヤコビ場の振る舞いをみよう.

E^{n}

は平坦, つまり

R = 0

なので, ヤコビ方程式は

Y^{''} = 0

となり,

E^{n}

上の測地線

γ

に沿うヤコビ場

Y

は次のように記述される：

Y (s) = P_{γ ∣ [0, s]} (Y (0) + s Y^{'} (0))

Y (s) = P_{γ ∣ [0, s]} (Y (0) + s Y^{'} (0))

\begin{aligned} Y_{1} : Y_{1} (0) = 0, Y_{1}^{'} (0) \neq 0 となるヤコビ場 \\ Y_{2} : Y_{2} (0) \neq 0, Y_{2}^{'} (0) = 0 となるヤコビ場 \end{aligned}

図 4.5.3

E^{n}

におけるヤコビ場

例 4.5.2

n

次元単位球面

(S^{n} (r), g_{S, r})

におけるヤコビ場の振る舞いをみよう.

(S^{n} (r), g_{S, r})

は一定の断面曲率

\frac{1}{r^{2}}

をもつので, 命題4.3.2により,

\begin{aligned} Y_{1} : Y_{1} (0) = 0, Y_{1}^{'} (0) \neq 0 となるヤコビ場 \\ Y_{2} : Y_{2} (0) \neq 0, Y_{2}^{'} (0) = 0 となるヤコビ場 \end{aligned}

図 4.5.4

S^{n} (r)

におけるヤコビ場

\begin{array}{r} R (X_{1}, X_{2}) X_{3} = \frac{1}{r^{2}} (g (X_{2}, X_{3}) X_{1} - g (X_{1}, X_{3}) X_{2}) \\ (X_{1}, X_{2}, X_{3} \in X (M)) \end{array}

が成り立ち, また,

\nabla R = 0

が示されるので,

(S^{n} (r), g_{S, r})

上の速さ

a

の測地線

γ

に沿うヤコビ場

Y

が

g (Y, γ^{'}) = 0

を満たす場合,

Y

は

\begin{matrix} (4.5.3) & Y^{''} + \frac{a^{2}}{r^{2}} \cdot Y = 0 \end{matrix}

を満たす。式 (4.5.3) を解いて,

Y (s) = P_{γ_{[0, s]}} (\cos \frac{a s}{r} Y (0) + \frac{r}{a} \cdot \sin \frac{a s}{r} Y^{'} (0))

をえる。それゆえ,

(S^{n} (r), g_{S, r})

上の測地線に沿うヤコビ場の振る舞いは, 図 4.5.4のようになる.

例 4.5.3

n

次元双曲空間

(H^{n} (- r), g_{H, r})

におけるヤコビ場の振る舞いをみよう. このとき, 一定の断面曲率

- \frac{1}{r^{2}}

をもつので, 命題 4.3 .2 により

R (X_{1}, X_{2}) X_{3} = - \frac{1}{r^{2}} (g (X_{2}, X_{3}) X_{1} - g (X_{1}, X_{3}) X_{2})

(X_{1}, X_{2}, X_{3} \in X (M))

が成り立ち, また

\nabla R = 0

が示されるので,

(H^{n} (- r), g_{H, r})

上の速さ

a

の測地線

γ

に沿うヤコビ場

Y

が

g (Y, γ^{'}) = 0

を満たす場合,

Y

は

図 4.5.5

H^{2} (- r)

におけるヤコビ場

\begin{matrix} (4.5.4) & Y^{''} - \frac{a^{2}}{r^{2}} \cdot Y = 0 \end{matrix}

を満たす．式(4.5.4)を解いて,

Y (s) = P_{γ_{[0, a]}} (\cosh \frac{a s}{r} Y (0) + \frac{r}{a} \cdot \sinh \frac{a s}{r} Y^{'} (0))

をえる. それゆえ,

H^{n} (- r)

上の測地線に沿うヤコビ場の振る舞いは, 図 4.5.5 のようになる.

以上述べた 3 つの例からわかるように, 例えば, 曲面をはじめとする 2 次元リーマン多様体上の測地三角形の内角の和の大きさは, その上のヤコビ場を分析することによっても、ある程度わかることを認識してもらえるであろう.

4.6 リーマン部分多様体論

この節において, 第 2 章で述べたユークリッド空間内の超曲面論の一般理論であるリーマン部分多様体論について述べることにする.

f

を

n

次元

C^{\infty}

多様体

M

から

(n + k)

次元

C^{\infty}

リーマン多様体

(\tilde{M}, \tilde{g})

への

C^{\infty}

はめ込みとし, 誘導リーマン計量

f^{*} \tilde{g}

を

g

と表す。

\nabla, \tilde{\nabla}

を各々,

g, \tilde{g}

のリーマン接続とする.

(T_{f (p)} \tilde{M}, {\tilde{g}}_{f (p)})

の部分ベクトル空間

d f_{p} (T_{p} M)

の直交補空間

d f_{p} {(T_{p} M)}^{⊥}

を, リーマン部分多様体

(M, g)

（または

f

) の点

p

における法空間といい,

T_{p}^{⊥} M

と表す。また,

T_{p}^{⊥} M

の各元を, リーマン部分多様体

(M, g)

（または f）の点

p

における法ベクトルという.

T^{⊥} M := \underset{p \in M}{⨿} T_{p}^{⊥} M

には, 自然な方
法で

C^{\infty}

構造が定義され, 自然な射影

π : T^{⊥} M \to M

は,

C^{\infty}

ベクトルバンドルになる. この

C^{\infty}

ベクトルバンドルを

f

の法ベクトルバンドル（normal vector bundle) という。

T^{⊥} M

の

C^{r}

級切断を, リーマン部分多様体

(M, g)

(または

f

) の

C^{r}

法ベクトル場（

C^{r} -

normal vector field）といい,

C^{\infty}

級法べクトル場の全体を

X^{⊥} (M)

と表す.

次に, リーマン部分多様体

(M, g)

の第 2 基本形式を定義しよう.

h_{p} : T_{p} M

\times T_{p} M \to T_{f (p)} \tilde{M}

を

h_{p} (v, w) := {({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y) - d f (\nabla_{X} Y))}_{p} (v, w \in T_{p} M)

によって定義する. ここで,

X, Y

は各々,

X_{p} = v, Y_{p} = w

となる

X (M)

の元であり,

d f (∙)

は,

d f (∙)_{p} := d f_{p} ((∙)_{p}) (p \in M)

によって定義される

X_{f} (M, \tilde{M})

の元である。以下,

d f (∙)

は

f_{*} (∙)

と表されることもある.

h_{p} (v, w)

が well-defined, つまり,

v, w

の拡張

X, Y

のとり方によらずに定まることを示そう。

p

のまわりの

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

をとり、

X, Y

の

(U, φ)

に関する成分を

X_{i}, Y_{i} (i = 1, \dots, n)

とする. このとき,

\begin{aligned} {({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y))}_{p} = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} (Y_{j} d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})))}_{p} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) (\frac{\partial (Y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) (p) d f_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}) \\ + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) Y_{j} (p) {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}}))}_{p} \end{aligned}

をえる。一方,

\begin{aligned} {(d f (\nabla_{X} Y))}_{p} = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) d f_{p} (\nabla_{{(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}} (Y_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) (\frac{\partial (Y_{j} \circ φ^{- 1})}{\partial x_{i}} \circ φ) (p) d f_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}) \\ + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) Y_{j} (p) d f_{p} (\nabla_{{(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}) \end{aligned}

をえる. したがって,

\begin{matrix} (4.6.1) & h_{p} (v, w) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} (p) Y_{j} (p) h_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}) \end{matrix}

が導かれる. このように,

h_{p} (v, w)

が

v, w

の拡張

X, Y

のとり方によらないことが示される。また, 式 (4.6.1) から,

h_{p}

が

T_{p} M

上の

T_{f (p)} \tilde{M}

に値をとる 2 次共変テンソル, つまり,

T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{f (p)} \tilde{M}

の元になることが示される.さらに、

\nabla, \tilde{\nabla}

が㧖れ0であることと

[\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}] = 0

から,

\begin{aligned} h_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}) = {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}}))}_{p} - d f_{p} {({(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p})}_{p}) \\ = & {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{f} d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}))}_{p} - d f_{p} ({(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) = h_{p} ({(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{p}, {(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{p}) \end{aligned}

をえる。それゆえ, 式 (4.6.1) から,

h_{p} (v, w) = h_{p} (w, v)

が導かれ,

h_{p}

が対称であることがわかる. 次に, 各点

p \in M

に対し

h_{p}

を対応させる対応

h

が, テンソル積バンドル

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M} := \underset{p \in M}{⨿} (T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{f (p)} \tilde{M})

の

C^{\infty}

切断を与えることを示そう。まず，自然な射影

π : T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes

f^{*} T \tilde{M} \to M

が

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになることを説明しよう.

T^{*} M \otimes

T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M}

の

C^{\infty}

構造は次のように定義される. 各点

p \in M

に対し,

p

のまわりの局所チャート

(U_{p}, φ_{p})

と

f (p)

のまわりの局所チャート

(V_{p}, ψ_{p})

の組をとり，族

{(U_{p}, φ_{p}) ∣ p \in M}

と族

{(V_{p}, ψ_{p}) ∣ p \in M}

をつくる. 各

p \in M

に対し,

W_{p} := U_{p} \cap f^{- 1} (V_{p})

とおき,

η_{p} : π^{- 1} (W_{p}) \to W_{p} \times R^{n^{2} (n + k)}

を

η_{p} (S) := (π (S), (S_{i j}^{α})) (S \in π^{- 1} (W_{p}))

によって定義する. ここで,

S_{i j}^{α}

は,

S

の

(U_{p}, φ_{p})

と

(V_{p}, ψ_{p})

に関する成分, つまり,

φ_{p} = (x_{1}, \dots, x_{n}), ψ_{p} = (y_{1}, \dots, y_{n + k})

として,

S ({(\frac{\partial}{\partial x_{i}})}_{π (S)}, {(\frac{\partial}{\partial x_{j}})}_{π (S)}) = \sum_{α = 1}^{n + k} S_{i j}^{α} {(\frac{\partial}{\partial y_{α}})}_{f (π (S))}

により定義される実数族を表す. このとき,

D := {(W_{p}, (φ_{p} \times i d) \circ η_{p}) ∣ p \in

M}

は,

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M}

の

C^{\infty}

構造を与え, さらに

π : T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes

f^{*} T \tilde{M} \to M

が,

{η_{p} : π^{- 1} (W_{p}) \to W_{p} \times R^{n^{2} (n + k)}}_{p \in M}

を局所自明化写像の族とするような

C^{\infty}

級実ベクトルバンドルになることが示される.

h

がこの

C^{\infty}

級実ベクトルバンドル

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M}

の

C^{\infty}

切断であることを示すには,

h

の

(U_{p}, φ_{p})

と

(V_{p}, ψ_{p})

に関する成分

h_{i j}^{α}

が

C^{\infty}

級であることを示せばよいのだが,

h

の定義式によれば,

h (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}})

は

f ∣ W_{p}

に沿う

C^{\infty}

級ベクトル場であるので,

h_{i j}^{α}

が

C^{\infty}

級であることが導かれる。したがって,

h

が

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M}

の

C^{\infty}

切断を与えることがわかる. この

C^{\infty}

切断

h

を

f

の第

2

基本形式という. 実は, 任意の

p \in M

と任意の

v, w \in T_{p} M

に対し,

h_{p} (v, w) \in T_{p}^{⊥} M

が示される。この事実を証明しよう。Ｍのアフィン接続

\hat{\nabla}

を

d f ({\hat{\nabla}}_{X} Y) = {pr}_{T} ({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y)) (X, Y \in X (M))

によって定義する. ここで,

{pr}_{T}

は,

f^{*} T \tilde{M}

からその部分ベクトルバンドル

d f (T M) (:= ⨿_{p \in M} d f_{p} (T_{p} M))

への直交射影を表す.

\hat{\nabla}

が

M

の捩れ 0 のアフイン接続であることは容易に示される。このアフィン接続

\hat{\nabla}

は, 2.3 節で述べた曲面上の接べクトル場の共変微分の定義に倣って定義されるものであることを注意しておく.

\hat{\nabla} = \nabla

であることを示そう.

X, Y, Z \in X (M)

に対し，

\begin{aligned} X (g (Y, Z)) & = X ({\tilde{g}}^{(d f} (Y), d f (Z))) \\ = \tilde{g} ({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y), d f (Z)) + \tilde{g} (d f (Y), {\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Z)) \\ = \tilde{g} (d f ({\hat{\nabla}}_{X} Y), d f (Z)) + \tilde{g} (d f (Y), d f ({\hat{\nabla}}_{X} Z)) \\ = g ({\hat{\nabla}}_{X} Y, Z) + g (Y, {\hat{\nabla}}_{X} Z) \end{aligned}

が導かれる. それゆえ,

\hat{\nabla} g = 0

をえる. したがって,

\hat{\nabla}

が

g

のリーマン接続であることが示され，それゆえ，リーマン接続の一意性により，

\hat{\nabla} = \nabla

が導

かれる. したがって,

h_{p}

の定義式から

h_{p} (v, w) \in T_{p}^{⊥} M

が示される. このように,

h

はテンソル積バンドル

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{⊥} M

の

C^{\infty}

切断になることがわかる. ここで,

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{⊥} M

の

C^{\infty}

構造, および局所自明化写像の族は, 上述の

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M}

の場合に倣って与えられることに注意する.

h

の定義より,

\begin{matrix} (4.6.2) & {\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y) = d f (\nabla_{X} Y) + h (X, Y) (X, Y \in X (M)) \end{matrix}

が成り立つが, この式は,

{\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y)

の接成分と法成分への直交分解を表す式であることがわかる. 式 (4.6.2) をガウスの公式という.

