証明最初に, D D DDD がある局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に含まれ, φ ( D ) φ ( D ) varphi(D)\varphi(D)φ(D) が次のように与えられる場合を考えることにする:
(3.10.1) φ ( D ) = { ( x 1 , , x n ) a i x i b i ( i = 1 , , n ) } (3.10.1) φ ( D ) = x 1 , , x n a i x i b i ( i = 1 , , n ) {:(3.10.1)varphi(D)={(x_(1),dots,x_(n))∣a_(i) <= x_(i) <= b_(i)(i=1,dots,n)}:}\begin{equation*} \varphi(D)=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i}(i=1, \ldots, n)\right\} \tag{3.10.1} \end{equation*}(3.10.1)φ(D)={(x1,,xn)aixibi(i=1,,n)}
ここで, a i , b i a i , b i a_(i),b_(i)a_{i}, b_{i}ai,bi は定数を表す. S i ± ( i = 1 , , n ) S i ± ( i = 1 , , n ) S_(i)^(+-)(i=1,dots,n)S_{i}^{ \pm}(i=1, \ldots, n)Si±(i=1,,n)
S i + := { φ 1 ( x 1 , , x n ) x i = b i , a j x j b j ( j i ) } S i := { φ 1 ( x 1 , , x n ) x i = a i , a j x j b j ( j i ) } S i + := φ 1 x 1 , , x n x i = b i , a j x j b j ( j i ) S i := φ 1 x 1 , , x n x i = a i , a j x j b j ( j i ) {:[S_(i)^(+):={varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))∣x_(i)=b_(i),a_(j) <= x_(j) <= b_(j)(j!=i)}],[S_(i)^(-):={varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))∣x_(i)=a_(i),a_(j) <= x_(j) <= b_(j)(j!=i)}]:}\begin{aligned} & S_{i}^{+}:=\left\{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i}=b_{i}, a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}(j \neq i)\right\} \\ & S_{i}^{-}:=\left\{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i}=a_{i}, a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}(j \neq i)\right\} \end{aligned}Si+:={φ1(x1,,xn)xi=bi,ajxjbj(ji)}Si:={φ1(x1,,xn)xi=ai,ajxjbj(ji)}
によって定義される D D del D\partial DD 内の閉領域とする. このとき, D = i = 1 n ( S i + S i ) D = i = 1 n S i + S i del D=uu_(i=1)^(n)(S_(i)^(+)uuS_(i)^(-))\partial D=\cup_{i=1}^{n}\left(S_{i}^{+} \cup S_{i}^{-}\right)D=i=1n(Si+Si) となる. 各 S i ± S i ± S_(i)^(+-)S_{i}^{ \pm}Si±には, O O OOO から誘導される向きが上述のように定義される。 ω ω omega\omegaω の 局所表示を
ω = i = 1 n ω i d x 1 d x i ^ d x n ω = i = 1 n ω i d x 1 d x i ^ d x n omega=sum_(i=1)^(n)omega_(i)dx_(1)^^cdots^^ widehat(dx_(i))^^cdots^^dx_(n)\omega=\sum_{i=1}^{n} \omega_{i} d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}ω=i=1nωidx1dxi^dxn
とする. ここで d x i ^ d x i ^ widehat(dx_(i))\widehat{d x_{i}}dxi^ は、 d x i d x i dx_(i)d x_{i}dxi を取り除くことを意味する. このとき, d ω d ω d omegad \omegadω
d ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 ( ( ω i φ 1 ) x i φ ) d x 1 d x n d ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 ω i φ 1 x i φ d x 1 d x n d omega=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)((del(omega_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)d \omega=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\left(\frac{\partial\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}dω=i=1n(1)i1((ωiφ1)xiφ)dx1dxn
と局所表示され, それゆえ,
(3.10.2) D d ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ( ω i φ 1 ) ( x 1 , , b i , , x n ) d x 1 d x i ^ d x n i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ( ω i φ 1 ) ( x 1 , , a i , , x n ) d x 1 d x i ^ d x n (3.10.2) D d ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ω i φ 1 x 1 , , b i , , x n d x 1 d x i ^ d x n i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ω i φ 1 x 1 , , a i , , x n d x 1 d x i ^ d x n {:(3.10.2){:[int_(D)d omega=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))dots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n))],[dx_(1)dots widehat(dx_(i))dots dx_(n)],[-sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n))],[dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:}:}\begin{array}{r} \int_{D} d \omega=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \ldots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right) \\ d x_{1} \ldots \widehat{d x_{i}} \ldots d x_{n} \\ -\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right) \\ d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \tag{3.10.2} \end{array}(3.10.2)Ddω=i=1n(1)i1a1b1aibi^anbn(ωiφ1)(x1,,bi,,xn)dx1dxi^dxni=1n(1)i1a1b1aibi^anbn(ωiφ1)(x1,,ai,,xn)dx1dxi^dxn
をえる. D D del D\partial DD から M M MMM への包含写像を ι ι iota\iotaι で表し, S j ± S j ± S_(j)^(+-)S_{j}^{ \pm}Sj±から M M MMM への包含写像を ι j ± ι j ± iota_(j)^(+-)\iota_{j}^{ \pm}ιj± で表すことにする. このとき,
D ι ω = j = 1 n ( S j + ( ι j + ) ω + S j ( ι j ) ω ) = j = 1 n i = 1 n ( S j + ( ω i ι j + ) ( ι j + ) ( d x 1 d x i ^ d x n ) + S j ( ω i ι j ) ( ι j ) ( d x 1 d x i ^ d x n ) ) D ι ω = j = 1 n S j + ι j + ω + S j ι j ω = j = 1 n i = 1 n S j + ω i ι j + ι j + d x 1 d x i ^ d x n + S j ω i ι j ι j d x 1 d x i ^ d x n {:[int_(del D)iota^(**)omega=sum_(j=1)^(n)(int_(S_(j)^(+))(iota_(j)^(+))^(**)omega+int_(S_(j)^(-))(iota_(j)^(-))^(**)omega)],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(n)(int_(S_(j)^(+))(omega_(i)@iota_(j)^(+))*(iota_(j)^(+))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n)):}],[{: quad+int_(S_(j)^(-))(omega_(i)@iota_(j)^(-))*(iota_(j)^(-))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n)))]:}\begin{aligned} & \int_{\partial D} \iota^{*} \omega= \sum_{j=1}^{n}\left(\int_{S_{j}^{+}}\left(\iota_{j}^{+}\right)^{*} \omega+\int_{S_{j}^{-}}\left(\iota_{j}^{-}\right)^{*} \omega\right) \\ &= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\int_{S_{j}^{+}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{j}^{+}\right) \cdot\left(\iota_{j}^{+}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\right. \\ &\left.\quad+\int_{S_{j}^{-}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{j}^{-}\right) \cdot\left(\iota_{j}^{-}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\right) \end{aligned}Dιω=j=1n(Sj+(ιj+)ω+Sj(ιj)ω)=j=1ni=1n(Sj+(ωiιj+)(ιj+)(dx1dxi^dxn)+Sj(ωiιj)(ιj)(dx1dxi^dxn))
をえる。一方, ( ι i ± ) d x i ( := d ( x i ι i ± ) ) = 0 ι i ± d x i := d x i ι i ± = 0 (iota_(i)^(+-))^(**)dx_(i)(:=d(x_(i)@iota_(i)^(+-))_(**))=0\left(\iota_{i}^{ \pm}\right)^{*} d x_{i}\left(:=d\left(x_{i} \circ \iota_{i}^{ \pm}\right)_{*}\right)=0(ιi±)dxi(:=d(xiιi±))=0 に注意することにより, j i j i j!=ij \neq iji の とき,
S j ± ( ω i ι j ± ) ( ι j ± ) ( d x 1 d x i ^ d x n ) = 0 S j ± ω i ι j ± ι j ± d x 1 d x i ^ d x n = 0 int_(S_(j)^(+-))(omega_(i)@iota_(j)^(+-))*(iota_(j)^(+-))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))=0\int_{S_{j}^{ \pm}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{j}^{ \pm}\right) \cdot\left(\iota_{j}^{ \pm}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)=0Sj±(ωiιj±)(ιj±)(dx1dxi^dxn)=0
が示される. η i ± : φ ( S i ± ) R n 1 η i ± : φ S i ± R n 1 eta_(i)^(+-):varphi(S_(i)^(+-))rarrR^(n-1)\eta_{i}^{ \pm}: \varphi\left(S_{i}^{ \pm}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{n-1}ηi±:φ(Si±)Rn1
η i + ( x 1 , , b i , , x n ) := ( ( 1 ) i 1 x 1 , x 2 , , x i ^ , , x n ) η i ( x 1 , , a i , , x n ) := ( ( 1 ) i x 1 , x 2 , , x i ^ , , x n ) η i + x 1 , , b i , , x n := ( 1 ) i 1 x 1 , x 2 , , x i ^ , , x n η i x 1 , , a i , , x n := ( 1 ) i x 1 , x 2 , , x i ^ , , x n {:[eta_(i)^(+)(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n)):=((-1)^(i-1)x_(1),x_(2),dots,( widehat(x_(i))),dots,x_(n))],[eta_(i)^(-)(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n)):=((-1)^(i)x_(1),x_(2),dots,( widehat(x_(i))),dots,x_(n))]:}\begin{aligned} & \eta_{i}^{+}\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right):=\left((-1)^{i-1} x_{1}, x_{2}, \ldots, \widehat{x_{i}}, \ldots, x_{n}\right) \\ & \eta_{i}^{-}\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right):=\left((-1)^{i} x_{1}, x_{2}, \ldots, \widehat{x_{i}}, \ldots, x_{n}\right) \end{aligned}ηi+(x1,,bi,,xn):=((1)i1x1,x2,,xi^,,xn)ηi(x1,,ai,,xn):=((1)ix1,x2,,xi^,,xn)
で定める. ここで x i ^ x i ^ widehat(x_(i))\widehat{x_{i}}xi^ は, x i x i x_(i)x_{i}xi を取り除くことを意味する. φ i ± := ( η i ± φ ) | S i ± φ i ± := η i ± φ S i ± varphi_(i)^(+-):=(eta_(i)^(+-)@varphi)|_(S_(i)^(+-))\varphi_{i}^{ \pm}:=\left.\left(\eta_{i}^{ \pm} \circ \varphi\right)\right|_{S_{i}^{ \pm}}φi±:=(ηi±φ)|Si±と おく. このとき ( S i ± , φ i ± ) S i ± , φ i ± (S_(i)^(+-),varphi_(i)^(+-))\left(S_{i}^{ \pm}, \varphi_{i}^{ \pm}\right)(Si±,φi±)は, S i ± S i ± S_(i)^(+-)S_{i}^{ \pm}Si±の向きに関して, 正の局所チャートになる.
φ i ± = ( y 1 i , ± , , y i 1 i , ± , y i + 1 i , ± , , y n i , ± ) φ i ± = y 1 i , ± , , y i 1 i , ± , y i + 1 i , ± , , y n i , ± varphi_(i)^(+-)=(y_(1)^(i,+-),dots,y_(i-1)^(i,+-),y_(i+1)^(i,+-),dots,y_(n)^(i,+-))\varphi_{i}^{ \pm}=\left(y_{1}^{i, \pm}, \ldots, y_{i-1}^{i, \pm}, y_{i+1}^{i, \pm}, \ldots, y_{n}^{i, \pm}\right)φi±=(y1i,±,,yi1i,±,yi+1i,±,,yni,±)
とする. このとき,
S i + ( ω i ι i + ) ( ι i + ) ( d x 1 d x i ^ d x n ) = S i + ( ω i ι i + ) ( 1 ) i 1 ( d y 1 i , + d y i 1 i , + d y i + 1 i , + d y n i , + ) = ( 1 ) i 1 ( 1 ) i 1 a 1 ( 1 ) i 1 b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ( ω i ( φ i + ) 1 ) ( y 1 , , y i ^ , , y n ) d y 1 d y i ^ d y n = ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ( ω i φ 1 ) ( x 1 , , b i , , x n ) d x 1 d x i ^ d x n S i + ω i ι i + ι i + d x 1 d x i ^ d x n = S i + ω i ι i + ( 1 ) i 1 d y 1 i , + d y i 1 i , + d y i + 1 i , + d y n i , + = ( 1 ) i 1 ( 1 ) i 1 a 1 ( 1 ) i 1 b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ω i φ i + 1 y 1 , , y i ^ , , y n d y 1 d y i ^ d y n = ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ω i φ 1 x 1 , , b i , , x n d x 1 d x i ^ d x n {:[int_(S_(i)^(+))(omega_(i)@iota_(i)^(+))*(iota_(i)^(+))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))],[=int_(S_(i)^(+))(omega_(i)@iota_(i)^(+))*(-1)^(i-1)(dy_(1)^(i,+)^^cdots^^dy_(i-1)^(i,+)^^dy_(i+1)^(i,+)^^cdots^^dy_(n)^(i,+))],[=(-1)^(i-1)int_((-1)^(i-1)a_(1))^((-1)^(i-1)b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@(varphi_(i)^(+))^(-1))(y_(1),dots,( widehat(y_(i))),dots,y_(n))],[dy_(1)cdots widehat(dy_(i))cdots dy_(n)],[=(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:}\begin{aligned} & \int_{S_{i}^{+}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{+}\right) \cdot\left(\iota_{i}^{+}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \\ &= \int_{S_{i}^{+}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{+}\right) \cdot(-1)^{i-1}\left(d y_{1}^{i,+} \wedge \cdots \wedge d y_{i-1}^{i,+} \wedge d y_{i+1}^{i,+} \wedge \cdots \wedge d y_{n}^{i,+}\right) \\ &=(-1)^{i-1} \int_{(-1)^{i-1} a_{1}}^{(-1)^{i-1} b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ\left(\varphi_{i}^{+}\right)^{-1}\right)\left(y_{1}, \ldots, \widehat{y_{i}}, \ldots, y_{n}\right) \\ & d y_{1} \cdots \widehat{d y_{i}} \cdots d y_{n} \\ &=(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \end{aligned}Si+(ωiιi+)(ιi+)(dx1dxi^dxn)=Si+(ωiιi+)(1)i1(dy1i,+dyi1i,+dyi+1i,+dyni,+)=(1)i1(1)i1a1(1)i1b1a2b2aibi^anbn(ωi(φi+)1)(y1,,yi^,,yn)dy1dyi^dyn=(1)i1a1b1a2b2aibi^anbn(ωiφ1)(x1,,bi,,xn)dx1dxi^dxn
および,
S i ( ω i ι i ) ( ι i ) ( d x 1 d x i ^ d x n ) = S i ( ω i ι i ) ( 1 ) i ( d y 1 i , d y i 1 i , d y i + 1 i , d y n i , ) = ( 1 ) i ( 1 ) i a 1 ( 1 ) i b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ω i ( y 1 , , y i ^ , , y n ) d y 1 d y i ^ d y n = ( 1 ) i a 1 b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ( ω i φ 1 ) ( x 1 , , a i , , x n ) d x 1 d x i ^ d x n S i ω i ι i ι i d x 1 d x i ^ d x n = S i ω i ι i ( 1 ) i d y 1 i , d y i 1 i , d y i + 1 i , d y n i , = ( 1 ) i ( 1 ) i a 1 ( 1 ) i b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ω i y 1 , , y i ^ , , y n d y 1 d y i ^ d y n = ( 1 ) i a 1 b 1 a 2 b 2 a i b i ^ a n b n ω i φ 1 x 1 , , a i , , x n d x 1 d x i ^ d x n {:[int_(S_(i)^(-))(omega_(i)@iota_(i)^(-))*(iota_(i)^(-))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))],[=int_(S_(i)^(-))(omega_(i)@iota_(i)^(-))*(-1)^(i)(dy_(1)^(i,-)^^cdots^^dy_(i-1)^(i,-)^^dy_(i+1)^(i,-)^^cdots^^dy_(n)^(i,-))],[=(-1)^(i)int_((-1)^(i)a_(1))^((-1)^(i)b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))omega_(i)(y_(1),dots,( widehat(y_(i))),dots,y_(n))],[dy_(1)cdots widehat(dy_(i))cdots dy_(n)],[=(-1)^(i)int_(a_(1))^(b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:}\begin{aligned} & \int_{S_{i}^{-}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{-}\right) \cdot\left(\iota_{i}^{-}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \\ &= \int_{S_{i}^{-}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{-}\right) \cdot(-1)^{i}\left(d y_{1}^{i,-} \wedge \cdots \wedge d y_{i-1}^{i,-} \wedge d y_{i+1}^{i,-} \wedge \cdots \wedge d y_{n}^{i,-}\right) \\ &=(-1)^{i} \int_{(-1)^{i} a_{1}}^{(-1)^{i} b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \omega_{i}\left(y_{1}, \ldots, \widehat{y_{i}}, \ldots, y_{n}\right) \\ & d y_{1} \cdots \widehat{d y_{i}} \cdots d y_{n} \\ &=(-1)^{i} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \end{aligned}Si(ωiιi)(ιi)(dx1dxi^dxn)=Si(ωiιi)(1)i(dy1i,dyi1i,dyi+1i,dyni,)=(1)i(1)ia1(1)ib1a2b2aibi^anbnωi(y1,,yi^,,yn)dy1dyi^dyn=(1)ia1b1a2b2aibi^anbn(ωiφ1)(x1,,ai,,xn)dx1dxi^dxn
が示され, それゆえ,
D ι ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ω i ( x 1 , , b i , , x n ) d x 1 d x i ^ d x n (3.10.3) i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ω i ( x 1 , , a i , , x n ) d x 1 d x i ^ d x n D ι ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ω i x 1 , , b i , , x n d x 1 d x i ^ d x n (3.10.3) i = 1 n ( 1 ) i 1 a 1 b 1 a i b i ^ a n b n ω i x 1 , , a i , , x n d x 1 d x i ^ d x n {:[int_(del D)iota^(**)omega],[=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))omega_(i)(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)],[(3.10.3)-sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))omega_(i)(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:}\begin{align*} & \int_{\partial D} \iota^{*} \omega \\ = & \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \omega_{i}\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \\ & -\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \omega_{i}\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \tag{3.10.3} \end{align*}Dιω=i=1n(1)i1a1b1aibi^anbnωi(x1,,bi,,xn)dx1dxi^dxn(3.10.3)i=1n(1)i1a1b1aibi^anbnωi(x1,,ai,,xn)dx1dxi^dxn
をえる。式 (3.10.2) と式 (3.10.3) から, D d ω = D ι ω D d ω = D ι ω int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega\int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omegaDdω=Dιω が導かれる。
次に, D D DDD がある局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に含まれるが, φ ( D ) φ ( D ) varphi(D)\varphi(D)φ(D) が式 (3.10.1)の ような領域でない場合を考える。まず,図 3.10 .2 におけるように式 (3.10.1) タイプの小閉領域 { E k j } j = 1 m k E k j j = 1 m k {E_(k)^(j)}_(j=1)^(m_(k))\left\{E_{k}^{j}\right\}_{j=1}^{m_{k}}{Ekj}j=1mk に分割されるような(Dに含まれる)閉領域 D k D k D_(k)D_{k}Dk の増加列 { D k } k = 1 D k k = 1 {D_(k)}_(k=1)^(oo)\left\{D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}{Dk}k=1 で, その境界の列 { D k } k = 1 D k k = 1 {delD_(k)}_(k=1)^(oo)\left\{\partial D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}{Dk}k=1 が,次の意味で D D del D\partial DD に収束す るようなものをとる:
(*) D D del D\partial DD から D k D k delD_(k)\partial D_{k}Dk への同相写像 η k η k eta_(k)\eta_{k}ηk の族 { η k } k = 1 η k k = 1 {eta_(k)}_(k=1)^(oo)\left\{\eta_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}{ηk}k=1
lim k sup p D ( φ η k ) ( p ) φ ( p ) = 0 lim k sup p D φ η k ( p ) φ ( p ) = 0 lim_(k rarr oo)s u p_(p in del D)||(varphi@eta_(k))(p)-varphi(p)||=0\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{p \in \partial D}\left\|\left(\varphi \circ \eta_{k}\right)(p)-\varphi(p)\right\|=0limksuppD(φηk)(p)φ(p)=0
となるようなものを許容する(このとき, “ D D k D D k D\\D_(k)D \backslash D_{k}DDk の面積” 0 ( k ) 0 ( k ) rarr0(k rarr oo)\rightarrow 0(k \rightarrow \infty)0(k) と なる).
このとき,
斜線部は φ ( D k ) φ D k varphi(D_(k))\varphi\left(D_{k}\right)φ(Dk) を表す.
図 3.10.2 φ ( D k ) φ D k varphi(D_(k))\varphi\left(D_{k}\right)φ(Dk) を構成する小閉領域の境界の向きの様子
D d ω = lim k D k d ω = lim k j = 1 m k E k j d ω = lim k j = 1 m k E k j ( ι k j ) ω = lim k D k ι k ω D d ω = lim k D k d ω = lim k j = 1 m k E k j d ω = lim k j = 1 m k E k j ι k j ω = lim k D k ι k ω {:[int_(D)d omega=lim_(k rarr oo)int_(D_(k))d omega=lim_(k rarr oo)sum_(j=1)^(m_(k))int_(E_(k)^(j))d omega],[=lim_(k rarr oo)sum_(j=1)^(m_(k))int_(delE_(k)^(j))(iota_(k)^(j))^(**)omega=lim_(k rarr oo)int_(delD_(k))iota_(k)^(**)omega]:}\begin{aligned} \int_{D} d \omega & =\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{D_{k}} d \omega=\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{E_{k}^{j}} d \omega \\ & =\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{\partial E_{k}^{j}}\left(\iota_{k}^{j}\right)^{*} \omega=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{\partial D_{k}} \iota_{k}^{*} \omega \end{aligned}Ddω=limkDkdω=limkj=1mkEkjdω=limkj=1mkEkj(ιkj)ω=limkDkιkω
をえる。ここで, ι k , ι k j ι k , ι k j iota_(k),iota_(k)^(j)\iota_{k}, \iota_{k}^{j}ιk,ιkj は各々, D k , E k j D k , E k j delD_(k),delE_(k)^(j)\partial D_{k}, \partial E_{k}^{j}Dk,Ekj から M M MMM への包含写像を表す. こ の変形における最後の等号は, E k j E k j E_(k)^(j)E_{k}^{j}Ekj E k j E k j E_(k)^(j^('))E_{k}^{j^{\prime}}Ekj が隣接するとき,その隣接する各々 の境界上の積分は,向きが逆転するため相殺されることにより,成り立つこと を注意しておく. さらに,
lim k sup p D ( φ η k ) ( p ) φ ( p ) = 0 lim k sup p D φ η k ( p ) φ ( p ) = 0 lim_(k rarr oo)s u p_(p in del D)||(varphi@eta_(k))(p)-varphi(p)||=0\lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{p \in \partial D}\left\|\left(\varphi \circ \eta_{k}\right)(p)-\varphi(p)\right\|=0limksuppD(φηk)(p)φ(p)=0
から,
lim k D k ι k ω = D ι ω lim k D k ι k ω = D ι ω lim_(k rarr oo)int_(delD_(k))iota_(k)^(**)omega=int_(del D)iota^(**)omega\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{\partial D_{k}} \iota_{k}^{*} \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omegalimkDkιkω=Dιω
を示すことができる. したがって, D d ω = D ι ω D d ω = D ι ω int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega\int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omegaDdω=Dιω が導かれる.
次に, D D DDD が一般の場合を考える。 このとき, D D DDD を区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の超曲面 を境界にもつコンパクト閉領域の族 { D i } i = 1 k D i i = 1 k {D_(i)}_(i=1)^(k)\left\{D_{i}\right\}_{i=1}^{k}{Di}i=1k で, 各 D i D i D_(i)D_{i}Di がある局所チャートに 含まれるようなものに分割する。このとき, すでに示した事実により,
D d ω = i = 1 k D i d ω = i = 1 k D i ι i ω D d ω = i = 1 k D i d ω = i = 1 k D i ι i ω int_(D)d omega=sum_(i=1)^(k)int_(D_(i))d omega=sum_(i=1)^(k)int_(delD_(i))iota_(i)^(**)omega\int_{D} d \omega=\sum_{i=1}^{k} \int_{D_{i}} d \omega=\sum_{i=1}^{k} \int_{\partial D_{i}} \iota_{i}^{*} \omegaDdω=i=1kDidω=i=1kDiιiω
が示される. ここで ι i ι i iota_(i)\iota_{i}ιi は, D i D i delD_(i)\partial D_{i}Di から M M MMM への包含写像を表す. D i D i D_(i)D_{i}Di D j D j D_(j)D_{j}Dj が隣接するとき, その隣接する各々の境界上の積分は, 向きが逆転するため相殺さ れる. この事実を用いて,
i = 1 k D i ι i ω = D ι ω i = 1 k D i ι i ω = D ι ω sum_(i=1)^(k)int_(delD_(i))iota_(i)^(**)omega=int_(del D)iota^(**)omega\sum_{i=1}^{k} \int_{\partial D_{i}} \iota_{i}^{*} \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omegai=1kDiιiω=Dιω
が導かれる. したがって, D d ω = D ι ω D d ω = D ι ω int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega\int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omegaDdω=Dιω が示される.

3.11 リーマン計量・リーマン接続

この節において, リーマン計量, およびリーマン接続を定義し, さらに, そ れらに付随するいくつかの概念を定義する. g g ggg C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM 上の C r ( r C r ( r C^(r)(r >=C^{r}(r \geqCr(r 0) 級の対称 2 次共変テンソル場とする. 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, g p g p g_(p)g_{p}gp が正定値であ る, つまり, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の内積を与えるとき, g g ggg M M MMM C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr リーマン計量( C r C r C^(r_(-))\boldsymbol{C}^{r_{-}}Cr Riemannian metric) といい, 組 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr リーマン多様体( C r C r C^(r_(-))\boldsymbol{C}^{r_{-}}Cr Riemannian manifold)という. 以下, この節では r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする. 任意の C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体上で, C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン計量が構成できることを示しておこう. M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とする。命題3.1.3により, M M MMM の任意の開被覆 U U U\mathcal{U}U に対し, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数からなるUに従属する 1 の分割が存在する。この事実を用 いることにする. D = { ( U λ , φ λ = ( x 1 λ , , x n λ ) ) λ Λ } D = U λ , φ λ = x 1 λ , , x n λ λ Λ D={(U_(lambda),varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)))∣lambda in Lambda}\mathcal{D}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}D={(Uλ,φλ=(x1λ,,xnλ))λΛ} M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 構造と する. M M MMM の開被覆 { U λ } λ Λ U λ λ Λ {U_(lambda)}_(lambda in Lambda)\left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda}{Uλ}λΛ に従属する 1 の分割 { ρ i } i I ρ i i I {rho_(i)}_(i inI)\left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{ρi}iI で, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数からなるようなものをとる. このとき, 開被覆に従属する1の分割の定義から, 各 i I i I i inIi \in \mathcal{I}iI に対し, supp ρ i U λ i supp ρ i U λ i supprho_(i)subU_(lambda_(i))\operatorname{supp} \rho_{i} \subset U_{\lambda_{i}}suppρiUλi となる Λ Λ Lambda\LambdaΛ の部分族 { λ i } i I λ i i I {lambda_(i)}_(i inI)\left\{\lambda_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}}{λi}iI をとるこ とができ, これを用いて, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン計量 g g ggg
g := i I ρ i ( d x 1 λ i d x 1 λ i + + d x n λ i d x n λ i ) g := i I ρ i d x 1 λ i d x 1 λ i + + d x n λ i d x n λ i g:=sum_(i inI)rho_(i)(dx_(1)^(lambda_(i))ox dx_(1)^(lambda_(i))+cdots+dx_(n)^(lambda_(i))ox dx_(n)^(lambda_(i)))g:=\sum_{i \in \mathcal{I}} \rho_{i}\left(d x_{1}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{1}^{\lambda_{i}}+\cdots+d x_{n}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{n}^{\lambda_{i}}\right)g:=iIρi(dx1λidx1λi++dxnλidxnλi)
によって定義することができる。ここで, 右辺の各項は, ρ i ( d x 1 λ i d x 1 λ i + ρ i d x 1 λ i d x 1 λ i + rho_(i)(dx_(1)^(lambda_(i))ox dx_(1)^(lambda_(i))+:}\rho_{i}\left(d x_{1}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{1}^{\lambda_{i}}+\right.ρi(dx1λidx1λi+ + d x n λ i d x n λ i ) + d x n λ i d x n λ i {: cdots+dx_(n)^(lambda_(i))ox dx_(n)^(lambda_(i)))\left.\cdots+d x_{n}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{n}^{\lambda_{i}}\right)+dxnλidxnλi) U λ i U λ i U_(lambda_(i))U_{\lambda_{i}}Uλi の外で 0 になるよう拡張した M M MMM 上の 2 次共変テンソ ル場を表す.
2.2 節で, E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 超曲面 S S SSS に対し, 第 1 基本形式 g g ggg を定義した. こ れは, S S SSS 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級のリーマン計量を与える. この第 1 基本形式に相当する 概念を, C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン多様体内のはめ込まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr 部分多様体に対し定義し
よう. f f fff n n nnn 次元 C r C r C^(r)C^{r}Cr 多様体 M M MMM から ( n + k ) ( n + k ) (n+k)(n+k)(n+k) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン多様体 ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像とする。このとき, g ~ g ~ widetilde(g)\widetilde{g}g~ f f fff による引き戻し f g ~ f g ~ f^(**) widetilde(g)f^{*} \widetilde{g}fg~
( f g ~ ) p ( v , w ) := g ~ f ( p ) ( d f p ( v ) , d f p ( w ) ) ( p M , v , w T p M ) f g ~ p ( v , w ) := g ~ f ( p ) d f p ( v ) , d f p ( w ) p M , v , w T p M (f^(**)( widetilde(g)))_(p)(v,w):= widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(v),df_(p)(w))quad(p in M,v,w inT_(p)M)\left(f^{*} \widetilde{g}\right)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{v}), d f_{p}(\boldsymbol{w})\right) \quad\left(p \in M, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right)(fg~)p(v,w):=g~f(p)(dfp(v),dfp(w))(pM,v,wTpM)
によって定義される。これ, M M MMM 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の対称 2 次共変テンソル場に なる。 この事実は,次のように示される。 g := f g ~ g := f g ~ g:=f^(**) tilde(g)g:=f^{*} \tilde{g}g:=fg~ とおく. g g ggg M M MMM 上の対称 2 次共変テンソル場であることは, 明らかである. g g ggg C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であることを 示す. p M p M p in Mp \in MpM のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわり の局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n + r ) ) V , ψ = y 1 , , y n + r (V,psi=(y_(1),dots,y_(n+r)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n+r}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn+r)) をとる。必要ならば U U UUU を縮めること により, f ( U ) V f ( U ) V f(U)sub Vf(U) \subset Vf(U)V としてよい。 g g ggg ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分を g i j ( 1 i , j n ) g i j ( 1 i , j n ) g_(ij)(1 <= i,j <= n)g_{i j}(1 \leq i, j \leq n)gij(1i,jn) とし, g ~ g ~ widetilde(g)\widetilde{g}g~ ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) に関する成分を g ~ α β ( 1 α , β n + r ) g ~ α β ( 1 α , β n + r ) widetilde(g)_(alpha beta)(1 <= alpha,beta <= n+r)\widetilde{g}_{\alpha \beta}(1 \leq \alpha, \beta \leq n+r)g~αβ(1α,βn+r) とする. このとき,式 (3.4.1) を用いて,
g i j φ 1 = α = 1 n + k β = 1 n + k ( y α f φ 1 ) x i ( y β f φ 1 ) x j ( g ~ α β f φ 1 ) g i j φ 1 = α = 1 n + k β = 1 n + k y α f φ 1 x i y β f φ 1 x j g ~ α β f φ 1 g_(ij)@varphi^(-1)=sum_(alpha=1)^(n+k)sum_(beta=1)^(n+k)(del(y_(alpha)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i))(del(y_(beta)@f@varphi^(-1)))/(delx_(j))( widetilde(g)_(alpha beta)@f@varphi^(-1))g_{i j} \circ \varphi^{-1}=\sum_{\alpha=1}^{n+k} \sum_{\beta=1}^{n+k} \frac{\partial\left(y_{\alpha} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \frac{\partial\left(y_{\beta} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\left(\widetilde{g}_{\alpha \beta} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)gijφ1=α=1n+kβ=1n+k(yαfφ1)xi(yβfφ1)xj(g~αβfφ1)
が示される。それゆえ, g ~ , f g ~ , f widetilde(g),f\widetilde{g}, fg~,f C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることより, g i j φ 1 g i j φ 1 g_(ij)@varphi^(-1)g_{i j} \circ \varphi^{-1}gijφ1 C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 で あること,つまり, g g ggg U U UUU 上で C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であることがわかる. p p ppp の任意性によ り, g g ggg M M MMM 上で C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級であることが示される. 特に, f f fff C r C r C^(r)C^{r}Cr はめ込みであ る場合を考えよう. この場合, g p ( v , v ) = 0 g p ( v , v ) = 0 g_(p)(v,v)=0g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=0gp(v,v)=0 とすると、
g p ( v , v ) = g ~ f ( p ) ( d f p ( v ) , d f p ( v ) ) = 0 g p ( v , v ) = g ~ f ( p ) d f p ( v ) , d f p ( v ) = 0 g_(p)(v,v)= widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(v),df_(p)(v))=0g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{v}), d f_{p}(\boldsymbol{v})\right)=0gp(v,v)=g~f(p)(dfp(v),dfp(v))=0
となり, g ~ f ( p ) g ~ f ( p ) widetilde(g)_(f(p))\widetilde{g}_{f(p)}g~f(p) の正定值性から d f p ( v ) = 0 f ( p ) d f p ( v ) = 0 f ( p ) df_(p)(v)=0_(f(p))d f_{p}(\boldsymbol{v})=\mathbf{0}_{f(p)}dfp(v)=0f(p) が導かれる. さらに, f f fff がはめ 込み(それゆえ d f p d f p df_(p)d f_{p}dfp が単射)であることから, v = 0 p v = 0 p v=0_(p)\boldsymbol{v}=\mathbf{0}_{p}v=0p が導かれる.したがっ て, g p g p g_(p)g_{p}gp は正定値である。 これは, 上述の事実と合わせて, g g ggg M M MMM C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級 リーマン計量であることを導く。この C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級リーマン計量 g g ggg g ~ g ~ widetilde(g)\widetilde{\boldsymbol{g}}g~ から f f f\boldsymbol{f}f に よって誘導されるリーマン計量(induced Riemannian metric)といい, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f ( M ) f ( M ) f(M)f(M)f(M) )を f f f\boldsymbol{f}f によってはめ込まれた ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\boldsymbol{g}})(M~,g~) 内の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 リー マン部分多様体(Riemannian submanifold)という. た。, f f fff ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) から ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) への等長はめ込み(isometric immersion)という. 特に k = k = k=k=k= 1 のとき, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を, f f f\boldsymbol{f}f によってはめ込まれた ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{\boldsymbol{g}})(M~,g~) 内の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 リーマン 超曲面(Riemannian hypersurface)という. また, f f fff が埋め込みである
とき, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f ( M ) f ( M ) f(M)f(M)f(M) )を f f f\boldsymbol{f}f によって埋め込まれた ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\boldsymbol{g}})(M~,g~) 内の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 リーマン部分多様体といい, f f fff ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) から ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) への等長埋め込み (isometric embedding) という.

の包含写像とする. このとき, ι ι iota\iotaι S S SSS から E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 への C r C r C^(r)C^{r}Cr 埋め込みであり, g ~ E g ~ E widetilde(g)_(E)\widetilde{g}_{\mathbb{E}}g~E からしによって誘導されるリーマン計量 g := ι g ~ E g := ι g ~ E g:=iota^(**) widetilde(g)_(E)g:=\iota^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}}g:=ιg~E は, 2.2 節で述べた S S SSS の第 1 基本形式であり, ( S , g ) ( S , g ) (S,g)(S, g)(S,g) E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 内のしによって埋め达まれた C r C r C^(r)C^{r}Cr リーマン 超曲面である.
問 3.11.1 c : [ a , b ] E n ( = ( A n , g ~ E ) ) c : [ a , b ] E n = A n , g ~ E c:[a,b]rarrE^(n)(=(A^(n), widetilde(g)_(E)))c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}\left(=\left(\mathbb{A}^{n}, \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right)\right)c:[a,b]En(=(An,g~E)) C r ( r 1 ) C r ( r 1 ) C^(r)(r >= 1)C^{r}(r \geq 1)Cr(r1) 正則曲線とする.
(i) c c ccc C r C r C^(r)C^{r}Cr はめ込みであることを示せ.
(ii) s s sss c c ccc の弧長パラメーター(つまり s ( t ) = a t c ( t ) d t ) s ( t ) = a t c ( t ) d t {:s(t)=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt)\left.s(t)=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t\right)s(t)=atc(t)dt) とする。誘導リ ーマン計量 c g ~ E c g ~ E c^(**) widetilde(g)_(E)c^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}}cg~E を関数 s s sss の微分 d s d s dsd sds を用いて表せ.
問 3.11.2 n n nnn 次元単位球面
S n ( 1 ) = { ( x 1 , , x n + 1 ) R n + 1 i = 1 n + 1 x i 2 = 1 } ( R n + 1 ) S n ( 1 ) = x 1 , , x n + 1 R n + 1 i = 1 n + 1 x i 2 = 1 R n + 1 S^(n)(1)={(x_(1),dots,x_(n+1))inR^(n+1)∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=1}(subR^(n+1))S^{n}(1)=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=1\right\}\left(\subset \mathbb{R}^{n+1}\right)Sn(1)={(x1,,xn+1)Rn+1i=1n+1xi2=1}(Rn+1)
は, 問 3.1.2 で述べたように, n n nnn 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体になる. R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 A n + 1 A n + 1 A^(n+1)\mathbb{A}^{n+1}An+1 の同一視の 下, S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) E E n + 1 = ( A n + 1 , g ~ E ) E n + 1 = A n + 1 , g ~ E E^(n+1)=(A^(n+1), widetilde(g)_(E))\mathbb{E}^{n+1}=\left(\mathbb{A}^{n+1}, \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right)En+1=(An+1,g~E) の正則部分多様体とみなすことにする. S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) から E n + 1 E n + 1 E^(n+1)\mathbb{E}^{n+1}En+1 への包含写像とし, g ~ E R n + 1 g ~ E R n + 1 widetilde(g)_(E)をR^(n+1)\widetilde{g}_{\mathbb{E}} を \mathbb{R}^{n+1}g~ERn+1 のユークリッド計量, つまり,
g ~ E ( x i , x j ) = δ i j g ~ E x i , x j = δ i j widetilde(g)_(E)((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))=delta_(ij)\widetilde{g}_{\mathbb{E}}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)=\delta_{i j}g~E(xi,xj)=δij
( id R n + 1 = ( x 1 , , x n + 1 ) ) id R n + 1 = x 1 , , x n + 1 (id_(R^(n+1))=(x_(1),dots,x_(n+1)))\left(\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n+1}}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)\right)(idRn+1=(x1,,xn+1)) にって定義される A n + 1 ( = R n + 1 ) A n + 1 = R n + 1 A^(n+1)(=R^(n+1))\mathbb{A}^{n+1}\left(=\mathbb{R}^{n+1}\right)An+1(=Rn+1) C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 級リーマ ン計量とする. g ~ E g ~ E widetilde(g)_(E)\widetilde{g}_{\mathbb{E}}g~E からしによって誘導される S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) のリーマン計量 ι g ~ E ι g ~ E iota^(**) widetilde(g)_(E)\iota^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}}ιg~E g g ggg と表 し. ( U 1 + , φ 1 + = ( y 1 , , y n ) ) U 1 + , φ 1 + = y 1 , , y n (U_(1)^(+),varphi_(1)^(+)=(y_(1),dots,y_(n)))\left(U_{1}^{+}, \varphi_{1}^{+}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(U1+,φ1+=(y1,,yn))
U 1 + := { ( x 1 , , x n + 1 ) S n ( 1 ) x 1 > 0 } φ 1 + ( x 1 , , x n + 1 ) := ( x 2 , , x n + 1 ) U 1 + := x 1 , , x n + 1 S n ( 1 ) x 1 > 0 φ 1 + x 1 , , x n + 1 := x 2 , , x n + 1 {:[U_(1)^(+):={(x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)∣x_(1) > 0}],[varphi_(1)^(+)(x_(1),dots,x_(n+1)):=(x_(2),dots,x_(n+1))]:}\begin{gathered} U_{1}^{+}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1) \mid x_{1}>0\right\} \\ \varphi_{1}^{+}\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right):=\left(x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right) \end{gathered}U1+:={(x1,,xn+1)Sn(1)x1>0}φ1+(x1,,xn+1):=(x2,,xn+1)
と定義される S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) の局所チャートとする. ( U 1 + , φ 1 + = ( y 1 , , y n ) ) U 1 + , φ 1 + = y 1 , , y n (U_(1)^(+),varphi_(1)^(+)=(y_(1),dots,y_(n)))\left(U_{1}^{+}, \varphi_{1}^{+}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(U1+,φ1+=(y1,,yn)) に関する g g ggg の成分 g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij を求めよ.
( M i , g i ) ( i = 1 , 2 ) M i , g i ( i = 1 , 2 ) (M_(i),g_(i))(i=1,2)\left(M_{i}, g_{i}\right)(i=1,2)(Mi,gi)(i=1,2) n i n i n_(i)n_{i}ni 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体とし, ρ i ( i = 1 , 2 ) ρ i ( i = 1 , 2 ) rho_(i)(i=1,2)\rho_{i}(i=1,2)ρi(i=1,2) M 1 × M 2 M 1 × M 2 M_(1)xxM_(2)M_{1} \times M_{2}M1×M2 上の正値 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級関数とする。また, 積多様体 M 1 × M 2 M 1 × M 2 M_(1)xxM_(2)M_{1} \times M_{2}M1×M2 から M i M i M_(i)M_{i}Mi への 自然な射影を π i π i pi_(i)\pi_{i}πi で表す. 積多様体 M 1 × M 2 M 1 × M 2 M_(1)xxM_(2)M_{1} \times M_{2}M1×M2 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級 2 次共変テンソル場 ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2)\rho_{1} g_{1} \times{ }_{\rho_{2}} g_{2}ρ1g1×ρ2g2
( ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 ) ( p 1 , p 2 ) ( v , w ) := ρ 1 ( p 1 , p 2 ) ( g 1 ) p 1 ( d ( π 1 ) ( p 1 , p 2 ) ( v ) , d ( π 1 ) ( p 1 , p 2 ) ( w ) ) + ρ 2 ( p 1 , p 2 ) ( g 2 ) p 2 ( d ( π 2 ) ( p 1 , p 2 ) ( v ) , d ( π 2 ) ( p 1 , p 2 ) ( w ) ) ( ( p 1 , p 2 ) M 1 × M 2 , v , w T ( p 1 , p 2 ) ( M 1 × M 2 ) ) ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 p 1 , p 2 ( v , w ) := ρ 1 p 1 , p 2 g 1 p 1 d π 1 p 1 , p 2 ( v ) , d π 1 p 1 , p 2 ( w ) + ρ 2 p 1 , p 2 g 2 p 2 d π 2 p 1 , p 2 ( v ) , d π 2 p 1 , p 2 ( w ) p 1 , p 2 M 1 × M 2 , v , w T p 1 , p 2 M 1 × M 2 {:[(rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2))_((p_(1),p_(2)))(v","w):=rho_(1)(p_(1),p_(2))(g_(1))_(p_(1))(d(pi_(1))_((p_(1),p_(2)))(v),d(pi_(1))_((p_(1),p_(2)))(w))],[+rho_(2)(p_(1),p_(2))(g_(2))_(p_(2))(d(pi_(2))_((p_(1),p_(2)))(v),d(pi_(2))_((p_(1),p_(2)))(w))],[((p_(1),p_(2))inM_(1)xxM_(2),v,w inT_((p_(1),p_(2)))(M_(1)xxM_(2)))]:}\begin{aligned} \left(\rho_{1} g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):= & \rho_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)\left(g_{1}\right)_{p_{1}}\left(d\left(\pi_{1}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{v}), d\left(\pi_{1}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{w})\right) \\ & +\rho_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)\left(g_{2}\right)_{p_{2}}\left(d\left(\pi_{2}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{v}), d\left(\pi_{2}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{w})\right) \\ & \left(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in M_{1} \times M_{2}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}\left(M_{1} \times M_{2}\right)\right) \end{aligned}(ρ1g1×ρ2g2)(p1,p2)(v,w):=ρ1(p1,p2)(g1)p1(d(π1)(p1,p2)(v),d(π1)(p1,p2)(w))+ρ2(p1,p2)(g2)p2(d(π2)(p1,p2)(v),d(π2)(p1,p2)(w))((p1,p2)M1×M2,v,wT(p1,p2)(M1×M2))
によって定義する。 これは明らかに, M 1 × M 2 M 1 × M 2 M_(1)xxM_(2)M_{1} \times M_{2}M1×M2 C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン計量になり、 C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体 ( M 1 × M 2 , ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 ) M 1 × M 2 , ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 (M_(1)xxM_(2),rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2))\left(M_{1} \times M_{2}, \rho_{1} g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2}\right)(M1×M2,ρ1g1×ρ2g2) は, ( M 1 , g 1 ) M 1 , g 1 (M_(1),g_(1))\left(M_{1}, g_{1}\right)(M1,g1) ( M 2 , g 2 ) M 2 , g 2 (M_(2),g_(2))\left(M_{2}, g_{2}\right)(M2,g2) の 2 重捩 れ積リーマン多様体(doubly twisted product Riemannian manifold) とよばれる. 特に ρ 1 1 ρ 1 1 rho_(1)-=1\rho_{1} \equiv 1ρ11 の場合, ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2)\rho_{1} g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2}ρ1g1×ρ2g2 g 1 × ρ 2 g 2 g 1 × ρ 2 g 2 g_(1)xx_(rho_(2))g_(2)g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2}g1×ρ2g2 と表され, ( M 1 × M 1 × (M_(1)xx:}\left(M_{1} \times\right.(M1× M 2 , g 1 × ρ 2 g 2 ) M 2 , g 1 × ρ 2 g 2 {:M_(2),g_(1)xx_(rho_(2))g_(2))\left.M_{2}, g_{1} \times{ }_{\rho_{2}} g_{2}\right)M2,g1×ρ2g2) ( M 1 , g 1 ) M 1 , g 1 (M_(1),g_(1))\left(M_{1}, g_{1}\right)(M1,g1) ( M 2 , g 2 ) M 2 , g 2 (M_(2),g_(2))\left(M_{2}, g_{2}\right)(M2,g2) の捩れ積リーマン多様体(twisted product Riemannian manifold)とよばれ,さらに ρ 2 1 ρ 2 1 rho_(2)-=1\rho_{2} \equiv 1ρ21 の場合, ρ 1 g 1 ρ 1 g 1 rho_(1)g_(1)\rho_{1} g_{1}ρ1g1 × ρ 2 g 2 × ρ 2 g 2 xx_(rho_(2))g_(2)\times_{\rho_{2}} g_{2}×ρ2g2 g 1 × g 2 g 1 × g 2 g_(1)xxg_(2)g_{1} \times g_{2}g1×g2 と表され, ( M 1 × M 2 , g 1 × g 2 ) M 1 × M 2 , g 1 × g 2 (M_(1)xxM_(2),g_(1)xxg_(2))\left(M_{1} \times M_{2}, g_{1} \times g_{2}\right)(M1×M2,g1×g2) ( M 1 , g 1 ) M 1 , g 1 (M_(1),g_(1))\left(M_{1}, g_{1}\right)(M1,g1) ( M 2 , g 2 ) M 2 , g 2 (M_(2),g_(2))\left(M_{2}, g_{2}\right)(M2,g2) の積リ ーマン多様体(product Riemannian manifold)とよばれる.
例 3.11.1 単位円 ( S 1 ( 1 ) , g S ) ( g S := ι g ~ E ) S 1 ( 1 ) , g S g S := ι g ~ E (S^(1)(1),g_(S))(g_(S):=iota^(**) widetilde(g)_(E))\left(S^{1}(1), g_{S}\right)\left(g_{S}:=\iota^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right)(S1(1),gS)(gS:=ιg~E) と 1 次元ユークリッド空間 E 1 = E 1 = E^(1)=E^{1}=E1= ( A 1 , g E ) A 1 , g E (A^(1),g_(E))\left(\mathbb{A}^{1}, g_{\mathbb{E}}\right)(A1,gE) を考える。ここで, しは S 1 ( 1 ) S 1 ( 1 ) S^(1)(1)S^{1}(1)S1(1) から E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 への包含写像を表し, g ~ E g ~ E widetilde(g)_(E)\widetilde{g}_{\mathbb{E}}g~E E 2 E 2 E^(2)\mathbb{E}^{2}E2 のユークリッド計量を表す. S 1 ( 1 ) × A 1 S 1 ( 1 ) × A 1 S^(1)(1)xxA^(1)S^{1}(1) \times \mathbb{A}^{1}S1(1)×A1 上の正値 C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数 ρ ρ rho\rhoρ
ρ ( ( cos θ , sin θ ) , t ) := sin 2 θ 2 + 1 ( θ [ 0 , 2 π ) , t A 1 ( = R ) ) ρ ( ( cos θ , sin θ ) , t ) := sin 2 θ 2 + 1 θ [ 0 , 2 π ) , t A 1 ( = R ) rho((cos theta,sin theta),t):=sin^(2)((theta)/(2))+1quad(theta in[0,2pi),t inA^(1)(=R))\rho((\cos \theta, \sin \theta), t):=\sin ^{2} \frac{\theta}{2}+1 \quad\left(\theta \in[0,2 \pi), t \in \mathbb{A}^{1}(=\mathbb{R})\right)ρ((cosθ,sinθ),t):=sin2θ2+1(θ[0,2π),tA1(=R))
と定義する. このとき, 積リーマン多様体 ( S ( 1 ) × A 1 , g S × g E ) S ( 1 ) × A 1 , g S × g E (S(1)xxA^(1),g_(S)xxg_(E))\left(S(1) \times \mathbb{A}^{1}, g_{S} \times g_{\mathbb{E}}\right)(S(1)×A1,gS×gE) と抳れ積リー マン多様体 ( S ( 1 ) × A 1 , g S × ρ g E ) S ( 1 ) × A 1 , g S × ρ g E (S(1)xxA^(1),g_(S)xx_(rho)g_(E))\left(S(1) \times \mathbb{A}^{1}, g_{S} \times{ }_{\rho} g_{\mathbb{E}}\right)(S(1)×A1,gS×ρgE) は各々, 3 次元ユークリッド空間 E 3 E 3 E^(3)\mathbb{E}^{3}E3 へ図 3.11.1のように等長的に埋め込まれる。
次に, アフィン接続を定義しよう. 写像 : X ( M ) × X ( M ) X ( M ) : X ( M ) × X ( M ) X ( M ) grad:X(M)xxX(M)rarrX(M)\nabla: \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \rightarrow \mathcal{X}(M):X(M)×X(M)X(M) で,次の 4 条件を満たすものを M M MMM のアフィン接続(affine connection)と いう:
(i) a X + b Y Z = a X Z + b Y Z ( X , Y , Z X ( M ) , a , b R ) a X + b Y Z = a X Z + b Y Z ( X , Y , Z X ( M ) , a , b R ) grad_(aX+bY)Z=agrad_(X)Z+bgrad_(Y)Z quad(X,Y,Z inX(M),a,b inR)\nabla_{a \boldsymbol{X}+b \boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}=a \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Z}+b \nabla_{\mathbf{Y}} \boldsymbol{Z} \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R})aX+bYZ=aXZ+bYZ(X,Y,ZX(M),a,bR);
(ii) X ( a Y + b Z ) = a X Y + b X Z ( X , Y , Z X ( M ) , a , b R ) X ( a Y + b Z ) = a X Y + b X Z ( X , Y , Z X ( M ) , a , b R ) grad_(X)(aY+bZ)=agrad_(X)Y+bgrad_(X)Z quad(X,Y,Z inX(M),a,b inR)\nabla_{\boldsymbol{X}}(a \boldsymbol{Y}+b \boldsymbol{Z})=a \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}+b \nabla_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Z} \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R})X(aY+bZ)=aXY+bXZ(X,Y,ZX(M),a,bR);
(iii) f X Y = f X Y ( X , Y X ( M ) , f C ( M ) ) f X Y = f X Y X , Y X ( M ) , f C ( M ) grad_(fX)Y=fgrad_(X)Y quad(X,Y inX(M),f inC^(oo)(M))\nabla_{f \boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M)\right)fXY=fXY(X,YX(M),fC(M));
(iv) X ( f Y ) = X ( f ) Y + f X Y ( X , Y X ( M ) , f C ( M ) ) X ( f Y ) = X ( f ) Y + f X Y X , Y X ( M ) , f C ( M ) grad_(X)(fY)=X(f)Y+fgrad_(X)Y quad(X,Y inX(M),f inC^(oo)(M))\nabla_{\boldsymbol{X}}(f \boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X}(f) \boldsymbol{Y}+f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M)\right)X(fY)=X(f)Y+fXY(X,YX(M),fC(M)).
ただし, X Y X Y grad_(X)Y\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}XY 等は ( X , Y ) ( X , Y ) grad(X,Y)\nabla(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})(X,Y) 等を表す。また, 組 ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) はアフィン接続多様体(affinely connected manifold)とよばれる。 grad\nabla をのアフィン接
図 3.11.1捩れ積リーマン多様体の例
続とする. v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM M M MMM 上のベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y に対し, v Y ( T p M ) v Y T p M grad_(v)Y(inT_(p)M)\nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}\left(\in T_{p} M\right)vY(TpM) v Y := ( X Y ) p v Y := X Y p grad_(v)Y:=(grad_(X)Y)_(p)\nabla_{v} \boldsymbol{Y}:=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}vY:=(XY)p (ただし, X X X\boldsymbol{X}X X p = v X p = v X_(p)=v\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}Xp=v となる M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級べクト ル場)によって定義する。 v Y v Y grad_(v)Y\nabla_{v} \boldsymbol{Y}vY は, v v v\boldsymbol{v}v の拡張 X X X\boldsymbol{X}X のとり方によらずに定まる ことを示そう. p p ppp のまわりの局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) をとり, X X X\boldsymbol{X}X ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する局所表示を X = i = 1 n X i x i X = i = 1 n X i x i X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i))\boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}X=i=1nXixi とする. このとき, 条件 (i) と (iii) を用いて,
( X Y ) p = ( i = 1 n X i x i Y ) p = i = 1 n X i ( p ) ( x i Y ) p X Y p = i = 1 n X i x i Y p = i = 1 n X i ( p ) x i Y p (grad_(X)Y)_(p)=(sum_(i=1)^(n)X_(i)grad_((del)/(delx_(i)))Y)_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)(grad_((del)/(delx_(i)))Y)_(p)\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}(XY)p=(i=1nXixiY)p=i=1nXi(p)(xiY)p
をえる。一方, v = X p = i = 1 n X i ( p ) ( x i ) p v = X p = i = 1 n X i ( p ) x i p v=X_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)((del)/(delx_(i)))_(p)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{X}_{p}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}v=Xp=i=1nXi(p)(xi)p なので, X i ( p ) X i ( p ) X_(i)(p)X_{i}(p)Xi(p) v v v\boldsymbol{v}v の拡張 X X X\boldsymbol{X}X のとり方によらずに定まり, それゆえ, ( X Y ) p X Y p (grad_(X)Y)_(p)\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}(XY)p v v v\boldsymbol{v}v の拡張 X X X\boldsymbol{X}X のとり方に よらずに定まることが示される。
p M p M p in Mp \in MpM に対し, T p : T p M × T p M T p M T p : T p M × T p M T p M T_(p):T_(p)M xxT_(p)M rarrT_(p)MT_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \rightarrow T_{p} MTp:TpM×TpMTpM
T p ( v , w ) := ( X Y Y X [ X , Y ] ) p ( v , w T p M ) T p ( v , w ) := X Y Y X [ X , Y ] p v , w T p M T_(p)(v,w):=(grad_(X)Y-grad_(Y)X-[X,Y])_(p)quad(v,w inT_(p)M)T_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-\nabla_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}-[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]\right)_{p} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right)Tp(v,w):=(XYYX[X,Y])p(v,wTpM)
によって定義する. ここで, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y は各々, X p = v , Y p = w X p = v , Y p = w X_(p)=v,Y_(p)=w\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w}Xp=v,Yp=w となる M M MMM 上 の C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場を表す. T p ( v , w ) T p ( v , w ) T_(p)(v,w)T_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})Tp(v,w) は well-defined, つまり, v , w v , w v,w\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}v,w の拡張 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y のとり方によらずに定まり, さらに, T p T p T_(p)T_{p}Tp は双線形であることが示され る. また, 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, T p T p T_(p)T_{p}Tp を対応させる対応 T T TTT は, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) (1,2)(1,2)(1,2) 次テンソル場を与えることが示される. この ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) (1,2)(1,2)(1,2) 次テンソル場 T T TTT grad\nabla
の捩れテンソル場(torsion tensor field)という. T = 0 T = 0 T=0T=0T=0 を満たすアフィン 接続は, 捩れ0のアフィン接続(torsion-free affine connection)とよば れる。
問 3.11.3 T p ( v , w ) T p ( v , w ) T_(p)(v,w)T_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})Tp(v,w) は well-defined, つまり, v , w v , w v,w\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}v,w の拡張 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y のとり方によ らずに定まることを示せ.
grad\nabla をの捩れ0のアフィン接続とし, W W WWW M M MMM の開集合とする. このと き, grad\nabla を用いて, 開部分多様体 W W WWW のアフィン接続 W W grad^(W)\nabla^{W}W が,
X W Y := ( X ~ Y ~ ) | W ( X , Y X ( W ) ) X W Y := X ~ Y ~ W ( X , Y X ( W ) ) grad_(X)^(W)Y:=(grad_( widetilde(X))( widetilde(Y)))|_(W)quad(X,Y inX(W))\nabla_{\boldsymbol{X}}^{W} \boldsymbol{Y}:=\left.\left(\nabla_{\widetilde{\boldsymbol{X}}} \widetilde{\boldsymbol{Y}}\right)\right|_{W} \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(W))XWY:=(X~Y~)|W(X,YX(W))
によって定義される。 ここで, X ~ , Y ~ X ~ , Y ~ widetilde(X), widetilde(Y)\widetilde{\boldsymbol{X}}, \widetilde{\boldsymbol{Y}}X~,Y~ は各々, X ~ | W = X , Y ~ | W = Y X ~ W = X , Y ~ W = Y ( widetilde(X))|_(W)=X,( widetilde(Y))|_(W)=Y\left.\widetilde{\boldsymbol{X}}\right|_{W}=\boldsymbol{X},\left.\widetilde{\boldsymbol{Y}}\right|_{W}=\boldsymbol{Y}X~|W=X,Y~|W=Y となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元である. X W Y X W Y grad_(X)^(W)Y\nabla_{\boldsymbol{X}}^{W} \boldsymbol{Y}XWY は, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y の拡張 X ~ , Y ~ X ~ , Y ~ widetilde(X), widetilde(Y)\widetilde{\boldsymbol{X}}, \widetilde{\boldsymbol{Y}}X~,Y~ のとり方によらずに定ま ることが容易に示される。以下,簡単のため, W W grad^(W)\nabla^{W}W grad\nabla 略記することにす る. M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し,
x i x j = k = 1 Γ i j k x k x i x j = k = 1 Γ i j k x k grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(j))=sum_(k=1)Gamma_(ij)^(k)(del)/(delx_(k))\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}=\sum_{k=1} \Gamma_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}xixj=k=1Γijkxk
によって定義される U U UUU 上の関数 Γ i j k Γ i j k Gamma_(ij)^(k)\Gamma_{i j}^{k}Γijk をの ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する接続係数(connection coefficient)という。一般に, M M MMM にアフィン接続 grad\nabla が与えられて いるとき, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y に対し, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テン ソル場 Y Y grad Y\nabla \boldsymbol{Y}Y が次のように定義される:
( Y ) p ( v ) := v Y ( p M , v T p M ) ( Y ) p ( v ) := v Y p M , v T p M (grad Y)_(p)(v):=grad_(v)Y quad(p in M,v inT_(p)M)(\nabla \boldsymbol{Y})_{p}(\boldsymbol{v}):=\nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y} \quad\left(p \in M, \boldsymbol{v} \in T_{p} M\right)(Y)p(v):=vY(pM,vTpM)
また, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C k k kkk 次共変テンソル場 S S SSS C C C^(oo)C^{\infty}C ( 1 , k ) ( 1 , k ) (1,k)(1, k)(1,k) 次テンソル場 S ^ S ^ hat(S)\hat{S}S^ に対し, C C C^(oo)C^{\infty}C ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) 次共変テンソル場 S S grad S\nabla SS C C C^(oo)C^{\infty}C ( 1 , k + 1 ) ( 1 , k + 1 ) (1,k+1)(1, k+1)(1,k+1) 次テンソル 場 S ^ S ^ grad hat(S)\nabla \hat{S}S^ が各々,次のように定義される:
( S ) p ( v , w 1 , , w k ) := v ( S ( Y 1 , , Y k ) ) i = 1 k S p ( w 1 , , v Y i , , w k ) ( S ^ ) p ( v , w 1 , , w k ) := v ( S ^ ( Y 1 , , Y k ) ) i = 1 k S ^ p ( w 1 , , v Y i , , w k ) ( p M , v , w 1 , , w k T p M ) . ここで, Y i ( Y i ) p = w i となる X ( M ) ( S ) p v , w 1 , , w k := v S Y 1 , , Y k i = 1 k S p w 1 , , v Y i , , w k ( S ^ ) p v , w 1 , , w k := v S ^ Y 1 , , Y k i = 1 k S ^ p w 1 , , v Y i , , w k p M , v , w 1 , , w k T p M .  ここで,  Y i  は  Y i p = w i  となる  X ( M ) {:[(grad S)_(p)(v,w_(1),dots,w_(k)):=v(S(Y_(1),dots,Y_(k)))-sum_(i=1)^(k)S_(p)(w_(1),dots,grad_(v)Y_(i),dots,w_(k))],[(grad hat(S))_(p)(v,w_(1),dots,w_(k)):=grad_(v)(( hat(S))(Y_(1),dots,Y_(k)))-sum_(i=1)^(k) hat(S)_(p)(w_(1),dots,grad_(v)Y_(i),dots,w_(k))],[(p in M,v,w_(1),dots,w_(k)inT_(p)M)." ここで, "Y_(i)" は "(Y_(i))_(p)=w_(i)" となる "X(M)]:}\begin{aligned} & (\nabla S)_{p}\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right):=\boldsymbol{v}\left(S\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right)\right)-\sum_{i=1}^{k} S_{p}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \nabla_{v} \boldsymbol{Y}_{i}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \\ & (\nabla \hat{S})_{p}\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right):=\nabla_{\boldsymbol{v}}\left(\hat{S}\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right)\right)-\sum_{i=1}^{k} \hat{S}_{p}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}_{i}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \\ & \left(p \in M, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k} \in T_{p} M\right) . \text { ここで, } \boldsymbol{Y}_{i} \text { は }\left(\boldsymbol{Y}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{w}_{i} \text { となる } \mathcal{X}(M) \end{aligned}(S)p(v,w1,,wk):=v(S(Y1,,Yk))i=1kSp(w1,,vYi,,wk)(S^)p(v,w1,,wk):=v(S^(Y1,,Yk))i=1kS^p(w1,,vYi,,wk)(pM,v,w1,,wkTpM). ここで, Yi は (Yi)p=wi となる X(M)
の元を表す. これらはwell-defined, つまり, w 1 , , w k w 1 , , w k w_(1),dots,w_(k)\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}w1,,wk の拡張 Y 1 , , Y k Y 1 , , Y k Y_(1),dots,Y_(k)\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}Y1,,Yk のとり方によらずに定まることを注意しておく.上述の Y , S , S ^ Y , S , S ^ grad Y,grad S,grad hat(S)\nabla \boldsymbol{Y}, \nabla S, \nabla \hat{S}Y,S,S^ を各々, Y , S , S ^ Y , S , S ^ Y,S, hat(S)Y, S, \hat{S}Y,S,S^ grad\nabla に関する共変微分という。以下, ( S ) p ( v , w 1 , , w k ) ( S ) p v , w 1 , , w k (grad S)_(p)(v,w_(1),dots,w_(k))(\nabla S)_{p}\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right)(S)p(v,w1,,wk) ( v S ) p ( w 1 , , w k ) v S p w 1 , , w k (grad_(v)S)_(p)(w_(1),dots,w_(k))\left(\nabla_{\boldsymbol{v}} S\right)_{p}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right)(vS)p(w1,,wk) と表し, ( S ) ( X , Y 1 , , Y k ) ( S ) X , Y 1 , , Y k (grad S)(X,Y_(1),dots,Y_(k))(\nabla S)\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right)(S)(X,Y1,,Yk) ( X S ) ( Y 1 , , Y k ) X S Y 1 , , Y k (grad_(X)S)(Y_(1),dots,Y_(k))\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} S\right)\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right)(XS)(Y1,,Yk) と表す。
g g ggg C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C リマン計量とする. M M MMM の捩れ 0 のアフィン接続 grad\nabla g = 0 g = 0 grad g=0\nabla g=0g=0 を満たすようなものは一意に定まる. 実際, 一意性は下で 述べる Koszul の公式から直接導かれ, 存在性も容易に示される。このような アフィン接続をリーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のリーマン接続(Riemannian connection), または, レヴィ・チビタ接続(Levi-Civita connection)とい う.
grad\nabla n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のリーマン接続とする. M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し, g g ggg ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に関す る成分を g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij とし, 正則行列 ( g i j ) g i j (g_(ij))\left(g_{i j}\right)(gij) の逆行列を ( g i j ) g i j (g^(ij))\left(g^{i j}\right)(gij) として, U U UUU 上の関数 { k i j } k i j {[k],[ij]}\left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\}{kij}
{ k i j } := 1 2 l = 1 n g k l ( g l j x i + g i l x j g i j x l ) k i j := 1 2 l = 1 n g k l g l j x i + g i l x j g i j x l {[k],[ij]}:=(1)/(2)sum_(l=1)^(n)g^(kl)((delg_(lj))/(delx_(i))+(delg_(il))/(delx_(j))-(delg_(ij))/(delx_(l)))\left\{\begin{array}{c} k \\ i j \end{array}\right\}:=\frac{1}{2} \sum_{l=1}^{n} g^{k l}\left(\frac{\partial g_{l j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial g_{i l}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial x_{l}}\right){kij}:=12l=1ngkl(gljxi+gilxjgijxl)
によって定義する. { k i j } k i j {[k],[ij]}\left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\}{kij} g g ggg ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関するクリストッフェルの記号 という.問 3.11.4 上述の命題を証明せよ.
リーマン接続に対して, 次の Koszul の公式(Koszul formula)とよば れる関係式が成り立つ.
命題 3.11.2 grad\nabla M M MMM のリマン計量 g g ggg のリーマン接続とする. このとき,次の関係式が成り立つ:
2 g ( X Y , Z ) = X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( Z , X ) ) Z ( g ( X , Y ) ) g ( X , [ Y , Z ] ) + g ( Y , [ Z , X ] ) + g ( Z , [ X , Y ] ) ( X , Y , Z X ( M ) ) 2 g X Y , Z = X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( Z , X ) ) Z ( g ( X , Y ) ) g ( X , [ Y , Z ] ) + g ( Y , [ Z , X ] ) + g ( Z , [ X , Y ] ) ( X , Y , Z X ( M ) ) {:[2g(grad_(X)Y,Z)=X(g(Y","Z))+Y(g(Z","X))-Z(g(X","Y))],[-g(X","[Y","Z])+g(Y","[Z","X])+g(Z","[X","Y])],[(X","Y","Z inX(M))]:}\begin{aligned} & 2 g\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\right)= \boldsymbol{X}(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}))+\boldsymbol{Y}(g(\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}))-\boldsymbol{Z}(g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})) \\ &-g(\boldsymbol{X},[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}])+g(\boldsymbol{Y},[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}])+g(\boldsymbol{Z},[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]) \\ &(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)) \end{aligned}2g(XY,Z)=X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))Z(g(X,Y))g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])(X,Y,ZX(M))
証明 g = 0 g = 0 grad g=0\nabla g=0g=0 より, 次式が成り立つ:
X ( g ( Y , Z ) ) = g ( X Y , Z ) + g ( Y , X Z ) Y ( g ( Z , X ) ) = g ( Y Z , X ) + g ( Z , Y X ) Z ( g ( X , Y ) ) = g ( Z X , Y ) + g ( X , Z Y ) X ( g ( Y , Z ) ) = g X Y , Z + g Y , X Z Y ( g ( Z , X ) ) = g Y Z , X + g Z , Y X Z ( g ( X , Y ) ) = g Z X , Y + g X , Z Y {:[X(g(Y","Z))=g(grad_(X)Y,Z)+g(Y,grad_(X)Z)],[Y(g(Z","X))=g(grad_(Y)Z,X)+g(Z,grad_(Y)X)],[Z(g(X","Y))=g(grad_(Z)X,Y)+g(X,grad_(Z)Y)]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{X}(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}))=g\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\right)+g\left(\boldsymbol{Y}, \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Z}\right) \\ & \boldsymbol{Y}(g(\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}))=g\left(\nabla_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}\right)+g\left(\boldsymbol{Z}, \nabla_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}\right) \\ & \boldsymbol{Z}(g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}))=g\left(\nabla_{\boldsymbol{Z}} \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}\right)+g\left(\boldsymbol{X}, \nabla_{\boldsymbol{Z}} \boldsymbol{Y}\right) \end{aligned}X(g(Y,Z))=g(XY,Z)+g(Y,XZ)Y(g(Z,X))=g(YZ,X)+g(Z,YX)Z(g(X,Y))=g(ZX,Y)+g(X,ZY)
これらの関係式と T = 0 T = 0 T=0T=0T=0 より, 求めるべき関係式が導かれる.