3.12 節の注意で述べたように, hの

g

に関するトレース

{Tr}_{g} h

が

{({Tr}_{g} h)}_{p} := \sum_{i = 1}^{n} h_{p} (e_{i}, e_{i}) (p \in M)

（ (e_{1}, \dots, e_{n}) : (T_{p} M, g_{p})

の正規直交基底）によって定義される.

\frac{1}{n} {Tr}_{g} h

を

f

の平均曲率ベクトル場といい,

H

で表す.

H = 0

が成り立つとき,

f

を

M

から

(\tilde{M}, \tilde{g})

への極小はめ込み（minimal immersion）という. なぜこのようによばれるかについては，次節で説明する.

次に, リーマン部分多様体

(M, g)

の形テンソル場を定義する.

A_{p} : T_{p}^{⊥} M \times

T_{p} M \to T_{p} M

を

d f_{p} (A_{p} (ξ, v)) := - {pr}_{T_{f (p)}} ({({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} \tilde{ξ})}_{p}) (ξ \in T_{p}^{⊥} M, v \in T_{p} M)

で定める. ここで,

X

は

X_{p} = v

となる

X (M)

の元であり,

\tilde{ξ}

は

{\tilde{ξ}}_{p} = ξ

となる

X^{⊥} (M)

の元であり,

{pr}_{T_{f (p)}}

は

T_{f (p)} \tilde{M}

から

d f_{p} (T_{p} M)

への直交射影を表す. この定義は,

v, ξ

の拡張

X, \tilde{ξ}

のとり方によらないことが示される. 通常,

A_{p} (ξ, v)

は

{(A_{p})}_{ξ} (v)

と表される。また,

A_{p} : T_{p}^{⊥} M \times T_{p} M \to T_{p} M

が双線形であること, つまり,

{(T_{p}^{⊥} M)}^{*} \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{p} M

の元であることが容易に示される. さらに, 各点

p \in M

に対し

A_{p}

を対応させる対応

A

は, テンソル積バンドル

{(T^{⊥} M)}^{*} \otimes T^{*} M \otimes T M

の

C^{\infty}

級切断を与えることが示される. ここで,

{(T^{⊥} M)}^{*} \otimes T^{*} M \otimes T M

の

C^{\infty}

ベクトルバンドル構造は, 前述の

T^{*} M \otimes

T^{*} M \otimes f^{*} T \tilde{M}

の場合に做って与えられることに注意する。この

C^{\infty}

切断

A

をリーマン部分多様体

(M, g)

（または

f

）の形テンソル場（shape tensor）

といい,

{(A_{p})}_{ξ}

を

(M, g)

(または

f

) の

ξ

に対する形作用素（shape operator) とよぶ.

h_{p}

と

A_{p}

の間に,

{\tilde{g}}_{f (p)} (h_{p} (v, w), ξ) = g_{p} ({(A_{p})}_{ξ} (v), w) (v, w \in T_{p} M, ξ \in T_{p}^{⊥} M)

が成り立つことが示されるので,

h_{p}

の対称性より

{(A_{p})}_{ξ}

が

(T_{p} M, g_{p})

の対称変換であること，それゆえ，

{(A_{p})}_{ξ}

の固有ベクトルからなる

(T_{p} M, g_{p})

の正規直交基底が存在することがわかる。上式は, 次のように示される：

\begin{aligned} {\tilde{g}}_{f (p)} (h_{p} (v, w), ξ) & = {\tilde{g}}_{f (p)} ({({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y))}_{p} - d f_{p} ({(\nabla_{X} Y)}_{p}), ξ) \\ = {\tilde{g}}_{f (p)} ({({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} d f (Y))}_{p}, ξ) = - {\tilde{g}}_{f (p)} (d f_{p} (w), ({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} {\tilde{ξ}}_{p}) \\ = - {\tilde{g}}_{f (p)} (d f_{p} (w), - d f_{p} ({(A_{p})}_{ξ} (v))) = g_{p} (w, {(A_{p})}_{ξ} (v)) \end{aligned}

(ここで

X, Y

は,

X_{p} = v, Y_{p} = w

となる

X (M)

の元であり，

\tilde{ξ}

は

{\tilde{ξ}}_{p} = ξ

となる

x^{⊥} (M)

の元である).

{(A_{p})}_{ξ}

の固有ベクトルからなる

(T_{p} M, g_{p})

の正規直交基底を

(e_{1}, \dots, e_{n})

とし,

{(A_{p})}_{ξ} (e_{i}) = λ_{i} e_{i} (i = 1, \dots, n)

とするとき

\begin{aligned} (4.6.3) & {\tilde{g}}_{f (p)} (H_{p}, ξ) & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {\tilde{g}}_{f (p)} (h_{p} (e_{i}, e_{i}), ξ) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} g_{p} ({(A_{p})}_{ξ} (e_{i}), e_{i}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \end{aligned}

が成り立つことを注意しておく.

次に, リーマン部分多様体

(M, g)

の法接続を定義する.

\nabla^{⊥} ： X (M) \times

X^{⊥} (M) \to X^{⊥} (M)

を

{(\nabla^{⊥} (X, \tilde{ξ}))}_{p} := {pr}_{T_{f (p)}^{⊥}} ({({\tilde{\nabla}}_{X}^{f} \tilde{ξ})}_{p}) (X \in X (M), \tilde{ξ} \in X^{⊥} (M))

によって定義する。ただし,

{pr}_{T_{f (p)}^{⊥}}

は

T_{f (p)} \tilde{M}

から

T_{p}^{⊥} M

への直交射影を表す.

\nabla^{⊥}

は法ベクトルバンドル

T^{⊥} M

の接続になる.

\nabla^{⊥}

を、リーマン部分多様体

(M, g)

（または

f

) の法接続という。通常,

\nabla^{⊥} (X, \tilde{ξ})

は

\nabla \frac{X}{} \tilde{ξ}

と表される.

A

と

\nabla^{⊥}

の定義より,

\begin{matrix} (4.6.4) & {\tilde{\nabla}}_{X}^{f} \tilde{ξ} = - d f (A_{\tilde{ξ}} X) + \nabla_{X}^{⊥} \tilde{ξ} (X \in X (M), \tilde{ξ} \in X^{⊥} (M)) \end{matrix}

が成り立つ. この式は,

{\tilde{\nabla}}_{X}^{f} \tilde{ξ}

の接成分と法成分への直交分解を表す式である. 式(4.6.4)をワインガルテンの公式（Weingarten formula）という.

(\tilde{M}, \tilde{g})

内のはめ込まれたリーマン部分多様体

(M, g)

に対し,

k = \dim \tilde{M} -

\dim M

はその余次元とよばれる。特に, 余次元 1 のはめ込まれたリーマン部分多様体は,はめ込まれたリーマン超曲面 (immersed Riemannian hypersurface) とよばれる。

(M, g)

をによってはめ込まれた

(\tilde{M}, \tilde{g})

内の

n

次元リーマン超曲面とし，

A

をその形テンソル場とする。

M

上で大域的に定義される

C^{\infty}

級単位法べクトル場

N

が存在するとする. 例えば,

M, \tilde{M}

が向き付け可能ならば,

N

は存在する。このとき,

N

を用いて,

M

上の

(1, 1)

テンソル場

A

を

A_{p} := {(A_{p})}_{N_{p}} (p \in M)

により定義する.

A

をリーマン超曲面

(M, g)

（または

f

) の

N

に対する形作用素といい,

h^{S} := g (A (∙), ∙)

をリーマン超曲面

(M, g)

（または

f

）の

N

に対するスカラ一値第 2 基本形式（scalar-valued second fundamental form）といいう. また,

H := \frac{1}{n} Tr A

をリーマン超曲面

(M, g)

（または

f

) の

N

に対する平均曲率という．リーマン超曲面

(M, g)

の（法ベクトル値）第 2 基本形式

h

は

h = h^{S} \otimes N

と記述され, リーマン超曲面

(M, g)

の平均曲率ベクトル場

H

は

H = H N

と記述される.

次に,

f

によってはめ込まれた

(\tilde{M}, \tilde{g})

内のリーマン部分多様体

(M, g)

に対するガウスの方程式・コダッチの方程式・リッチの方程式について述べることにする。

\tilde{R}, R, R^{⊥}

を各々,

\tilde{\nabla}, \nabla, \nabla^{⊥}

の曲率テンソル場とする. 最初に, ガウスの方程式（Gauss equation）について述べる.

定理 4.6.1

\tilde{R}, R, h

の間に次の関係式が成り立つ：

\begin{aligned} \tilde{g} (\tilde{R} (d f (X), d f (Y)) d f (Z), d f (W)) \\ = & g (R (X, Y) Z, W) + \tilde{g} (h (X, Z), h (Y, W)) - \tilde{g} (h (X, W), h (Y, Z)) \\ (X, Y, Z, W \in X (M)) \end{aligned}

\nabla

と

\nabla^{⊥}

を用いて,

T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{⊥} M

の

C^{\infty}

切断

\bar{\nabla} h

を

\begin{array}{r} (\bar{\nabla} h)_{p} (v_{1}, v_{2}, v_{3}) := \nabla_{v_{1}}^{⊥} (h (X_{2}, X_{3})) - h_{p} (\nabla_{v_{1}} X_{2}, v_{3}) - h_{p} (v_{2}, \nabla_{v_{1}} X_{3}) \\ (p \in M, v_{i} \in T_{p} M (i = 1, 2, 3)) \end{array}

によって定義する. ここで,

X_{i} (i = 2, 3)

は,

{(X_{i})}_{p} = v_{i}

となる

X (M)

の元を表す. 以下,

(\bar{\nabla} h) (X, Y, Z)

を

({\bar{\nabla}}_{X} h) (Y, Z)

と表すことにする. 次

に, コダッチの方程式（Codazzi equation）を述べる.

定理 4.6.2

\tilde{R}

と

\bar{\nabla} h

の間に次の関係式が成り立つ：

\tilde{g} (\tilde{R} (d f (X), d f (Y)) d f (Z), \tilde{ξ}) = \tilde{g} (({\bar{\nabla}}_{X} h) (Y, Z), \tilde{ξ}) - \tilde{g} (({\bar{\nabla}}_{Y} h) (X, Z), \tilde{ξ})

(X, Y, Z \in X (M), \tilde{ξ} \in X^{⊥} (M))

特に,

(\tilde{M}, \tilde{g})

が定曲率空間の場合,

({\bar{\nabla}}_{X} h) (Y, Z) = ({\bar{\nabla}}_{Y} h) (X, Z) (X, Y, Z \in X (M))

が成り立つ.

次に, リッチの方程式（Ricci equation）について述べることにする.

定理 4.6.3

\tilde{R}, R^{⊥}, A

の間に次の関係式が成り立つ：

\tilde{g} (\tilde{R} (d f (X), d f (Y)) {\tilde{ξ}}_{1}, {\tilde{ξ}}_{2}) = \tilde{g} (R^{⊥} (X, Y) {\tilde{ξ}}_{1}, {\tilde{ξ}}_{2}) - g ([A_{{\tilde{ξ}}_{1}}, A_{{\tilde{ξ}}_{2}}] (X), Y)

(X, Y \in X (M), {\tilde{ξ}}_{1}, {\tilde{ξ}}_{2} \in X^{⊥} (M))

ここで,

[A_{{\tilde{ξ}}_{1}}, A_{{\tilde{ξ}}_{2}}]

は交換子積

A_{{\tilde{ξ}}_{1}} \circ A_{{\tilde{ξ}}_{2}} - A_{{\tilde{ξ}}_{2}} \circ A_{{\tilde{ξ}}_{1}}

を表す.

これらの定理の証明については,

[K o 8]

の 5.9 節を参照のこと.

次に, リーマン部分多様体の主曲率を定義する。

(M, g)

を

f

によってはめ込まれた

(\tilde{M}, \tilde{g})

内の

n

次元リーマン部分多様体とし,

A, H, \nabla^{⊥}

をその形テンソル場, 平均曲率ベクトル場, 法接続とする。法ベクトル

ξ \in T_{p}^{⊥} M

に対し,

{(A_{p})}_{ξ}

の固有値をリーマン部分多様体

(M, g)

の

ξ

に対する主曲率といい, その固有ベクトルを

(M, g)

の

ξ

に対する主曲率ベクトルという.

特に,

(\tilde{M}, \tilde{g})

が定曲率空間で, 法接続

\nabla^{⊥}

が平坦（つまり

R^{⊥} = 0 ） の

場合を考える. このとき, リッチの方程式と命題 4.3 .2 によれば,

[A_{{\tilde{ξ}}_{1}}, A_{{\tilde{ξ}}_{2}}] = 0 ({\tilde{ξ}}_{1}, {\tilde{ξ}}_{2} \in X^{⊥} (M))

が成り立つ, つまり,

{{(A_{p})}_{ξ}}_{ξ \in T_{p}^{⊥} M}

は対称変換の可換族になる。それゆえ,

{(A_{p})}_{ξ} (ξ \in T_{p}^{⊥} M)

は, ある正規直交基底に関して同時に対角化される，つまり, それらは

T_{p} M

の同時固有空間分解

\begin{matrix} T_{p} M = E_{1}^{p} \oplus \dots \oplus E_{l_{p}}^{p} \\ ({{(A_{p})}_{ξ} |}_{E_{i}^{p}} =^{\exists} λ_{ξ, i}^{p} {id}_{E_{i}^{p}} (i = 1, \dots, l_{p}, ξ \in T_{p}^{⊥} M)) \end{matrix}

を許容する. この事実の証明は, 線形代数の本を参照のこと.