3.12 ガウスの発散定理(微分幾何学版)

この節において, リーマン多様体上のベクトル場に対するガウスの発散定理 について述べることにする。まず、リーマン体積要素を定義する。 ( M , g , O ) ( M , g , O ) (M,g,O)(M, g, O)(M,g,O) を向き付けられた n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン多様体とする。 M M MMM の各正の局所チャ 一ト ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に対し, U U UUU 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式 ( d V g ) ( U , φ ) d V g ( U , φ ) (dV_(g))_((U,varphi))\left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}(dVg)(U,φ)
( d V g ) ( U , φ ) := det ( g i j ) d x 1 d x n d V g ( U , φ ) := det g i j d x 1 d x n (dV_(g))_((U,varphi)):=sqrt(det(g_(ij)))dx_(1)^^cdots^^dx_(n)\left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}:=\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}(dVg)(U,φ):=det(gij)dx1dxn
によって定義する. ここで, g i j g i j g_(ij)g_{i j}gij g g ggg ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分を表す. U V U V U nn V!=U \cap V \neqUV O/\emptyset となる M M MMM の正の局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) V , ψ = y 1 , , y n (V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(V,ψ=(y1,,yn)) をとり, V V VVV 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級 の n n nnn 次微分形式 ( d V g ) ( V , ψ ) d V g ( V , ψ ) (dV_(g))_((V,psi))\left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)}(dVg)(V,ψ) を同様に定義する.つまり,
( d V g ) ( V , ψ ) := det ( g ¯ i j ) d y 1 d y n d V g ( V , ψ ) := det g ¯ i j d y 1 d y n (dV_(g))_((V,psi)):=sqrt(det( bar(g)_(ij)))dy_(1)^^cdots^^dy_(n)\left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)}:=\sqrt{\operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right)} d y_{1} \wedge \cdots \wedge d y_{n}(dVg)(V,ψ):=det(g¯ij)dy1dyn
によって定義する。ここで, g ¯ i j g ¯ i j bar(g)_(ij)\bar{g}_{i j}g¯ij g g ggg ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) に関する成分を表す. U V U V U nn VU \cap VUV 上 で ( d V g ) ( U , φ ) = ( d V g ) ( V , ψ ) d V g ( U , φ ) = d V g ( V , ψ ) (dV_(g))_((U,varphi))=(dV_(g))_((V,psi))\left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}=\left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)}(dVg)(U,φ)=(dVg)(V,ψ) が成り立つことを示そう.
g i j = g ( x i , x j ) = k = 1 n l = 1 n ( y k φ 1 ) x i ( y l φ 1 ) x j g ¯ k l g i j = g x i , x j = k = 1 n l = 1 n y k φ 1 x i y l φ 1 x j g ¯ k l g_(ij)=g((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))=sum_(k=1)^(n)sum_(l=1)^(n)(del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(i))(del(y_(l)@varphi^(-1)))/(delx_(j)) bar(g)_(kl)g_{i j}=g\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)=\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \frac{\partial\left(y_{l} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \bar{g}_{k l}gij=g(xi,xj)=k=1nl=1n(ykφ1)xi(ylφ1)xjg¯kl
となるので,
det ( g i j ) = ( det ( ( y i φ 1 ) x j ) ) 2 det ( g ¯ i j ) det g i j = det y i φ 1 x j 2 det g ¯ i j det(g_(ij))=(det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))))^(2)*det( bar(g)_(ij))\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)=\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)\right)^{2} \cdot \operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right)det(gij)=(det((yiφ1)xj))2det(g¯ij)
が示される. さらに, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) が共に正の局所チャートなので,
det ( ( y i φ 1 ) x j ) > 0 となるので, 上式から det ( g i j ) = det ( ( y i φ 1 ) x j ) det ( g ¯ i j ) det y i φ 1 x j > 0  となるので, 上式から  det g i j = det y i φ 1 x j det g ¯ i j {:[det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))) > 0" となるので, 上式から "],[sqrt(det(g_(ij)))=det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))*sqrt(det( bar(g)_(ij)))]:}\begin{array}{r} \operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)>0 \text { となるので, 上式から } \\ \sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right) \cdot \sqrt{\operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right)} \end{array}det((yiφ1)xj)>0 となるので, 上式から det(gij)=det((yiφ1)xj)det(g¯ij)
が導かれる. 一方, n n nnn 文字の置換 σ σ sigma\sigmaσ に対し, d x σ ( 1 ) d x σ ( n ) = sgn ( σ ) d x 1 d x σ ( 1 ) d x σ ( n ) = sgn ( σ ) d x 1 dx_(sigma(1))^^cdots^^dx_(sigma(n))=sgn(sigma)dx_(1)d x_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge d x_{\sigma(n)}=\operatorname{sgn}(\sigma) d x_{1}dxσ(1)dxσ(n)=sgn(σ)dx1 d x n d x n ^^cdots^^dx_(n)\wedge \cdots \wedge d x_{n}dxn が成り立つので,
d y 1 d y n = det ( ( y i φ 1 ) x j ) d x 1 d x n d y 1 d y n = det y i φ 1 x j d x 1 d x n dy_(1)^^cdots^^dy_(n)=det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))*dx_(1)^^cdots^^dx_(n)d y_{1} \wedge \cdots \wedge d y_{n}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right) \cdot d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}dy1dyn=det((yiφ1)xj)dx1dxn
が示される. これらの関係式から, U V U V U nn VU \cap VUV 上で ( d V g ) ( U , φ ) = ( d V g ) ( V , ψ ) d V g ( U , φ ) = d V g ( V , ψ ) (dV_(g))_((U,varphi))=(dV_(g))_((V,psi))\left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}=\left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)}(dVg)(U,φ)=(dVg)(V,ψ) が成り 立つことがわかる.それゆえ, ( d V g ) ( U , φ ) d V g ( U , φ ) (dV_(g))_((U,varphi))\left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}(dVg)(U,φ) らを貼り合わせて M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級の n n nnn 次微分形式がえられる。これを d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg と表し, g g ggg のリーマン体積要素 (Riemannian volume element), または単に, 体積要素 (volume element)という. ρ ρ rho\rhoρ M M MMM 上のコンパクトな台をもつ C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数とする。 M M MMM 上 の C C C^(oo)C^{\infty}C n n nnn 次微分形式 ρ d V g ρ d V g rho dV_(g)\rho d V_{g}ρdVg の積分 M ρ d V g M ρ d V g int_(M)rho dV_(g)\int_{M} \rho d V_{g}MρdVg ρ ρ rho\boldsymbol{\rho}ρ M M MMM 上のリーマン体積要素 d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg に関する積分(the integral of ρ ρ rho\rhoρ over M M MMM with respect to d V g d V g dV_(g)d V_{g}dVg ) という. また,DをMのコンパクト閉領域とするとき, D 1 d V g D 1 d V g int_(D)1dV_(g)\int_{D} 1 d V_{g}D1dVg D D D\boldsymbol{D}D のリ
ーマン計量 g g ggg に関する体積(the volume of D D DDD with respect to g g ggg )とよ び, Vol g ( D ) Vol g ( D ) Vol_(g)(D)\operatorname{Vol}_{g}(D)Volg(D) と表す. 特に, M M MMM がコンパクトであるとき, M 1 d V g M 1 d V g int_(M)1dV_(g)\int_{M} 1 d V_{g}M1dVg をリーマ ン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{g})(M,g) の体積(the volume of ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{g})(M,g) ) とよび, Vol ( M , g ) Vol ( M , g ) Vol(M,g)\operatorname{Vol}(M, g)Vol(M,g) と表 す。
次に, C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の C r ( r 1 ) C r ( r 1 ) C^(r)(r >= 1)C^{r}(r \geq 1)Cr(r1) ベクトル場の発散を定義することにする. grad\nabla g g ggg のリーマン接続とする。 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr ベクトル 場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テンソル場 X X grad X\nabla \boldsymbol{X}X のトレース T r X T r X Tr grad XT r \nabla \boldsymbol{X}TrX X X X\boldsymbol{X}X g g g\boldsymbol{g}g に関す る発散といい, div g X div g X div_(g)X\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X}divgX と表す. ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の C r ( r 2 ) C r ( r 2 ) C^(r)(r >= 2)C^{r}(r \geq 2)Cr(r2) 級関数 ρ ρ rho\rhoρ に対し,
d ρ p ( v ) = g p ( Y p , v ) ( p M , v T p M ) d ρ p ( v ) = g p Y p , v p M , v T p M drho_(p)(v)=g_(p)(Y_(p),v)quad(AA p in M,AA v inT_(p)M)d \rho_{p}(\boldsymbol{v})=g_{p}\left(\boldsymbol{Y}_{p}, \boldsymbol{v}\right) \quad\left(\forall p \in M, \forall \boldsymbol{v} \in T_{p} M\right)dρp(v)=gp(Yp,v)(pM,vTpM)
を満たす M M MMM 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 ベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y が一意に定まる. このベクトル場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y を,
grad g ρ grad g ρ grad_(g)rho\operatorname{grad}_{g} \rhogradgρ と表し, ρ ρ rho\boldsymbol{\rho}ρ g g g\boldsymbol{g}g に関する勾配ベクトル場という. grad g ρ grad g ρ grad_(g)rho\operatorname{grad}_{g} \rhogradgρ の発散 div g ( grad g ρ ) div g grad g ρ div_(g)(gradgrad_(g)rho)\operatorname{div}_{g}\left(\nabla \operatorname{grad}_{g} \rho\right)divg(gradgρ) は, ρ ρ rho\rhoρ のラプラシアン(Laplacian)とよばれ, Δ g ρ Δ g ρ Delta_(g)rho\Delta_{g} \rhoΔgρ と表さ れる。
注意一般に, n n nnn 次元リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の任意の 2 次共変テンソル場 S S SSS に 対し, S S SSS g g ggg に関するトレース Tr g S Tr g S Tr_(g)S\operatorname{Tr}_{g} STrgS が,
( Tr g S ) p := i = 1 n S p ( e i , e i ) ( p M ) Tr g S p := i = 1 n S p e i , e i ( p M ) (Tr_(g)S)_(p):=sum_(i=1)^(n)S_(p)(e_(i),e_(i))quad(p in M)\left(\operatorname{Tr}_{g} S\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n} S_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \quad(p \in M)(TrgS)p:=i=1nSp(ei,ei)(pM)
( ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n ((e_(1),dots,e_(n)):}\left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right.((e1,,en) ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底)によって矛盾なく定義され, g , S g , S g,Sg, Sg,S ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に関する成分を各々, g i j , S i j g i j , S i j g_(ij),S_(ij)g_{i j}, S_{i j}gij,Sij とし, 行列 ( g i j ) g i j (g_(ij))\left(g_{i j}\right)(gij) の逆行列を ( g i j ) g i j (g^(ij))\left(g^{i j}\right)(gij) として, U U UUU 上で
(3.12.1) Tr g S = i = 1 n j = 1 n S i j g i j (3.12.1) Tr g S = i = 1 n j = 1 n S i j g i j {:(3.12.1)Tr_(g)S=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)S_(ij)g^(ij):}\begin{equation*} \operatorname{Tr}_{g} S=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} S_{i j} g^{i j} \tag{3.12.1} \end{equation*}(3.12.1)TrgS=i=1nj=1nSijgij
が成り立つ. Δ g ρ Δ g ρ Delta_(g)rho\Delta_{g} \rhoΔgρ は, Δ g ρ := Tr g d ρ Δ g ρ := Tr g d ρ Delta_(g)rho:=Tr_(g)grad d rho\Delta_{g} \rho:=\operatorname{Tr}_{g} \nabla d \rhoΔgρ:=Trgdρ, つまり,
( Δ g ρ ) p := i = 1 n ( d ρ ) p ( e i , e i ) ( p M ) Δ g ρ p := i = 1 n ( d ρ ) p e i , e i ( p M ) (Delta_(g)rho)_(p):=sum_(i=1)^(n)(grad d rho)_(p)(e_(i),e_(i))quad(p in M)\left(\Delta_{g} \rho\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n}(\nabla d \rho)_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \quad(p \in M)(Δgρ)p:=i=1n(dρ)p(ei,ei)(pM)
と定義することもできる.
3.10 節で述べたストークスの定理(定理 3.10.1)を用いて,1.12 節で述べ たガウスの発散定理(定理 1.12.1)を一般化した結果として, 次のガウスの発散定理(Gauss' divergence theorem)が導かれる。
定理 3.12.1(ガウスの発散定理) r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする。 ( M , g , O ) ( M , g , O ) (M,g,O)(M, g, O)(M,g,O) を向き付けられ た n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体とし, D D DDD M M MMM の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつコ ンパクト閉領域とする。このとき, M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し,次の 関係式が成り立つ:
D div g X d V g = D g ( X , N ) d V ι g D div g X d V g = D g ( X , N ) d V ι g int_(D)div_(g)XdV_(g)=int_(del D)g(X,N)dV_(iota^(**)g)\int_{D} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} d V_{g}=\int_{\partial D} g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N}) d V_{\iota^{*} g}DdivgXdVg=Dg(X,N)dVιg
ただし, N N N\boldsymbol{N}N D D del D\partial DD の外向きの単位法べクトル場を表し, D D はdel Dは ~ \partial D D から M M MMM への 包含写像を表す(図 3.12 .1 を参照)。特に, X = grad g ρ ( ρ C r + 1 ( M ) ) X = grad g ρ ρ C r + 1 ( M ) X=grad_(g)rho(rho inC^(r+1)(M))\boldsymbol{X}=\operatorname{grad}_{g} \rho\left(\rho \in C^{r+1}(M)\right)X=gradgρ(ρCr+1(M)) の 場合に,次の関係式をえる:
D Δ g ρ d V g = D g ( grad g ρ , N ) d V ι g D Δ g ρ d V g = D g grad g ρ , N d V ι g int_(D)Delta_(g)rho dV_(g)=int_(del D)g(grad_(g)rho,N)dV_(iota^(**)g)\int_{D} \Delta_{g} \rho d V_{g}=\int_{\partial D} g\left(\operatorname{grad}_{g} \rho, \boldsymbol{N}\right) d V_{\iota^{*} g}DΔgρdVg=Dg(gradgρ,N)dVιg
図 3.12.1 リーマン多様体上のベクトル場に対する発散定理
証明 最初に, D D DDD M M MMM のある正の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に含 まれている場合に示すことにする。 X , g X , g X,g\boldsymbol{X}, gX,g ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分を各々, X i , g i j X i , g i j X_(i),g_(ij)X_{i}, g_{i j}Xi,gij とし, ( g i j ) := ( g i j ) 1 g i j := g i j 1 (g^(ij)):=(g_(ij))^(-1)\left(g^{i j}\right):=\left(g_{i j}\right)^{-1}(gij):=(gij)1 とする. 簡単のため, G := det ( g i j ) G := det g i j G:=det(g_(ij))G:=\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)G:=det(gij) とおく. まず,
(3.12.2) div g X = 1 G i = 1 n ( ( ( G X i ) φ 1 ) x i φ ) (3.12.2) div g X = 1 G i = 1 n G X i φ 1 x i φ {:(3.12.2)div_(g)X=(1)/(sqrtG)sum_(i=1)^(n)((del((sqrtGX_(i))@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi):}\begin{equation*} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X}=\frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(\left(\sqrt{G} X_{i}\right) \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) \tag{3.12.2} \end{equation*}(3.12.2)divgX=1Gi=1n(((GXi)φ1)xiφ)
が成り立つことを示そう.
x i X = x i ( j = 1 n X j x j ) = j = 1 n ( ( X j φ 1 ) x i φ ) x j + X j k = 1 n { k i j } x k = j = 1 n ( ( ( X j φ 1 ) x i φ ) + k = 1 n X k { j i k } ) x j x i X = x i j = 1 n X j x j = j = 1 n X j φ 1 x i φ x j + X j k = 1 n k i j x k = j = 1 n X j φ 1 x i φ + k = 1 n X k j i k x j {:[grad_((del)/(delx_(i)))X=grad_((del)/(delx_(i)))(sum_(j=1)^(n)X_(j)(del)/(delx_(j)))],[=sum_(j=1)^(n)((del(X_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)(del)/(delx_(j))+X_(j)sum_(k=1)^(n){[k],[ij]}(del)/(delx_(k))],[=sum_(j=1)^(n)(((del(X_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+sum_(k=1)^(n)X_(k){[j],[ik]})(del)/(delx_(j))]:}\begin{aligned} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \boldsymbol{X} & =\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\sum_{j=1}^{n} X_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(X_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) \frac{\partial}{\partial x_{j}}+X_{j} \sum_{k=1}^{n}\left\{\begin{array}{c} k \\ i j \end{array}\right\} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\sum_{k=1}^{n} X_{k}\left\{\begin{array}{c} j \\ i k \end{array}\right\}\right) \frac{\partial}{\partial x_{j}} \end{aligned}xiX=xi(j=1nXjxj)=j=1n((Xjφ1)xiφ)xj+Xjk=1n{kij}xk=j=1n(((Xjφ1)xiφ)+k=1nXk{jik})xj
となるので,
div g X = Tr X = i = 1 n ( ( ( X i φ 1 ) x i φ ) + j = 1 n X j { i i j } ) (3.12.3) = i = 1 n ( ( ( X i φ 1 ) x i φ ) + 1 2 j = 1 n k = 1 n X j ( ( g i k φ 1 ) x j φ ) g i k ) div g X = Tr X = i = 1 n X i φ 1 x i φ + j = 1 n X j i i j (3.12.3) = i = 1 n X i φ 1 x i φ + 1 2 j = 1 n k = 1 n X j g i k φ 1 x j φ g i k {:[div_(g)X=Tr grad X],[=sum_(i=1)^(n)(((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+sum_(j=1)^(n)X_(j){[i],[ij]})],[(3.12.3)=sum_(i=1)^(n)(((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+(1)/(2)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)X_(j)((del(g_(ik)@varphi^(-1)))/(delx_(j))@varphi)g^(ik))]:}\begin{align*} & \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X}=\operatorname{Tr} \nabla \boldsymbol{X} \\ = & \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\sum_{j=1}^{n} X_{j}\left\{\begin{array}{c} i \\ i j \end{array}\right\}\right) \\ = & \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} X_{j}\left(\frac{\partial\left(g_{i k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \circ \varphi\right) g^{i k}\right) \tag{3.12.3} \end{align*}divgX=TrX=i=1n(((Xiφ1)xiφ)+j=1nXj{iij})(3.12.3)=i=1n(((Xiφ1)xiφ)+12j=1nk=1nXj((gikφ1)xjφ)gik)
をえる。一方, クラメールの公式を用いて,
( G φ 1 ) x i φ = 1 2 G j = 1 n | g 11 ( g 1 j φ 1 ) x i φ g 1 n g n 1 ( g n j φ 1 ) x i φ g n n | = 1 2 G j = 1 n ( G k = 1 n ( ( g k j φ 1 ) x i φ ) g j k ) = G 2 j = 1 n k = 1 n ( ( g j k φ 1 ) x i φ ) g j k G φ 1 x i φ = 1 2 G j = 1 n g 11 g 1 j φ 1 x i φ g 1 n g n 1 g n j φ 1 x i φ g n n = 1 2 G j = 1 n G k = 1 n g k j φ 1 x i φ g j k = G 2 j = 1 n k = 1 n g j k φ 1 x i φ g j k {:[(del(sqrtG@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi=(1)/(2sqrtG)sum_(j=1)^(n)|[g_(11),cdots,(del(g_(1j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi,cdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(del(g_(nj)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi,cdots,g_(nn)]|],[=(1)/(2sqrtG)sum_(j=1)^(n)(Gsum_(k=1)^(n)((del(g_(kj)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)g^(jk))],[=(sqrtG)/(2)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)((del(g_(jk)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)g^(jk)]:}\begin{aligned} \frac{\partial\left(\sqrt{G} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi & =\frac{1}{2 \sqrt{G}} \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc} g_{11} & \cdots & \frac{\partial\left(g_{1 j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi & \cdots & g_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ g_{n 1} & \cdots & \frac{\partial\left(g_{n j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi & \cdots & g_{n n} \end{array}\right| \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{G}} \sum_{j=1}^{n}\left(G \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(g_{k j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) g^{j k}\right) \\ & =\frac{\sqrt{G}}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(g_{j k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) g^{j k} \end{aligned}(Gφ1)xiφ=12Gj=1n|g11(g1jφ1)xiφg1ngn1(gnjφ1)xiφgnn|=12Gj=1n(Gk=1n((gkjφ1)xiφ)gjk)=G2j=1nk=1n((gjkφ1)xiφ)gjk
が示され, それゆえ,
1 G i = 1 n ( ( ( G X i ) φ 1 ) x i φ ) = 1 G i = 1 n ( ( ( G φ 1 ) x i φ ) X i + G ( ( X i φ 1 ) x i φ ) ) = i = 1 n ( ( ( X i φ 1 ) x i φ ) + 1 2 j = 1 n k = 1 n X i ( ( g j k φ 1 ) x i φ ) g j k ) 1 G i = 1 n G X i φ 1 x i φ = 1 G i = 1 n G φ 1 x i φ X i + G X i φ 1 x i φ = i = 1 n X i φ 1 x i φ + 1 2 j = 1 n k = 1 n X i g j k φ 1 x i φ g j k {:[(1)/(sqrtG)sum_(i=1)^(n)((del((sqrtGX_(i))@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)],[=(1)/(sqrtG)sum_(i=1)^(n)(((del(sqrtG@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)X_(i)+sqrtG((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi))],[=sum_(i=1)^(n)(((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+(1)/(2)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)X_(i)((del(g_(jk)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)g^(jk))]:}\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(\left(\sqrt{G} X_{i}\right) \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) \\ = & \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(\sqrt{G} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) X_{i}+\sqrt{G}\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)\right) \\ = & \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} X_{i}\left(\frac{\partial\left(g_{j k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) g^{j k}\right) \end{aligned}1Gi=1n(((GXi)φ1)xiφ)=1Gi=1n(((Gφ1)xiφ)Xi+G((Xiφ1)xiφ))=i=1n(((Xiφ1)xiφ)+12j=1nk=1nXi((gjkφ1)xiφ)gjk)
をえる. この関係式と式 (3.12.3) から, 式 (3.12.2) が導かれる.
( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C ( n 1 ) ( n 1 ) (n-1)(n-1)(n1) 次微分形式 ω ω omega\omegaω を, 各正の局所チャート ( U , φ = ( U , φ = (U,varphi=(U, \varphi=(U,φ= ( x 1 , , x n ) ) x 1 , , x n {:(x_(1),dots,x_(n)))\left.\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(x1,,xn)) に関する局所表示が
(3.12.4) ω := i = 1 n ( 1 ) i 1 G X i d x 1 d x i ^ d x n (3.12.4) ω := i = 1 n ( 1 ) i 1 G X i d x 1 d x i ^ d x n {:(3.12.4)omega:=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)sqrtGX_(i)dx_(1)^^cdots^^ widehat(dx_(i))^^cdots^^dx_(n):}\begin{equation*} \omega:=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{G} X_{i} d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \tag{3.12.4} \end{equation*}(3.12.4)ω:=i=1n(1)i1GXidx1dxi^dxn
となるようなものとして定義する. この ω ω omega\omegaω が well-defined であることを示そ
う. ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) , ( V , ψ = ( y 1 , , y n ) ) U , φ = x 1 , , x n , V , ψ = y 1 , , y n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))),(V,psi=(y_(1),dots,y_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)),(V,ψ=(y1,,yn)) U V U V U nn V!=O/U \cap V \neq \emptysetUV となるような正 の局所チャートとし, g , X g , X g,Xg, \boldsymbol{X}g,X ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) ( V , ψ ) ( V , ψ ) (V,psi)(V, \psi)(V,ψ) に関する成分を各々, g i j , X i g i j , X i g_(ij),X_(i)g_{i j}, X_{i}gij,Xi, および g ¯ i j , X ¯ i g ¯ i j , X ¯ i bar(g)_(ij), bar(X)_(i)\bar{g}_{i j}, \bar{X}_{i}g¯ij,X¯i とし, G := det ( g i j ) , G ¯ := det ( g ¯ i j ) G := det g i j , G ¯ := det g ¯ i j G:=det(g_(ij)), bar(G):=det( bar(g)_(ij))G:=\operatorname{det}\left(g_{i j}\right), \bar{G}:=\operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right)G:=det(gij),G¯:=det(g¯ij) として, U V U V U nn VU \cap VUV上で,
i = 1 n ( 1 ) i 1 G X i d x 1 d x i ^ d x n = i = 1 n ( 1 ) i 1 G ¯ X ¯ i d y 1 d y i ^ d y n i = 1 n ( 1 ) i 1 G X i d x 1 d x i ^ d x n = i = 1 n ( 1 ) i 1 G ¯ X ¯ i d y 1 d y i ^ d y n {:[sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)sqrtGX_(i)dx_(1)^^cdots^^ widehat(dx_(i))^^cdots^^dx_(n)],[=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)sqrt bar(G) bar(X)_(i)dy_(1)^^cdots^^ widehat(dy_(i))^^cdots^^dy_(n)]:}\begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{G} X_{i} d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \\ = & \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{\bar{G}} \bar{X}_{i} d y_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d y_{i}} \wedge \cdots \wedge d y_{n} \end{aligned}i=1n(1)i1GXidx1dxi^dxn=i=1n(1)i1G¯X¯idy1dyi^dyn
が成り立つことを示さねばならないが, この関係式は,
G ¯ = ( det ( ( y i φ 1 ) x j ) φ ) 1 G X ¯ i = j = 1 n ( ( y i φ 1 ) x j φ ) X j d y i = j = 1 n ( ( y i φ 1 ) x j φ ) d x j G ¯ = det y i φ 1 x j φ 1 G X ¯ i = j = 1 n y i φ 1 x j φ X j d y i = j = 1 n y i φ 1 x j φ d x j {:[sqrt bar(G)=(det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))@varphi)^(-1)sqrtG],[ bar(X)_(i)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))@varphi)X_(j)],[dy_(i)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))@varphi)dx_(j)]:}\begin{aligned} \sqrt{\bar{G}} & =\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right) \circ \varphi\right)^{-1} \sqrt{G} \\ \bar{X}_{i} & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \circ \varphi\right) X_{j} \\ d y_{i} & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \circ \varphi\right) d x_{j} \end{aligned}G¯=(det((yiφ1)xj)φ)1GX¯i=j=1n((yiφ1)xjφ)Xjdyi=j=1n((yiφ1)xjφ)dxj
および, クラメールの公式を用いて示すことができる。それゆえ, ω ω omega\omegaω は welldefinedである。 ω ω omega\omegaω の定義式(上述の局所表示式 (3.12.4))と式 (3.12.2) から,単純計算により,
d ω = div g X d V g d ω = div g X d V g d omega=div_(g)XdV_(g)d \omega=\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} d V_{g}dω=divgXdVg
が示され, 同じく ω ω omega\omegaω の定義式 (3.12.4) から,
ι ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 ( X i ι ) ( G ι ) ι ( d x 1 d x i ^ d x n ) = ( G ι ) ( d x 1 d x n ) ( X , ι ( ) , , ι ( ) ) = ( G ι ) ( d x 1 d x n ) ( g ( X , N ) N , ι ( ) , , ι ( ) ) = g ( X , N ) ( G ι ) ( d x 1 d x n ) ( N , ι ( ) , , ι ( ) ) = g ( X , N ) d V ι g ι ω = i = 1 n ( 1 ) i 1 X i ι ( G ι ) ι d x 1 d x i ^ d x n = ( G ι ) d x 1 d x n X , ι ( ) , , ι ( ) = ( G ι ) d x 1 d x n g ( X , N ) N , ι ( ) , , ι ( ) = g ( X , N ) ( G ι ) d x 1 d x n N , ι ( ) , , ι ( ) = g ( X , N ) d V ι g {:[iota^(**)omega=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)(X_(i)@iota)(sqrtG@iota)iota^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))],[=(sqrtG@iota)(dx_(1)^^cdots^^dx_(n))(X,iota_(**)(*),dots,iota_(**)(*))],[=(sqrtG@iota)(dx_(1)^^cdots^^dx_(n))(g(X,N)N,iota_(**)(*),dots,iota_(**)(*))],[=g(X","N)(sqrtG@iota)(dx_(1)^^cdots^^dx_(n))(N,iota_(**)(*),dots,iota_(**)(*))],[=g(X","N)dV_(iota^(**)g)]:}\begin{aligned} \iota^{*} \omega & =\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\left(X_{i} \circ \iota\right)(\sqrt{G} \circ \iota) \iota^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \\ & =(\sqrt{G} \circ \iota)\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\left(\boldsymbol{X}, \iota_{*}(\cdot), \ldots, \iota_{*}(\cdot)\right) \\ & =(\sqrt{G} \circ \iota)\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\left(g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N}) \boldsymbol{N}, \iota_{*}(\cdot), \ldots, \iota_{*}(\cdot)\right) \\ & =g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N})(\sqrt{G} \circ \iota)\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\left(\boldsymbol{N}, \iota_{*}(\cdot), \ldots, \iota_{*}(\cdot)\right) \\ & =g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N}) d V_{\iota^{*} g} \end{aligned}ιω=i=1n(1)i1(Xiι)(Gι)ι(dx1dxi^dxn)=(Gι)(dx1dxn)(X,ι(),,ι())=(Gι)(dx1dxn)(g(X,N)N,ι(),,ι())=g(X,N)(Gι)(dx1dxn)(N,ι(),,ι())=g(X,N)dVιg
が示される. したがって, ストークスの定理(定理 3.10.1)より, 求めるべき
関係式が導かれる。
D D DDD を含む M M MMM の正の局所チャートが存在しない場合は, 定理3.10.1 の証明 におけるようにDを局所チャートに含まれる小閉領域に分割し, 各小閉領域上で主張における関係式が成り立つこと(上ですでに証明済み)を利用して,求めるべき関係式を導くことができる。
特に, M M MMM が向き付けられた C C C^(oo)C^{\infty}C 閉リーマン多様体の場合に次の事実が導か れる。
系 3.12.2 ( M , g , O ) ( M , g , O ) (M,g,O)(M, g, O)(M,g,O) を向き付けられた n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 閉リーマン多様体とす る. このとき, M M MMM 上の C r ( r 1 ) C r ( r 1 ) C^(r)(r >= 1)C^{r}(r \geq 1)Cr(r1) 級ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X に対し, 次の関係式が成 り立つ:
M div g X d V g = 0 M div g X d V g = 0 int_(M)div_(g)XdV_(g)=0\int_{M} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} d V_{g}=0MdivgXdVg=0
特に, X = grad g ρ ( ρ C r + 1 ( M ) ) X = grad g ρ ρ C r + 1 ( M ) X=grad_(g)rho(rho inC^(r+1)(M))\boldsymbol{X}=\operatorname{grad}_{g} \rho\left(\rho \in C^{r+1}(M)\right)X=gradgρ(ρCr+1(M)) の場合に, 次の関係式が成り立つ:
M Δ g ρ d V g = 0 M Δ g ρ d V g = 0 int_(M)Delta_(g)rho dV_(g)=0\int_{M} \Delta_{g} \rho d V_{g}=0MΔgρdVg=0