T_{p}^{⊥} M

上の関数

{\hat{λ}}_{p, i} (i = 1, \dots, l_{p})

を

{\hat{λ}}_{p, i} (ξ) := λ_{ξ, i}^{p} (ξ \in T_{p}^{⊥} M)

にり定める. これらは,

T_{p}^{⊥} M

上の線形関数になることが示される。. 実際,

ξ_{1}, ξ_{2} \in T_{p}^{⊥} M

と

a, b \in R

に対し,

\begin{aligned} {{(A_{p})}_{a ξ_{1} + b ξ_{2}} |}_{E_{i}^{p}} = {\hat{λ}}_{p, i} (a ξ_{1} + b ξ_{2}) {id}_{E_{i}^{p}} \\ {{(A_{p})}_{a ξ_{1} + b ξ_{2}} |}_{E_{i}^{p}} = {a {(A_{p})}_{ξ_{1}} |}_{E_{i}^{p}} + {b {(A_{p})}_{ξ_{2}} |}_{E_{i}^{p}} = (a {\hat{λ}}_{p, i} (ξ_{1}) + b {\hat{λ}}_{p, i} (ξ_{2})) {id}_{E_{i}^{p}} \end{aligned}

が示され，それゆえ，

{\hat{λ}}_{p, i} (a ξ_{1} + b ξ_{2}) = a {\hat{λ}}_{p, i} (ξ_{1}) + b {\hat{λ}}_{p, i} (ξ_{2})

をえる.

{\hat{λ}}_{p, i} (i =

1, \dots, l_{p})

を, 平坦な法接続をもつリーマン部分多様体

(M, g)

の点

p

における主曲率という.

l_{p}

が

p \in M

によらず一定の場合を考える.

l := l_{p}

とおく. このとき,

(M, g)

を主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体という. 点

p

ごとに

E_{i}^{p} (i = 1, \dots, l)

を並べ替えることにより, 対応

p \mapsto E_{i}^{p} (i = 1, \dots, l)

が

C^{\infty}

級接分布を与えるようにすることができ，そのとき, 対応

{\hat{λ}}_{i} : p \mapsto {\hat{λ}}_{p, i} (p \in M)

は, 法ベクトルバンドル

T^{⊥} M

の双対バンドル

{(T^{⊥} M)}^{*}

の

C^{\infty}

級切断を与えることになる。これらの

C^{\infty}

切断

{\hat{λ}}_{i} (i = 1, \dots, l)

を, 主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体

(M, g)

の主曲率という．定曲率空間内の主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体で，主曲率の法接続に関する平行性を課したものとして, 等径部分多様体（isoparametric submanifold）という概念が

[Te 1]

において定義され，その後 [Te2] において，その無限次元版として, 可分なヒルベルト空間内で, 無限次元等径部分多様体という概念が定義された. さらに, [TT]において, リーマン対称空間（Riemannian symmetric space）とよばれる定曲率空間を一般化した空間内で，等径部分多様体の一般概念として，等焦部分多様体（equifocal submanifold）という概念が定義された。これらの部分多様体の平行族とよばれる族とその切断とよばれる族は, 極座標と同種の幾何学模様を与え, 興味深い研究対象として, R. S. Palais, C. L. Terng, G. Thorbergssonをはじめとする多くの微分幾何学者によって研究されている。これらの部分多様体のモデルは, 極作用とよばれるリ
一群作用の軌道として与えられる. これらの部分多様体の研究に興味のある方は, [Ch], [HL], [HLO], [Mo1], [Mo2], [PT], [Te1], [Te2], [TT], [Ko5], [Ko6]等を参照のこと. 特に, 等径超曲面（余次元 1 の等径部分多様体）に興味のある方は, [Ca1], [Ca2], [FKM], [Miy1]-[Miy4], [Mu1], [Mu2], [OT1], [OT2]等を参照のこと.

4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式

この節において, 向き付けられた

n

次元

C^{\infty}

多様体

(M, O)

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつコンパクト閉領域

D

から

(n + k)

次元

C^{\infty}

リーマン多様体

(\tilde{M}, \tilde{g})

への

C^{\infty}

はめ込み全体のなす集合上で体積汎関数を定義し，その第 1 変分公式と第 2 変分公式を導くことにする。

D

から

\tilde{M} へ の C^{\infty}

はめ込み写像全体のなす集合を

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

で表すことにする。この集合は、フレシェ多様体とよばれる無限次元多様体になり，

\tilde{g}

を用いて自然に定義されるリーマン計量

g_{L^{2}}

をもつ.

g_{L^{2}}

の定義を述べよう。そのために,

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

の点

f

における接空間

T_{f} {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

がどのように定義されるべきかを述べることにする。まず，

C^{\infty}

はめ达みの

C^{\infty}

変形を定義しょう.

f \in {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

に対し、Dから

\tilde{M}

への

C^{\infty}

はめ込みの 1 パラメーター族

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

で, 次の 2 条件を満たすものを考える：

(i)

F (p, t) := f_{t} (p) ((p, t) \in D \times (- ε, ε))

によって定義される写像

F

D \times (- ε, ε) \to \tilde{M}

は

C^{\infty}

写像である；

(ii)

f_{0} = f

このような族

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

（または

F ）

を

f

C^{\infty}

級変形

(C^{\infty}

-deformation）という. 以下,

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

と表す.

t \mapsto f_{t} (t \in (- ε, ε))

は

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

における

C^{\infty}

曲線とみなされるので,

f

の

C^{\infty}

級変形

F

に対し,

{(V_{F})}_{p} := d F_{(p, 0)} ({(\frac{\partial}{\partial t})}_{(p, 0)}) (\in T_{f (p)} \tilde{M}) (p \in D)

によって定義される

f

に沿う

C^{\infty}

ベクトル場

V_{F}

は,

C^{\infty}

曲線

t \mapsto f_{t}

の初速度とみなされ、それゆえ,

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

の点

f

における接空間

T_{f} {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

の元とみなされる.

V_{F}

は,

C^{\infty}

変形

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

の変分べクトル場とよばれる。特に,

{f_{t} |}_{\partial D} = {f |}_{\partial D} (t \in (- ε, ε))

であるとき, その変形を

f

の境界固定の

C^{\infty}

変形（boundary-fixed

C^{\infty}

-deformation of f）といい,

V_{F}

が

f

の法べクトル場であるとき, その変形を

f

の

C^{\infty}

級法変形

(C^{\infty}

-normal deformation of

f)

という。逆に,

f

に沿う

C^{\infty}

ベクトル場

V

が与えられたとき, 十分小さな正の数

ε

に対し，

V

を変分ベクトル場としてもつ

f

の

C^{\infty}

級変形

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

f_{t} (p) := \exp_{f (p)} (t V_{p}) ((p, t) \in D \times (- ε, ε))

によって定義することができる。したがって,

T_{f} {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

が,

f

に沿う

C^{\infty}

ベクトル場の全体

X_{f} (D, \tilde{M})

として定義されることがわかる. 接空間

T_{f} {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M}) = X_{f} (D, \tilde{M})

に与える内積

{(g_{L^{2}})}_{f}

は次のように定義される：

{(g_{L^{2}})}_{f} (X, Y) := \int_{D} {\tilde{g}}_{f (\cdot)} (X, Y) d V_{f^{*} \tilde{g}} (X, Y \in T_{f} {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M}))

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

の各点

f

に対し,

{(g_{L^{2}})}_{f}

を対応させる対応として,

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

の

C^{\infty}

リーマン計量

g_{L^{2}}

が定義される.

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

上の汎関数

Vol

を

Vol (f) := \int_{D} d V_{f^{*} \tilde{g}} (f \in {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M}))

によって定義する. この右辺の量は, リーマン多様体

(M, f^{*} \tilde{g})

の区分的に

C^{r}

級の境界をもつコンパクト閉領域

D

のリーマン体積とよばれるものなので，この汎関数は，体積汎関数（volume functional）とよばれる。ここで,関数ではなく汎関数という言葉を用いた理由は,

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

が写像空間（関数空間の一般化）であり，その上で定義される関数だからである．体積汎関数

Vol

の臨界点, つまり, Vol の

f

における微分

d {Vol}_{f}

が 0 になるような

C^{\infty}

はめ込み

f

を求めることは, 変分学の視点から重要である. そのために, 微分

d {Vol}_{f}

の積分表示式を与えることは重要であり,

Vol

の第 1 変分公式がそれに相当する.

f

の

C^{\infty}

変形

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

V_{F}

が

t \mapsto f_{t}

を

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

における

C^{\infty}

曲線とみたときの初速度なので,

d {Vol}_{f} (V_{F})

は,

d {Vol}_{f} (V_{F}) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t})

によって与えられる。以下,

r \geq 2

とする。

定理 4.7.1 （第 1 変分公式）

f

の

C^{\infty}

級変形

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

\begin{matrix} (4.7.1) & d {Vol}_{f} (V_{F}) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = \int_{D} ({div}_{g} {(V_{F})}_{T} - n \tilde{g} (H, V_{F})) d V_{g} \end{matrix}

が成り立つ. ここで,

g

は

f^{*} \tilde{g}

を表し,

H

は

f

の平均曲率ベクトル場を表す.特に,

M

が

C^{\infty}

閉多様体であるとき,

D

として

M

をとことができ, そのとき，

\begin{matrix} (4.7.2) & d {Vol}_{f} (V_{F}) = - n \int_{M} \tilde{g} (H, V_{F}) d V_{g} \end{matrix}

が成り立つ.

証明

g_{t} := f_{t}^{*} \tilde{g}

とおく.

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に関す

( g..

)

の第

(i, j)

余因子を

G_{i j}

と表すことにする. このとき, 行列式の展開と逆行列を求める公式により,

U

上で,

\begin{aligned} {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} d V_{g_{t}} = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} \sqrt{\det ({(g_{t})}_{i j})} d x_{1} \land \dots \land d x_{n} \end{aligned}

\begin{aligned} (4.7.3) & = {\frac{1}{2 \sqrt{\det (g . .)}} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} G_{i j} d x_{1} \land \dots \land d x_{n} \\ = {\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\sqrt{\det (g . .)}}{2} \frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} g^{i j} d x_{1} \land \dots \land d x_{n} \\ = {\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} g^{i j} d V_{g} \end{aligned}

が成り立つことが示される。一方,

\begin{aligned} {\frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} \tilde{g} (d f_{t} (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), d f_{t} (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ = & \tilde{g} ({({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial x_{i}})) |}_{t = 0}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ (4.7.4) & + \tilde{g} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) |}_{t = 0}) \\ = & \tilde{g} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} V_{F}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) + \tilde{g} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), {\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} V_{F}) \end{aligned}

をえる.

f

の第 2 基本形式, 形テンソル場を各々,

h, A

と表す. このとき,

\begin{aligned} \tilde{g} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} V_{F}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ (4.7.5) & = & g (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} {(V_{F})}_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) - g (A_{{(V_{F})}_{⊥}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) \\ = & g (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} {(V_{F})}_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) - \tilde{g} (h (\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}), {(V_{F})}_{⊥}) \end{aligned}

をえる. ここで,

{(V_{F})}_{⊥}

は

V_{F}

の法成分を表し,

{(V_{F})}_{T}

は,

d f ({(V_{F})}_{T})

が

V_{F}

の接成分になるような

D

の接ベクトル場を表す。式 (4.7.3), (4.7.4), (4.7.5) から,

U

上で

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} d V_{g_{t}} = ({div}_{g} {(V_{F})}_{T} - n \tilde{g} (H, V_{F})) d V_{g}

が成り立つことが導かれる。したがって,

(U, φ)

の任意性により,

D

上でこの関係式が成り立つことがわかる。この両辺を

D

上で積分し，微分と積分の順序交換を用いることにより,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = \int_{D} ({div}_{g} {(V_{F})}_{T} - n \tilde{g} (H, V_{F})) d V_{g}

をえる. 特に

M

が

C^{\infty}

閉多様体であるとき,

D = M

として, ガウスの発散定理（系 3.12.2）を用いることにより, 式 (4.7.2) が示される。

特に, 境界固定の

C^{\infty}

変形, または

C^{\infty}

法変形の場合に, 次の事実が導かれる。

系 4.7.2

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

f

の

{Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

における境界固定の

C^{\infty}

変形, または

C^{\infty}

法変形とする。このとき,

d {Vol}_{f} (V_{F}) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = - n \int_{D} \tilde{g} (H, V_{F}) d V_{g}

が成り立つ.

証明

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

が

C^{\infty}

法変形の場合,

{(V_{F})}_{T} = 0

となるので, 式 (4.7.1) から主張における関係式が導かれる。

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

が境界固定の

C^{\infty}

変形の場合を考えよう. この場合,

{{(V_{F})}_{T} |}_{\partial D} = 0

なので, ガウスの発散定理（定理 3.12.1) より,

\int_{D} {div}_{g} {(V_{F})}_{T} d V_{g} = \int_{\partial D} g ({(V_{F})}_{T}, N) d V_{ι^{*} g} = 0

が成り立つ. ここでしは,

\partial D

から

M

への包含写像を表し,

N

は

\partial D

の外側向きの単位法ベクトル場を表す。それゆえ，式(4.7.1)から主張における関係式が導かれる。

この系から, 次の事実が導かれる。

定理 4.7.3

f \in {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

とする. このとき, 次の 3 つの主張は同値である：

(i)

f

の任意の境界固定の

C^{\infty}

変形

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t})

= 0

が成り立つ；

(ii)

f

の任意の

C^{\infty}

法変形

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し，

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = 0

が成り立つ；

(iii)

{H |}_{D} = 0

が成り立つ.