4 微分幾何学における体積沉関数の

CHAPTER  CHAPTER  ¯ bar(" CHAPTER ")\overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER  変分公式
この章の前半部では, 微分幾何学における基礎的概念, および基本的事実を 述べ, 最後の 2 節で, 微分幾何学における体積汎関数の第 1 変分公式, およ び第 2 変分公式を紹介し,その厳密な証明を与えることにする.

4.1 平行移動・測地線・指数写像

この節において, アフィン接続多様体上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線に沿う平行移動, およ び測地線の概念を定義し, さらに, 指数写像の概念を定義する. この節では r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする. ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C アフィン接続多様体とし, c : [ a , b ] M c : [ a , b ] M c:[a,b]rarr Mc:[a, b] \rightarrow Mc:[a,b]M C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とする. 各 t [ a , b ] t [ a , b ] t in[a,b]t \in[a, b]t[a,b] に対し, T c ( t ) M T c ( t ) M T_(c(t))MT_{c(t)} MTc(t)M の元 X t X t X_(t)\boldsymbol{X}_{t}Xt を対応させる対応 X X X\boldsymbol{X}X を に沿うべクトル場という. t 0 [ a , b ] t 0 [ a , b ] t_(0)in[a,b]t_{0} \in[a, b]t0[a,b] を 1 つ固定する. ( U , φ = ( x 1 U , φ = x 1 (U,varphi=(x_(1):}\left(U, \varphi=\left(x_{1}\right.\right.(U,φ=(x1, , x n ) ) , x n {: dots,x_(n)))\left.\left.\ldots, x_{n}\right)\right),xn)) c ( t 0 ) c t 0 c(t_(0))c\left(t_{0}\right)c(t0) のまわりの局所チャートとし, X t = i = 1 n X i ( t ) ( x i ) X t = i = 1 n X i ( t ) x i X_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delx_(i)))\boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)Xt=i=1nXi(t)(xi)
によって定義される t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 を含む十分小さな開区間上の関数 X i X i X_(i)X_{i}Xi t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 C r C r C^(r)C^{r}Cr 級で あるとき, X X X\boldsymbol{X}X t 0 t 0 t_(0)\boldsymbol{t}_{\mathbf{0}}t0 C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr 級であるという. この t 0 t 0 t_(0)t_{0}t0 における C r C r C^(r)C^{r}Cr 級性が welldefined であること、つまり, c ( t 0 ) c t 0 c(t_(0))c\left(t_{0}\right)c(t0) のまわりの局所チャート ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) のとり方 によらないことが示される. X X X\boldsymbol{X}X が各 t [ a , b ] t [ a , b ] t in[a,b]t \in[a, b]t[a,b] C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるとき, X X X\boldsymbol{X}X c c c\boldsymbol{c}c に沿う C r C r C^(r)C^{r}Cr 級ベクトル場という. c c ccc に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場の全体を X c ( M ) X c ( M ) X_(c)(M)\mathcal{X}_{c}(M)Xc(M) と表す. 写像 c : X c ( M ) X c ( M ) c : X c ( M ) X c ( M ) grad_(c^(')):X_(c)(M)rarrX_(c)(M)\nabla_{c^{\prime}}: \mathcal{X}_{c}(M) \rightarrow \mathcal{X}_{c}(M)c:Xc(M)Xc(M) で次の 3 条件を満たすようなものは, た だ 1 つ存在する:
(i) c ( α X + β Y ) = α c X + β c Y ( X , Y X c ( M ) , α , β R ) ; c ( α X + β Y ) = α c X + β c Y X , Y X c ( M ) , α , β R ; grad_(c^('))(alpha X+beta Y)=alphagrad_(c^('))X+betagrad_(c^('))Y quad(X,Y inX_(c)(M),alpha,beta inR);\nabla_{c^{\prime}}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}+\beta \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}_{c}(M), \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right) ;c(αX+βY)=αcX+βcY(X,YXc(M),α,βR);
(ii) c ( f X ) = f X + f c X ( X X c ( M ) , f C ( [ a , b ] ) ) c ( f X ) = f X + f c X X X c ( M ) , f C ( [ a , b ] ) grad_(c^('))(fX)=f^(')X+fgrad_(c^('))X quad(X inX_(c)(M),f inC^(oo)([a,b]))\nabla_{c^{\prime}}(f \boldsymbol{X})=f^{\prime} \boldsymbol{X}+f \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} \quad\left(\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}_{c}(M), f \in C^{\infty}([a, b])\right)c(fX)=fX+fcX(XXc(M),fC([a,b]));
(iii) Z X ( M ) Z X ( M ) Z inX(M)\boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)ZX(M) に対し, Z c X c ( M ) Z c X c ( M ) Z_(c)inX_(c)(M)\boldsymbol{Z}_{c} \in \mathcal{X}_{c}(M)ZcXc(M) ( Z c ) t := Z c ( t ) ( a t b ) Z c t := Z c ( t ) ( a t b ) (Z_(c))_(t):=Z_(c(t))(a <= t <= b)\left(\boldsymbol{Z}_{c}\right)_{t}:=\boldsymbol{Z}_{c(t)}(a \leq t \leq b)(Zc)t:=Zc(t)(atb) によ
って定義するとき, ( c Z c ) t = c ( t ) Z ( a t b ) c Z c t = c ( t ) Z ( a t b ) (grad_(c^('))Z_(c))_(t)=grad_(c^(')(t))Z(a <= t <= b)\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Z}_{c}\right)_{t}=\nabla_{c^{\prime}(t)} \boldsymbol{Z}(a \leq t \leq b)(cZc)t=c(t)Z(atb) が成り立つ.
条件 (iii)の関係式の右辺 c ( t ) Z c ( t ) Z grad_(c^(')(t))Z\nabla_{c^{\prime}(t)} \boldsymbol{Z}c(t)Z は, t t ttt を留めて c ( t ) c ( t ) c^(')(t)c^{\prime}(t)c(t) T c ( t ) M T c ( t ) M T_(c(t))MT_{c(t)} MTc(t)M の元とみてお り, それゆえ, 3.11 節の v Y ( v T p M , Y X ( M ) ) v Y v T p M , Y X ( M ) grad_(v)Y(v inT_(p)M,Y inX(M))\nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}\left(\boldsymbol{v} \in T_{p} M, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M)\right)vY(vTpM,YX(M)) の定義に従って定義されるものであることに注意する。 c X c X grad_(c^('))X\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}cX c c c\boldsymbol{c}c に沿うベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X の共変微分とよばれる. 各 t [ a , b ] t [ a , b ] t in[a,b]t \in[a, b]t[a,b] T c ( t ) M T c ( t ) M T_(c(t))MT_{c(t)} MTc(t)M の零ベクトル 0 c ( t ) 0 c ( t ) 0_(c(t))\mathbf{0}_{c(t)}0c(t) を対応させる対応 0 0 0\mathbf{0}0 は, c c ccc に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C 級ベクトル場である. これを c c c\boldsymbol{c}c に沿う零ベクトル場とい う.
次に, 平行ベクトル場と測地線を定義することにする。 X X c ( M ) X X c ( M ) X inX_(c)(M)\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}_{c}(M)XXc(M) と する. c X = 0 c X = 0 grad_(c^('))X=0\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}cX=0 が成り立つとき, X X X\boldsymbol{X}X c c c\boldsymbol{c}c に沿う平行ベクトル場という. c X c ( M ) c X c ( M ) c^(')inX_(c)(M)c^{\prime} \in \mathcal{X}_{c}(M)cXc(M) c t := c ( t ) ( a t b ) c t := c ( t ) ( a t b ) c_(t)^('):=c^(')(t)(a <= t <= b)c_{t}^{\prime}:=c^{\prime}(t)(a \leq t \leq b)ct:=c(t)(atb) によって定義する. これは c c ccc の速度 ベクトル場とよばれる. c c = 0 c c = 0 grad_(c^('))c^(')=0\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=0cc=0 が成り立つとき, c c ccc ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) 上の測地線という. 特に, grad\nabla M M MMM のあるリーマン計量 g g ggg のリーマン接続である場合, ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) 上の測地線は, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, \boldsymbol{g})(M,g) 上の測地線とよばれる. ここで, c c ccc ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g)上の物体の運動の軌道とみなしたとき, c c c c grad_(c^('))c^(')\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}cc はその加速度ベクトル場と解釈 され,それゆえ c c = 0 c c = 0 grad_(c^('))c^(')=0\nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\mathbf{0}cc=0 は, c c ccc が等速度運動であることを意味する。このよ うに, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の測地線は, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の等速度運動をする物体の軌道を意味 することになる。
命題 4.1.1 (i) C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c c ccc に沿う平行ベ クトル場 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y に対し, g c ( t ) ( X t , Y t ) g c ( t ) X t , Y t g_(c(t))(X_(t),Y_(t))g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)gc(t)(Xt,Yt) t t ttt によらず一定である.
(ii) C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の測地線 c c ccc に対し,
c ( t ) := | g c ( t ) ( c ( t ) , c ( t ) ) | c ( t ) := g c ( t ) c ( t ) , c ( t ) ||c^(')(t)||:=sqrt(|g_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t))|)\left\|c^{\prime}(t)\right\|:=\sqrt{\left|g_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)\right|}c(t):=|gc(t)(c(t),c(t))|
t t ttt にらず一定である.
証明 grad\nabla g g ggg のリマン接続とする. g = 0 g = 0 grad g=0\nabla g=0g=0 より,
d d t ( g c ( t ) ( X t , Y t ) ) = g c ( t ) ( ( c X ) t , Y t ) + g c ( t ) ( X t , ( c Y ) t ) d d t g c ( t ) X t , Y t = g c ( t ) c X t , Y t + g c ( t ) X t , c Y t (d)/(dt)(g_(c(t))(X_(t),Y_(t)))=g_(c(t))((grad_(c^('))X)_(t),Y_(t))+g_(c(t))(X_(t),(grad_(c^('))Y)_(t))\frac{d}{d t}\left(g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)\right)=g_{c(t)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)+g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}\right)_{t}\right)ddt(gc(t)(Xt,Yt))=gc(t)((cX)t,Yt)+gc(t)(Xt,(cY)t)
が成り立つ. この式の右辺は, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y が平行べクトル場であることより, 0 になることがわかる。それゆえ d d t ( g c ( t ) ( X t , Y t ) ) = 0 d d t g c ( t ) X t , Y t = 0 (d)/(dt)(g_(c(t))(X_(t),Y_(t)))=0\frac{d}{d t}\left(g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)\right)=0ddt(gc(t)(Xt,Yt))=0, つまり, g c ( t ) ( X t , Y t ) g c ( t ) X t , Y t g_(c(t))(X_(t),Y_(t))g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)gc(t)(Xt,Yt) t t ttt によず一定であることが導かれる。主張の後半部は, 前半部の主張より
直接導かれる。
平行ベクトル場と測地線に関して, 次の存在性・一意性定理が成り立つ.
定理 4.1.2 (i) c : [ a , b ] ( M , ) c : [ a , b ] ( M , ) quad c:[a,b]rarr(M,grad)\quad c:[a, b] \rightarrow(M, \nabla)c:[a,b](M,) C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とする。各 v T c ( a ) M v T c ( a ) M v inT_(c(a))M\boldsymbol{v} \in T_{c(a)} MvTc(a)M に 対し, c c ccc に沿う平行ベクトル場 X X X\boldsymbol{X}X X a = v X a = v X_(a)=v\boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v}Xa=v となるようなものが, た だ 1 つ存在する.
(ii) 各 v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM と十分小さな正の数 ε ε epsi\varepsilonε に対し, ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) 上の測地線 c c ccc : ( ε , ε ) M ( ε , ε ) M (-epsi,epsi)rarr M(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M(ε,ε)M c ( 0 ) = v c ( 0 ) = v c^(')(0)=vc^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}c(0)=v となるようなものがただ 1 つ存在する.
証明 定理 2.4.7 の証明に倣って示される.
C C C^(oo)C^{\infty}C 級アフィン接続多様体 ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) 内の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] M c : [ a , b ] M c:[a,b]rarr Mc:[a, b] \rightarrow Mc:[a,b]M に対し, T c ( a ) M T c ( a ) M T_(c(a))MT_{c(a)} MTc(a)M から T c ( b ) M T c ( b ) M T_(c(b))MT_{c(b)} MTc(b)M への写像 P c P c P_(c)P_{c}Pc
P c ( v ) := X b ( v T c ( a ) M ) ( X : X a = v を満たす c に沿う平行べクトル場 ) P c ( v ) := X b v T c ( a ) M X : X a = v  を満たす  c  に沿う平行べクトル場  {:[P_(c)(v):=X_(b)quad(v inT_(c(a))M)],[(X:X_(a)=v" を満たす "c" に沿う平行べクトル場 ")]:}\begin{gathered} P_{c}(\boldsymbol{v}):=\boldsymbol{X}_{b} \quad\left(\boldsymbol{v} \in T_{c(a)} M\right) \\ \left(\boldsymbol{X}: \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} \text { を満たす } c \text { に沿う平行べクトル場 }\right) \end{gathered}Pc(v):=Xb(vTc(a)M)(X:Xa=v を満たす c に沿う平行べクトル場 )
によって定義する. この写像 P c P c P_(c)P_{c}Pc c c c\boldsymbol{c}c に沿う平行移動という. 平行移動に関し て, 次の事実が成り立つ.
定理 4.1.3 (i) P c P c quadP_(c)\quad P_{c}Pc は線形同型写像になる。
(ii) grad\nabla がリーマン計量 g g ggg のリーマン接続であるとき, P c P c P_(c)P_{c}Pc ( T c ( a ) M , g c ( a ) ) T c ( a ) M , g c ( a ) (T_(c(a))M,g_(c(a)))\left(T_{c(a)} M, g_{c(a)}\right)(Tc(a)M,gc(a)) から ( T c ( b ) M , g c ( b ) ) T c ( b ) M , g c ( b ) (T_(c(b))M,g_(c(b)))\left(T_{c(b)} M, g_{c(b)}\right)(Tc(b)M,gc(b)) への線形等長変換になる.
証明 主張 (i) は, 定理 2.4 .8 の証明に做って示される. 主張 (ii) は, 命題 4.1.1 から直接導かれる。
次に, 指数写像を定義する. n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 級アフィン接続多様体 ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) の点 p p ppp における各接ベクトル v v v\boldsymbol{v}v に対し, γ v : I v M γ v : I v M gamma_(v):I_(v)rarr M\gamma_{\boldsymbol{v}}: I_{\boldsymbol{v}} \rightarrow Mγv:IvM γ v ( 0 ) = v γ v ( 0 ) = v gamma_(v)^(')(0)=v\gamma_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}γv(0)=v を満たす ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) 上の測地線でそれ以上延長不可能であるようなものとする. W p := W p := W_(p):=\mathcal{W}_{p}:=Wp:= { v T p M 1 I v } v T p M 1 I v {v inT_(p)M∣1inI_(v)}\left\{\boldsymbol{v} \in T_{p} M \mid 1 \in I_{\boldsymbol{v}}\right\}{vTpM1Iv} とおく. 写像 exp p : W p M exp p : W p M exp_(p):W_(p)rarr M\exp _{p}: \mathcal{W}_{p} \rightarrow Mexpp:WpM
exp p ( v ) := γ v ( 1 ) ( v W p ) exp p ( v ) := γ v ( 1 ) v W p exp_(p)(v):=gamma_(v)(1)quad(v inW_(p))\exp _{p}(\boldsymbol{v}):=\gamma_{\boldsymbol{v}}(1) \quad\left(\boldsymbol{v} \in \mathcal{W}_{p}\right)expp(v):=γv(1)(vWp)
によって定義する. この写像 exp p exp p exp_(p)\exp _{p}expp ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) p p ppp における指数写像(expo-
図 4.1.1 指数写像
nential map)という.
ベクトル空間 T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM に付随するアフィン空間を A p A p A_(p)\mathbb{A}_{p}Ap と表すことにする。o in\in A p A p A_(p)\mathbb{A}_{p}Ap を基点としてとる. このとき, 対応 Φ o ( p o p ) Φ o ( p o p ) Phi_(o)(p|-> vec(op))\Phi_{o}(p \mapsto \overrightarrow{o p})Φo(pop) により, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM A p A p A_(p)\mathbb{A}_{p}Ap と同一視される。この同一視の下, W p W p W_(p)\mathcal{W}_{p}Wp o o ooo A p A p A_(p)\mathbb{A}_{p}Ap における開近傍になり, A p A p A_(p)\mathbb{A}_{p}Ap の 開部分多様体として n n nnn 次元 C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 多様体とみなされる(図 4.1.1 を参照).
命題 4.1.4 oのある開近傍 W ( W p ) W W p W(subW_(p))\mathcal{W}\left(\subset \mathcal{W}_{p}\right)W(Wp) に対し, exp p W exp p W exp_(p)∣W\exp _{p} \mid \mathcal{W}exppW M M MMM のある開集合への C C C^(oo)C^{\infty}C 同型写像になる(図 4.1.1 を参照).
証明 各 v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, c v ( t ) := Φ o 1 ( t v ) c v ( t ) := Φ o 1 ( t v ) c_(v)(t):=Phi_(o)^(-1)(tv)c_{\boldsymbol{v}}(t):=\Phi_{o}^{-1}(t \boldsymbol{v})cv(t):=Φo1(tv) によって定義される A p A p A_(p)\mathbb{A}_{p}Ap 上の C ω C ω C^(omega)C^{\omega}Cω 曲線 c v c v c_(v)c_{\boldsymbol{v}}cv の初速度 c v ( 0 ) T o A p c v ( 0 ) T o A p c_(v)^(')(0)inT_(o)A_(p)c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0) \in T_{o} \mathbb{A}_{p}cv(0)ToAp を対応させる対応(問 3.3.1 で述べた対応 Ψ o ) Ψ o {:Psi_(o))\left.\Psi_{o}\right)Ψo) により, T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM T o A p T o A p T_(o)A_(p)T_{o} \mathbb{A}_{p}ToAp は同一視される. このとき,
( d exp p ) o ( c v ( 0 ) ) = d d t | t = 0 ( exp p c v ) ( t ) = d d t | t = 0 exp p ( t v ) = γ v ( 0 ) = v d exp p o c v ( 0 ) = d d t t = 0 exp p c v ( t ) = d d t t = 0 exp p ( t v ) = γ v ( 0 ) = v (dexp_(p))_(o)(c_(v)^(')(0))=(d)/(dt)|_(t=0)(exp_(p)@c_(v))(t)=(d)/(dt)|_(t=0)exp_(p)(tv)=gamma_(v)^(')(0)=v\left(d \exp _{p}\right)_{o}\left(c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\exp _{p} \circ c_{\boldsymbol{v}}\right)(t)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \exp _{p}(t \boldsymbol{v})=\gamma_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)=\boldsymbol{v}(dexpp)o(cv(0))=ddt|t=0(exppcv)(t)=ddt|t=0expp(tv)=γv(0)=v
となり, ( d exp p ) o d exp p o (dexp_(p))_(o)\left(d \exp _{p}\right)_{o}(dexpp)o が線形同型写像であることが示される。それゆえ, 逆関数定理(定理 3.6.1)により主張が示される。
注意 grad\nabla M M MMM のリーマン計量 g g ggg のリーマン接続である場合を考えよう. この場合, exp p exp p exp_(p)\exp _{p}expp は, リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を点 p p ppp において無限小化してえられる空間 ((M,g)の点 p p ppp における 1 次近似)である ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) (これはユークリッド空間と
みなされる)と ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) とを幾何学的に結びつける重要な写像である. 特に, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) がユークリッド空間の場合, exp p exp p exp_(p)\exp _{p}expp は, 2 つのユークリッド空間 ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の間の等長写像とよばれる写像になり, それゆえ, exp p exp p exp_(p)\exp _{p}expp を通じて, ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) は同一視される.