特に

M

が

C^{\infty}

閉多様体であるとき,

D

として

M

をとることができる.

D = M

のとき, 次の 2 つの主張は同値である：

(iv)

f

の任意の

C^{\infty}

変形

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し，

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = 0

が成り立つ；

(v)

H = 0

が成り立つ.

証明 (iii)

\Rightarrow

(i), および (iii)

\Rightarrow

(ii) は, 系 4.7 .2 における変分公式から直接導かれる. (i)

\Rightarrow

(iii)を示そう.

ρ

を

{ρ |}_{\partial D} = 0, {ρ |}_{D ∖ \partial D} > 0

を満たす

D

上の

C^{\infty}

級関数とし,

f

の

C^{\infty}

変形

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

を

f_{t} (p) := \exp_{f (p)} (t ρ (p) H_{p}) (p \in D)

によって定義する. 明らかに, この

C^{\infty}

変形は

x

の境界固定の

C^{\infty}

変形になる。それゆえ，（i）を仮定しているので，

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = 0

となる。一方，この

C^{\infty}

変形の変分ベクトル場

V_{F}

が

V_{F} = {ρ H |}_{D}

によって与えられるので,系 4.7.2における変分公式より,

{\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = - n \int_{D} ρ \tilde{g} (H, H) d V_{g}

が示される. したがって,

\int_{D} ρ \tilde{g} (H, H) d V_{g} = 0

がえられ,

ρ

の任意性から

{H |}_{D} = 0

が導かれる. この

C^{\infty}

変形は,

C^{\infty}

法変形であり, 上述と同様の議論により, (ii)

\Rightarrow

(iii) が示される. 後半部も, 定理 4.7.1 の後半部の主張を用いて同様に示される.

注意この事実に基づいて,

H = 0

となるリーマン多様体へのはめ达みは、極小はめ込みとよばれるようになった。

次に, 体積沉関数 Vol の第 2 変分公式を述べるために,

T M, T^{⊥} M

, または

f^{*} T \tilde{M}

の

C^{\infty}

切断の空間からそれ自身への 5 つの作用素を定義しておこう.

g := f^{*} \tilde{g}

のリーマン接続を

\nabla

と表し,

f

の法接続を

\nabla^{⊥}

と表す．また，

\tilde{g}

の曲率テンソル場を

\tilde{R}

と表す．接ベクトルバンドル

T M

の

C^{\infty}

切断の空間

Γ^{\infty} (T M)

からそれ自身への 2 階の微分作用素

Δ

を

(Δ X)_{p} := \sum_{i = 1}^{n} ({(\nabla_{e_{i}} (\nabla_{e_{i}} X))}_{p} - (\nabla_{{\nabla_{e_{i} e_{i}} X)}_{p})} (X \in Γ^{\infty} (T M), p \in M)

((e_{1}, \dots, e_{n}) : p

の近傍上で定義された

g

に関する局所正規直交基底場）によって定義し,

f

の法ベクトルバンドルの

C^{\infty}

切断の空間

Γ^{\infty} (T^{⊥} M)

からそれ自身への 2 階の微分作用素

Δ^{⊥}

を

{(Δ^{⊥} ξ)}_{p} := \sum_{i = 1}^{n} ({(\nabla_{e_{i}}^{⊥} (\nabla_{e_{i}}^{⊥} ξ))}_{p} - {(\nabla_{\nabla_{e_{i}} e_{i}}^{⊥} ξ)}_{p}) (ξ \in Γ^{\infty} (T^{⊥} M), p \in M)

((e_{1}, \dots, e_{n})

：上と同様）によって定義する。また，

Γ^{\infty} (T^{⊥} M)

からそれ自身への線形作用素

A^{⊥}, R^{⊥}

を

\begin{array}{r} \tilde{g} (A^{⊥} (ξ_{1}), ξ_{2}) := - Tr (A_{ξ_{1}} \circ A_{ξ_{2}}), \tilde{g} (R^{⊥} (ξ_{1}), ξ_{2}) := - Tr {(\tilde{R} (d f (\cdot), ξ_{1}) ξ_{2})}_{T} \\ (ξ_{1}, ξ_{2} \in Γ^{\infty} (T^{⊥} M)) \end{array}

により定め,

Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M})

からそれ自身への線形作用素

R

を,

\tilde{g} (R (W_{1}), W_{2}) := - Tr {(\tilde{R} (d f (\cdot), W_{1}) W_{2})}_{T} (W_{1}, W_{2} \in Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M}))

によって定める.ここで,

(\tilde{R} (d f (\cdot), ∙) ∙)_{T}

は,

d f ((\tilde{R} (d f (\cdot), ∙)_{T})

が

\tilde{R} (d f (\cdot), ∙) ∙)

の接成分になるような

M

上のベクトル場を表す.

また, ファイバー計量

g_{E}

を備えたべクトルバンドル

E

に値をとる,

(M, g)

上の 2 次共変テンソル場同士の内積を定義しておこう。ここで, ファイバー計量とは,

M

の各点

p

に対し,

p

上のファイバー

E_{p}

の内積

{(g_{E})}_{p}

を対応させる対応

g_{E}

のことである。

M

上の

E

に值をとる

k

次共変テンソル場

S_{1}, S_{2}

(つまり

S_{1}, S_{2} \in Γ ((\otimes^{k} T^{*} M) \otimes E))

に対し，それらの内積

⟨ S_{1}, S_{2} ⟩

が

\begin{array}{r} ⟨ S_{1}, S_{2} ⟩ (p) := \sum_{i_{1} = 1}^{n} \dots \sum_{i_{k} = 1}^{n} {(g_{E})}_{p} ({(S_{1})}_{p} (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}}) {(S_{2})}_{p} (e_{i_{1}}, \dots, e_{i_{k}})) \\ (p \in M) \end{array}

（ e_{1}, \dots, e_{n})

は

(T_{p} M, g_{p})

の正規直交基底）によって定義され, 特に,

S_{1}

同士の内積の平方根

\sqrt{⟨ S_{1}, S_{1} ⟩}

は

‖ S_{1} ‖

と表される. また,

M

上の

(1, 1)

次テンソル場

{\hat{S}}_{1}, {\hat{S}}_{2}

に対し，それらの内積

⟨ {\hat{S}}_{1}, {\hat{S}}_{2} ⟩

が

⟨ {\hat{S}}_{1}, {\hat{S}}_{2} ⟩ := Tr ({\hat{S}}_{1} \circ {\hat{S}}_{2})

で定義され, 特に,

{\hat{S}}_{1}

同士の内積の平方根

\sqrt{⟨ {\hat{S}}_{1}, {\hat{S}}_{1} ⟩}

は

‖ {\hat{S}}_{1} ‖

と表される.

Vol

の臨界点

f

におけるヘッシアン

(H Vol)_{f}

は,

f

の任意の

C^{\infty}

変形

F =

{f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

(H Vol)_{f} (V_{F}, V_{F}) = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (f_{t})

が成り立つような

T_{f} {Imm}^{\infty} (M, \tilde{M})

上の対称 2 次共変テンソルとして定義される。

以下,

r \geq 3

とする.
定理 4.7.4（第 2 変分公式）

f \in {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

を Vol の臨界点とする. このとき,

f

の境界固定の

C^{\infty}

級変形

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

(H Vol)_{f} (V_{F}, V_{F}) = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = \int_{D} \tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F}) d v_{f^{*} \tilde{g}}

が成り立つ. ここで

\tilde{J}

は, 次式によって定義される

Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M})

からそれ自身への作用素を表す：

\begin{aligned} \tilde{g} (\tilde{J} (W_{1}), W_{2}) \\ = & - ({div}_{g} {(W_{1})}_{T}) ({div}_{g} {(W_{2})}_{T}) + g (Δ {(W_{1})}_{T}, {(W_{2})}_{T}) - \tilde{g} (Δ^{⊥} {(W_{1})}_{⊥}, W_{2}) \\ + \tilde{g} (A^{⊥} ({(W_{1})}_{⊥}), W_{2}) + \tilde{g} (R (W_{1}), W_{2}) + ⟨ h ({(W_{1})}_{T}, \cdot), h ({(W_{2})}_{T}, \dots) ⟩ \\ + 2 ⟨ h (\cdot, {(W_{1})}_{T}), \nabla^{⊥} {(W_{2})}_{⊥} ⟩ + 2 ⟨ A_{{(W_{1})}_{⊥}}, \nabla {(W_{2})}_{T} ⟩ \\ (W_{1}, W_{2} \in Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M})) \end{aligned}

証明

g := f^{*} \tilde{g}, g_{t} := f_{t}^{*} \tilde{g}

とおく.

M

の局所チャート

(U, φ = (x_{1}, \dots, x_{n}))

に関する

g_{t}

の成分を

{(g_{t})}_{i j}

, 行列

((g_{t}) . .)

の逆行列を

(g_{t}^{∙})

と表し, 行列

((g_{t}) . .)

の第

(i, j)

余因子を

{(G_{t})}_{i j}

と表す. また,

{(V_{F})}_{t_{0}} (t_{0} \in (- ε, ε))

を

{({(V_{F})}_{t_{0}})}_{p} := d F_{(p, t_{0})} ({(\frac{\partial}{\partial t})}_{(p, t_{0})}) (p \in M)

によって定義する. このとき,

\begin{aligned} {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} d V_{g_{t}} \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} (\frac{1}{2 \sqrt{\det ((g_{t}) \dots)}} \\ \times \sum_{j = 1}^{n} | \begin{array}{ccccc} {(g_{t})}_{11} & \dots & \frac{d {(g_{t})}_{1 j}}{d t} & \dots & {(g_{t})}_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ {(g_{t})}_{n 1} & \dots & \frac{d {(g_{t})}_{n j}}{d t} & \dots & {(g_{t})}_{n n} \end{array} | d x_{1} \land \dots \land d x_{n}) \end{aligned}

\begin{aligned} = - \frac{1}{4} \frac{1}{(\sqrt{\det (g . .)})^{3}} \end{aligned}

\begin{aligned} + \frac{1}{\sqrt{\det (g . .)}} \end{aligned}

が示される. 定理 4.7.1の証明中の計算によれば,

（式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目

) = - {({div}_{g} V_{T} - n \tilde{g} (H, V))}^{2} d V_{g}

をえる. それゆえ,

f

は極小はめ込み, つまり

H = 0

なので,

\begin{matrix} (4.7.7) & (式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目 ) = - {({div}_{g} V_{T})}^{2} d V_{g} \end{matrix}

をえる。

次に, 式 (4.7.6) の最終辺の第 3 項目を計算しよう.

\tilde{\nabla}

が捩れ0 の接続であることと

\tilde{R}

の定義から,

\begin{aligned} {\frac{d^{2} {(g_{t})}_{i j}}{d t^{2}} |}_{t = 0} = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} \tilde{g} (d f_{t} (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), d f_{t} (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ = & \tilde{g} ({({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial x_{i}}))) |}_{t = 0}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ + \tilde{g} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial x_{j}}))) |}_{t = 0}) \end{aligned}

\begin{aligned} + 2 \tilde{g} ({({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial x_{i}})) |}_{t = 0}, {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) |}_{t = 0}) \\ = & \tilde{g} ({({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial t}))) |}_{t = 0}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ - \tilde{g} (\tilde{R} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), V_{F}) V_{F}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) \\ + \tilde{g} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial t}))) |}_{t = 0}) \\ - \tilde{g} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), \tilde{R} (d F (\frac{\partial}{\partial x_{j}}), V_{F}) V_{F}) \\ + 2 \tilde{g} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} V_{F}, {\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} V_{F}) \end{aligned}

が導かれる. この式を用いて,

(式 (4.7.6) の最終辺の第 3 項目)

\begin{aligned} = & {\frac{1}{2 \sqrt{\det (g . .)}} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{d^{2} {(g_{t})}_{i j}}{d t^{2}} |}_{t = 0} G_{i j} d x_{1} \land \dots \land d x_{n} \\ = & {\frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{d^{2} {(g_{t})}_{i j}}{d t^{2}} |}_{t = 0} g^{i j} d V_{g} \\ = & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \tilde{g} ({({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F_{0}} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial t}))) |}_{t = 0}, d F (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) g^{i j} d V_{g} \\ - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \tilde{g} (\tilde{R} (d f (\frac{\partial}{\partial x_{i}}), V_{F}) V_{F}, d f (\frac{\partial}{\partial x_{j}})) g^{i j} d V_{g} \\ + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \tilde{g} ({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} V_{F}, {\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} V_{F}) g^{i j} d V_{g} \\ = & div_{g} ({({({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial t})) |}_{t = 0})}_{T}) d V_{g} - n \tilde{g} (H, {({\tilde{\nabla}}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F (\frac{\partial}{\partial t})) |}_{t = 0}) d V_{g} \\ (4.7.8) & + g (R (V_{F}), V_{F}) d V_{g} + {‖ {\tilde{\nabla}}^{F} V_{F} ‖}^{2} d V_{g} \end{aligned}

が導かれる. この式の最終辺の最終項は, ガウスの公式とワインガルテンの公式を用いて, 次のように変形される：

\begin{aligned} {‖ {\tilde{\nabla}}^{F} V_{F} ‖}^{2} = & {‖ \nabla {(V_{F})}_{T} ‖}^{2} + {‖ A_{{(V_{F})}_{⊥}} ‖}^{2} + {‖ \nabla^{⊥} {(V_{F})}_{⊥} ‖}^{2} + {‖ h ({(V_{F})}_{T}, \cdot) ‖}^{2} \\ (4.7.9) & - 2 ⟨ \nabla {(V_{F})}_{T}, A_{{(V_{F})}_{⊥}} ⟩ + 2 ⟨ h (\cdot, {(V_{F})}_{T}), \nabla^{⊥} {(V_{F})}_{⊥} ⟩ \end{aligned}

さらに,

\begin{aligned} {‖ \nabla {(V_{F})}_{T} ‖}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} g (\nabla_{e_{i}} {(V_{F})}_{T}, \nabla_{e_{i}} {(V_{F})}_{T}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{1}{2} e_{i} (e_{i} (g ({(V_{F})}_{T}, {(V_{F})}_{T})) - g (\nabla_{e_{i}} (\nabla_{e_{i}} {(V_{F})}_{T}), {(V_{F})}_{T})) \\ (4.7.10) & = \frac{1}{2} Δ_{g} (g ({(V_{F})}_{T}, {(V_{F})}_{T})) - g (Δ_{g} {(V_{F})}_{T}, {(V_{F})}_{T}) \end{aligned}

が示され, 同様に,

\begin{matrix} (4.7.11) & {‖ \nabla^{⊥} {(V_{F})}_{⊥} ‖}^{2} = \frac{1}{2} Δ^{⊥} (\tilde{g} ({(V_{F})}_{⊥}, {(V_{F})}_{⊥})) - g (Δ^{⊥} {(V_{F})}_{⊥}, V_{F}) \end{matrix}

が示される.

次に, 式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目を計算しよう。単純計算により,

(式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目)

\begin{aligned} = - \frac{1}{2} \sum_{j_{1} = 1}^{n} \sum_{j_{2} = 1}^{n} \sum_{k_{1} = 1}^{n} \sum_{k_{2} = 1}^{n} ({\frac{d {(g_{t})}_{k_{1} j_{1}}}{d t} |}_{t = 0}) ({\frac{d {(g_{t})}_{k_{2} j_{2}}}{d t} |}_{t = 0}) g^{k_{1} k_{2}} g^{j_{1} j_{2}} d V_{g} \\ (4.7.12) & = - \frac{1}{2} {‖ {\frac{d (g_{t}) . .}{d t} |}_{t = 0} ‖}^{2} d V_{g} \end{aligned}

をえる。一方, 式

(4.7 .4), (4.7 .5)

から,

\begin{aligned} (4.7.13) & {\frac{d {(g_{t})}_{i j}}{d t} |}_{t = 0} = & \tilde{g} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} {(V_{F})}_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) + \tilde{g} (\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} {(V_{F})}_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{i}}) \\ - 2 g (A_{{(V_{F})}_{⊥}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}) \end{aligned}

が導かれる。式 (4.7.13) を式 (4.7.12) に代入して,

(式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目)

\begin{matrix} (4.7.14) & = - 2 ({‖ \nabla {(V_{F})}_{T} ‖}^{2} + {‖ A_{{(V_{F})}_{⊥}} ‖}^{2} - 2 ⟨ \nabla {(V_{F})}_{T}, A_{{(V_{F})}_{⊥}} ⟩) d V_{g} \end{matrix}

をえる。式 (4.7.7)-(4.7.11), および式 (4.7.14) を式 (4.7.6) へ代入して, その両辺を

D

上で積分し, ガウスの発散定理（定理 3.12.1）を用いることにより,主張における第 2 変分公式が導かれる.

定理2.6.4における第 2 変分公式 (2.6.13) と比較してみよう. まず, 式 (2.6.13) の被積分関数の項

{‖ A (V_{T}) ‖}^{2}

が,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

のどの項に相当するか説明することにする.

\begin{aligned} {‖ A (V_{T}) ‖}^{2} (p) & = (\sum_{i = 1}^{n} (A_{p} ({(V_{T})}_{p}) \cdot e_{i}) e_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{n} (A_{p} ({(V_{T})}_{p}) \cdot e_{j}) e_{j}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} {(A_{p} ({(V_{T})}_{p}) \cdot e_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} h_{p} {({(V_{T})}_{p}, e_{i})}^{2} \\ = ⟨ h (V_{T}, \cdot), h (V_{T}, \cdot) ⟩ (p) \end{aligned}

((e_{1}, \dots, e_{n})

は

(T_{p} S, g_{p})

の正規直交基底）となるので, 項

{‖ A (V_{T}) ‖}^{2}

は,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

の項

⟨ h ({(V_{F})}_{T}, \cdot), h ({(V_{F})}_{T}, \cdot) ⟩

に相当することがわかる.

次に, 式 (2.6.13)の被積分関数の項

{‖ \nabla V_{T} ‖}^{2}

が,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

のどの項に相当するか説明することにする。

{‖ \nabla V_{T} ‖}^{2} = \frac{1}{2} Δ ({‖ V_{T} ‖}^{2}) - (Δ V_{T}) \cdot V_{T}

となり,

S

が閉超曲面の場合

\int_{S} Δ ({‖ V_{T} ‖}^{2}) d V_{g} = 0

となるので, 項

{‖ \nabla V_{T} ‖}^{2}

は,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

の項

g (Δ {(V_{F})}_{T}, {(V_{F})}_{T})

に相当することがわかる.

式 (2.6.13) の被積分関数の項

2 (V \cdot N) Tr (A \circ \nabla V_{T})

が,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

の項

2 ⟨ A_{{(V_{F})}_{⊥}}, \nabla {(V_{F})}_{T} ⟩

に相当することは明らかである.

次に, 式 (2.6.13) の被積分関数の項

2 {grad}_{g} (V \cdot N) \cdot A (V_{T})

が,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F})

V_{F})

のどの項に相当するのかをみよう.

{{grad}_{g} (V \cdot N) \cdot A (V_{T}))}_{p} = {(d (V \cdot N) (A (V_{T})))}_{p}

\begin{aligned} = {(A (V_{T}) (V_{⊥} \cdot N))}_{p} = {((\nabla_{A (V_{T})}^{⊥} V_{⊥}) \cdot N)}_{p} \\ = (\nabla_{\sum_{i = 1}^{n} (A_{p} ({(V_{T})}_{p}) \cdot e_{i}) e_{i}}^{⊥} V_{⊥}) \cdot N_{p} = \sum_{i = 1}^{n} (A_{p} ({(V_{T})}_{p}) \cdot e_{i}) ((\nabla_{e_{i}}^{⊥} V_{⊥}) \cdot N_{p}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} h_{p} ({(V_{T})}_{p}, e_{i}) ((\nabla_{e_{i}}^{⊥} V_{⊥}) \cdot N_{p}) \end{aligned}

（ (e_{1}, \dots, e_{n})

は

(T_{p} S, g_{p})

の正規直交基底）となるので, 項

2 {grad}_{g} (V \cdot N)

A (V_{T})

は,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

の項

2 ⟨ h (\cdot, {(V_{F})}_{T}), \nabla^{⊥} {(V_{F})}_{⊥} ⟩

に相当することがわかる。

式 (2.6.13)の被積分関数の項

- (V \cdot N)^{2} ‖ A ‖^{2}

が,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

の項

\tilde{g} (A^{⊥} ({(V_{F})}_{⊥}), V_{F})

に相当することは明らかである.

次に, 式 (2.6.13)の被積分関数の項

{‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}

が,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

のどの項に相当するのかをみよう.

\begin{aligned} {‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2} (p) & = \sum_{i = 1}^{n} {({({grad}_{g} (V \cdot N))}_{p} \cdot e_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} {(e_{i} (V_{⊥} \cdot N))}^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{n} {((\nabla_{e_{i}}^{⊥} V_{⊥}) \cdot N)}^{2} = {‖ \nabla^{⊥} V_{⊥} ‖}^{2} \\ = \frac{1}{2} Δ ({‖ V_{⊥} ‖}^{2}) - (Δ^{⊥} V_{⊥}) \cdot V_{⊥} \end{aligned}

((e_{1}, \dots, e_{n})

は

(T_{p} S, g_{p})

の正規直交基底）となり,

S

が閉超曲面の場合,

\int_{S} Δ ({‖ V_{⊥} ‖}^{2}) d V_{g} = 0

となるので, 項

{‖ {grad}_{g} (V \cdot N) ‖}^{2}

は,

\tilde{g} (\tilde{J} (V_{F}), V_{F})

の項

- \tilde{g} (Δ^{⊥} {(V_{F})}_{⊥}, V_{F})

に相当することがわかる.

このように, 定理 4.7.4における第 2 変分公式は, 定理 2.6 .4 における第 2 変分公式の一般化であることがわかる.

さらに,

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

が

C^{\infty}

法変形でもある場合に, 次のサイモンズの定理（Simons' theorem）が導かれる。

定理 4.7.5（サイモンズの定理）

f \in {Imm}^{\infty} (D, \tilde{M})

を

Vol

の臨界点とする. このとき,

f

の境界固定の

C^{\infty}

級法変形

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

(H Vol)_{f} (V_{F}, V_{F}) = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = \int_{D} \tilde{g} (J ({(V_{F})}_{⊥}), V_{F}) d v_{f^{*} \tilde{g}}

が成り立つ. ここで

J

は,

J := - Δ^{⊥} + R^{⊥} + A^{⊥}

にって定義される

erator）とよばれる). 特に

M

が

C^{\infty}

閉多様体であるとき,

D

として

M

をとることができ,

f

の

C^{\infty}

級法変形

F = {f_{t}}_{t \in (- ε, ε)}

に対し,

(H Vol)_{f} (V_{F}, V_{F}) = {\frac{d^{2}}{d t^{2}} |}_{t = 0} Vol (f_{t}) = \int_{M} \tilde{g} (J ({(V_{F})}_{⊥}), V_{F}) d v_{f^{*} \tilde{g}}

が成り立つ.

注意

f

が極小はめ込み, つまり, Vol の臨界点であるとき, Volの

f

におけるへッシアン

H {Vol}_{f} : Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M}) \times Γ^{\infty} (f^{*} T \tilde{M}) \to R

の指数は, 極小はめ込み

f

の指数（the index of the minimal immersion

f

) とよばれる. ここで

H {Vol}_{f}

の指数は, その

Γ^{\infty} (T^{⊥} M) \times Γ^{\infty} (T^{⊥} M)

への制限の指数と一致し, 必ず有限値をとる。

f

が真に体積極小であるためには, その指数が 0 でなければならない。極小はめ込み

f

の指数が 0 であるとき,

f

は安定（stable）であるという（図 4.7.1, 4.7.2を参照）サイモンズの定理によれば, 極小はめ込み

f

の指数を求めるには, ヤコビ作用素

J

の負の固有値の重複度の和を求めればよいことがわかる。極小はめ込みの指数・安定性の研究は, 多くの微分幾何学者により研究されている. 例えば, 球面, 複素グラスマン多様体をはじめとするコンパクト型対称空間とよばれるリーマン多様体上のある種のリー群作用の軌道として与えられる極小部分多様体（正確には，その包含写像）の指数を計算するための公式が, コンパクトリー群の複素既約表現に関する理論を用いて与えらている。さらに, その公式を用いて, そのような軌道として与えられる極小部分多様体の安定性, および具体的な指数の値が調べられている（[Ik], [Ki], [KT], [Ta], [Oh1], [Oh2], [Ko3],

[K o 4]

等を参照).

この節の終わりに,

- Vol

の勾配流について述べておくことにしよう. 以下,

M

は

n

次元

C^{\infty}

閉多様体とする. Vol :

{Imm}^{\infty} (M, \tilde{M}) \to R

の勾配べクトル場

gradVol

(これは

{Imm}^{\infty} (M, \tilde{M})

上のベクトル場）が

\begin{matrix} d {Vol}_{f} (X) = {(g_{L^{2}})}_{f} ((gradVol)_{f}, X) \\ (\forall f \in {Imm}^{\infty} (M, \tilde{M}), \forall X \in T_{f} {Imm}^{\infty} (M, \tilde{M})) \end{matrix}

によって定義され（この存在は明らかではない）, これを用いて,

- Vol

の勾配流（gradient flow）が

\frac{\partial f_{t}}{\partial t} = - (grad Vol)_{f_{t}}

を満たす

{Imm}^{\infty} (M, \tilde{M})

内の

図 4.7.1極小はめ込みの安定性と平均曲率流

f_{1} :

安定な極小はめ込み

f_{2}

: 安定でない極小はめ込み

図 4.7.2 安定な極小はめ込みと安定でない極小はめ込みの例

C^{\infty}

曲線

t \mapsto f_{t}

（つまり,

C^{\infty}

級はめ込み写像の

C^{\infty}

級族

{f_{t}}_{t} ）

たちを流線としてもつ流れとして定義される。実は,

(gradVol)_{f_{t}}

は

f_{t}

の平均曲率べクトル場

H_{t}

の

(- n)

倍と一致することが示され, 上述の定義式は

\frac{\partial f_{t}}{\partial t} = n H_{t}

と書き直すことができる。つまりこの流れは, 各時刻

t

にいて,

f_{t} (M)

上の各点

f_{t} (p)

が

n {(H_{t})}_{p}

方向へ流れる流れである. この事実から, この勾配流は平均曲率流（mean curvature flow）とよばれる（図 4.7.1 を参照）。それゆえ,

f \in {Imm}^{\infty} (M, \tilde{M})

を発する平均曲率流が有限時間で特異点を生じずに無限時間まで存在する場合，無限時間において Vol の臨界点である極小はめ达みに収束することが期待される。有限時間で特異点を生じてしまう場合は, その特異点の構造を分析した上で, その寸前で適切な手術をして, 再び平均曲率流で流す。再び有限時間で特異点を生じてしまう場合は, その寸前で適切な
手術をして, 再び平均曲率流で流す。この手術を有限回繰り返すことにより,無限時間まで存在する平均曲率流に辿り着き, 無限時間において, 極小はめ込みを発見することができることが期待される。このように、極小はめ込みの発見において, 平均曲率流（および手術付き平均曲率流）は強力な道具となる.平均曲率流を微分幾何学の視点から本格的に学びたい人は,

[K o 7]

を読むことを打勧めする。

\overset{―}{CHAPTER}

微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理

この章の前半部では, はじめに, 位相空間の特異コホモロジー群, CW 分割可能な位相空間の CW コホモロジー群, および, 多様体のド・ラームコホモロジー群を定義する。次に,“閉多様体のド・ラームコホモロジー群がその特異コホモロジー群と同型になること”を主張するド・ラームの定理を証明する. 後半部ではまず,閉多様体上のモース関数の臨界点の指数の情報から, その閉多様体とホモトピー同値な CW 複体を構成できることを主張する, モースの基本定理の厳密な証明を与える。さらにこの定理から、その閉多様体上のモース関数の偶数指数の臨界点の個数から奇数指数の臨界点の個数を引いた倡が, その閉多様体のオイラー標数に等しくなるという事実を導く. 次に, 第 2 章で述べた閉曲面に対するガウス・ボンネの定理（閉曲面のオイラー標数の積分表示公式）に相当する事実が, より一般に, ユークリッド空間内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対しても成り立つことを証明する。この証明は，外のユークリッド空間の各単位ベクトルに対する高さ関数たちに上述のモースの基本定理から導かれる事実を適用し，ガウス写像の微分を計算することにより遂行される。さらに, 球面内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理を証明する。この証明は, 球面の各点からの 2 乗距離関数に上述のモースの基本定理から導かれる事実を適用し，法指数写像の微分を計算することにより遂行される.