4.2 リーマン距離関数

この節では, リーマン計量に付随して定義されるリーマン距離関数とよばれ る距離関数を定義しよう。まず, リーマン多様体上の区分的に C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 級の曲線の 長さを定義しよう。 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン多様体とする. p , q M p , q M p,q in Mp, q \in Mp,qM に対し, C 1 ( M ; p , q ) C 1 ( M ; p , q ) C^(1)(M;p,q)\mathcal{C}^{1}(M ; p, q)C1(M;p,q) を, p p ppp を始点, q q qqq を終点とするような [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] を定義域とす る区分的に C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 級の曲線全体からなる集合とする。 c C 1 ( M ; p , q ) c C 1 ( M ; p , q ) c inC^(1)(M;p,q)c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q)cC1(M;p,q) に対し, c c ccc の長さ L g ( c ) L g ( c ) L_(g)(c)\mathcal{L}_{g}(c)Lg(c)
L g ( c ) := i = 0 k 1 t i t i + 1 g c ( t ) ( c ( t ) , c ( t ) ) d t L g ( c ) := i = 0 k 1 t i t i + 1 g c ( t ) c ( t ) , c ( t ) d t L_(g)(c):=sum_(i=0)^(k-1)int_(t_(i))^(t_(i+1))sqrt(g_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t)))dt\mathcal{L}_{g}(c):=\sum_{i=0}^{k-1} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \sqrt{g_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)} d tLg(c):=i=0k1titi+1gc(t)(c(t),c(t))dt
により定義される. ここで, 0 = t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = 1 0 = t 0 < t 1 < < t k 1 < t k = 1 0=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=10=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=10=t0<t1<<tk1<tk=1 は, c c ccc の各制限 c | [ t i , t i + 1 ] ( i = 0 , 1 , , k 1 ) c t i , t i + 1 ( i = 0 , 1 , , k 1 ) c|_([t_(i),t_(i+1)])(i=0,1,dots,k-1)\left.c\right|_{\left[t_{i}, t_{i+1}\right]}(i=0,1, \ldots, k-1)c|[ti,ti+1](i=0,1,,k1) C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 曲線であるような [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [0,1][0,1][0,1] の分割を表す.写像 d g : M × M R d g : M × M R d_(g):M xx M rarrRd_{g}: M \times M \rightarrow \mathbb{R}dg:M×MR
d g ( p , q ) := inf { L g ( c ) c C 1 ( M ; p , q ) } ( p , q M ) d g ( p , q ) := inf L g ( c ) c C 1 ( M ; p , q ) ( p , q M ) d_(g)(p,q):=i n f{L_(g)(c)∣c inC^(1)(M;p,q)}quad(p,q in M)d_{g}(p, q):=\inf \left\{\mathcal{L}_{g}(c) \mid c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q)\right\} \quad(p, q \in M)dg(p,q):=inf{Lg(c)cC1(M;p,q)}(p,qM)
によって定義する. この関数 d g d g d_(g)d_{g}dg M M MMM の距離関数を与えることが示される. この距離関数 d g d g d_(g)d_{g}dg は, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のリーマン距離関数(Riemannian distance function)とよばれる(図 4.2 .1 を参照).
実際に, d g d g d_(g)d_{g}dg M M MMM の距離関数を与えることを示そう。任意の 2 点 p , q M p , q M p,q in Mp, q \in Mp,qM に対し d g ( p , q ) 0 d g ( p , q ) 0 d_(g)(p,q) >= 0d_{g}(p, q) \geq 0dg(p,q)0 が成り立つことは, 定義より明らかである. p M p M p in Mp \in MpM を任意にとる。 c p : [ 0 , 1 ] M c p : [ 0 , 1 ] M c_(p):[0,1]rarr Mc_{p}:[0,1] \rightarrow Mcp:[0,1]M p p ppp における停留曲線(つまり, c p ( t ) = p ( t c p ( t ) = p ( t c_(p)(t)=p(AA t inc_{p}(t)=p(\forall t \incp(t)=p(t [ 0 , 1 ] ) ) [ 0 , 1 ] ) ) [0,1]))[0,1]))[0,1])) とする. このとき,
L g ( c p ) = 0 1 g c p ( t ) ( c p ( t ) c p ( t ) ) d t = 0 1 g p ( 0 , 0 ) d t = 0 L g c p = 0 1 g c p ( t ) c p ( t ) c p ( t ) d t = 0 1 g p ( 0 , 0 ) d t = 0 L_(g)(c_(p))=int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(p)(t))(c_(p)^(')(t)c_(p)^(')(t)))dt=int_(0)^(1)sqrt(g_(p)(0,0))dt=0\mathcal{L}_{g}\left(c_{p}\right)=\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{p}(t)}\left(c_{p}^{\prime}(t) c_{p}^{\prime}(t)\right)} d t=\int_{0}^{1} \sqrt{g_{p}(\mathbf{0}, \mathbf{0})} d t=0Lg(cp)=01gcp(t)(cp(t)cp(t))dt=01gp(0,0)dt=0
となる。それゆえ, d g ( p , p ) = 0 d g ( p , p ) = 0 d_(g)(p,p)=0d_{g}(p, p)=0dg(p,p)=0 をえる。一方, この逆の主張 “ d g ( p , q ) = 0 d g ( p , q ) = 0 d_(g)(p,q)=0d_{g}(p, q)=0dg(p,q)=0 p = q " p = q " =>p=q"\Rightarrow p=q "p=q" の証明はデリケートな議論を要するので, ここでは省略するこ
c C 1 ( M ; p , q ) c C 1 ( M ; p , q ) EE c inC^(1)(M;p,q)\exists c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q)cC1(M;p,q) s.t. L g ( c ) = d g ( p , q ) L g ( c ) = d g ( p , q ) L_(g)(c)=d_(g)(p,q)\mathcal{L}_{g}(c)=d_{g}(p, q)Lg(c)=dg(p,q)
図 4.2.1 リーマン距離関数と最短線の存在性
とにする(この証明については,例えば[加須栄]の 1.3 節を参照のこと). 次 に, d g ( p , q ) = d g ( q , p ) d g ( p , q ) = d g ( q , p ) d_(g)(p,q)=d_(g)(q,p)d_{g}(p, q)=d_{g}(q, p)dg(p,q)=dg(q,p) を示す. c C 1 ( M ; p , q ) c C 1 ( M ; p , q ) c inC^(1)(M;p,q)c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q)cC1(M;p,q) に対し, c c ccc の逆 c 1 c 1 c^(-1)c^{-1}c1 (これは c 1 ( t ) := c ( 1 t ) c 1 ( t ) := c ( 1 t ) c^(-1)(t):=c(1-t)c^{-1}(t):=c(1-t)c1(t):=c(1t) によって定義される)は, C 1 ( M ; q , p ) C 1 ( M ; q , p ) C^(1)(M;q,p)\mathcal{C}^{1}(M ; q, p)C1(M;q,p) に属する。また、
L g ( c 1 ) = 0 1 g c 1 ( t ) ( ( c 1 ) ( t ) , ( c 1 ) ( t ) ) d t = 0 1 g c ( 1 t ) ( c ( 1 t ) , c ( 1 t ) ) d t = 1 0 g c ( s ) ( c ( s ) , c ( s ) ) ( 1 ) d s = 0 1 g c ( s ) ( c ( s ) , c ( s ) ) d s = L g ( c ) L g c 1 = 0 1 g c 1 ( t ) c 1 ( t ) , c 1 ( t ) d t = 0 1 g c ( 1 t ) c ( 1 t ) , c ( 1 t ) d t = 1 0 g c ( s ) c ( s ) , c ( s ) ( 1 ) d s = 0 1 g c ( s ) c ( s ) , c ( s ) d s = L g ( c ) {:[L_(g)(c^(-1))=int_(0)^(1)sqrt(g_(c^(-1)(t))((c^(-1))^(')(t),(c^(-1))^(')(t)))dt],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c(1-t))(-c^(')(1-t),-c^(')(1-t)))dt],[=int_(1)^(0)sqrt(g_(c(s))(-c^(')(s),-c^(')(s)))*(-1)ds],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c(s))(c^(')(s),c^(')(s)))ds=L_(g)(c)]:}\begin{aligned} \mathcal{L}_{g}\left(c^{-1}\right) & =\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c^{-1}(t)}\left(\left(c^{-1}\right)^{\prime}(t),\left(c^{-1}\right)^{\prime}(t)\right)} d t \\ & =\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c(1-t)}\left(-c^{\prime}(1-t),-c^{\prime}(1-t)\right)} d t \\ & =\int_{1}^{0} \sqrt{g_{c(s)}\left(-c^{\prime}(s),-c^{\prime}(s)\right)} \cdot(-1) d s \\ & =\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c(s)}\left(c^{\prime}(s), c^{\prime}(s)\right)} d s=\mathcal{L}_{g}(c) \end{aligned}Lg(c1)=01gc1(t)((c1)(t),(c1)(t))dt=01gc(1t)(c(1t),c(1t))dt=10gc(s)(c(s),c(s))(1)ds=01gc(s)(c(s),c(s))ds=Lg(c)
が示される. これらの事実から, d g ( p , q ) = d g ( q , p ) d g ( p , q ) = d g ( q , p ) d_(g)(p,q)=d_(g)(q,p)d_{g}(p, q)=d_{g}(q, p)dg(p,q)=dg(q,p) が導かれる.
次に, 三角不等式 d g ( p 1 , p 2 ) + d g ( p 2 , p 3 ) d g ( p 1 , p 3 ) d g p 1 , p 2 + d g p 2 , p 3 d g p 1 , p 3 d_(g)(p_(1),p_(2))+d_(g)(p_(2),p_(3)) >= d_(g)(p_(1),p_(3))d_{g}\left(p_{1}, p_{2}\right)+d_{g}\left(p_{2}, p_{3}\right) \geq d_{g}\left(p_{1}, p_{3}\right)dg(p1,p2)+dg(p2,p3)dg(p1,p3) を示す. c 1 c 1 c_(1)inc_{1} \inc1 C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) , c 2 C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) C 1 M ; p 1 , p 2 , c 2 C 1 M ; p 2 , p 3 C^(1)(M;p_(1),p_(2)),c_(2)inC^(1)(M;p_(2),p_(3))\mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right), c_{2} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)C1(M;p1,p2),c2C1(M;p2,p3) に対し, c 1 c 2 C 1 ( M ; p 1 , p 3 ) c 1 c 2 C 1 M ; p 1 , p 3 c_(1)*c_(2)inC^(1)(M;p_(1),p_(3))c_{1} \cdot c_{2} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{3}\right)c1c2C1(M;p1,p3)
( c 1 c 2 ) ( t ) := { c 1 ( 2 t ) ( 0 t 1 2 ) c 2 ( 2 t 1 ) ( 1 2 t 1 ) c 1 c 2 ( t ) := c 1 ( 2 t )      0 t 1 2 c 2 ( 2 t 1 )      1 2 t 1 (c_(1)*c_(2))(t):={[c_(1)(2t),(0 <= t <= (1)/(2))],[c_(2)(2t-1),((1)/(2) <= t <= 1)]:}\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(t):= \begin{cases}c_{1}(2 t) & \left(0 \leq t \leq \frac{1}{2}\right) \\ c_{2}(2 t-1) & \left(\frac{1}{2} \leq t \leq 1\right)\end{cases}(c1c2)(t):={c1(2t)(0t12)c2(2t1)(12t1)
によって定義される. c ^ ( t ) := c 1 ( 2 t ) , c ˘ ( t ) := c 2 ( 2 t 1 ) c ^ ( t ) := c 1 ( 2 t ) , c ˘ ( t ) := c 2 ( 2 t 1 ) hat(c)(t):=c_(1)(2t),c^(˘)(t):=c_(2)(2t-1)\hat{c}(t):=c_{1}(2 t), \breve{c}(t):=c_{2}(2 t-1)c^(t):=c1(2t),c˘(t):=c2(2t1) とおく. このとき,
c ^ ( t ) = 2 c 1 ( 2 t ) , c ˘ ( t ) = 2 c 2 ( 2 t 1 ) c ^ ( t ) = 2 c 1 ( 2 t ) , c ˘ ( t ) = 2 c 2 ( 2 t 1 ) hat(c)^(')(t)=2c_(1)^(')(2t),quadc^(˘)^(')(t)=2c_(2)^(')(2t-1)\hat{c}^{\prime}(t)=2 c_{1}^{\prime}(2 t), \quad \breve{c}^{\prime}(t)=2 c_{2}^{\prime}(2 t-1)c^(t)=2c1(2t),c˘(t)=2c2(2t1)
となるので,
L g ( c 1 c 2 ) = 0 1 g ( c 1 c 2 ) ( t ) ( ( c 1 c 2 ) ( t ) , ( c 1 c 2 ) ( t ) ) d t = 0 1 2 g c 1 ( 2 t ) ( 2 c 1 ( 2 t ) , 2 c 1 ( 2 t ) ) d t + 1 2 1 g c 2 ( 2 t 1 ) ( 2 c 2 ( 2 t 1 ) , 2 c 2 ( 2 t 1 ) ) d t = 0 1 g c 1 ( s ) ( 2 c 1 ( s ) , 2 c 1 ( s ) ) 1 2 d s + 0 1 g c 2 ( s ) ( 2 c 2 ( s ) , 2 c 2 ( s ) ) 1 2 d s = 0 1 g c 1 ( s ) ( c 1 ( s ) , c 1 ( s ) ) d s + 0 1 g c 2 ( s ) ( c 2 ( s ) , c 2 ( s ) ) d s = L g ( c 1 ) + L g ( c 2 ) L g c 1 c 2 = 0 1 g c 1 c 2 ( t ) c 1 c 2 ( t ) , c 1 c 2 ( t ) d t = 0 1 2 g c 1 ( 2 t ) 2 c 1 ( 2 t ) , 2 c 1 ( 2 t ) d t + 1 2 1 g c 2 ( 2 t 1 ) 2 c 2 ( 2 t 1 ) , 2 c 2 ( 2 t 1 ) d t = 0 1 g c 1 ( s ) 2 c 1 ( s ) , 2 c 1 ( s ) 1 2 d s + 0 1 g c 2 ( s ) 2 c 2 ( s ) , 2 c 2 ( s ) 1 2 d s = 0 1 g c 1 ( s ) c 1 ( s ) , c 1 ( s ) d s + 0 1 g c 2 ( s ) c 2 ( s ) , c 2 ( s ) d s = L g c 1 + L g c 2 {:[L_(g)(c_(1)*c_(2))=int_(0)^(1)sqrt(g_((c_(1)*c_(2))(t))((c_(1)*c_(2))^(')(t),(c_(1)*c_(2))^(')(t)))dt],[=int_(0)^((1)/(2))sqrt(g_(c_(1)(2t))(2c_(1)^(')(2t),2c_(1)^(')(2t)))dt],[+int_((1)/(2))^(1)sqrt(g_(c_(2)(2t-1))(2c_(2)^(')(2t-1),2c_(2)^(')(2t-1)))dt],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(1)(s))(2c_(1)^(')(s),2c_(1)^(')(s)))*(1)/(2)ds+int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(2)(s))(2c_(2)^(')(s),2c_(2)^(')(s)))*(1)/(2)ds],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(1)(s))(c_(1)^(')(s),c_(1)^(')(s)))ds+int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(2)(s))(c_(2)^(')(s),c_(2)^(')(s)))ds],[=L_(g)(c_(1))+L_(g)(c_(2))]:}\begin{aligned} \mathcal{L}_{g}\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)= & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(t)}\left(\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}(t),\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}(t)\right)} d t \\ = & \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{g_{c_{1}(2 t)}\left(2 c_{1}^{\prime}(2 t), 2 c_{1}^{\prime}(2 t)\right)} d t \\ & +\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{g_{c_{2}(2 t-1)}\left(2 c_{2}^{\prime}(2 t-1), 2 c_{2}^{\prime}(2 t-1)\right)} d t \\ = & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{1}(s)}\left(2 c_{1}^{\prime}(s), 2 c_{1}^{\prime}(s)\right)} \cdot \frac{1}{2} d s+\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{2}(s)}\left(2 c_{2}^{\prime}(s), 2 c_{2}^{\prime}(s)\right)} \cdot \frac{1}{2} d s \\ = & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{1}(s)}\left(c_{1}^{\prime}(s), c_{1}^{\prime}(s)\right)} d s+\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{2}(s)}\left(c_{2}^{\prime}(s), c_{2}^{\prime}(s)\right)} d s \\ = & \mathcal{L}_{g}\left(c_{1}\right)+\mathcal{L}_{g}\left(c_{2}\right) \end{aligned}Lg(c1c2)=01g(c1c2)(t)((c1c2)(t),(c1c2)(t))dt=012gc1(2t)(2c1(2t),2c1(2t))dt+121gc2(2t1)(2c2(2t1),2c2(2t1))dt=01gc1(s)(2c1(s),2c1(s))12ds+01gc2(s)(2c2(s),2c2(s))12ds=01gc1(s)(c1(s),c1(s))ds+01gc2(s)(c2(s),c2(s))ds=Lg(c1)+Lg(c2)
が示される.さらに, この事実を用いて,
d g ( p 1 , p 2 ) + d g ( p 2 , p 3 ) = inf c 1 C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) L g ( c 1 ) + inf c 2 C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) L g ( c 2 ) = inf ( c 1 , c 2 ) C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) × C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) ( L g ( c 1 ) + L g ( c 2 ) ) = inf ( c 1 , c 2 ) C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) × C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) L g ( c 1 c 2 ) inf c C 1 ( M ; p 1 , p 3 ) L g ( c ) = d g ( p 1 , p 3 ) d g p 1 , p 2 + d g p 2 , p 3 = inf c 1 C 1 M ; p 1 , p 2 L g c 1 + inf c 2 C 1 M ; p 2 , p 3 L g c 2 = inf c 1 , c 2 C 1 M ; p 1 , p 2 × C 1 M ; p 2 , p 3 L g c 1 + L g c 2 = inf c 1 , c 2 C 1 M ; p 1 , p 2 × C 1 M ; p 2 , p 3 L g c 1 c 2 inf c C 1 M ; p 1 , p 3 L g ( c ) = d g p 1 , p 3 {:[d_(g)(p_(1),p_(2))+d_(g)(p_(2),p_(3))=i n f_(c_(1)inC^(1)(M;p_(1),p_(2)))L_(g)(c_(1))+i n f_(c_(2)inC^(1)(M;p_(2),p_(3)))L_(g)(c_(2))],[=i n f_((c_(1),c_(2))inC^(1)(M;p_(1),p_(2))xxC^(1)(M;p_(2),p_(3)))(L_(g)(c_(1))+L_(g)(c_(2)))],[=i n f_((c_(1),c_(2))inC^(1)(M;p_(1),p_(2))xxC^(1)(M;p_(2),p_(3)))L_(g)(c_(1)*c_(2))],[ >= i n f_(c inC^(1)(M;p_(1),p_(3)))L_(g)(c)=d_(g)(p_(1),p_(3))]:}\begin{aligned} d_{g}\left(p_{1}, p_{2}\right)+d_{g}\left(p_{2}, p_{3}\right) & =\inf _{c_{1} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right)} \mathcal{L}_{g}\left(c_{1}\right)+\inf _{c_{2} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)} \mathcal{L}_{g}\left(c_{2}\right) \\ & =\inf _{\left(c_{1}, c_{2}\right) \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right) \times \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)}\left(\mathcal{L}_{g}\left(c_{1}\right)+\mathcal{L}_{g}\left(c_{2}\right)\right) \\ & =\inf _{\left(c_{1}, c_{2}\right) \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right) \times \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)} \mathcal{L}_{g}\left(c_{1} \cdot c_{2}\right) \\ & \geq \inf _{c \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{3}\right)} \mathcal{L}_{g}(c)=d_{g}\left(p_{1}, p_{3}\right) \end{aligned}dg(p1,p2)+dg(p2,p3)=infc1C1(M;p1,p2)Lg(c1)+infc2C1(M;p2,p3)Lg(c2)=inf(c1,c2)C1(M;p1,p2)×C1(M;p2,p3)(Lg(c1)+Lg(c2))=inf(c1,c2)C1(M;p1,p2)×C1(M;p2,p3)Lg(c1c2)infcC1(M;p1,p3)Lg(c)=dg(p1,p3)
が示される. したがって, d g d g d_(g)d_{g}dg M M MMM の距離関数を与えることがわかる.
命題 4.2.1 d g d g quadd_(g)\quad d_{g}dg の定める(距離)位相は, 多様体 M M MMM の元の位相と一致する.
証明 M M MMM は多様体なので, 各点の十分小さな近傍はユークリッド空間の開集合とみなされる。 M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) をとり, φ : U R n φ : U R n varphi:U rarrR^(n)\varphi: U \rightarrow \mathbb{R}^{n}φ:URn により R n R n R^(n)\mathbb{R}^{n}Rn のユークリッド計量 g E g E g_(E)g_{\mathbb{E}}gE から誘導される U U UUU 上リリー マン計量 φ g E φ g E varphi^(**)g_(E)\varphi^{*} g_{\mathbb{E}}φgE g E φ g E φ g_(E)^(varphi)g_{\mathbb{E}}^{\varphi}gEφ と表す. p U p U p in Up \in UpU を任意にとる. p p ppp d g d g d_(g)d_{g}dg に関する ε ε epsi\varepsilonε 近傍 を B g ( p , ε ) B g ( p , ε ) B_(g)(p,epsi)B_{g}(p, \varepsilon)Bg(p,ε) と表し, p p ppp d g E φ d g E φ d_(g_(E)^(varphi))d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}dgEφ に関する ε ε epsi\varepsilonε 近傍を B g E φ ( p , ε ) B g E φ ( p , ε ) B_(g_(E)^(varphi))(p,epsi)B_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \varepsilon)BgEφ(p,ε) と表す. d g E φ d g E φ d_(g_(E)^(varphi))d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}dgEφ の定め る U U UUU の位相は, M M MMM の元の位相から誘導される U U UUU の部分位相(=相対位相)と 一致するので, d g 1 φ d g 1 φ d_(g_(1)^(varphi))d_{g_{1}^{\varphi}}dg1φ の定める U U UUU の位相と d g | U d g U d_(g|_(U))d_{\left.g\right|_{U}}dg|U の定める U U UUU の位相が一致するこ とを示せばよい。そのためには,次の 2 つの事実を示せばよい:
(I) 任意の十分小さな ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0ε>0 に対し, U g ( p , δ ) U g E φ ( p , ε ) U g ( p , δ ) U g E φ ( p , ε ) U_(g)(p,delta)subU_(g_(E)^(varphi))(p,epsi)U_{g}(p, \delta) \subset U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \varepsilon)Ug(p,δ)UgEφ(p,ε) となる δ > 0 δ > 0 delta > 0\delta>0δ>0 が 存在する;
(II) 任意の十分小さな ε > 0 ε > 0 epsi > 0\varepsilon>0ε>0 に対し, U g E φ ( p , δ ) U g ( p , ε ) U g E φ ( p , δ ) U g ( p , ε ) U_(g_(E)^(varphi))(p,delta)subU_(g)(p,epsi)U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \delta) \subset U_{g}(p, \varepsilon)UgEφ(p,δ)Ug(p,ε) となる δ > 0 δ > 0 delta > 0\delta>0δ>0 が 存在する.
この 2 つの事実を示そう. V V VVV を, p p ppp を含む U U UUU の開部分集合で相対コンパクト (つまり,Vの閉包 V ¯ V ¯ bar(V)\bar{V}V¯ がコンパクト)であるようなものとする. S q M ( q S q M ( q S_(q)M(q inS_{q} M(q \inSqM(q V ¯ ) V ¯ ) bar(V))\bar{V})V¯)
S q M := { v T q M g E φ ( v , v ) = 1 } S q M := v T q M g E φ ( v , v ) = 1 S_(q)M:={v inT_(q)M∣g_(E)^(varphi)(v,v)=1}S_{q} M:=\left\{\boldsymbol{v} \in T_{q} M \mid g_{\mathbb{E}}^{\varphi}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=1\right\}SqM:={vTqMgEφ(v,v)=1}
によって定義し, S V ¯ S V ¯ S bar(V)S \bar{V}SV¯ S V ¯ := ⨿ q V ¯ S q M S V ¯ := ⨿ q V ¯ S q M S bar(V):=⨿_(q in bar(V))S_(q)MS \bar{V}:=\amalg_{q \in \bar{V}} S_{q} MSV¯:=⨿qV¯SqM によって定義する. S V ¯ S V ¯ S bar(V)S \bar{V}SV¯ T M T M TMT MTM の コンパクト部分集合になることが容易に示される。 S V ¯ S V ¯ S bar(V)S \bar{V}SV¯ 上の関数 ρ ρ rho\rhoρ
ρ ( v ) := g π ( v ) ( v , v ) ( v S V ¯ ) ρ ( v ) := g π ( v ) ( v , v ) ( v S V ¯ ) rho(v):=sqrt(g_(pi(v))(v,v))quad(v in S bar(V))\rho(\boldsymbol{v}):=\sqrt{g_{\pi(\boldsymbol{v})}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})} \quad(\boldsymbol{v} \in S \bar{V})ρ(v):=gπ(v)(v,v)(vSV¯)
によって定義する。この関数は連続になることが容易に示される。 ρ ρ rho\rhoρ はコン パクト集合 S V ¯ S V ¯ S bar(V)S \bar{V}SV¯ 上の連続関数なので, 最大値と最小値をもつ。 a := min V ¯ ρ a := min V ¯ ρ a:=min_( bar(V))rhoa:=\min _{\bar{V}} \rhoa:=minV¯ρ, b := max V ¯ ρ b := max V ¯ ρ b:=max_( bar(V))rhob:=\max _{\bar{V}} \rhob:=maxV¯ρ とおく.また,
α 1 := inf q V d g ( p , q ) , α 2 := inf q V d g E φ ( p , q ) α 1 := inf q V d g ( p , q ) , α 2 := inf q V d g E φ ( p , q ) alpha_(1):=i n f_(q in del V)d_(g)(p,q),quadalpha_(2):=i n f_(q in del V)d_(g_(E)^(varphi))(p,q)\alpha_{1}:=\inf _{q \in \partial V} d_{g}(p, q), \quad \alpha_{2}:=\inf _{q \in \partial V} d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, q)α1:=infqVdg(p,q),α2:=infqVdgEφ(p,q)
とおく. V V VVV 内の区分的に C 1 C 1 C^(1)C^{1}C1 級の曲線 c : [ 0 , 1 ] V c : [ 0 , 1 ] V c:[0,1]rarr Vc:[0,1] \rightarrow Vc:[0,1]V に対し,
L g ( c ) = i = 0 k 1 L g ( c [ t i 1 , t i ] ) = i = 0 k 1 t i t i + 1 g c ( t ) ( c ( t ) , c ( t ) ) d t = i = 0 k 1 t i t i + 1 ( g E φ ) c ( t ) ( c ( t ) , c ( t ) ) ρ ( c ( t ) c ( t ) g E φ ) d t L g ( c ) = i = 0 k 1 L g c t i 1 , t i = i = 0 k 1 t i t i + 1 g c ( t ) c ( t ) , c ( t ) d t = i = 0 k 1 t i t i + 1 g E φ c ( t ) c ( t ) , c ( t ) ρ c ( t ) c ( t ) g E φ d t {:[L_(g)(c)=sum_(i=0)^(k-1)L_(g)(c||_([t_(i-1),t_(i)]))=sum_(i=0)^(k-1)int_(t_(i))^(t_(i+1))sqrt(g_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t)))dt],[=sum_(i=0)^(k-1)int_(t_(i))^(t_(i+1))sqrt((g_(E)^(varphi))_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t)))rho((c^(')(t))/(||c^(')(t)||_(g_(E)^(varphi))))dt]:}\begin{aligned} \mathcal{L}_{g}(c) & =\sum_{i=0}^{k-1} \mathcal{L}_{g}\left(c \|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}\right)=\sum_{i=0}^{k-1} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \sqrt{g_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)} d t \\ & =\sum_{i=0}^{k-1} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \sqrt{\left(g_{\mathbb{E}}^{\varphi}\right)_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)} \rho\left(\frac{c^{\prime}(t)}{\left\|c^{\prime}(t)\right\|_{g_{\mathbb{E}}^{\varphi}}}\right) d t \end{aligned}Lg(c)=i=0k1Lg(c[ti1,ti])=i=0k1titi+1gc(t)(c(t),c(t))dt=i=0k1titi+1(gEφ)c(t)(c(t),c(t))ρ(c(t)c(t)gEφ)dt
が成り立ち, それゆえ,
(4.2.1) a L g E φ ( c ) L g ( c ) b L g E φ ( c ) (4.2.1) a L g E φ ( c ) L g ( c ) b L g E φ ( c ) {:(4.2.1)aL_(g_(E)^(varphi))(c) <= L_(g)(c) <= bL_(g_(E)^(varphi))(c):}\begin{equation*} a \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \leq \mathcal{L}_{g}(c) \leq b \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \tag{4.2.1} \end{equation*}(4.2.1)aLgEφ(c)Lg(c)bLgEφ(c)
が成り立つ. したがって, q U g ( p , α 1 ) q U g p , α 1 q inU_(g)(p,alpha_(1))q \in U_{g}\left(p, \alpha_{1}\right)qUg(p,α1) に対し.
(4.2.2) d g ( p , q ) = inf c C p , q 1 s.t. c ( [ 0 , 1 ] ) U g ( p , α 1 ) L g ( c ) a c C p , q 1 inf c ( [ 0 , 1 ] ) U g ( p , α 1 ) L g E φ ( c ) a d g E φ ( p , q ) (4.2.2) d g ( p , q ) = inf c C p , q 1  s.t.  c ( [ 0 , 1 ] ) U g p , α 1 L g ( c ) a c C p , q 1 inf c ( [ 0 , 1 ] ) U g p , α 1 L g E φ ( c ) a d g E φ ( p , q ) {:[(4.2.2)d_(g)(p","q)=i n f_(c inC_(p,q)^(1)" s.t. "c([0,1])subU_(g)(p,alpha_(1)))L_(g)(c)],[ >= a_(c inC_(p,q)^(1))i n f_(c([0,1])subU_(g)(p,alpha_(1)))L_(g_(E)^(varphi))(c) >= ad_(g_(E)^(varphi))(p","q)]:}\begin{align*} & d_{g}(p, q)=\inf _{c \in \mathcal{C}_{p, q}^{1} \text { s.t. } c([0,1]) \subset U_{g}\left(p, \alpha_{1}\right)} \mathcal{L}_{g}(c) \tag{4.2.2}\\ & \geq a_{c \in \mathcal{C}_{p, q}^{1}} \inf _{c([0,1]) \subset U_{g}\left(p, \alpha_{1}\right)} \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \geq a d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, q) \end{align*}(4.2.2)dg(p,q)=infcCp,q1 s.t. c([0,1])Ug(p,α1)Lg(c)acCp,q1infc([0,1])Ug(p,α1)LgEφ(c)adgEφ(p,q)
が成り立つ. 十分小さな正の数 ε ε epsi\varepsilonε をとる. δ := min { a ε , α 1 } δ := min a ε , α 1 delta:=min{a epsi,alpha_(1)}\delta:=\min \left\{a \varepsilon, \alpha_{1}\right\}δ:=min{aε,α1} とおく. q q q inq \inq U g ( p , δ ) U g ( p , δ ) U_(g)(p,delta)U_{g}(p, \delta)Ug(p,δ) とする. このとき, 式 (4.2.2) より,
d g φ ( p , q ) 1 a d g ( p , q ) < δ a ε d g φ ( p , q ) 1 a d g ( p , q ) < δ a ε d_(g_(⊵)^(varphi))(p,q) <= (1)/(a)d_(g)(p,q) < (delta )/(a) <= epsid_{g_{\unrhd}^{\varphi}}(p, q) \leq \frac{1}{a} d_{g}(p, q)<\frac{\delta}{a} \leq \varepsilondgφ(p,q)1adg(p,q)<δaε
が示され,それゆえ q U g E φ ( p , ε ) q U g E φ ( p , ε ) q inU_(g_(E)^(varphi))(p,epsi)q \in U_{g_{E}^{\varphi}}(p, \varepsilon)qUgEφ(p,ε) が示される.したがって, U g ( p , δ ) U g ( p , δ ) U_(g)(p,delta)subU_{g}(p, \delta) \subsetUg(p,δ) U g E φ ( p , ε ) U g E φ ( p , ε ) U_(g_(E)^(varphi))(p,epsi)U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \varepsilon)UgEφ(p,ε) が示される.
一方, 式 (4.2.1) より, q U g E φ ( p , α 2 ) q U g E φ p , α 2 q inU_(g_(E)^(varphi))(p,alpha_(2))q \in U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}\left(p, \alpha_{2}\right)qUgEφ(p,α2) に対し,
d g E φ ( p , q ) = inf c C 1 ( M ; p , q ) s.t. c ( [ 0 , 1 ] ) U g E φ ( p , α 2 ) L g E φ ( c ) (4.2.3) 1 b inf c C 1 ( M ; p , q ) s.t. c ( [ 0 , 1 ] ) U g E φ ( p , α 2 ) L g ( c ) 1 b d g ( p , q ) d g E φ ( p , q ) = inf c C 1 ( M ; p , q )  s.t.  c ( [ 0 , 1 ] ) U g E φ p , α 2 L g E φ ( c ) (4.2.3) 1 b inf c C 1 ( M ; p , q )  s.t.  c ( [ 0 , 1 ] ) U g E φ p , α 2 L g ( c ) 1 b d g ( p , q ) {:[d_(g_(E)^(varphi))(p","q)=i n f_(c inC^(1)(M;p,q)" s.t. "c([0,1])subU_(g_(E)^(varphi))(p,alpha_(2)))L_(g_(E)^(varphi))(c)],[(4.2.3) >= (1)/(b)i n f_(c inC^(1)(M;p,q)" s.t. "c([0,1])subU_(g_(E)^(varphi))(p,alpha_(2)))L_(g)(c) >= (1)/(b)d_(g)(p","q)]:}\begin{align*} d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, q) & =\inf _{c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) \text { s.t. } c([0,1]) \subset U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}\left(p, \alpha_{2}\right)} \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \\ & \geq \frac{1}{b} \inf _{c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) \text { s.t. } c([0,1]) \subset U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}\left(p, \alpha_{2}\right)} \mathcal{L}_{g}(c) \geq \frac{1}{b} d_{g}(p, q) \tag{4.2.3} \end{align*}dgEφ(p,q)=infcC1(M;p,q) s.t. c([0,1])UgEφ(p,α2)LgEφ(c)(4.2.3)1binfcC1(M;p,q) s.t. c([0,1])UgEφ(p,α2)Lg(c)1bdg(p,q)
が成り立つ. 十分小さな正の数 ε ε epsi\varepsilonε をとる.
δ := min { ε b , α 2 } δ := min ε b , α 2 delta:=min{(epsi )/(b),alpha_(2)}\delta:=\min \left\{\frac{\varepsilon}{b}, \alpha_{2}\right\}δ:=min{εb,α2}
とおく. q U g E φ ( p , δ ) q U g E φ ( p , δ ) q inU_(g_(E)^(varphi))(p,delta)q \in U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \delta)qUgEφ(p,δ) とする. このとき, 式 (4.2.3) より,
d g ( p , q ) b d g ε φ ( p , q ) < b δ ε d g ( p , q ) b d g ε φ ( p , q ) < b δ ε d_(g)(p,q) <= bd_(g_(epsi)^(varphi))(p,q) < b delta <= epsid_{g}(p, q) \leq b d_{g_{\varepsilon}^{\varphi}}(p, q)<b \delta \leq \varepsilondg(p,q)bdgεφ(p,q)<bδε
が示され,それゆえ q U g ( p , ε ) q U g ( p , ε ) q inU_(g)(p,epsi)q \in U_{g}(p, \varepsilon)qUg(p,ε) が示される.したがって, U g E φ ( p , δ ) U g E φ ( p , δ ) U_(g_(E)^(varphi))(p,delta)subU_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \delta) \subsetUgEφ(p,δ) U g ( p , ε ) U g ( p , ε ) U_(g)(p,epsi)U_{g}(p, \varepsilon)Ug(p,ε) が示される. 以上で, d g ε φ d g ε φ d_(g_(epsi)^(varphi))d_{g_{\varepsilon}^{\varphi}}dgεφ の定める U U UUU の位相と d g | U d g U d_(g|_(U))d_{\left.g\right|_{U}}dg|U の定める U U UUU の位相が一致することが示される。この事実から, この命題の主張が導かれる.
v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, v v v\boldsymbol{v}v を初速度にもつ測地線でそれ以上延長不可能なものを γ v : I v M γ v : I v M gamma_(v):I_(v)rarr M\gamma_{\boldsymbol{v}}: I_{\boldsymbol{v}} \rightarrow Mγv:IvM とする. ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の任意の点 p p ppp と任意の v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, γ v γ v gamma_(v)\gamma_{\boldsymbol{v}}γv R R R\mathbb{R}R 全体で定義される(つまり I v = R I v = R I_(v)=RI_{v}=\mathbb{R}Iv=R ) とき, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) は測地的完備 (geodesically complete) であるという。
測地的完備性について, 次のHopf-Rinow(ホップ・リノー)の定理 (Hopf-Rinow's theorem)が成り立つ.
定理 4.2.2 (Hopf-Rinow) 距離空間 ( M , d g ) M , d g (M,d_(g))\left(M, d_{g}\right)(M,dg) が完備であることと ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が測地的完備であることは同値である.
この定理の証明については, 例えば [加須栄 1] の 3.10.1 節を参照のこと.
注意 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が測地的完備であるとき, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の任意の 2 点 p , q p , q p,qp, qp,q に対し, p p ppp q q qqq を結ぶ最短測地線が存在する。この事実は, 測地的完備性より、 M M MMM の任意の点 p p ppp に おける指数写像 exp p exp p exp_(p)\exp _{p}expp T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 全体で定義されることを用いて導かれる.

4.3 曲率テンソル場

この節において, リーマン多様体の歪みを表す曲率テンソル場, および, そ れに付随して定義されるリッチテンソル場, スカラー曲率, さらに断面曲率を 定義する. まず, より一般に, n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C アフィン接続多様体 ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) を考え る. R p : T p M × T p M × T p M T p M R p : T p M × T p M × T p M T p M R_(p):T_(p)M xxT_(p)M xxT_(p)M rarrT_(p)MR_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \times T_{p} M \rightarrow T_{p} MRp:TpM×TpM×TpMTpM
R p ( v 1 , v 2 , v 3 ) := ( X 1 ( X 2 X 3 ) X 2 ( X 1 X 3 ) [ X 1 , X 2 ] X 3 ) p ( v 1 , v 2 , v 3 T p M ) R p v 1 , v 2 , v 3 := X 1 X 2 X 3 X 2 X 1 X 3 X 1 , X 2 X 3 p v 1 , v 2 , v 3 T p M {:[R_(p)(v_(1),v_(2),v_(3)):=(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3))_(p)],[(v_(1),v_(2),v_(3)inT_(p)M)]:}\begin{array}{r} R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right):=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\mathbf{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}\right)_{p} \\ \left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3} \in T_{p} M\right) \end{array}Rp(v1,v2,v3):=(X1(X2X3)X2(X1X3)[X1,X2]X3)p(v1,v2,v3TpM)
によって定義する。 ここで, X i ( i = 1 , 2 , 3 ) X i ( i = 1 , 2 , 3 ) X_(i)(i=1,2,3)\boldsymbol{X}_{i}(i=1,2,3)Xi(i=1,2,3) ( X i ) p = v i X i p = v i (X_(i))_(p)=v_(i)\left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{i}(Xi)p=vi となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元を表す. R p R p R_(p)R_{p}Rp が well-defined であることを示そう. p p ppp のまわりの局所チャ ート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) をとり, X i = j = 1 n ( X i ) j x j ( i = 1 , 2 , 3 ) X i = j = 1 n X i j x j ( i = 1 , 2 , 3 ) quadX_(i)=sum_(j=1)^(n)(X_(i))^(j)(del)/(delx_(j))(i=1,2,3)\quad \boldsymbol{X}_{i}=\sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}\right)^{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}(i=1,2,3)Xi=j=1n(Xi)jxj(i=1,2,3) とする. このとき, これらを
X 1 ( X 2 X 3 ) X 2 ( X 1 X 3 ) [ X 1 , X 2 ] X 3 X 1 X 2 X 3 X 2 X 1 X 3 X 1 , X 2 X 3 grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3)\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}X1(X2X3)X2(X1X3)[X1,X2]X3
に代入して, grad\nabla [ [ [[[, ] , [ x i , x j ] = 0 ] , x i , x j = 0 ]の性質,および[(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))]=0] の性質, および \left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right]=\mathbf{0}],[xi,xj]=0 を用いて計算すると、
X 1 ( X 2 X 3 ) X 2 ( X 1 X 3 ) [ X 1 , X 2 ] X 3 (4.3.1) = i = 1 n j = 1 n k = 1 n ( X 1 ) i ( X 2 ) j ( X 3 ) k × ( x i ( x j x k ) x j ( x i x k ) ) X 1 X 2 X 3 X 2 X 1 X 3 X 1 , X 2 X 3 (4.3.1) = i = 1 n j = 1 n k = 1 n X 1 i X 2 j X 3 k × x i x j x k x j x i x k {:[grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3)],[(4.3.1)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(X_(1))^(i)(X_(2))^(j)(X_(3))^(k)],[quad xx(grad_((del)/(delx_(i)))(grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(k)))-grad_((del)/(delx_(j)))(grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(k))))]:}\begin{align*} & \nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\mathbf{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{1}\right)^{i}\left(X_{2}\right)^{j}\left(X_{3}\right)^{k} \tag{4.3.1}\\ & \quad \times\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right) \end{align*}X1(X2X3)X2(X1X3)[X1,X2]X3(4.3.1)=i=1nj=1nk=1n(X1)i(X2)j(X3)k×(xi(xjxk)xj(xixk))
が示され, それゆえ,
( X 1 ( X 2 X 3 ) X 2 ( X 1 X 3 ) [ X 1 , X 2 ] X 3 ) p (4.3.2) = i = 1 n j = 1 n k = 1 n ( X 1 ) i ( p ) ( X 2 ) j ( p ) ( X 3 ) k ( p ) X 1 X 2 X 3 X 2 X 1 X 3 X 1 , X 2 X 3 p (4.3.2) = i = 1 n j = 1 n k = 1 n X 1 i ( p ) X 2 j ( p ) X 3 k ( p ) {:[(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3))_(p)],[(4.3.2)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(X_(1))^(i)(p)(X_(2))^(j)(p)(X_(3))^(k)(p)]:}\begin{align*} & \left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}\right)_{p} \\ = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{1}\right)^{i}(p)\left(X_{2}\right)^{j}(p)\left(X_{3}\right)^{k}(p) \tag{4.3.2} \end{align*}(X1(X2X3)X2(X1X3)[X1,X2]X3)p(4.3.2)=i=1nj=1nk=1n(X1)i(p)(X2)j(p)(X3)k(p)
× ( x i ( x j x k ) x j ( x i x k ) ) p × x i x j x k x j x i x k p xx(grad_((del)/(delx_(i)))(grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(k)))-grad_((del)/(delx_(j)))(grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(k))))_(p)\times\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right)_{p}×(xi(xjxk)xj(xixk))p
をえる。一方, v i = ( X i ) p = j = 1 n ( X i ) j ( p ) ( x j ) p v i = X i p = j = 1 n X i j ( p ) x j p v_(i)=(X_(i))_(p)=sum_(j=1)^(n)(X_(i))^(j)(p)((del)/(delx_(j)))_(p)\boldsymbol{v}_{i}=\left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}\right)^{j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}vi=(Xi)p=j=1n(Xi)j(p)(xj)p なので, ( X i ) j ( p ) X i j ( p ) (X_(i))^(j)(p)\left(X_{i}\right)^{j}(p)(Xi)j(p) は, v i v i v_(i)\boldsymbol{v}_{i}vi の拡張 X i X i X_(i)\boldsymbol{X}_{i}Xi のとり方によらずに定まる。それゆえ,
( X 1 ( X 2 X 3 ) X 2 ( X 1 X 3 ) [ X 1 , X 2 ] X 3 ) p X 1 X 2 X 3 X 2 X 1 X 3 X 1 , X 2 X 3 p (grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3))_(p)\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}\right)_{p}(X1(X2X3)X2(X1X3)[X1,X2]X3)p
v i v i v_(i)\boldsymbol{v}_{i}vi の拡張 X i X i X_(i)\boldsymbol{X}_{i}Xi のとり方によらずに定まることがわかり, ゆえに, R p R p R_(p)R_{p}Rp が well-defined であることが示される. 同時に式 (4.3.2) から, R p R p R_(p)R_{p}Rp T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 上の ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) (1,3)(1,3)(1,3) 次テンソルであることが示される.
各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, R p R p R_(p)R_{p}Rp を対応させることにより定義される M M MMM 上の ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) (1,3)(1,3)(1,3)次テンソル場 R R RRR を考えよう。 R R RRR の定義より,
R ( x i , x j , x k ) (4.3.3) = ( x i ( x j x k ) x j ( x i x k ) ) = l = 1 n ( Γ j k l x i Γ i k l x j + m = 1 n ( Γ j k m Γ i m l Γ i k m Γ j m l ) ) x l R x i , x j , x k (4.3.3) = x i x j x k x j x i x k = l = 1 n Γ j k l x i Γ i k l x j + m = 1 n Γ j k m Γ i m l Γ i k m Γ j m l x l {:[R((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)),(del)/(delx_(k)))],[(4.3.3)=(grad_((del)/(delx_(i)))(grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(k)))-grad_((del)/(delx_(j)))(grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(k))))],[=sum_(l=1)^(n)((delGamma_(jk)^(l))/(delx_(i))-(delGamma_(ik)^(l))/(delx_(j))+sum_(m=1)^(n)(Gamma_(jk)^(m)Gamma_(im)^(l)-Gamma_(ik)^(m)Gamma_(jm)^(l)))(del)/(delx_(l))]:}\begin{align*} & R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}, \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right) \\ = & \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right) \tag{4.3.3}\\ = & \sum_{l=1}^{n}\left(\frac{\partial \Gamma_{j k}^{l}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial x_{j}}+\sum_{m=1}^{n}\left(\Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{i m}^{l}-\Gamma_{i k}^{m} \Gamma_{j m}^{l}\right)\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} \end{align*}R(xi,xj,xk)(4.3.3)=(xi(xjxk)xj(xixk))=l=1n(ΓjklxiΓiklxj+m=1n(ΓjkmΓimlΓikmΓjml))xl
をえる. ここで, Γ i j k Γ i j k Gamma_(ij)^(k)\Gamma_{i j}^{k}Γijk 等は, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する接続係数を表す. したがって, R R RRR ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分 R i j k l R i j k l R_(ijk)^(l)R_{i j k}{ }^{l}Rijkl は,
R i j k l = Γ j k l x i Γ i k l x j + l = 1 n ( Γ j k m Γ i m l Γ i k m Γ j m l ) R i j k l = Γ j k l x i Γ i k l x j + l = 1 n Γ j k m Γ i m l Γ i k m Γ j m l R_(ijk)^(l)=(delGamma_(jk)^(l))/(delx_(i))-(delGamma_(ik)^(l))/(delx_(j))+sum_(l=1)^(n)(Gamma_(jk)^(m)Gamma_(im)^(l)-Gamma_(ik)^(m)Gamma_(jm)^(l))R_{i j k}^{l}=\frac{\partial \Gamma_{j k}^{l}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial x_{j}}+\sum_{l=1}^{n}\left(\Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{i m}^{l}-\Gamma_{i k}^{m} \Gamma_{j m}^{l}\right)Rijkl=ΓjklxiΓiklxj+l=1n(ΓjkmΓimlΓikmΓjml)
によって与えられる。この式から, R i j k l φ 1 R i j k l φ 1 R_(ijk)^(l)@varphi^(-1)R_{i j k}{ }^{l} \circ \varphi^{-1}Rijklφ1 C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることがわかる. したがって, R R RRR C C C^(oo)C^{\infty}C 級の ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) (1,3)(1,3)(1,3) 次テンソル場である。 R R RRR ( M , ) ( M , ) (M,grad)(M, \nabla)(M,) の曲率 テンソル場(curvature tensor field)という. R = 0 R = 0 R=0R=0R=0 であるとき,アフ イン接続 grad\nabla は平坦(flat)であるという. 特に, grad\nabla がリーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のリーマン接続である場合, R R RRR をリーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の曲率テンソル場

( ( W ) X M Z X X ) ( W ) X M Z X X *((W)X∋M^(')Z^(')X^(')X)\cdot\left((W) \mathcal{X} \ni \boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)((W)XMZXX)
( Λ X ( M Z ) Ψ ) E = ( M Z ( x X ) Ψ ) E : ( Z M ( x X ) Ψ ) E = ( M Z ( x X ) Ψ ) E Λ X M Z Ψ E = M Z x X Ψ E : Z M x X Ψ E = M Z x X Ψ E {:[(Lambda^(')X(M^(')Z)Psi)E=(M^(')Z(x^(')X)Psi)^(E)],[:(Z^(')M(x^(')X)Psi)E-=(M^(')Z(x^(')X)Psi)^(E)]:}\begin{align*} \left(\boldsymbol{\Lambda}^{\prime} \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}\right) \Psi\right) E & =\left(\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi\right)^{E} \\ :\left(\boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi\right) E- & =\left(\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi\right)^{E} \end{align*}(ΛX(MZ)Ψ)E=(MZ(xX)Ψ)E:(ZM(xX)Ψ)E=(MZ(xX)Ψ)E
(I) 0 = M ( X X ) ( y z Δ ) + M ( X Z ) ( y λ Δ ) + M ( Z X ) ( U x Δ ) 0 = Λ ( X Z ) Ψ + X ( Z X ) Z + Z ( Λ X ) U Z ( X X ) Ψ = Z ( Λ X ) Ψ (I) 0 = M X X y z Δ + M X Z y λ Δ + M Z X U x Δ 0 = Λ X Z Ψ + X Z X Z + Z Λ X U Z X X Ψ = Z Λ X Ψ {:(I){:[0=M(X^(')X)(y^(z)Delta)+M(X^(')Z)(y^(lambda)Delta)+M(Z^(')X)(U^(x Delta))],[vdots0=Lambda(X^(')Z)Psi+X(Z^(')X)Z+Z(Lambda^(')X)U],[vdotsZ(X^(')X)Psi-=Z(Lambda^(')X)Psi]:}:}\begin{array}{r} 0=\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)\left(y^{\boldsymbol{z}} \Delta\right)+\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Z}\right)\left(y^{\boldsymbol{\lambda}} \Delta\right)+\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)\left(\mathcal{U}^{\boldsymbol{x} \Delta}\right) \\ \vdots 0=\boldsymbol{\Lambda}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Z}\right) \Psi+\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \mathcal{Z}+\boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{\Lambda}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \mathcal{U} \\ \vdots \boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi-=\boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{\Lambda}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi \tag{I} \end{array}(I)0=M(XX)(yzΔ)+M(XZ)(yλΔ)+M(ZX)(UxΔ)0=Λ(XZ)Ψ+X(ZX)Z+Z(ΛX)UZ(XX)Ψ=Z(ΛX)Ψ
I & ¯ I & ¯ I*&* bar(grad)\mathrm{I} \cdot \boldsymbol{\&} \cdot \bar{\nabla}I&¯ 瞕㟽
[ z X c X X Δ [ z X Δ T X Δ ] = ( z X I X X ) U [ z X c X X Δ z X Δ T X Δ = z X I X X U ^([z)X^(^(c)X)X Delta-[^(z)X Delta^(^(T)X)Delta]=(^(z)X^(^(I)X)X)U{ }^{[z} \boldsymbol{X}^{{ }^{c} \boldsymbol{X}} \boldsymbol{X} \Delta-\left[{ }^{z} \boldsymbol{X} \Delta{ }^{{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}} \Delta\right]=\left({ }^{z} \boldsymbol{X}{ }^{{ }^{\mathrm{I}} \boldsymbol{X}} \boldsymbol{X}\right) \mathcal{U}[zXcXXΔ[zXΔTXΔ]=(zXIXX)U
∵≠ 0 ∵≠ 0 ∵≠0\because \neq 0∵≠0
( ε X ) ( [ z X 1 X X ] [ z X Δ 1 X Δ ] ) = ε X z X 1 X X z X Δ 1 X Δ = *(^(epsi)X)([^(z)X^(^(1)X)X]-[^(z)X Delta^(^(1)X)Delta])=\cdot\left({ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}\right)\left(\left[{ }^{z} \boldsymbol{X}^{{ }^{1} \boldsymbol{X}} \boldsymbol{X}\right]-\left[{ }^{z} \boldsymbol{X} \Delta{ }^{{ }^{1} \boldsymbol{X}} \Delta\right]\right)=(εX)([zX1XX][zXΔ1XΔ])=
ε X [ [ X ' X ] Δ ( ε X ) ( I X Δ z X Δ z X Δ I X Δ ) = ( ε X ) ( z X L X ) y ε X [ X X Δ ε X I X Δ z X Δ z X Δ I X Δ = ε X z X L X y ^(epsi)X^([^([)X^("' ")X])Delta-(^(epsi)X)(^(I)X Delta@^(z)X Delta-^(z)X Delta@^(I)X Delta)=(^(epsi)X)(^(z)X^(L)X)y{ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}^{\left[{ }^{[} \boldsymbol{X}^{\text {' }} \boldsymbol{X}\right]} \Delta-\left({ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}\right)\left({ }^{\mathrm{I}} \boldsymbol{X} \Delta \circ{ }^{\mathrm{z}} \boldsymbol{X} \Delta-{ }^{z} \boldsymbol{X} \Delta \circ{ }^{\mathrm{I}} \boldsymbol{X} \Delta\right)=\left({ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}\right)\left({ }^{\mathrm{z}} \boldsymbol{X}{ }^{\mathrm{L}} \boldsymbol{X}\right) yεX[[XX]Δ(εX)(IXΔzXΔzXΔIXΔ)=(εX)(zXLX)y
Ric p ( v , w ) := Tr R p ( , v ) w ( p M , v , w T p M ) Ric p ( v , w ) := Tr R p ( , v ) w p M , v , w T p M Ric_(p)(v,w):=TrR_(p)(*,v)w quad(p in M,v,w inT_(p)M)\operatorname{Ric}_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\operatorname{Tr} R_{p}(\cdot, \boldsymbol{v}) \boldsymbol{w} \quad\left(p \in M, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right)Ricp(v,w):=TrRp(,v)w(pM,v,wTpM)
によって定義する。命題4.3.1 の(ii),(iv)を用いて, Ric が対称であることが 示される. Ricを ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のリッチテンソル場(Ricci tensor field)という. また, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数 S S SSS S := Tr g Ric S := Tr g Ric S:=Tr_(g)RicS:=\operatorname{Tr}_{g} \operatorname{Ric}S:=TrgRic にって定義する ( Tr g ( ) Tr g ( ) (Tr_(g)(*):}\left(\operatorname{Tr}_{g}(\cdot)\right.(Trg() の定義については 3.12 節を参照). S S SSS ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) のスカラー曲率(scalar curvature) とよばれる.
T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の 2 次元部分ベクトル空間 Π Π Pi\PiΠ に対し, K ( Π ) K ( Π ) K(Pi)K(\Pi)K(Π)
K ( Π ) := g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 ) K ( Π ) := g p R p e 1 , e 2 e 2 , e 1 K(Pi):=g_(p)(R_(p)(e_(1),e_(2))e_(2),e_(1))K(\Pi):=g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{1}\right)K(Π):=gp(Rp(e1,e2)e2,e1)
( e 1 , e 2 ) e 1 , e 2 ((e_(1),e_(2))(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right)(e1,e2) は の( g p g p g_(p)g_{p}gp に関する)正規直交基底)によって定義する。 K ( Π ) K ( Π ) K(Pi)K(\Pi)K(Π) ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の Пに関する断面曲率(sectional curvature)という。 K ( Π ) K ( Π ) K(Pi)K(\Pi)K(Π) が well-defined であることを示そう. Π Π Pi\PiΠ の正規直交基底 ( e 1 , e 2 ) e ¯ 1 , e ¯ 2 ( bar(e)_(1), bar(e)_(2))\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}\right)(e1,e2) をもう1つと り, e i = j = 1 2 a i j e j ( i = 1 , 2 ) e ¯ i = j = 1 2 a i j e j ( i = 1 , 2 ) bar(e)_(i)=sum_(j=1)^(2)a_(ij)e_(j)(i=1,2)\overline{\boldsymbol{e}}_{i}=\sum_{j=1}^{2} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}(i=1,2)ei=j=12aijej(i=1,2) とするとき, 命題 4.3.1と | det ( a i j ) | = 1 det a i j = 1 |det(a_(ij))|=1\left|\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)\right|=1|det(aij)|=1 を用 いて,
g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 ) = ( det ( a i j ) ) 2 g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 ) = g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 ) g p R p e ¯ 1 , e ¯ 2 e ¯ 2 , e ¯ 1 = det a i j 2 g p R p e 1 , e 2 e 2 , e 1 = g p R p e 1 , e 2 e 2 , e 1 {:[g_(p)(R_(p)( bar(e)_(1), bar(e)_(2)) bar(e)_(2), bar(e)_(1))=(det(a_(ij)))^(2)*g_(p)(R_(p)(e_(1),e_(2))e_(2),e_(1))],[=g_(p)(R_(p)(e_(1),e_(2))e_(2),e_(1))]:}\begin{aligned} g_{p}\left(R_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}\right) \overline{\boldsymbol{e}}_{2}, \overline{\boldsymbol{e}}_{1}\right) & =\left(\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)\right)^{2} \cdot g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{1}\right) \\ & =g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{1}\right) \end{aligned}gp(Rp(e1,e2)e2,e1)=(det(aij))2gp(Rp(e1,e2)e2,e1)=gp(Rp(e1,e2)e2,e1)
が示されるので, K ( Π ) K ( Π ) K(Pi)K(\Pi)K(Π) がwell-defined であることがわかる. 特に, dim M dim M dim M\operatorname{dim} MdimM = 2 = 2 =2=2=2 のとき, K p := K ( T p M ) K p := K T p M K_(p):=K(T_(p)M)K_{p}:=K\left(T_{p} M\right)Kp:=K(TpM) は, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, \boldsymbol{g})(M,g) p p p\boldsymbol{p}p におけるガウス曲率(the Gaussian curvature of ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{g})(M,g) at p ) p ) p)\boldsymbol{p})p) とよばれる。各 p M p M p in Mp \in MpM K p K p K_(p)K_{p}Kp を 対応させることにより定義される関数 K : M R , ( M , g ) K : M R , ( M , g ) K:M rarrRを,(M,g)K: M \rightarrow \mathbb{R} を,(M, \boldsymbol{g})K:MR,(M,g) のガウス 曲率(the Gaussian curvature of ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, \boldsymbol{g})(M,g) ) とよぶ. M M MMM の任意の点 p p ppp T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の任意の 2 次元部分ベクトル空間 Π Π Pi\PiΠ に対し, K ( Π ) K ( Π ) K(Pi)K(\Pi)K(Π) が一定値 c c ccc をとると き, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を一定の断面曲率 c c c\boldsymbol{c}c をもつ定曲率空間(the space of constant curvature c) という. 特に, 一定の断面曲率 0 をもつ定曲率空間を平坦な 空間(flat space)という。
命題 4.3.2 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が一定の断面曲率 c c ccc をもつことと, R R RRR が次式を満たすこ とは同値である:
(4.3.4) R ( X , Y ) Z = c ( g ( Y , Z ) X g ( X , Z ) Y ) ( X , Y , Z X ( M ) ) (4.3.4) R ( X , Y ) Z = c ( g ( Y , Z ) X g ( X , Z ) Y ) ( X , Y , Z X ( M ) ) {:(4.3.4)R(X","Y)Z=c(g(Y","Z)X-g(X","Z)Y)quad(X","Y","Z inX(M)):}\begin{equation*} R(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \boldsymbol{Z}=c(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}) \boldsymbol{X}-g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}) \boldsymbol{Y}) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)) \tag{4.3.4} \end{equation*}(4.3.4)R(X,Y)Z=c(g(Y,Z)Xg(X,Z)Y)(X,Y,ZX(M))
証明 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の曲率テンソル場 R R RRR が式 (4.3.4)を満たすならば, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が 一定の断面曲率 c c ccc をもつことは明らかである。逆を示そう。 M M MMM 上の 4 次共変 テンソル場 R , R ^ R , R ^ R, widehat(R)\mathcal{R}, \widehat{\mathcal{R}}R,R^ を各々,
R p ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) := g p ( R p ( v 1 , v 2 ) v 3 , v 4 ) , R ^ p ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) := c ( g p ( v 2 , v 3 ) g p ( v 1 , v 4 ) g p ( v 1 , v 3 ) g p ( v 2 , v 4 ) ) ( p M , v 1 , , v 4 T p M ) R p v 1 , v 2 , v 3 , v 4 := g p R p v 1 , v 2 v 3 , v 4 , R ^ p v 1 , v 2 , v 3 , v 4 := c g p v 2 , v 3 g p v 1 , v 4 g p v 1 , v 3 g p v 2 , v 4 p M , v 1 , , v 4 T p M {:[R_(p)(v_(1),v_(2),v_(3),v_(4)):=g_(p)(R_(p)(v_(1),v_(2))v_(3),v_(4))","],[ widehat(R)_(p)(v_(1),v_(2),v_(3),v_(4)):=c(g_(p)(v_(2),v_(3))g_(p)(v_(1),v_(4))-g_(p)(v_(1),v_(3))g_(p)(v_(2),v_(4)))],[(p in M,v_(1),dots,v_(4)inT_(p)M)]:}\begin{array}{r} \mathcal{R}_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right):=g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right) \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right), \\ \widehat{\mathcal{R}}_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right):=c\left(g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right) g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{4}\right)-g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{3}\right) g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{4}\right)\right) \\ \left(p \in M, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{4} \in T_{p} M\right) \end{array}Rp(v1,v2,v3,v4):=gp(Rp(v1,v2)v3,v4),R^p(v1,v2,v3,v4):=c(gp(v2,v3)gp(v1,v4)gp(v1,v3)gp(v2,v4))(pM,v1,,v4TpM)
によって定義する。 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) が一定の断面曲率 c c ccc をもつとすると, 任意に p p p inp \inp M M MMM ,および ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底 ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) をとったとき,任意の i , j i , j i,ji, ji,j { 1 , , n } { 1 , , n } in{1,cdots,n}\in\{1, \cdots, n\}{1,,n} に対し,
R p ( e i , e j , e j , e i ) = R ^ p ( e i , e j , e j , e i ) ( = c ( 1 δ i j ) ) R p e i , e j , e j , e i = R ^ p e i , e j , e j , e i = c 1 δ i j R_(p)(e_(i),e_(j),e_(j),e_(i))= widehat(R)_(p)(e_(i),e_(j),e_(j),e_(i))(=c(1-delta_(ij)))\mathcal{R}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{i}\right)=\widehat{\mathcal{R}}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{i}\right)\left(=c\left(1-\delta_{i j}\right)\right)Rp(ei,ej,ej,ei)=R^p(ei,ej,ej,ei)(=c(1δij))
が成り立つ.一方, R R R\mathcal{R}R と同様に, R ^ R ^ widehat(R)\widehat{\mathcal{R}}R^ も命題4.3.1における関係式 (i), (ii), (iv), および (v)を満たすことが容易に示される。これらの事実から,任意の i , j , k , l { 1 , , n } i , j , k , l { 1 , , n } i,j,k,l in{1,dots,n}i, j, k, l \in\{1, \ldots, n\}i,j,k,l{1,,n} に対し,
R p ( e i , e j , e k , e l ) = R ^ p ( e i , e j , e k , e l ) R p e i , e j , e k , e l = R ^ p e i , e j , e k , e l R_(p)(e_(i),e_(j),e_(k),e_(l))= widehat(R)_(p)(e_(i),e_(j),e_(k),e_(l))\mathcal{R}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{k}, \boldsymbol{e}_{l}\right)=\widehat{\mathcal{R}}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{k}, \boldsymbol{e}_{l}\right)Rp(ei,ej,ek,el)=R^p(ei,ej,ek,el)
が成り立つこと,それゆえ, R p = R ^ p R p = R ^ p R_(p)= widehat(R)_(p)\mathcal{R}_{p}=\widehat{\mathcal{R}}_{p}Rp=R^p が成り立つことが示される.
ここで,定曲率空間の例を紹介する.
例 4.3.1 (i) n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元ユークリッド空間 E n := ( A n , g E ) E n := A n , g E E^(n):=(A^(n),g_(E))\mathbb{E}^{n}:=\left(\mathbb{A}^{n}, g_{\mathbb{E}}\right)En:=(An,gE) は平坦な空間 である.
(ii) n 2 n 2 n >= 2n \geq 2n2 とする. ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(n+1)(n+1) 次元ユークリッド空間 E n + 1 = ( A n + 1 , g E ) E n + 1 = A n + 1 , g E E^(n+1)=(A^(n+1),g_(E))\mathbb{E}^{n+1}=\left(\mathbb{A}^{n+1}, g_{\mathbb{E}}\right)En+1=(An+1,gE) 内の 半径 r r rrr n ( 2 ) n ( 2 ) n( >= 2)n(\geq 2)n(2) 次元球面
S n ( r ) := { ( x 1 , , x n + 1 ) R n + 1 ( = A n + 1 ) i = 1 n + 1 x i 2 = r 2 } S n ( r ) := x 1 , , x n + 1 R n + 1 = A n + 1 i = 1 n + 1 x i 2 = r 2 S^(n)(r):={(x_(1),dots,x_(n+1))inR^(n+1)(=A^(n+1))∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=r^(2)}S^{n}(r):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\left(=\mathbb{A}^{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=r^{2}\right\}Sn(r):={(x1,,xn+1)Rn+1(=An+1)i=1n+1xi2=r2}
を考える. ここで o A n + 1 o A n + 1 o inA^(n+1)o \in \mathbb{A}^{n+1}oAn+1 を基点として, Φ o Φ o Phi_(o)\Phi_{o}Φo を通じて, A n + 1 A n + 1 A^(n+1)\mathbb{A}^{n+1}An+1 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 と同
一視している. g S , r g S , r g_(S,r)g_{\mathbb{S}, r}gS,r を超曲面 S n ( r ) S n ( r ) S^(n)(r)S^{n}(r)Sn(r) の第 1 基本形式とする.このとき, ( S n ( r ) , g S , r ) S n ( r ) , g S , r (S^(n)(r),g_(S,r))\left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(Sn(r),gS,r) は一定の断面曲率 1 r 2 1 r 2 (1)/(r^(2))\frac{1}{r^{2}}1r2 をもつ定曲率空間になる.
(iii)数べクトル空間 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 の指数 1 の非退化対称形式〈,〉 L L :)_(L)\rangle_{\mathbb{L}}L
v , w L := v 1 w 1 + i = 2 n + 1 v i w i ( v = ( v 1 , , v n + 1 ) , w = ( w 1 , , w n + 1 ) R n + 1 ) v , w L := v 1 w 1 + i = 2 n + 1 v i w i v = v 1 , , v n + 1 , w = w 1 , , w n + 1 R n + 1 {:[(:v","w:)_(L):=-v_(1)w_(1)+sum_(i=2)^(n+1)v_(i)w_(i)],[(v=(v_(1),dots,v_(n+1)),w=(w_(1),dots,w_(n+1))inR^(n+1))]:}\begin{gathered} \langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle_{\mathbb{L}}:=-v_{1} w_{1}+\sum_{i=2}^{n+1} v_{i} w_{i} \\ \left(\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\right) \end{gathered}v,wL:=v1w1+i=2n+1viwi(v=(v1,,vn+1),w=(w1,,wn+1)Rn+1)
と定義し, A n + 1 A n + 1 A^(n+1)\mathbb{A}^{n+1}An+1 上の指数 1 の非退化かつ対称な 2 次共変テンソル場 g L g L g_(L)g_{\mathbb{L}}gL
( g L ) p ( v , w ) := v , w L ( p A n + 1 , v , w T p A n + 1 ) g L p ( v , w ) := v , w L p A n + 1 , v , w T p A n + 1 (g_(L))_(p)(v,w):=(:v,w:)_(L)quad(p inA^(n+1),v,w inT_(p)A^(n+1))\left(g_{\mathbb{L}}\right)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle_{\mathbb{L}} \quad\left(p \in \mathbb{A}^{n+1}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} \mathbb{A}^{n+1}\right)(gL)p(v,w):=v,wL(pAn+1,v,wTpAn+1)
と定義する. ここで各点 p A n + 1 p A n + 1 p inA^(n+1)p \in \mathbb{A}^{n+1}pAn+1 に対し, T p A n + 1 T p A n + 1 T_(p)A^(n+1)T_{p} \mathbb{A}^{n+1}TpAn+1 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 と同一視されて いる. このとき, L n + 1 := ( A n + 1 , g L ) L n + 1 := A n + 1 , g L L^(n+1):=(A^(n+1),g_(L))\mathbb{L}^{n+1}:=\left(\mathbb{A}^{n+1}, g_{\mathbb{L}}\right)Ln+1:=(An+1,gL) は, ( n + 1 ) ( n + 1 ) (n+1)(\boldsymbol{n}+\mathbf{1})(n+1) 次元ローレンツ空間 ( ( n + ( ( n + ((n+((\boldsymbol{n}+((n+ 1)-dimensional Lorentzian space) とよばれる。 L n + 1 L n + 1 L^(n+1)\mathbb{L}^{n+1}Ln+1 内の超曲面
H n ( r ) := { ( x 1 , , x n + 1 ) R n + 1 x 1 2 + i = 2 n + 1 x i 2 = r 2 かつ x 1 > 0 } H n ( r ) := x 1 , , x n + 1 R n + 1 x 1 2 + i = 2 n + 1 x i 2 = r 2  かつ  x 1 > 0 H^(n)(-r):={(x_(1),dots,x_(n+1))inR^(n+1)∣-x_(1)^(2)+sum_(i=2)^(n+1)x_(i)^(2)=-r^(2)" かつ "x_(1) > 0}H^{n}(-r):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid-x_{1}^{2}+\sum_{i=2}^{n+1} x_{i}^{2}=-r^{2} \text { かつ } x_{1}>0\right\}Hn(r):={(x1,,xn+1)Rn+1x12+i=2n+1xi2=r2 かつ x1>0}
上の 2 次共変テンソル場 g H , r g H , r g_(H,r)g_{\mathbb{H}, r}gH,r
( g H , r ) p ( v , w ) := v , w L ( v , w T p H n ( r ) ) g H , r p ( v , w ) := v , w L v , w T p H n ( r ) (g_(H,r))_(p)(v,w):=(:v,w:)_(L)quad(v,w inT_(p)H^(n)(-r))\left(g_{\mathbb{H}, r}\right)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle_{\mathbb{L}} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} H^{n}(-r)\right)(gH,r)p(v,w):=v,wL(v,wTpHn(r))
によって定義する。ここで, T p A n + 1 T p A n + 1 T_(p)A^(n+1)T_{p} \mathbb{A}^{n+1}TpAn+1 R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 の同一視の下, T p H n ( r ) T p H n ( r ) T_(p)H^(n)(-r)T_{p} H^{n}(-r)TpHn(r) R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 の部分べクトル空間とみなしている. g H , r g H , r g_(H,r)g_{\mathbb{H}, r}gH,r は, H n ( r ) H n ( r ) H^(n)(-r)H^{n}(-r)Hn(r) C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン 計量になり, ( H n ( r ) , g H , r ) H n ( r ) , g H , r (H^(n)(-r),g_(H,r))\left(H^{n}(-r), g_{\mathbb{H}, r}\right)(Hn(r),gH,r) は一定の断面曲率 1 r 2 1 r 2 -(1)/(r^(2))-\frac{1}{r^{2}}1r2 をもつ定曲率空間になる ことが示される。 ( H n ( r ) , g H , r ) H n ( r ) , g H , r (H^(n)(-r),g_(H,r))\left(H^{n}(-r), g_{\mathbb{H}, r}\right)(Hn(r),gH,r) は, n n n\boldsymbol{n}n 次元双曲空間( n n n\boldsymbol{n}n-dimensional hyperbolic space)とよばれる.