5.1 特異コホモロジー群, $CW$ コホモロジー群, ド・ラームコホモロジー群

この節において, まず, ホモロジー代数学の範疇で抽象的に定義されるチエイン複体, コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義されるホモロジ
一群, コホモロジー群について説明する。次に,一般の位相空間に対して定義される特異チェイン複体, 特異コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義される特異ホモロジー群, 特異コホモロジー群について説明する. また,

C

性と

W

性とよばれる 2 つの性質を満たす胞体分割可能な位相空間に対して定義される CWチェイン複体,

CW

コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義される CW ホモロジー群, CW コホモロジー群について説明する。さらに, 閉多様体に対して定義されるド・ラームコチェイン複体, それに付随して定義されるド・ラームコホモロジー群について説明する.

はじめに, ホモロジー代数学の範疇で抽象的に定義されるチェイン複体, コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義されるホモロジー群, コホモロジー群について説明する。

F

を環とする。.

F

加群間の

F

準同型写像の系列

C : \dots \overset{\partial_{k + 1}}{\to} C_{k} \overset{\partial_{k}}{\to} C_{k - 1} \overset{\partial_{k - 1}}{\to} \dots \overset{\partial_{3}}{\to} C_{2} \overset{\partial_{2}}{\to} C_{1} \overset{\partial_{1}}{\to} C_{0} \overset{0}{\to} {0}

が,

\partial_{k - 1} \circ \partial_{k} = 0 （ k \in N ）

を満たすとき, この系列

C

をチェイン複体 (chain complex) という.

Z_{k} (C) := {c \in C_{k} ∣ \partial_{k} (c) = 0}, B_{k} (C) := {\partial_{k + 1} (c) ∣ c \in C_{k + 1}}

とおく.

C_{k}

は

k

次チェイン群（

k -

chain group）とよばれ, その各元は

k

\partial_{k} = 0 (k \in N)

が成り立つので,

B_{k} (C)

が

Z_{k} (C)

の部分

F

加群であることが示され, 商

F

加群

Z_{k} (C) / B_{k} (C)

は, チェイン複体

C

の

k

次ホモロジー群 (k-th homology group) とよばれ,

H_{k} (C)

と表される.

同様に,

F

加群間の

F

準同型写像の系列

\hat{C} : {0} \overset{0}{\to} C^{0} \overset{δ_{0}}{\to} C^{1} \overset{δ_{1}}{\to} C^{2} \overset{δ_{2}}{\to} \dots \overset{\partial_{k - 1}}{\to} C^{k} \overset{δ_{k}}{\to} C^{k + 1} \overset{δ_{k + 1}}{\to} \dots

が,

δ_{k} \circ δ_{k - 1} = 0 （ k \in N ）

を満たすとき, この系列

\hat{C}

をコチェイン複体 (cochain complex) という.

Z^{k} (\hat{C}) := {ρ \in C^{k} ∣ δ_{k} (ρ) = 0}, B^{k} (\hat{C}) := {δ_{k - 1} (ρ) ∣ ρ \in {\hat{C}}^{k - 1}}

とおく.

C^{k}

は

k

次コチェイン群（k-cochain group）とよばれ, その各元

は

k

コチェイン（

k

-cochain）とよばれる。また,

Z^{k} (\hat{C})

の各元は

k

余輪体

よばれる.

δ_{k} \circ δ_{k - 1} = 0 (k \in N)

が成り立つので,

B^{k} (\hat{C})

が

Z^{k} (\hat{C})

の部分

F

加群であることが示され, 商

F

加群

Z^{k} (\hat{C}) / B^{k} (\hat{C})

は, コチエイン複体

\hat{C}

の

k

次コホモロジー群（k-th cohomology group）とよばれ,

H^{k} (\hat{C})

と表される。

次に, 位相空間の特異ホモロジー群・特異コホモロジー群を定義しよう.

X

を位相空間とし，花を環とする。

Δ^{k} := {(x_{0}, \dots, x_{k}) \in R^{k + 1} ∣ \sum_{i = 1}^{k + 1} x_{i} = 1, x_{i} \geq 0 (i = 1, \dots, k + 1)}

とおく. これを標準

k

単体（standard

k

-simplex）といい,

△^{k}

から

X へ

の連続写像

σ

を，Xにおける特異

k

単体（singular

k

-simplex）という.特異

k

単体の形式的有限和

c := \sum_{i = 1}^{r} a_{i} σ_{i}

(

σ_{i} : X

における特異

k

単体,

a_{i} \in

F

) を一般に，

X

における

F

係数の特異

k

チェイン（singular

k

-chain of

F

-coefficient）という。

X

における

F

係数の特異

k

チェインの全体がなす自由加群を

C_{k} (X, F)

と表し,

X

の

F

係数

k

次特異チェイン群（

k - th

singular chain group of

F

-coefficient) という.

ε_{i}^{k} : △_{k - 1} \to △_{k}

を

\begin{array}{r} ε_{i}^{k} (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k - 1}) := (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{i - 1}, 0, x_{i}, \dots, x_{k - 1}) \\ ((x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k - 1}) \in △_{k - 1}) \end{array}

によって定義し, 特異

k

単体

σ

に対し, 特異

(k - 1)

単体

\partial_{k} (σ)

を

\partial_{k} (σ) := \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} (σ \circ ε_{i}^{k})

により定義する（図 5.1.1 を参照）。これを

σ

の境界（the boundary of

σ

) という.

F

準同型写像

\partial_{k} : C_{k} (X, F) \to C_{k - 1} (X, F)

を

\partial_{k} (c) := \sum_{i = 1}^{r} a_{i} \partial_{k} (σ_{i}) (c = \sum_{i = 1}^{r} a_{i} σ_{i} \in C_{k} (X, F))

図 5.1.1特異チェインとその境界

によって定義する。この

F

準同型写像

\partial_{k}

を境界作用素（boundary operator）という.このとき容易に,

\partial_{k - 1} \circ \partial_{k} = 0

が示され，それゆえ、

\begin{aligned} \dots \overset{\partial_{k + 1}}{\to} C_{k} (X, F) \overset{\partial_{k}}{\to} C_{k - 1} (X, F) \overset{\partial_{k - 1}}{\to} \dots \\ \dots \overset{\partial_{3}}{\to} C_{2} (X, F) \overset{\partial_{2}}{\to} C_{1} (X, F) \overset{\partial_{1}}{\to} C_{0} (X, F) \overset{0}{\to} {0} \end{aligned}

はチエイン複体を与える. このチェイン複体の

k

次ホモロジー群を

X

の

F

係数の

k

次特異ホモロジー群

(k

-th singular homology group of

F

coefficient）といい, 本書では,

H_{k}^{sing} (X, F)

と表す。以下, 非負の各整数

k

に対し,

H_{k}^{sing} (X, F)

が

F

加群として有限生成であるとする. このとき, 2.9 節で述べたように,

F

加群

H_{k}^{sing} (X, F)

の階数（この定義については 2.9 節を参照のこと）を，Xの

k

次ベッチ数といい，

b_{k} (X)

と表す. また，それらの交代和

\sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} b_{k} (X)

を

X

のオイラー標数といい,

χ (X)

と表す. ここで

F

が体のとき,

H_{k}^{sing} (X, F)

の階数は, その

F

係数のベクトル空間としての次元に等しいことを注意しておく。特に

X

がコンパクトならば, すべての非負の
整数

k

に対し,

H_{k}^{sing} (X, Z)

は有限生成になり, そのオイラー標数が定義される. また，奇数次元閉多様体のオイラー標数は 0 になることが知られている. この事実は，5.6 節で述べる偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネの定理が, なぜ, 偶数次元の場合に限定されているのかを示唆することになるであろう.

次に, 特異コホモロジー群を定義しよう。

C_{k} (X, F)

の双対空間，つまり、

C_{k} (X, F)

から

F

への

F

準同型写像全体のなす

F

加群

C_{k} (X, F)^{*}

を

C^{k} (X, F)

と表す.

F

準同型写像

δ_{k} : C^{k} (X, F) \to C^{k + 1} (X, F)

を

δ_{k} = ρ \circ \partial_{k + 1}

によって定義する. この

F

準同型写像

δ_{k}

を余境界作用素（coboundary operator）という. このとき, 容易に

δ_{k} \circ δ_{k - 1} = 0

が示され, それゆえ,

\begin{aligned} {0} \overset{δ_{0}}{\to} C^{1} (X, F) \overset{δ_{1}}{\to} C^{2} (X, F) \overset{δ_{2}}{\to} \dots \\ \dots \overset{δ_{k - 1}}{\to} C^{k} (X, F) \overset{δ_{k}}{\to} C^{k + 1} (X, F) \overset{δ_{k + 1}}{\to} \dots \end{aligned}

は、コチエイン複体を与える. このコチェイン複体の

k

次コホモロジー群を

group of

F

-coefficient）といい, 本書では,

H_{sing}^{k} (X, F)

と表す. ここで,

ρ \in C^{k} (X, F)

は, 形式的無限和

\sum_{σ} ρ (σ) σ

と同一視されることに注意する. ここで

\sum_{σ}

は,

σ

が

X

の

k

次特異単体全体からなる集合上を動き回る範囲で和をとることを意味する。このように,

C_{k} (X, F)

は,

C^{k} (X, F)

の部分

F

加群とみなさるる。この事実から, 特異ホモロジー群

H_{k}^{sing} (X, F)

と特異コホモロジー群

H_{sing}^{k} (X, F)

の違いを認識してもらえるであろう.

次に, CW 性を満たす胞体分割可能な位相空間の CW ホモロジー群を定義しよう.

X

をハウスドルフ位相空間とし，

F

を環とする.

\begin{aligned} D^{k} := {(x_{1}, \dots, x_{k}) \in R^{k} ∣ \sum_{i = 1} x_{i}^{2} \leq 1} \\ {\overset{`}{D}}^{k} := {(x_{1}, \dots, x_{k}) \in R^{k} ∣ \sum_{i = 1} x_{i}^{2} < 1} \\ \partial D^{k} := {(x_{1}, \dots, x_{k}) \in R^{k} ∣ \sum_{i = 1} x_{i}^{2} = 1} \end{aligned}

(k \geq 1)

とし,

D^{0} = D^{0} = {0}, \partial D^{0} = \emptyset

とする.

σ

が

D^{k}

から

X

への連続写像で,

σ

の

D^{k}

への制限

{σ |}_{D^{k}}

が

D^{k}

から

X

の部分位相空間

e := σ (D^{k})

への同相写像を与えるようなものであるとき,

e

(または組

(e, σ) ）

k

胞体

k

はその次元とよばれ,

\dim e

と表される。

σ (D^{k})

は,

e

の

X

における閉包

\bar{e}

と一致することが,“ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である” という事実を用いて容易に示される。組

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

が次の 3 条件を満たすとする：

(i) 各

λ \in Λ

に対し,

(e_{λ}, σ_{λ})

は

X

における胞体である；

(ii)

X = \underset{λ \in Λ}{⨿} e_{λ}

（直和）が成り立つ;

(iii)

k_{λ} := \dim e_{λ} (λ \in Λ

) とし,

X^{(k)} := ⨿_{k_{λ} \leq k} e_{λ}

（これは

k

骨格

成り立つ.

このとき,

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

を胞体複体（cell complex）という. また,

X

の分割

X = \underset{λ \in Λ}{⨿} e_{λ}

を

X

の胞体分割 (cell decomposition)という.胞体分割を許容するハウスドルフ空間を胞体分割可能な位相空間 (cell decomposable topological space）という.

λ

の部分集合

Λ^{'}

で

(\underset{λ \in Λ^{'}}{⨿} e_{λ}, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ^{'}})

が胞体複体を与えるとき, この胞体複体を

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

の部分胞体複体（cell subcomplex）という. 各

k \geq 1

に対し,

(X^{(k)}, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in

Λ

s.t.

k_{λ} \leq k})

は,

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

の部分胞体複体になることが容易に示される.

Λ

が有限集合であるとき,

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

を有限胞体複体（finite cell complex）という。明らかに, 有限胞体複体はコンパクトになる.