4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場

この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルの接続, およびその曲率テン ソル場について説明する。 C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドル E π M E π M Erarr"pi"ME \xrightarrow{\pi} MEπM に対し, E E EEE C C C^(oo)C^{\infty}C 切断の全体を Γ ( E ) Γ ( E ) Gamma^(oo)(E)\Gamma^{\infty}(E)Γ(E) で表す. 写像 : X ( M ) × Γ ( E ) Γ ( E ) : X ( M ) × Γ ( E ) Γ ( E ) grad:X(M)xxGamma^(oo)(E)rarrGamma^(oo)(E)\nabla: \mathcal{X}(M) \times \Gamma^{\infty}(E) \rightarrow \Gamma^{\infty}(E):X(M)×Γ(E)Γ(E) で,次の 4 条件を満たすものを実ベクトルバンドル E E E\boldsymbol{E}E の接続(connection of a a a\mathbf{a}a
real vector bundle E E EEE ) という :
(i) a X + b Y σ = a X σ + b Y σ ( X , Y X ( M ) , a , b R , σ Γ ( E ) ) a X + b Y σ = a X σ + b Y σ X , Y X ( M ) , a , b R , σ Γ ( E ) grad_(aX+bY)sigma=agrad_(X)sigma+bgrad_(Y)sigmaquad(X,Y inX(M),a,b inR,sigma inGamma^(oo)(E))\nabla_{a X+b Y} \sigma=a \nabla_{X} \sigma+b \nabla_{Y} \sigma \quad\left(X, Y \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R}, \sigma \in \Gamma^{\infty}(E)\right)aX+bYσ=aXσ+bYσ(X,YX(M),a,bR,σΓ(E));
(ii) X ( a σ 1 + b σ 2 ) = a X σ 1 + b X σ 2 ( X X ( M ) , a , b R , σ 1 , σ 2 X a σ 1 + b σ 2 = a X σ 1 + b X σ 2 X X ( M ) , a , b R , σ 1 , σ 2 grad_(X)(asigma_(1)+bsigma_(2))=agrad_(X)sigma_(1)+bgrad_(X)sigma_(2)quad(X inX(M),a,b inR,sigma_(1),sigma_(2)in:}\nabla_{X}\left(a \sigma_{1}+b \sigma_{2}\right)=a \nabla_{X} \sigma_{1}+b \nabla_{X} \sigma_{2} \quad\left(X \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R}, \sigma_{1}, \sigma_{2} \in\right.X(aσ1+bσ2)=aXσ1+bXσ2(XX(M),a,bR,σ1,σ2 Γ ( E ) ) Γ ( E ) {:Gamma^(oo)(E))\left.\Gamma^{\infty}(E)\right)Γ(E));
(iii) f X σ = f X σ ( X X ( M ) , f C ( M ) , σ Γ ( E ) ) f X σ = f X σ X X ( M ) , f C ( M ) , σ Γ ( E ) grad_(fX)sigma=fgrad_(X)sigmaquad(X inX(M),f inC^(oo)(M),sigma inGamma^(oo)(E))\nabla_{f X} \sigma=f \nabla_{X} \sigma \quad\left(X \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M), \sigma \in \Gamma^{\infty}(E)\right)fXσ=fXσ(XX(M),fC(M),σΓ(E));
(iv) X ( f σ ) = X ( f ) σ + f X σ ( X X ( M ) , f C ( M ) , σ Γ ( E ) ) X ( f σ ) = X ( f ) σ + f X σ X X ( M ) , f C ( M ) , σ Γ ( E ) grad_(X)(f sigma)=X(f)sigma+fgrad_(X)sigmaquad(X inX(M),f inC^(oo)(M),sigma inGamma^(oo)(E))\nabla_{X}(f \sigma)=X(f) \sigma+f \nabla_{X} \sigma \quad\left(X \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M), \sigma \in \Gamma^{\infty}(E)\right)X(fσ)=X(f)σ+fXσ(XX(M),fC(M),σΓ(E)).
ここで, ( X , σ ) ( X , σ ) grad(X,sigma)\nabla(X, \sigma)(X,σ) X σ X σ grad_(X)sigma\nabla_{X} \sigmaXσ と表している. v T p M v T p M v inT_(p)M\boldsymbol{v} \in T_{p} MvTpM に対し, v σ E p v σ E p grad_(v)sigma inE_(p)\nabla_{\boldsymbol{v}} \sigma \in E_{p}vσEp v σ := ( X σ ) p ( X v σ := X σ p X grad_(v)sigma:=(grad_(X)sigma)_(p)(X:}\nabla_{v} \sigma:=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \sigma\right)_{p}\left(\boldsymbol{X}\right.vσ:=(Xσ)p(X X p = v X p = v X_(p)=v\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}Xp=v となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元 ) ) ))) にって定義する. v σ v σ grad_(v)sigma\nabla_{v} \sigmavσ は well-defined, つまり, v v v\boldsymbol{v}v の拡張 X X X\boldsymbol{X}X のとり方によらずに定まることが 示される。 M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドル E E EEE の接続 grad\nabla の曲率テンソル場を 定義しよう. R p : T p M × T p M × E p E p R p : T p M × T p M × E p E p R_(p):T_(p)M xxT_(p)M xxE_(p)rarrE_(p)R_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \times E_{p} \rightarrow E_{p}Rp:TpM×TpM×EpEp
R p ( v 1 , v 2 , ξ ) := ( X 1 ( X 2 σ ) X 2 ( X 1 σ ) [ X 1 , X 2 ] σ ) p ( v 1 , v 2 T p M , ξ E p ) R p v 1 , v 2 , ξ := X 1 X 2 σ X 2 X 1 σ X 1 , X 2 σ p v 1 , v 2 T p M , ξ E p {:[R_(p)(v_(1),v_(2),xi):=(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))sigma)-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))sigma)-grad_([X_(1),X_(2)])sigma)_(p)],[(v_(1),v_(2)inT_(p)M,xi inE_(p))]:}\begin{array}{r} R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \xi\right):=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \sigma\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \sigma\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \sigma\right)_{p} \\ \left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in T_{p} M, \xi \in E_{p}\right) \end{array}Rp(v1,v2,ξ):=(X1(X2σ)X2(X1σ)[X1,X2]σ)p(v1,v2TpM,ξEp)
(其 ( i = 1 , 2 ) ( i = 1 , 2 ) (i=1,2)(i=1,2)(i=1,2) ( X i ) p = v i X i p = v i (X_(i))_(p)=v_(i)\left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{i}(Xi)p=vi となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元, σ σ sigma\sigmaσ σ ( p ) = ξ σ ( p ) = ξ sigma(p)=xi\sigma(p)=\xiσ(p)=ξ となる Γ ( E ) Γ ( E ) Gamma^(oo)(E)\Gamma^{\infty}(E)Γ(E) の元)によって定義する。 R p ( v 1 , v 2 , ξ ) R p v 1 , v 2 , ξ R_(p)(v_(1),v_(2),xi)R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \xi\right)Rp(v1,v2,ξ) はwell-defined, つまり, v 1 v 1 v_(1)\boldsymbol{v}_{1}v1, v 2 v 2 v_(2)\boldsymbol{v}_{2}v2 の拡張 X 1 , X 2 X 1 , X 2 X_(1),X_(2)\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}X1,X2 ξ ξ xi\xiξ の拡張 σ σ sigma\sigmaσ のとり方によらずに定まることが示される.明らかに, R p R p R_(p)R_{p}Rp は多重線形, つまり, テンソル積空間 T p M T p M E p E p T p M T p M E p E p T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxE_(p)^(**)oxE_(p)T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes E_{p}^{*} \otimes E_{p}TpMTpMEpEp の元であり, 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, R p R p R_(p)R_{p}Rp を対応させる対応 R R RRR はテンソル積バン ドル
T M T M E E := ⨿ p M ( T p M T p M E p E p ) T M T M E E := ⨿ p M T p M T p M E p E p T^(**)M oxT^(**)M oxE^(**)ox E:=⨿_(p in M)(T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxE_(p)^(**)oxE_(p))T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E:=\underset{p \in M}{\amalg}\left(T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes E_{p}^{*} \otimes E_{p}\right)TMTMEE:=⨿pM(TpMTpMEpEp)
C C C^(oo)C^{\infty}C 切断を与えることが示される. R R RRR grad\nabla の曲率テンソル場という. 以下, R p ( v 1 , v 2 , ξ ) R p v 1 , v 2 , ξ R_(p)(v_(1),v_(2),xi)R_{p}\left(v_{1}, v_{2}, \xi\right)Rp(v1,v2,ξ) R p ( v 1 , v 2 ) ξ R p v 1 , v 2 ξ R_(p)(v_(1),v_(2))xiR_{p}\left(v_{1}, v_{2}\right) \xiRp(v1,v2)ξ と表し, R ( X 1 , X 2 , σ ) R X 1 , X 2 , σ R(X_(1),X_(2),sigma)R\left(X_{1}, X_{2}, \sigma\right)R(X1,X2,σ) R ( X 1 , X 2 ) σ R X 1 , X 2 σ R(X_(1),X_(2))sigmaR\left(X_{1}, X_{2}\right) \sigmaR(X1,X2)σ と表す.
注意 T M T M E E T M T M E E T^(**)M oxT^(**)M oxE^(**)ox ET^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes ETMTMEE C C C^(oo)C^{\infty}C 構造が, M M MMM の局所チャートと T M , E T M , E T^(**)M,E^(**)T^{*} M, E^{*}TM,E, E E EEE の局所自明化写像を用いて自然に定義され,その C C C^(oo)C^{\infty}C 構造の下に, 自然な射影 π : T M T M E E M π : T M T M E E M pi:T^(**)M oxT^(**)M oxE^(**)ox E rarr M\pi: T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E \rightarrow Mπ:TMTMEEM C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルになる.
E π M ~ E π M ~ Erarr"pi" widetilde(M)E \xrightarrow{\pi} \widetilde{M}EπM~ を階数 k k kkk C C C^(oo)C^{\infty}C 実ベクトルバンドルとし, f : M M ~ f : M M ~ f:M rarr widetilde(M)f: M \rightarrow \widetilde{M}f:MM~ C C C^(oo)C^{\infty}C写像とする. f E := ⨿ p M ( { p } × E f ( p ) ) f E := ⨿ p M { p } × E f ( p ) f^(**)E:=⨿_(p in M)({p}xxE_(f(p)))f^{*} E:=\underset{p \in M}{\amalg}\left(\{p\} \times E_{f(p)}\right)fE:=⨿pM({p}×Ef(p)) とおき, π f : f E M π f : f E M pi^(f):f^(**)E rarr M\pi^{f}: f^{*} E \rightarrow Mπf:fEM を自然な射
影とする. このとき, f E f E f^(**)Ef^{*} EfE C C C^(oo)C^{\infty}C 構造が自然に定義され, その C C C^(oo)C^{\infty}C 構造の下 に, C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルになる。この実ベクトルバンドル f E π f M f E π f M f^(**)Erarr"pi^(f)"Mf^{*} E \xrightarrow{\pi^{f}} MfEπfM を、 E E EEE f f fff にる誘導実ベクトルバンドル(induced real vector bundle) という. f E f E f^(**)Ef^{*} EfE の切断は, { p } × E f ( p ) { p } × E f ( p ) {p}xxE_(f(p))\{p\} \times E_{f(p)}{p}×Ef(p) E f ( p ) E f ( p ) E_(f(p))E_{f(p)}Ef(p) の同一視の下, 各 p M p M p in Mp \in MpM に対し, E f ( p ) E f ( p ) E_(f(p))E_{f(p)}Ef(p) の元を対応させる対応とみなせる. 特に, f T M ~ f T M ~ f^(**)T widetilde(M)f^{*} T \widetilde{M}fTM~ の切断, つま り, 各 p M p M p in Mp \in MpM に対し, T f ( p ) M ~ T f ( p ) M ~ T_(f(p)) widetilde(M)T_{f(p)} \widetilde{M}Tf(p)M~ の元を対応させる対応を f f f\boldsymbol{f}f に沿うべクトル場 という. f f fff に沿うベクトル場 X X XXX C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることは, f T M ~ f T M ~ f^(**)T widetilde(M)f^{*} T \widetilde{M}fTM~ の切断として C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であることで定められる. m := dim M ~ m := dim M ~ m:=dim widetilde(M)m:=\operatorname{dim} \widetilde{M}m:=dimM~ とする. X X XXX C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であるため の必要十分条件は, 任意の p 0 M p 0 M p_(0)in Mp_{0} \in Mp0M f ( p 0 ) f p 0 f(p_(0))f\left(p_{0}\right)f(p0) のまわりの M ~ M ~ widetilde(M)\widetilde{M}M~ の局所チャート ( V , ψ = ( y 1 , , y m ) ) V , ψ = y 1 , , y m (V,psi=(y_(1),dots,y_(m)))\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right)\right)(V,ψ=(y1,,ym)) に対して, X p = i = 1 m X i ( p ) ( y i ) f ( p ) ( p f 1 ( V ) ) X p = i = 1 m X i ( p ) y i f ( p ) p f 1 ( V ) X_(p)=sum_(i=1)^(m)X_(i)(p)((del)/(dely_(i)))_(f(p))(p inf^(-1)(V))X_{p}=\sum_{i=1}^{m} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_{i}}\right)_{f(p)}\left(p \in f^{-1}(V)\right)Xp=i=1mXi(p)(yi)f(p)(pf1(V)) に よって定義される関数 X i : f 1 ( V ) R ( i = 1 , , m ) X i : f 1 ( V ) R ( i = 1 , , m ) X_(i):f^(-1)(V)rarrR(i=1,dots,m)X_{i}: f^{-1}(V) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, m)Xi:f1(V)R(i=1,,m) C r C r C^(r)C^{r}Cr 級であること である. f f fff に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C 級べクトル場の全体 Γ ( f T M ~ ) Γ f T M ~ Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))\Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)Γ(fTM~) X f ( M , M ~ ) X f ( M , M ~ ) X_(f)(M, widetilde(M))\mathcal{X}_{f}(M, \widetilde{M})Xf(M,M~) と表す.
grad\nabla C C C^(oo)C^{\infty}C 実ベクトルバンドル E π M ~ E π M ~ Erarr"pi" widetilde(M)E \xrightarrow{\pi} \widetilde{M}EπM~ の接続とする。このとき, f E f E f^(**)Ef^{*} EfE の 接続 f f grad^(f)\nabla^{f}f で次の条件を満たすようなものがただ 1 つ存在する:
(*) σ Γ ( E ) σ Γ ( E ) sigma inGamma^(oo)(E)\sigma \in \Gamma^{\infty}(E)σΓ(E) に対し, σ f Γ ( f E ) σ f Γ f E sigma_(f)inGamma^(oo)(f^(**)E)\sigma_{f} \in \Gamma^{\infty}\left(f^{*} E\right)σfΓ(fE) ( σ f ) p := σ f ( p ) ( p M ) σ f p := σ f ( p ) ( p M ) (sigma_(f))_(p):=sigma_(f(p))(p in M)\left(\sigma_{f}\right)_{p}:=\sigma_{f(p)}(p \in M)(σf)p:=σf(p)(pM) によ って定義するとき, 任意の X X ( M ) X X ( M ) X inX(M)\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M)XX(M) に対し, ( X f σ f ) p = d f p ( X p ) σ X f σ f p = d f p X p σ (grad_(X)^(f)sigma_(f))_(p)=grad_(df_(p)(X_(p)))sigma\left(\nabla_{X}^{f} \sigma_{f}\right)_{p}=\nabla_{d f_{p}\left(X_{p}\right)} \sigma(Xfσf)p=dfp(Xp)σ ( p M ) ( p M ) (p in M)(p \in M)(pM) が成り立つ.
この接続 f f grad^(f)\nabla^{f}f f f grad f\nabla ff による誘導接続(induced connection),または、引き戻し接続(pull-back connection)という.
特に, grad\nabla C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] M ~ c : [ a , b ] M ~ c:[a,b]rarr widetilde(M)c:[a, b] \rightarrow \widetilde{M}c:[a,b]M~ による誘導接続 c c grad^(c)\nabla^{c}c に対し, d d t c d d t c grad_((d)/(dt))^(c)\nabla_{\frac{d}{d t}}^{c}ddtc は 4.1 節で述べた c c grad_(c^('))\nabla_{c^{\prime}}c と一致する. σ Γ ( c E ) σ Γ c E sigma inGamma^(oo)(c^(**)E)\sigma \in \Gamma^{\infty}\left(c^{*} E\right)σΓ(cE) に対し, c σ = 0 c σ = 0 grad_(c^('))sigma=0\nabla_{c^{\prime}} \sigma=\mathbf{0}cσ=0 が成り立つと き, σ σ sigma\sigmaσ c c c\boldsymbol{c}c に沿う E E E\boldsymbol{E}E の平行切断(parallel section of E E E\boldsymbol{E}E along c c c\boldsymbol{c}c )という.定理 4.1.2 の (i) に類似して, 次の事実が示される。
定理 4.4.1 c : [ a , b ] M ~ c : [ a , b ] M ~ c:[a,b]rarr widetilde(M)c:[a, b] \rightarrow \widetilde{M}c:[a,b]M~ C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とする。各 ξ E c ( a ) ξ E c ( a ) xi inE_(c(a))\xi \in E_{c(a)}ξEc(a) に対し, c c ccc に沿 う E E EEE の平行切断 σ σ sigma\sigmaσ σ ( a ) = ξ σ ( a ) = ξ sigma(a)=xi\sigma(a)=\xiσ(a)=ξ となるようなものが, ただ 1 つ存在する.
M ~ M ~ widetilde(M)\widetilde{M}M~ 上の C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 c : [ a , b ] M ~ c : [ a , b ] M ~ c:[a,b]rarr widetilde(M)c:[a, b] \rightarrow \widetilde{M}c:[a,b]M~ に対し, E c ( a ) E c ( a ) E_(c(a))E_{c(a)}Ec(a) から E c ( b ) E c ( b ) E_(c(b))E_{c(b)}Ec(b) への写像 P c P c P_(c)P_{c}Pc
P c ( ξ ) := σ ( b ) ( ξ E c ( a ) ) ( σ : σ ( a ) = ξ を満たす c に沿う平行切断 ) P c ( ξ ) := σ ( b ) ξ E c ( a ) ( σ : σ ( a ) = ξ  を満たす  c  に沿う平行切断  ) {:[P_(c)(xi):=sigma(b)quad(xi inE_(c(a)))],[(sigma:sigma(a)=xi" を満たす "c" に沿う平行切断 ")]:}\begin{gathered} P_{c}(\xi):=\sigma(b) \quad\left(\xi \in E_{c(a)}\right) \\ (\sigma: \sigma(a)=\xi \text { を満たす } c \text { に沿う平行切断 }) \end{gathered}Pc(ξ):=σ(b)(ξEc(a))(σ:σ(a)=ξ を満たす c に沿う平行切断 )
によって定義する. この写像 P c P c P_(c)P_{c}Pc grad\nabla に関する c c ccc に沿う平行移動という.