例 5.1.1

n

次元単位球面

S^{n} (1)

は,

R^{n + 1}

の部分位相空間としてハウスドルフ空間である. このハウスドルフ空間

S^{n} (1)

の胞体分割を与えよう.

σ_{\pm}^{k}

：

D^{k} \to S^{n} (1) (k = 1, \dots, n)

を

σ_{\pm}^{k} (x_{1}, \dots, x_{k}) := (x_{1}, \dots, x_{k}, \pm \sqrt{1 - \sum_{i = 1}^{k} x_{i}^{2}}, 0, \dots, 0) ((x_{1}, \dots, x_{k}) \in D^{k})

によって定義し，

σ_{\pm}^{0} ： D^{0} \to S^{n} (1)

を

σ_{\pm}^{0} (0) = (\pm 1, 0, \dots, 0)

と定める.

e_{\pm}^{k} := σ_{\pm}^{k} (D^{k}) (k = 0, 1, \dots, n)

とおく.このとき,

S^{n} (1) = (\overset{n}{⨿} e^{k}) ⨿ (\overset{n}{⨿} e^{k} e_{-}^{k})

は,

S^{n} (1)

の胞体分割を与える

(n = 2

の場合については図 5.1 .2 を参照).

S^{n} (1)

から

n

次元実射影空間

R P^{n}

への自然な射影を

π

で表す.

{\hat{σ}}^{k} : D^{k} \to

R P^{n} (k = 1, \dots, n)

を

{\hat{σ}}^{k} := π \circ σ_{+}^{k}

によって定義する.

{\hat{σ}}^{0} : D^{0} \to R P^{n}

を

{\hat{σ}}^{0} (0) = [1 : 0 : \dots : 0]

で定める.

{\hat{e}}^{k} := {\hat{σ}}^{k} (D^{k}) (k = 0, 1, \dots, n)

とおく. このとき

R P^{n} = \underset{k = 0}{n} {\hat{e}}^{k}

は,

R P^{n}

の胞体分割を与える

(n = 2

の場合については図 5.1.2 を参照).

例 5.1.2 ハウスドルフ空間

S^{n} (1)

のもう 1 つの胞体分割を与えよう.

σ^{n}

D^{n} \to S^{n} (1)

を

\begin{aligned} σ^{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) := (\frac{2 ρ (x_{1}, \dots, x_{n}) x_{1}}{ρ {(x_{1}, \dots, x_{n})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + 1}, \dots \\ \frac{2 ρ (x_{1}, \dots, x_{n}) x_{n}}{ρ {(x_{1}, \dots, x_{n})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + 1}, \frac{ρ {(x_{1}, \dots, x_{n})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - 1}{ρ {(x_{1}, \dots, x_{n})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} + 1}) \\ (ρ (x_{1}, \dots, x_{n}) := \tan (\frac{π}{2} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2})) \end{aligned}

と定義し,

σ^{0} : D^{0} \to S^{n} (1)

を

σ^{0} (0) = (0, \dots, 0, 1)

と定義する.

e^{n} :=

σ^{n} (D^{n}), e^{0} := σ^{0} (D^{0})

とおく.このとき,

e^{n} = S^{n} (1) ∖ {(0, \dots, 0, 1)}, e^{0} =

{(0, \dots, 0, 1)}

となり,

S^{n} (1) = e^{n} ⨿ e^{0}

は

S^{n} (1)

の胞体分割を与える

(n = 2

の場合については図 5.1 .2 を参照).

胞体複体の1つの構成法を与えよう.

(X, {(e_{λ}^{X}, σ_{λ}^{X}) ∣ λ \in Λ_{X}})

と

(Y, {(e_{λ}^{Y}, σ_{λ}^{Y}) ∣ λ \in Λ_{Y}})

を胞体複体とする. このとき，積位相空間

X \times Y

もハウスドルフ空間になり,

X \times Y = \underset{(λ, μ) \in Λ_{X} \times Λ_{Y}}{⨿} (e_{λ}^{X} \times e_{μ}^{Y})

図 5.1.2 単位球面の胞体分割

は

X \times Y

の胞体分割を与える.

k_{λ}^{X} := \dim e_{λ}^{X}, k_{λ}^{Y} := \dim e_{λ}^{Y}

とおく. 胞体

e_{λ}^{X} \times e_{μ}^{Y}

の特性写像は,

σ_{λ}^{X}

と

σ_{μ}^{Y}

の積写像

σ_{λ}^{X} \times σ_{μ}^{Y}

によって与えられる. 実際, この積写像は,

D^{k_{λ}^{X}} \times D^{k_{μ}^{Y}}

（これは

D^{k_{λ}^{X} + k_{μ}^{Y}}

と同一視される）から

X \times Y

への連続写像を与え, その像

(σ_{λ}^{X} \times σ_{μ}^{Y}) (D_{λ}^{k_{λ}^{X}} \times D^{k_{μ}^{Y}})

は,

\overset{―}{e_{λ}^{X} \times e_{μ}^{Y}}

に等しくなる. このように,

(X \times Y, {(e_{λ}^{X} \times e_{μ}^{Y}, σ_{λ}^{X} \times σ_{μ}^{Y}) ∣ (λ, μ) \in Λ_{X} \times Λ_{Y}})

は胞体複体になる。この胞体複体を,

(X, {(e_{λ}^{X}, σ_{λ}^{X}) ∣ λ \in Λ_{X}})

と

(Y, {(e_{λ}^{Y}, σ_{λ}^{Y}) ∣ λ \in Λ_{Y}})

の積胞体複体（product cell complex）という. このように, 2 つの胞体複体から, それらの積をとることにより, 第 3 の胞体複体を構成することができる。

次に, 胞体複体の閉包有限性と弱位相性を定義する. 胞体複体

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣

λ \in Λ})

に対し，次の２つの条件を考える：

(C)

X

の各点

p

に対し,

p

を含む

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

の有限部分胞体複体が存在する；

(W)

A

を

X

の任意の部分集合とする. 各

λ \in Λ

に対し,

A \cap {\bar{e}}_{λ}

が部分位
相空間

{\bar{e}}_{λ}

の開集合であるならば,

A

は

X

の開集合である.

（C）は閉包有限性条件（closed finiteness condition）とよばれ，（W）は弱位相性条件（weak topology condition）とよばれる. これらの２つの条件を満たす胞体複体は， CW 複体（CW-complex）とよばれる。

CW 複体の CW ホモロジー群を定義する前に, 一般に, 位相空間

Y

とその部分集合

B

に対し, “

B

を 1 点に潰してえられる空間”とよばれる位相空間を定義しておく.Yにおける同値関係〜を

p \sim q : \underset{def}{⟺} p = q or p, q \in B

によって定義する.この同値関係〜に関する商位相空間

Y / \sim

を

Y / B

と表し,

B

を 1 点に潰してえられる空間という.

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

をW 複体とし、

F

を環とする。以下,

CW

複体

(X, {(e_{λ}, σ_{λ}) ∣ λ \in Λ})

を

X

と略記し, 胞体

(e_{λ}, σ_{λ})

を

e_{λ}

と略記する.この

CW

複体の

k

胞体の形式的有限和

c := \sum_{i = 1}^{r} a_{i} e_{λ_{i}} (e_{λ_{i}} : k

胞体,

a_{i} \in F)

を一般に, CW 複体

X

の

F

係数の

k

チェイン（k-chain of

F

-coefficient）という.

X

の

F

係数の

k

チェインの全体がなす自由加群を

C_{k} (X, F)

と表し,

X

の

F

係数

k

次チェイン群（

k - th

chain group of

F

-coefficient）という.

e_{λ}

を

X

の胞体とし、

e_{μ}

を

X

の

(k - 1)

胞体とする。

π_{μ}

を

X^{(k - 1)}

から

X^{(k - 1)} / (X^{(k - 1)} ∖ \overset{―}{e_{μ}})

への商写像とする。明らかに,

X^{(k - 1)} / (X^{(k - 1)} ∖ \overset{―}{e_{μ}})

は

D^{k - 1} / \partial D^{k - 1} = S^{k - 1} (1)

と同相である。

χ_{λ μ} := {π_{μ} \circ σ_{λ} |}_{\partial D^{k}} : \partial D^{k} = S^{k - 1} (1) \to X^{(k - 1)} / (X^{(k - 1)} ∖ \overset{―}{e_{μ}}) = S^{k - 1} (1)

の写像度を

\deg (χ_{λ μ})

と表す. ここで,

χ_{λ μ}

の写像度とは,

χ_{λ μ}

を

S^{k - 1} (1)

の特異

(k - 1)

輪体とみなして, その属する特異ホモロジー類

[χ_{λ μ}]

(\in H_{sing}^{k - 1} (S^{k - 1} (1)) ≅ Z)

を考えたときに,このコホモロジー類の表す整数のことである。

CW

複体

X

の

k

胞体全体からなる集合を

{e_{λ} ∣ λ \in Λ_{k}}

とする.

k

胞体

e_{λ}

に対し,

(k - 1)

胞体

\partial_{k} (e_{λ})

を

\partial_{k} (e_{λ}) := \sum_{μ \in Λ_{k - 1}} \deg (χ_{λ μ}) e_{μ}

図 5.1.3 境界作用素の結合係数

によって定義する.

\deg (χ_{λ μ})

を

e_{λ}

と

e_{μ}

の結合係数といい,

[e_{λ}, e_{μ}]

と表す（図 5.1.3 を参照）.

X

が条件 (C) を满たすことより，右辺の和が有限和であること、つまり、

\partial_{k} (e_{λ})

が

(k - 1)

チエインであることがわかる。これを

e_{λ}

の境界（the boundary of

e_{λ}

) という.

F

準同型写像

\partial_{k} : C_{k} (X, F) \to

C_{k - 1} (X, F)

を

\partial_{k} (c) := \sum_{i = 1}^{r} a_{i} \partial_{k} (e_{λ_{i}}) (c = \sum_{i = 1}^{r} a_{i} e_{λ_{i}} \in C_{k} (X, F))

によって定める。この

F

準同型写像

\partial_{k}

を境界作用素という. このとき, 容易に

\partial_{k - 1} \circ \partial_{k} = 0

が示され, それゆえ，

\begin{matrix} \dots \overset{\partial_{k + 1}}{\to} C_{k} (X, F) \overset{\partial_{k}}{\to} C_{k - 1} (X, F) \overset{\partial_{k - 1}}{\to} \dots \\ \dots \overset{\partial_{3}}{\to} C_{2} (X, F) \overset{\partial_{2}}{\to} C_{1} (X, F) \overset{\partial_{1}}{\to} C_{0} (X, F) \overset{0}{\to} {0} \end{matrix}

はチェイン複体を与える. このチェイン複体の

k

次ホモロジー群を

X

の

F

係数の

k

次

CW

ホモロジー群 (

k

-th CW-homology group of

F

-coefficient）といい, 本書では

H_{k}^{CW} (X, F)

と表す.

次に, CWコホモロジー群を定義しよう。

C_{k} (X, F)

の双対空間，つまり，

C_{k} (X, F)

から

F へ の F

準同型写像全体のなす

F

加群

C_{k} (X, F)^{*}

を

C^{k} (X, F)

と表す.

F

準同型写像

δ_{k} : C^{k} (X, F) \to C^{k + 1} (X, F)

を

δ_{k} = ρ \circ \partial_{k + 1}

によって定義する。この

F

準同型写像

δ_{k}

を余境界作用素という. このとき, 容易

に

δ_{k} \circ δ_{k - 1} = 0

が示され, それゆえ,

\begin{aligned} {0} \overset{δ_{0}}{\to} C^{1} (X, F) \overset{δ_{1}}{\to} C^{2} (X, F) \overset{δ_{2}}{\to} \dots \\ \dots \overset{δ_{k - 1}}{\to} C^{k} (X, F) \overset{δ_{k}}{\to} C^{k + 1} (X, F) \overset{δ_{k + 1}}{\to} \dots \end{aligned}

はコチェイン複体を与える. このコチェイン複体の

k

次コホモロジー群を

X

の

F

係数の

k

次

CW

コホモロジー群（

k

-th

CW

-cohomology group of

F

-coefficient) といい, 本書では

H_{CW}^{k} (X, F)

と表す.

位相空間の胞体分割以外に, 2.9 節で述べた曲面の三角形分割の一般概念として, 位相空間の単体分割という概念がある。この分割に付随して単体分割可能な位相空間に対し, その

k

次単体ホモロジー群（

k

-th simplicial homology group),

k

次単体コホモロジー群（

k

-th simplicial cohomology group）という概念が定義される。これらの群を

H_{k}^{simp} (X, F)

H_{simp}^{k} (X, F)

と表すことにする. 特異（コ）ホモロジー群, CW（コ）ホモロジー群, 単体（コ）ホモロジー群について, 次の事実が成り立つ.

定理 5.1.1 (i) 任意の CW 分割可能な位相空間

X

と任意の 0 以上の整数

k

に対し,

H_{k}^{sing} (X, F)

と

H_{k}^{CW} (X, F)

は同型であり,

H_{sing}^{k} (X, F)

と

H_{CW}^{k} (X, F)

も同型である.

(ii) 任意の単体分割可能な位相空間

X

と任意の 0 以上の整数

k

に対し,

H_{k}^{sing} (X, F)

と

H_{k}^{simp} (X, F)

は同型であり,

H_{sing}^{k} (X, F)

と

H_{simp}^{k} (X, F)

も同型である.

この定理の証明は省くことにする。この定理によれば, 位相空間

X

が

CW

分割可能である場合,

X

の（コ）ホモロジー群を計算するには, その特異（コ）ホモロジー群を計算する代わりに，Xを CW 分割してその CW（コ）ホモロジー群を計算すればよい。同様に, 位相空間

X

が単体分割可能である場合, Xの（コ）ホモロジー群を計算するには, その特異（コ）ホモロジー群を計算する代わりに，Xを単体分割してその単体（コ）ホモロジー群を計算すればよい。

次に, ド・ラームコホモロジー群を定義しよう.

M

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とし，3.10 節で述べたように，

M

上の

C^{\infty}

級

k

次微分形式全体のなす実ベクトル空間を

Ω^{k} (M)

と表す. 系列

\begin{aligned} (DR) & {0} \overset{0}{\to} Ω^{0} (M) \overset{d_{0}}{\to} Ω^{1} (M) \overset{d_{1}}{\to} \dots \\ \dots \overset{d_{k - 1}}{\to} Ω^{k} (M) \overset{d_{k}}{\to} Ω^{k + 1} (M) \overset{d_{k + 1}}{\to} \dots \overset{d_{n - 1}}{\to} Ω^{n} (M) \end{aligned}

がコチエイン複体であることを示そう.

ω \in Ω^{k} (M)

の

M

の局所チャート

(U, φ = x_{1}, \dots, x_{n})

に関する成分を

ω_{i_{1} \dots i_{k}} (1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n)

とする. このとき,

U

上で,

\begin{aligned} (d_{k + 1} \circ d_{k}) (ω) \\ = (d_{k + 1} \circ d_{k}) (\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} ω_{i_{1} \dots i_{k}} d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}) \\ = d_{k + 1} (\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial ω_{i_{1} \dots i_{k}}}{\partial x_{j}} d x_{j} \land d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}) \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} \sum_{l = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{\partial^{2} ω_{i_{1} \dots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \land d x_{j} \land d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} (\sum_{1 \leq l < j \leq n} \frac{\partial^{2} ω_{i_{1} \dots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \land d x_{j} \land d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}} \\ = \sum_{1 \leq j < l \leq n} \frac{\partial^{2} ω_{i_{1} \dots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \land d x_{j} \land d x_{i_{1}} \land \dots \land d x_{i_{k}}) \\ \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n} (\frac{\partial^{2} ω_{i_{1} \dots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} - \frac{\partial^{2} ω_{i_{1} \dots i_{k}}}{\partial x_{j} \partial x_{l}}) \\ = 0 \end{aligned}

が示され,

(U, φ)

の任意性から,

M

上で

(d_{k + 1} \circ d_{k}) (ω) = 0

が成り立つことが導かれる。そゆえ,

ω

の任意性より

d_{k + 1} \circ d_{k} = 0

が示される. したがって,系列

(C_{DR})

がコチェイン複体であることがわかる. このコチェイン複体の

k

次コホモロジー群を

M

の

k

次ド・ラームコホモロジー群

(k - th

de Rham cohomology group）といい, 本書では

H_{DR}^{k} (M)

と表す. 各

Ω^{k} (M)

は実ベクトル空間なので,

H_{DR}^{k} (M)

も実べクトル空間であることに注意する. また, Ker

d_{k}

の各元は

k

次閉微分形式 (closed form of degree

k

) とよばれ,

Im d_{k - 1}

の各元は

k

次完全微分形式 (exact form of degree

k

) とよば

れる。

5.2 ド・ラームの定理

この節において,

C^{\infty}

多様体のド・ラームコホモロジー群と実係数の特異コホモロジー群が同型であることを主張する, ド・ラームの定理について述べることにする。その証明には、ストークスの定理（定理 3.10.1）が用いられる。

この節において,

r \geq 1

とする.

M

を

n

次元

C^{\infty}

多様体とし,

c = \sum_{i = 1}^{l} a_{i} σ_{i}

M

への

C^{r}

写像であるとき,

c

を

F

係数の

C^{r}

級特異

k

チェイン

(C^{r} -

singular

k

-chain of coefficient

F

) という。Mにおける

F

係数の

C^{r}

級特異

k

チエインの全体のなす自由加群を

C_{k}^{r} (M, F)

と表す。明らかに,

F

準同型写像

\partial_{k} : C_{k} (M, F) \to C_{k - 1} (M, F)

の

C_{k}^{r} (M, F)

への制限は,

C_{k}^{r} (M, F)

から

C_{k - 1}^{r} (M, F)

への

F

準同型写像を導く. この制限された

F

準同型写像を

\partial_{k}^{C^{r}}

と表すことにする.

\partial_{k - 1}^{C^{r}} \circ \partial_{k}^{C^{r}} = 0

が成り立つので,

(C^{r} \cdot SC)

\begin{matrix} \dots \overset{\partial_{k + 1}}{\to} C_{k}^{r} (M, F) \overset{\partial_{k}^{C^{r}}}{\to} C_{k - 1}^{r} (M, F) \overset{\partial_{k - 1}^{C^{r}}}{\to} \dots \\ \dots \overset{\partial_{3}^{C^{r}}}{\to} C_{2}^{r} (M, F) \overset{\partial_{2}^{C^{r}}}{\to} C_{1}^{r} (M, F) \overset{\partial_{1}^{C^{r}}}{\to} C_{0}^{r} (M, F) \overset{0}{\to} {0} \end{matrix}

は，チェイン複体を与える。このチェイン複体の

F

係数の

k

次ホモロジー群を

H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}}

と表し，

c \in Ker \partial_{k}^{C^{r}}

の属するホモロジー類を

[c]_{C^{r}}

と表そう.

H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}}

は

M

の

F

係数の

k

次特異ホモロジー群

H_{k}^{sing} (M, F)

と同型であることが示される。その証明の概略を述べておこう.

Λ : H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}}

\to H_{sing}^{k} (M, F)

を

Λ ([c]_{C^{r}}) := [c] ([c]_{C^{r}} \in H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}})

によって定義する. この写像が well-defined であること，および，花準同型写像であることは明らかである.

Λ

が単射であることを示そう.

{[c_{1}]}_{C^{r}}, {[c_{2}]}_{C^{r}} \in

H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}}

を任意にとる。

c_{i} = \sum_{j = 1}^{l_{i}} a_{i j} σ_{i j} (a_{i j} \in F, σ_{i j} : C^{r}

級の特異

k

単体

) (i = 1, 2)

とする.

Λ ({[c_{1}]}_{C^{r}}) = Λ ({[c_{2}]}_{C^{r}})

とすると,

c_{1} - c_{2} = \partial η

となる

η \in C_{k + 1}^{sing} (M, F)

が存在する. さらに,

η = \sum_{j = 1}^{l} b_{j} τ_{j} (b_{j} \in F, τ_{j}

: 特異

(k + 1)

単体）として, 各

τ_{j}

の境界を固定してわずかに連続変形してえられる

C^{r}

級の特異

(k + 1)

単体を

{\hat{τ}}_{j}

とし,

\hat{η} := \sum_{j = 1}^{l} b_{j} {\hat{τ}}_{j}

とする. このとき,

\hat{η}

は

C^{r}

級の特異

(k + 1)

チェインになり,

\partial_{k + 1}^{C^{r}} (\hat{η}) = \partial_{k + 1} (η) = c_{1} - c_{2}

となる、それゆえ,

{[c_{1}]}_{C^{r}} = {[c_{2}]}_{C^{r}}

をえる. したがって、

Λ

が単射であることが示される. 次に,

Λ

が全射であることを示そう. 任意に,

[c] \in H_{sing}^{k} (M, F)

をとる.

c = \sum_{j = 1}^{l} a_{j} σ_{j} (a_{j} \in F, σ_{j}

: 特異

k

単体

)

とする. 各

σ_{j}

の境界を固定してわずかに連続変形してえられる

C^{r}

級の特異

k

単体を

{\hat{σ}}_{j}

とし,

\hat{c} :=

\sum_{j = 1}^{l} a_{j} {\hat{σ}}_{j}

とする. このとき,

\hat{c}

は

C^{r}

級の特異

(k + 1)

チェインになり,

\partial_{k}^{C^{r}} (\hat{c})

= \partial_{k} (c) = 0

, さらに

[c] = [\hat{c}] = Λ ([\hat{c}]_{C^{r}})

が示される. したがって,

Λ

が全射であることがわかる。このように

Λ

は,

H_{k}^{sing} (M, F)_{C_{r}}

から

H_{k}^{sing} (M, F)

への

F

同型写像であり, この

F

同型写像を通じて,

H_{sing}^{k} (M, F)

を

H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}}

と同一視することにする。以下,

H_{sing}^{k} (M, F)

は

H_{sing}^{k} (M, F)_{C^{r}}

を意味するものとする.

C_{k}^{r} (X, F)

の双対空間，つまり,

C_{k}^{r} (X, F)

から

F へ の F

準同型写像全体のなす

F

加群

C_{k}^{r} (X, F)^{*}

を

{(C^{k})}^{r} (X, F)

と表す.

F

準同型写像

δ_{k} : {(C^{k})}^{r} (X, F)

\to {(C^{k + 1})}^{r} (X, F)

を

δ_{k} = ρ \circ \partial_{k + 1}

によって定義する. このとき明らかに,

δ_{k} \circ δ_{k - 1} = 0

が成り立ち, それゆえ,

(C^{r} \cdot SCC)

\begin{aligned} {0} \overset{δ_{0}}{\to} {(C^{1})}^{r} (X, F) \overset{δ_{1}}{\to} {(C^{2})}^{r} (X, F) \overset{δ_{2}}{\to} \dots \\ \dots \overset{δ_{k - 1}}{\to} {(C^{k})}^{r} (X, F) \overset{δ_{k}}{\to} {(C^{k + 1})}^{r} (X, F) \overset{δ_{k + 1}}{\to} \dots \end{aligned}

は, コチェイン複体を与える。このコチェイン複体の

k

次コホモロジー群は,

M

の

F

係数の

k

次特異コホモロジー群

H_{sing}^{k} (M, F)

と

F

同型であることが示される. 以下,

C^{\infty}

多様体

M

の

F

係数の

k

次特異コホモロジー群

H_{sing}^{k} (M, F)

は, コチェイン複体

(C^{r} \cdot SCC)

の

k

次コホモロジー群として定義されるものを意味するものとする.

△^{k}

を,

R^{k}

の区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ有界閉領域とみなし，

R^{k}

の正の向きから定まる向きにより向き付けられているとする。

M

上の

C^{r}

級

k

次微
分形式

ω

と

M

におけ実係数の

C^{r}

級特異

k

チェイン

c = \sum_{i = 1}^{l} a_{i} σ_{i}

に対し,

\int_{c} ω

を次式によって定義する：

\int_{c} ω := \sum_{i = 1}^{l} a_{i} \int_{△^{k}} σ_{i}^{*} ω

ただし，

\int_{△_{k}} σ_{i}^{*} ω

は，区分的に

C^{\infty}

級の境界をもつ上述のように向き付けられた有界閉領域

△^{k}

上の

C^{r - 1}

級の

k

次微分形式

σ_{i}^{*} ω

の積分を表している (これは 3.10 節で定義済み). この量

\int_{c} ω を ω

の

C^{r}

級特異

k

チェイン

c

上の積分（the integral of

ω

over a

C^{r}

-singular

k

-chain

c

) とよぶ.

定理 5.2.1（ド・ラームの定理）

n

次元

C^{\infty}

多様体

M

に対し,

M

の

k

次ド・ラームコホモロジー群

H_{DR}^{k} (M)

と

M

の実係数の

k

次特異コホモロジー群

H_{sing}^{k} (M, R)

は同型である

(k = 0, 1, \dots, n)

ド・ラームの定理を証明する前に, マイヤー・ヴイートリス完全系列について述べておく.

f

を

C^{\infty}

多様体

M

から

C^{\infty}

多様体

N

への

C^{\infty}

写像とする. このとき,

M, N

の

F

係数の

k

次特異チェイン群間の準同型写像

f_{*}

C_{k}^{r} (M, F) \to C_{k}^{r} (N, F)

が次のように定義される：

f_{*} (c) := \sum_{i = 1}^{l} a_{i} (f \circ σ_{i}) (c = \sum_{i = 1}^{l} a_{i} σ_{i} \in C_{k}^{r} (M, F))

この準同型写像

f_{*}

を用いて,

M, N

の

F

係数の

k

次特異コホモロジー群間の準同型写像

f_{sing}^{*} : H_{sing}^{k} (N, F) \to H_{sing}^{k} (M, F)

が次のように定義される：

f_{sing}^{*} ([ρ]) := [ρ \circ f_{*}] ([ρ] \in H_{sing}^{k} (N, F))

また, 線形写像

f_{DR}^{*} : H_{DR}^{k} (N) \to H_{DR}^{k} (M)

が次のように定義される：

f_{DR}^{*} ([ω]) := [f^{*} ω] ([ω] \in H_{DR}^{k} (M))

{U, V}

を

M

の開被覆とし,

ι_{U}, ι_{V}

を各々,

U, V

から

M

への包含写像とし,

ι^{U}, ι^{V}

を各々,

U \cap V

から

U, V

への包含写像とする. このとき, 次のマイヤー・ヴイートリス完全系列が成り立つ.

IサZ 新へに人さ率用 &・T

3.11 リーマン計量・リーマン接続

3.12 ガウスの発散定理（微分幾何学版）

4 微分幾何学における体積沉関数の

4.1 平行移動・測地線・指数写像

4.2 リーマン距離関数

4.3 曲率テンソル場

4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場

4.5 測地変形とヤコビ場

4.6 リーマン部分多様体論

4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式

5.1 特異コホモロジー群, CW CW CW\mathrm{CW}CW コホモロジー群, ド・ラーム コホモロジー群

5.2 ド・ラームの定理

5.1 特異コホモロジー群, $CW$ コホモロジー群, ド・ラームコホモロジー群