4.5 測地変形とヤコビ場

この節において, リーマン多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の測地線に沿うヤコビ場を,あ る 2 階常微分方程式(ヤコビ方程式とよばれるもの)の解として定義し, 測地変形(測地線の滑らかな 1 パラメーター族)の変分ベクトル場がヤコビ場 であること,逆に,測地線に沿う任意のヤコビ場に対し,それを変分ベクト ル場にもつ測地変形が構成できることを説明する。このように, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の 測地線族の振る舞いは, ヤコビ場の振る舞いによって支配されることがわか る。一方, ヤコビ場の振る舞いは, ヤコビ方程式が曲率テンソル場を用いて定義されるため, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の曲率によって支配されることがわかる。したがって, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の測地線族の振る舞いは, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の曲率によって支配されることに なる.例えば,2次元リーマン多様体上の測地三角形の形状(例えば, 内角の 和)は,ヤコビ場の振る舞いを分析することにより,ある程度わかる。このよ うに,2.8 節で述べた曲面に対するガウス・ボンネの定理(局所版)から導か れる曲面上の測地三角形の内角の和に関する情報は, 実は, ヤコビ場の振る舞 いを分析することによってもある程度わかる。
注意この節で述べる内容は, より一般に, 抳れのないアフィン接続多様体上で 成り立つことを注意しておく。
( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) C C C^(oo)C^{\infty}C 級リーマン多様体とし, , R , R grad,R\nabla, R,R を各々, g g ggg のリーマン接続, 曲率テンソル場とする。以下, I I III は 0 を含む開区間とする。 γ : I M γ : I M gamma:I rarr M\gamma: I \rightarrow Mγ:IM ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g)上の測地線とし, Y : I T M Y : I T M Y:I rarr TM\boldsymbol{Y}: I \rightarrow T MY:ITM γ γ gamma\gammaγ に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトル場とする。簡単のた め, γ Y , γ ( γ Y ) γ Y , γ γ Y grad_(gamma^('))Y,grad_(gamma^('))(grad_(gamma^('))Y)\nabla_{\gamma^{\prime}} \boldsymbol{Y}, \nabla_{\gamma^{\prime}}\left(\nabla_{\gamma^{\prime}} \boldsymbol{Y}\right)γY,γ(γY) を各々, Y , Y Y , Y Y^('),Y^('')\boldsymbol{Y}^{\prime}, \boldsymbol{Y}^{\prime \prime}Y,Y と略記することにする。Yが 2 階常微分方程式
(4.5.1) Y ( s ) + R γ ( s ) ( Y ( s ) , γ ( s ) ) γ ( s ) = 0 ( s I ) (4.5.1) Y ( s ) + R γ ( s ) Y ( s ) , γ ( s ) γ ( s ) = 0 ( s I ) {:(4.5.1)Y^('')(s)+R_(gamma(s))(Y(s),gamma^(')(s))gamma^(')(s)=0quad(s in I):}\begin{equation*} \boldsymbol{Y}^{\prime \prime}(s)+R_{\gamma(s)}\left(\boldsymbol{Y}(s), \gamma^{\prime}(s)\right) \gamma^{\prime}(s)=0 \quad(s \in I) \tag{4.5.1} \end{equation*}(4.5.1)Y(s)+Rγ(s)(Y(s),γ(s))γ(s)=0(sI)
を満たすとき, Y Y YYY γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場(Jacobi field)という. また, 式
(4.5.1) はヤコビ方程式(Jacobi equation)とよばれる.
γ : I M γ : I M gamma:I rarr M\gamma: I \rightarrow Mγ:IM を測地線とし, { γ t } t ( ε , ε ) γ t t ( ε , ε ) {gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γt}t(ε,ε) ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の I I III を定義域とする測地線の 1 パラメーター族で, 次の 2 条件を満たすようなものとする:
(i) δ ( s , t ) := γ t ( s ) ( ( s , t ) I × ( ε , ε ) ) δ ( s , t ) := γ t ( s ) ( ( s , t ) I × ( ε , ε ) ) delta(s,t):=gamma_(t)(s)quad((s,t)in I xx(-epsi,epsi))\delta(s, t):=\gamma_{t}(s) \quad((s, t) \in I \times(-\varepsilon, \varepsilon))δ(s,t):=γt(s)((s,t)I×(ε,ε)) によって定義される写像 δ δ delta\deltaδ : I × ( ε , ε ) M I × ( ε , ε ) M I xx(-epsi,epsi)rarr MI \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow MI×(ε,ε)M は, C C C^(oo)C^{\infty}C 写像である;
(ii) γ 0 = γ γ 0 = γ gamma_(0)=gamma\gamma_{0}=\gammaγ0=γ.
このような族 { γ t } t ( ε , ε ) γ t t ( ε , ε ) {gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γt}t(ε,ε) γ γ gamma\gammaγ C C C^(oo)C^{\infty}C 級の測地変形 (geodesic deformation)といい, s d δ ( s , 0 ) ( ( t ) | ( s , 0 ) ) s d δ ( s , 0 ) t ( s , 0 ) s|->ddelta_((s,0))(((del)/(del t))|_((s,0)))s \mapsto d \delta_{(s, 0)}\left(\left.\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right|_{(s, 0)}\right)sdδ(s,0)((t)|(s,0)) をその変分ベクトル場という.
命題 4.5.1 測地線 γ γ gamma\gammaγ C C C^(oo)C^{\infty}C 級の測地変形の変分べクトル場は γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコ ビ場になり, 逆に, 測地線 γ γ gamma\gammaγ に沿う任意のヤコビ場に対し, それを変分べク トル場とする γ γ gamma\gammaγ C C C^(oo)C^{\infty}C 級の測地変形が存在する.
証明 δ = { γ t } t ( ε , ε ) δ = γ t t ( ε , ε ) delta={gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={γt}t(ε,ε) ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) 上の測地線 γ : I M γ : I M gamma:I rarr M\gamma: I \rightarrow Mγ:IM C C C^(oo)C^{\infty}C 級の測地変形とし,その変分ベクトル場を Y Y Y\boldsymbol{Y}Y とする。 δ δ delta\deltaδ は測地変形なので, s δ d δ ( s ) s δ d δ s grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del s))\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)sδdδ(s) = 0 = 0 =0=0=0 が成り立つ. ここで, δ δ grad^(delta)\nabla^{\delta}δ grad\nabla δ δ delta\deltaδ に誘導接続を表す. grad\nabla が抳れ 0 であることと [ s , t ] = 0 s , t = 0 [(del)/(del s),(del)/(del t)]=0\left[\frac{\partial}{\partial s}, \frac{\partial}{\partial t}\right]=0[s,t]=0 より,
(4.5.2) s δ d δ ( t ) = t δ d δ ( s ) (4.5.2) s δ d δ t = t δ d δ s {:(4.5.2)grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t))=grad_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)):}\begin{equation*} \nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)=\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right) \tag{4.5.2} \end{equation*}(4.5.2)sδdδ(t)=tδdδ(s)
が示される。 Y Y Y^('')\boldsymbol{Y}^{\prime \prime}Y を計算しよう. 式 (4.5.2) と曲率テンソル場 R R RRR の定義から,
Y ( s ) = ( s δ ( s δ d δ ( t ) ) ) ( s , 0 ) = ( s δ ( t δ d δ ( s ) ) ) ( s , 0 ) = ( t δ ( s δ d δ ( s ) ) ) ( s , 0 ) + R γ ( s ) ( d δ ( s , 0 ) ( ( s ) ( s , 0 ) ) , d δ ( s , 0 ) ( ( t ) ( s , 0 ) ) ) d δ ( s , 0 ) ( ( s ) ( s , 0 ) ) = R γ ( s ) ( Y ( s ) , γ ( s ) ) γ ( s ) Y ( s ) = s δ s δ d δ t ( s , 0 ) = s δ t δ d δ s ( s , 0 ) = t δ s δ d δ s ( s , 0 ) + R γ ( s ) d δ ( s , 0 ) s ( s , 0 ) , d δ ( s , 0 ) t ( s , 0 ) d δ ( s , 0 ) s ( s , 0 ) = R γ ( s ) Y ( s ) , γ ( s ) γ ( s ) {:[Y^('')(s)=(grad_((del)/(del s))^(delta)(grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t))))_((s,0))=(grad_((del)/(del s))^(delta)(grad_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s))))_((s,0))],[=(grad_((del)/(del t))^(delta)(grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del s))))_((s,0))],[+R_(gamma(s))(ddelta_((s,0))(((del)/(del s))_((s,0))),ddelta_((s,0))(((del)/(del t))_((s,0))))ddelta_((s,0))(((del)/(del s))_((s,0)))],[=-R_(gamma(s))(Y(s),gamma^(')(s))gamma^(')(s)]:}\begin{aligned} \boldsymbol{Y}^{\prime \prime}(s)= & \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)_{(s, 0)}=\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)\right)_{(s, 0)} \\ = & \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)\right)_{(s, 0)} \\ & +R_{\gamma(s)}\left(d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)_{(s, 0)}\right), d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{(s, 0)}\right)\right) d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)_{(s, 0)}\right) \\ = & -R_{\gamma(s)}\left(\boldsymbol{Y}(s), \gamma^{\prime}(s)\right) \gamma^{\prime}(s) \end{aligned}Y(s)=(sδ(sδdδ(t)))(s,0)=(sδ(tδdδ(s)))(s,0)=(tδ(sδdδ(s)))(s,0)+Rγ(s)(dδ(s,0)((s)(s,0)),dδ(s,0)((t)(s,0)))dδ(s,0)((s)(s,0))=Rγ(s)(Y(s),γ(s))γ(s)
が導かれる。こように, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y がヤコビ方程式 (4.5.1)を満たすこと,つまり、 γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場であることが示される.
Y : Y ( 0 ) = 0 , Y ( 0 ) 0 となるヤコビ場 α Z | t = 0 = d Z d t | t = 0 = Y ( 0 ) Y : Y ( 0 ) = 0 , Y ( 0 ) 0  となるヤコビ場  α Z t = 0 = d Z d t t = 0 = Y ( 0 ) {:[Y:Y(0)=0","Y^(')(0)!=0" となるヤコビ場 "],[grad_(alpha^('))Z|_(t=0)=(dZ)/(dt)|_(t=0)=Y^(')(0)]:}\begin{gathered} \boldsymbol{Y}: \boldsymbol{Y}(0)=0, \boldsymbol{Y}^{\prime}(0) \neq 0 \text { となるヤコビ場 } \\ \left.\nabla_{\alpha^{\prime}} \boldsymbol{Z}\right|_{t=0}=\left.\frac{d \boldsymbol{Z}}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{Y}^{\prime}(0) \end{gathered}Y:Y(0)=0,Y(0)0 となるヤコビ場 αZ|t=0=dZdt|t=0=Y(0)
図 4.5.1 ヤコビ場から測地変形を構成する方法(例 1 )
次に,逆を示す. Y Y Y\boldsymbol{Y}Y γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場とする. α ( 0 ) = Y ( 0 ) α ( 0 ) = Y ( 0 ) alpha^(')(0)=Y(0)\alpha^{\prime}(0)=\boldsymbol{Y}(0)α(0)=Y(0) となる C C C^(oo)C^{\infty}C曲線 α : ( ε , ε ) M α : ( ε , ε ) M alpha:(-epsi,epsi)rarr M\alpha:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mα:(ε,ε)M をとり, Z : ( ε , ε ) T M Z : ( ε , ε ) T M Z:(-epsi,epsi)rarr TM\boldsymbol{Z}:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow T MZ:(ε,ε)TM Z ( 0 ) = γ ( 0 ) , ( α Z ) 0 Z ( 0 ) = γ ( 0 ) , α Z 0 Z(0)=gamma^(')(0),(grad_(alpha^('))Z)_(0)\boldsymbol{Z}(0)=\gamma^{\prime}(0),\left(\nabla_{\alpha^{\prime}} \boldsymbol{Z}\right)_{0}Z(0)=γ(0),(αZ)0 = Y ( 0 ) = Y ( 0 ) =Y^(')(0)=\boldsymbol{Y}^{\prime}(0)=Y(0) を満たす α α alpha\alphaα に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトル場とする. このベクトル場 Z Z Z\boldsymbol{Z}Z を用い て, I I III を定義域とする測地線の 1 パラメーター族 { γ t } t ( ε , ε ) γ t t ( ε , ε ) {gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{γt}t(ε,ε)
γ t ( s ) := exp α ( t ) ( s Z ( t ) ) ( s I ) γ t ( s ) := exp α ( t ) ( s Z ( t ) ) ( s I ) gamma_(t)(s):=exp_(alpha(t))(sZ(t))quad(s in I)\gamma_{t}(s):=\exp _{\alpha(t)}(s \boldsymbol{Z}(t)) \quad(s \in I)γt(s):=expα(t)(sZ(t))(sI)
によって定義し(図 4.5.1, 4.5.2を参照), δ : I × ( ε , ε ) M δ : I × ( ε , ε ) M delta:I xx(-epsi,epsi)rarr M\delta: I \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow Mδ:I×(ε,ε)M δ ( s , t ) := δ ( s , t ) := delta(s,t):=\delta(s, t):=δ(s,t):= γ t ( s ) γ t ( s ) gamma_(t)(s)\gamma_{t}(s)γt(s) により定義する。明らかに, δ = { γ t } t ( ε , ε ) δ = γ t t ( ε , ε ) delta={gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={γt}t(ε,ε) γ γ gamma\gammaγ C C C^(oo)C^{\infty}C 級の測地変形 を与える。それゆえ, δ δ delta\deltaδ の変分ベクトル場 Y ^ ( s ) := d δ ( s , 0 ) ( ( t ) ( s , 0 ) ) Y ^ ( s ) := d δ ( s , 0 ) t ( s , 0 ) widehat(Y)(s):=ddelta_((s,0))(((del)/(del t))_((s,0)))\widehat{\boldsymbol{Y}}(s):=d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{(s, 0)}\right)Y^(s):=dδ(s,0)((t)(s,0)) は、 γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場になる。一方, Y ^ ( 0 ) = Y ( 0 ) Y ^ ( 0 ) = Y ( 0 ) widehat(Y)(0)=Y(0)\widehat{\boldsymbol{Y}}(0)=\boldsymbol{Y}(0)Y^(0)=Y(0), および
Y ^ ( 0 ) = ( s δ d δ ( t ) ) ( 0 , 0 ) = ( t δ d δ ( s ) ) ( 0 , 0 ) = ( α Z ) 0 = Y ( 0 ) Y ^ ( 0 ) = s δ d δ t ( 0 , 0 ) = t δ d δ s ( 0 , 0 ) = α Z 0 = Y ( 0 ) {:[ widehat(Y)^(')(0)=(grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t)))_((0,0))=(grad_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)))_((0,0))],[=(grad_(alpha^('))Z)_(0)=Y^(')(0)]:}\begin{aligned} \widehat{\boldsymbol{Y}}^{\prime}(0)=\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(0,0)} & =\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(0,0)} \\ & =\left(\nabla_{\alpha^{\prime}} \boldsymbol{Z}\right)_{0}=\boldsymbol{Y}^{\prime}(0) \end{aligned}Y^(0)=(sδdδ(t))(0,0)=(tδdδ(s))(0,0)=(αZ)0=Y(0)
をえる. このように, Y , Y ^ Y , Y ^ Y, widehat(Y)\boldsymbol{Y}, \widehat{\boldsymbol{Y}}Y,Y^ は共にヤコビ方程式(これは, 2 階正規型常微分方程式)の解であり, Y ( 0 ) = Y ^ ( 0 ) , Y ( 0 ) = Y ^ ( 0 ) Y ( 0 ) = Y ^ ( 0 ) , Y ( 0 ) = Y ^ ( 0 ) Y(0)= widehat(Y)(0),Y^(')(0)= widehat(Y)^(')(0)\boldsymbol{Y}(0)=\widehat{\boldsymbol{Y}}(0), \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)=\widehat{\boldsymbol{Y}}^{\prime}(0)Y(0)=Y^(0),Y(0)=Y^(0) が成り立つので, 2 階正規型常微分方程式の解の一意性定理によりそれらは一致する.したがって,
図 4.5.2 ヤコビ場から測地変形を構成する方法(例 2 )
δ = { γ t } t ( ε , ε ) δ = γ t t ( ε , ε ) delta={gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\delta=\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}δ={γt}t(ε,ε) は, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y を変分ベクトル場にもつ γ γ gamma\gammaγ C C C^(oo)C^{\infty}C 級の測地変形であ る.
例 4.5.1 n n nnn 次元ユークリッド空間 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En におけるヤコビ場の振る舞いをみよう. E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En は平坦, つまり R = 0 R = 0 R=0R=0R=0 なので, ヤコビ方程式は Y = 0 Y = 0 Y^('')=0\boldsymbol{Y}^{\prime \prime}=0Y=0 となり, E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En 上の 測地線 γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y は次のように記述される:
Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] ( Y ( 0 ) + s Y ( 0 ) ) Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] Y ( 0 ) + s Y ( 0 ) Y(s)=P_(gamma∣[0,s])(Y(0)+sY^(')(0))\boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma \mid[0, s]}\left(\boldsymbol{Y}(0)+s \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)Y(s)=Pγ[0,s](Y(0)+sY(0))
Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] ( Y ( 0 ) + s Y ( 0 ) ) Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] Y ( 0 ) + s Y ( 0 ) Y(s)=P_(gamma∣[0,s])(Y(0)+sY^(')(0))\boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma \mid[0, s]}\left(\boldsymbol{Y}(0)+s \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)Y(s)=Pγ[0,s](Y(0)+sY(0))
Y 1 : Y 1 ( 0 ) = 0 , Y 1 ( 0 ) 0 となるヤコビ場 Y 2 : Y 2 ( 0 ) 0 , Y 2 ( 0 ) = 0 となるヤコビ場 Y 1 : Y 1 ( 0 ) = 0 , Y 1 ( 0 ) 0  となるヤコビ場  Y 2 : Y 2 ( 0 ) 0 , Y 2 ( 0 ) = 0  となるヤコビ場  {:[Y_(1):Y_(1)(0)=0","Y_(1)^(')(0)!=0" となるヤコビ場 "],[Y_(2):Y_(2)(0)!=0","Y_(2)^(')(0)=0" となるヤコビ場 "]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{Y}_{1}: \boldsymbol{Y}_{1}(0)=0, \boldsymbol{Y}_{1}^{\prime}(0) \neq 0 \text { となるヤコビ場 } \\ & \boldsymbol{Y}_{2}: \boldsymbol{Y}_{2}(0) \neq 0, \boldsymbol{Y}_{2}^{\prime}(0)=0 \text { となるヤコビ場 } \end{aligned}Y1:Y1(0)=0,Y1(0)0 となるヤコビ場 Y2:Y2(0)0,Y2(0)=0 となるヤコビ場 
図 4.5.3 E n E n E^(n)\mathbb{E}^{n}En におけるヤコビ場
例 4.5.2 n n nnn 次元単位球面 ( S n ( r ) , g S , r ) S n ( r ) , g S , r (S^(n)(r),g_(S,r))\left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(Sn(r),gS,r) におけるヤコビ場の振る舞いをみよ う. ( S n ( r ) , g S , r ) S n ( r ) , g S , r (S^(n)(r),g_(S,r))\left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(Sn(r),gS,r) は一定の断面曲率 1 r 2 1 r 2 (1)/(r^(2))\frac{1}{r^{2}}1r2 をもつので, 命題4.3.2により,
Y 1 : Y 1 ( 0 ) = 0 , Y 1 ( 0 ) 0 となるヤコビ場 Y 2 : Y 2 ( 0 ) 0 , Y 2 ( 0 ) = 0 となるヤコビ場 Y 1 : Y 1 ( 0 ) = 0 , Y 1 ( 0 ) 0  となるヤコビ場  Y 2 : Y 2 ( 0 ) 0 , Y 2 ( 0 ) = 0  となるヤコビ場  {:[Y_(1):Y_(1)(0)=0","Y_(1)^(')(0)!=0" となるヤコビ場 "],[Y_(2):Y_(2)(0)!=0","Y_(2)^(')(0)=0" となるヤコビ場 "]:}\begin{aligned} & \boldsymbol{Y}_{1}: \boldsymbol{Y}_{1}(0)=0, \boldsymbol{Y}_{1}^{\prime}(0) \neq 0 \text { となるヤコビ場 } \\ & \boldsymbol{Y}_{2}: \boldsymbol{Y}_{2}(0) \neq 0, \boldsymbol{Y}_{2}^{\prime}(0)=0 \text { となるヤコビ場 } \end{aligned}Y1:Y1(0)=0,Y1(0)0 となるヤコビ場 Y2:Y2(0)0,Y2(0)=0 となるヤコビ場 
図 4.5.4 S n ( r ) S n ( r ) S^(n)(r)S^{n}(r)Sn(r) におけるヤコビ場
R ( X 1 , X 2 ) X 3 = 1 r 2 ( g ( X 2 , X 3 ) X 1 g ( X 1 , X 3 ) X 2 ) ( X 1 , X 2 , X 3 X ( M ) ) R X 1 , X 2 X 3 = 1 r 2 g X 2 , X 3 X 1 g X 1 , X 3 X 2 X 1 , X 2 , X 3 X ( M ) {:[R(X_(1),X_(2))X_(3)=(1)/(r^(2))(g(X_(2),X_(3))X_(1)-g(X_(1),X_(3))X_(2))],[(X_(1),X_(2),X_(3)inX(M))]:}\begin{array}{r} R\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right) \boldsymbol{X}_{3}=\frac{1}{r^{2}}\left(g\left(\boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{1}-g\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{2}\right) \\ \left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3} \in \mathcal{X}(M)\right) \end{array}R(X1,X2)X3=1r2(g(X2,X3)X1g(X1,X3)X2)(X1,X2,X3X(M))
が成り立ち, また, R = 0 R = 0 grad R=0\nabla R=\mathbf{0}R=0 が示されるので, ( S n ( r ) , g S , r ) S n ( r ) , g S , r (S^(n)(r),g_(S,r))\left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(Sn(r),gS,r) 上の速さ a a aaa の測地線 γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y g ( Y , γ ) = 0 g Y , γ = 0 g(Y,gamma^('))=0g\left(\boldsymbol{Y}, \gamma^{\prime}\right)=0g(Y,γ)=0 を満たす場合, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y
(4.5.3) Y + a 2 r 2 Y = 0 (4.5.3) Y + a 2 r 2 Y = 0 {:(4.5.3)Y^('')+(a^(2))/(r^(2))*Y=0:}\begin{equation*} \boldsymbol{Y}^{\prime \prime}+\frac{a^{2}}{r^{2}} \cdot \boldsymbol{Y}=0 \tag{4.5.3} \end{equation*}(4.5.3)Y+a2r2Y=0
を満たす。式 (4.5.3) を解いて,
Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] ( cos a s r Y ( 0 ) + r a sin a s r Y ( 0 ) ) Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] cos a s r Y ( 0 ) + r a sin a s r Y ( 0 ) Y(s)=P_(gamma_([0,s]))(cos((as)/(r)Y)(0)+(r)/(a)*sin((as)/(r)Y^('))(0))\boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma_{[0, s]}}\left(\cos \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}(0)+\frac{r}{a} \cdot \sin \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)Y(s)=Pγ[0,s](cosasrY(0)+rasinasrY(0))
をえる。それゆえ, ( S n ( r ) , g S , r ) S n ( r ) , g S , r (S^(n)(r),g_(S,r))\left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right)(Sn(r),gS,r) 上の測地線に沿うヤコビ場の振る舞いは, 図 4.5.4のようになる.
例 4.5.3 n n nnn 次元双曲空間 ( H n ( r ) , g H , r ) H n ( r ) , g H , r (H^(n)(-r),g_(H,r))\left(H^{n}(-r), g_{\mathbb{H}, r}\right)(Hn(r),gH,r) におけるヤコビ場の振る舞いをみよ う. このとき, 一定の断面曲率 1 r 2 1 r 2 -(1)/(r^(2))-\frac{1}{r^{2}}1r2 をもつので, 命題 4.3 .2 により
R ( X 1 , X 2 ) X 3 = 1 r 2 ( g ( X 2 , X 3 ) X 1 g ( X 1 , X 3 ) X 2 ) R X 1 , X 2 X 3 = 1 r 2 g X 2 , X 3 X 1 g X 1 , X 3 X 2 R(X_(1),X_(2))X_(3)=-(1)/(r^(2))(g(X_(2),X_(3))X_(1)-g(X_(1),X_(3))X_(2))R\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right) \boldsymbol{X}_{3}=-\frac{1}{r^{2}}\left(g\left(\boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{1}-g\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{2}\right)R(X1,X2)X3=1r2(g(X2,X3)X1g(X1,X3)X2)
( X 1 , X 2 , X 3 X ( M ) ) X 1 , X 2 , X 3 X ( M ) (X_(1),X_(2),X_(3)inX(M))\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3} \in \mathcal{X}(M)\right)(X1,X2,X3X(M))
が成り立ち, また R = 0 R = 0 grad R=0\nabla R=\mathbf{0}R=0 が示されるので, ( H n ( r ) , g H , r ) H n ( r ) , g H , r (H^(n)(-r),g_(H,r))\left(H^{n}(-r), g_{H, r}\right)(Hn(r),gH,r) 上の速さ a a aaa の測地線 γ γ gamma\gammaγ に沿うヤコビ場 Y Y Y\boldsymbol{Y}Y g ( Y , γ ) = 0 g Y , γ = 0 g(Y,gamma^('))=0g\left(\boldsymbol{Y}, \gamma^{\prime}\right)=0g(Y,γ)=0 を満たす場合, Y Y Y\boldsymbol{Y}Y
図 4.5.5 H 2 ( r ) H 2 ( r ) H^(2)(-r)H^{2}(-r)H2(r) におけるヤコビ場
(4.5.4) Y a 2 r 2 Y = 0 (4.5.4) Y a 2 r 2 Y = 0 {:(4.5.4)Y^('')-(a^(2))/(r^(2))*Y=0:}\begin{equation*} \boldsymbol{Y}^{\prime \prime}-\frac{a^{2}}{r^{2}} \cdot \boldsymbol{Y}=0 \tag{4.5.4} \end{equation*}(4.5.4)Ya2r2Y=0
を満たす.式(4.5.4)を解いて,
Y ( s ) = P γ [ 0 , a ] ( cosh a s r Y ( 0 ) + r a sinh a s r Y ( 0 ) ) Y ( s ) = P γ [ 0 , a ] cosh a s r Y ( 0 ) + r a sinh a s r Y ( 0 ) Y(s)=P_(gamma_([0,a]))(cosh((as)/(r)Y)(0)+(r)/(a)*sinh((as)/(r)Y^('))(0))\boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma_{[0, a]}}\left(\cosh \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}(0)+\frac{r}{a} \cdot \sinh \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right)Y(s)=Pγ[0,a](coshasrY(0)+rasinhasrY(0))
をえる. それゆえ, H n ( r ) H n ( r ) H^(n)(-r)H^{n}(-r)Hn(r) 上の測地線に沿うヤコビ場の振る舞いは, 図 4.5.5 のようになる.
以上述べた 3 つの例からわかるように, 例えば, 曲面をはじめとする 2 次元リーマン多様体上の測地三角形の内角の和の大きさは, その上のヤコビ場を 分析することによっても、ある程度わかることを認識してもらえるであろう.

4.6 リーマン部分多様体論

この節において, 第 2 章で述べたユークリッド空間内の超曲面論の一般理論であるリーマン部分多様体論について述べることにする. f f fff n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C多様体 M M MMM から ( n + k ) ( n + k ) (n+k)(n+k)(n+k) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体 ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) への C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込みと し, 誘導リーマン計量 f g ~ f g ~ f^(**) widetilde(g)f^{*} \widetilde{g}fg~ g g ggg と表す。 , ~ , ~ grad, widetilde(grad)\nabla, \widetilde{\nabla},~ を各々, g , g ~ g , g ~ g, widetilde(g)g, \widetilde{g}g,g~ のリーマン接続と する. ( T f ( p ) M ~ , g ~ f ( p ) ) T f ( p ) M ~ , g ~ f ( p ) (T_(f(p))( widetilde(M)), widetilde(g)_(f(p)))\left(T_{f(p)} \widetilde{M}, \widetilde{g}_{f(p)}\right)(Tf(p)M~,g~f(p)) の部分ベクトル空間 d f p ( T p M ) d f p T p M df_(p)(T_(p)M)d f_{p}\left(T_{p} M\right)dfp(TpM) の直交補空間 d f p ( T p M ) d f p T p M df_(p)(T_(p)M)^(_|_)d f_{p}\left(T_{p} M\right)^{\perp}dfp(TpM) を, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff ) の点 p p ppp における法空間といい, T p M T p M T_(p)^(_|_)MT_{p}^{\perp} MTpM と表す。 また, T p M T p M T_(p)^(_|_)MT_{p}^{\perp} MTpM の各元を, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f)の点 p p ppp における法ベクトルという. T M := ⨿ p M T p M T M := ⨿ p M T p M T^(_|_)M:=⨿_(p in M)T_(p)^(_|_)MT^{\perp} M:=\underset{p \in M}{\amalg} T_{p}^{\perp} MTM:=⨿pMTpM には, 自然な方
法で C C C^(oo)C^{\infty}C 構造が定義され, 自然な射影 π : T M M π : T M M pi:T^(_|_)M rarr M\pi: T^{\perp} M \rightarrow Mπ:TMM は, C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトルバ ンドルになる. この C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトルバンドルを f f fff の法ベクトルバンドル(normal vector bundle) という。 T M T M T^(_|_)MT^{\perp} MTM C r C r C^(r)C^{r}Cr 級切断を, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff ) の C r C r C^(r)C^{r}Cr 法ベクトル場( C r C r C^(r)-C^{r}-Cr normal vector field)とい い, C C C^(oo)C^{\infty}C 級法べクトル場の全体を X ( M ) X ( M ) X^(_|_)(M)\mathcal{X}^{\perp}(M)X(M) と表す.
次に, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の第 2 基本形式を定義しよう. h p : T p M h p : T p M h_(p):T_(p)Mh_{p}: T_{p} Mhp:TpM × T p M T f ( p ) M ~ × T p M T f ( p ) M ~ xxT_(p)M rarrT_(f(p)) widetilde(M)\times T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} \widetilde{M}×TpMTf(p)M~
h p ( v , w ) := ( ~ X f d f ( Y ) d f ( X Y ) ) p ( v , w T p M ) h p ( v , w ) := ~ X f d f ( Y ) d f X Y p v , w T p M h_(p)(v,w):=( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y)-df(grad_(X)Y))_(p)quad(v,w inT_(p)M)h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})-d f\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)\right)_{p} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right)hp(v,w):=(~Xfdf(Y)df(XY))p(v,wTpM)
によって定義する. ここで, X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y は各々, X p = v , Y p = w X p = v , Y p = w X_(p)=v,Y_(p)=w\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w}Xp=v,Yp=w となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元であり, d f ( ) d f ( ) df(∙)d f(\bullet)df() は, d f ( ) p := d f p ( ( ) p ) ( p M ) d f ( ) p := d f p ( ) p ( p M ) df(∙)_(p):=df_(p)((∙)_(p))(p in M)d f(\bullet)_{p}:=d f_{p}\left((\bullet)_{p}\right)(p \in M)df()p:=dfp(()p)(pM) によって定義される X f ( M , M ~ ) X f ( M , M ~ ) X_(f)(M, widetilde(M))\mathcal{X}_{f}(M, \widetilde{M})Xf(M,M~) の元である。以下, d f ( ) d f ( ) df(∙)d f(\bullet)df() f ( ) f ( ) f_(**)(∙)f_{*}(\bullet)f() と表されることもある. h p ( v , w ) h p ( v , w ) h_(p)(v,w)h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})hp(v,w) が well-defined, つまり, v , w v , w v,w\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}v,w の拡張 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y のとり方によらずに定 まることを示そう。 p p ppp のまわりの M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) を とり、 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) に関する成分を X i , Y i ( i = 1 , , n ) X i , Y i ( i = 1 , , n ) X_(i),Y_(i)(i=1,dots,n)X_{i}, Y_{i}(i=1, \ldots, n)Xi,Yi(i=1,,n) とする. このと き,
( ~ X f d f ( Y ) ) p = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) ( ~ x i f ( Y j d f ( x j ) ) ) p = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) ( ( Y j φ 1 ) x i φ ) ( p ) d f p ( ( x j ) p ) + i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) ( ~ x i f d f ( x j ) ) p ~ X f d f ( Y ) p = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) ~ x i f Y j d f x j p = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j φ 1 x i φ ( p ) d f p x j p + i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) ~ x i f d f x j p {:[( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))_(p)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(f)(Y_(j)df((del)/(delx_(j)))))_(p)],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)((del(Y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)(p)df_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p))],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)Y_(j)(p)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(f)df((del)/(delx_(j))))_(p)]:}\begin{aligned} \left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right)_{p}= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p)\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f}\left(Y_{j} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right)_{p} \\ = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial\left(Y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)(p) d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) \\ & +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) Y_{j}(p)\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)_{p} \end{aligned}(~Xfdf(Y))p=i=1nj=1nXi(p)(~xif(Yjdf(xj)))p=i=1nj=1nXi(p)((Yjφ1)xiφ)(p)dfp((xj)p)+i=1nj=1nXi(p)Yj(p)(~xifdf(xj))p
をえる。一方,
( d f ( X Y ) ) p = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) d f p ( ( x i ) p ( Y j x j ) ) = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) ( ( Y j φ 1 ) x i φ ) ( p ) d f p ( ( x j ) p ) + i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) d f p ( ( x i ) p x j ) d f X Y p = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) d f p x i p Y j x j = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j φ 1 x i φ ( p ) d f p x j p + i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) d f p x i p x j {:[(df(grad_(X)Y))_(p)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)df_(p)(grad_(((del)/(delx_(i)))_(p))(Y_(j)(del)/(delx_(j))))],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)((del(Y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)(p)df_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p))],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)Y_(j)(p)df_(p)(grad_(((del)/(delx_(i)))_(p))(del)/(delx_(j)))]:}\begin{aligned} \left(d f\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)\right)_{p}= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) d f_{p}\left(\nabla_{\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}}\left(Y_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial\left(Y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)(p) d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) \\ & +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) Y_{j}(p) d f_{p}\left(\nabla_{\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \end{aligned}(df(XY))p=i=1nj=1nXi(p)dfp((xi)p(Yjxj))=i=1nj=1nXi(p)((Yjφ1)xiφ)(p)dfp((xj)p)+i=1nj=1nXi(p)Yj(p)dfp((xi)pxj)
をえる. したがって,
(4.6.1) h p ( v , w ) = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) h p ( ( x i ) p , ( x j ) p ) (4.6.1) h p ( v , w ) = i = 1 n j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) h p x i p , x j p {:(4.6.1)h_(p)(v","w)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)Y_(j)(p)h_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p),((del)/(delx_(j)))_(p)):}\begin{equation*} h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) Y_{j}(p) h_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) \tag{4.6.1} \end{equation*}(4.6.1)hp(v,w)=i=1nj=1nXi(p)Yj(p)hp((xi)p,(xj)p)
が導かれる. このように, h p ( v , w ) h p ( v , w ) h_(p)(v,w)h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})hp(v,w) v , w v , w v,w\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}v,w の拡張 X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y のとり方によらな いことが示される。また, 式 (4.6.1) から, h p h p h_(p)h_{p}hp T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM 上の T f ( p ) M ~ T f ( p ) M ~ T_(f(p)) widetilde(M)T_{f(p)} \widetilde{M}Tf(p)M~ に値をと る 2 次共変テンソル, つまり, T p M T p M T f ( p ) M ~ T p M T p M T f ( p ) M ~ T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxT_(f(p)) widetilde(M)T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{f(p)} \widetilde{M}TpMTpMTf(p)M~ の元になることが示さ れる.さらに、 , ~ , ~ grad, widetilde(grad)\nabla, \widetilde{\nabla},~ が㧖れ0であることと [ x i , x j ] = 0 x i , x j = 0 [(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))]=0\left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right]=\mathbf{0}[xi,xj]=0 から,
h p ( ( x i ) p , ( x j ) p ) = ( ~ x i f d f ( x j ) ) p d f p ( ( x i x j ) p ) p ) = ( ~ x j f d f ( x i ) ) p d f p ( ( x j x i ) p ) = h p ( ( x j ) p , ( x i ) p ) h p x i p , x j p = ~ x i f d f x j p d f p x i x j p p = ~ x j f d f x i p d f p x j x i p = h p x j p , x i p {:[{:h_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p),((del)/(delx_(j)))_(p))=( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(f)df((del)/(delx_(j))))_(p)-df_(p)((grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(j)))_(p))_(p))],[=( widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(f)df((del)/(delx_(i))))_(p)-df_(p)((grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(i)))_(p))=h_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p),((del)/(delx_(i)))_(p))]:}\begin{aligned} & \left.h_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)=\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)_{p}-d f_{p}\left(\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)_{p}\right) \\ = & \left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{f} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)_{p}-d f_{p}\left(\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=h_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right) \end{aligned}hp((xi)p,(xj)p)=(~xifdf(xj))pdfp((xixj)p)p)=(~xjfdf(xi))pdfp((xjxi)p)=hp((xj)p,(xi)p)
をえる。それゆえ, 式 (4.6.1) から, h p ( v , w ) = h p ( w , v ) h p ( v , w ) = h p ( w , v ) h_(p)(v,w)=h_(p)(w,v)h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=h_{p}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v})hp(v,w)=hp(w,v) が導かれ, h p h p h_(p)h_{p}hp が対称であることがわかる. 次に, 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し h p h p h_(p)h_{p}hp を対応させる対応 h h hhh が, テンソル積バンドル
T M T M f T M ~ := ⨿ p M ( T p M T p M T f ( p ) M ~ ) T M T M f T M ~ := ⨿ p M T p M T p M T f ( p ) M ~ T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M):=⨿_(p in M)(T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxT_(f(p))( widetilde(M)))T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}:=\underset{p \in M}{\amalg}\left(T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{f(p)} \widetilde{M}\right)TMTMfTM~:=⨿pM(TpMTpMTf(p)M~)
C C C^(oo)C^{\infty}C 切断を与えることを示そう。まず,自然な射影 π : T M T M π : T M T M pi:T^(**)M oxT^(**)M ox\pi: T^{*} M \otimes T^{*} M \otimesπ:TMTM f T M ~ M f T M ~ M f^(**)T widetilde(M)rarr Mf^{*} T \widetilde{M} \rightarrow MfTM~M C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルになることを説明しよう. T M T M T^(**)M oxT^{*} M \otimesTM T M f T M ~ T M f T M ~ T^(**)M oxf^(**)T widetilde(M)T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}TMfTM~ C C C^(oo)C^{\infty}C 構造は次のように定義される. 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し, p p ppp のまわりの局所チャート ( U p , φ p ) U p , φ p (U_(p),varphi_(p))\left(U_{p}, \varphi_{p}\right)(Up,φp) f ( p ) f ( p ) f(p)f(p)f(p) のまわりの局所チャート ( V p , ψ p ) V p , ψ p (V_(p),psi_(p))\left(V_{p}, \psi_{p}\right)(Vp,ψp) の 組をとり,族 { ( U p , φ p ) p M } U p , φ p p M {(U_(p),varphi_(p))∣p in M}\left\{\left(U_{p}, \varphi_{p}\right) \mid p \in M\right\}{(Up,φp)pM} と族 { ( V p , ψ p ) p M } V p , ψ p p M {(V_(p),psi_(p))∣p in M}\left\{\left(V_{p}, \psi_{p}\right) \mid p \in M\right\}{(Vp,ψp)pM} をつくる. 各 p M p M p in Mp \in MpM に対し, W p := U p f 1 ( V p ) W p := U p f 1 V p W_(p):=U_(p)nnf^(-1)(V_(p))W_{p}:=U_{p} \cap f^{-1}\left(V_{p}\right)Wp:=Upf1(Vp) とおき, η p : π 1 ( W p ) W p × R n 2 ( n + k ) η p : π 1 W p W p × R n 2 ( n + k ) eta_(p):pi^(-1)(W_(p))rarrW_(p)xxR^(n^(2)(n+k))\eta_{p}: \pi^{-1}\left(W_{p}\right) \rightarrow W_{p} \times \mathbb{R}^{n^{2}(n+k)}ηp:π1(Wp)Wp×Rn2(n+k)
η p ( S ) := ( π ( S ) , ( S i j α ) ) ( S π 1 ( W p ) ) η p ( S ) := π ( S ) , S i j α S π 1 W p eta_(p)(S):=(pi(S),(S_(ij)^(alpha)))quad(S inpi^(-1)(W_(p)))\eta_{p}(S):=\left(\pi(S),\left(S_{i j}{ }^{\alpha}\right)\right) \quad\left(S \in \pi^{-1}\left(W_{p}\right)\right)ηp(S):=(π(S),(Sijα))(Sπ1(Wp))
によって定義する. ここで, S i j α S i j α S_(ij)^(alpha)S_{i j}{ }^{\alpha}Sijα は, S S SSS ( U p , φ p ) U p , φ p (U_(p),varphi_(p))\left(U_{p}, \varphi_{p}\right)(Up,φp) ( V p , ψ p ) V p , ψ p (V_(p),psi_(p))\left(V_{p}, \psi_{p}\right)(Vp,ψp) に関する成分, つまり, φ p = ( x 1 , , x n ) , ψ p = ( y 1 , , y n + k ) φ p = x 1 , , x n , ψ p = y 1 , , y n + k varphi_(p)=(x_(1),dots,x_(n)),psi_(p)=(y_(1),dots,y_(n+k))\varphi_{p}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \psi_{p}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n+k}\right)φp=(x1,,xn),ψp=(y1,,yn+k) として,
S ( ( x i ) π ( S ) , ( x j ) π ( S ) ) = α = 1 n + k S i j α ( y α ) f ( π ( S ) ) S x i π ( S ) , x j π ( S ) = α = 1 n + k S i j α y α f ( π ( S ) ) S(((del)/(delx_(i)))_(pi(S)),((del)/(delx_(j)))_(pi(S)))=sum_(alpha=1)^(n+k)S_(ij)^(alpha)((del)/(dely_(alpha)))_(f(pi(S)))S\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\pi(S)},\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{\pi(S)}\right)=\sum_{\alpha=1}^{n+k} S_{i j}^{\alpha}\left(\frac{\partial}{\partial y_{\alpha}}\right)_{f(\pi(S))}S((xi)π(S),(xj)π(S))=α=1n+kSijα(yα)f(π(S))
により定義される実数族を表す. このとき, D := { ( W p , ( φ p × i d ) η p ) p D := W p , φ p × i d η p p D:={(W_(p),(varphi_(p)xx id)@eta_(p))∣p in:}\mathcal{D}:=\left\{\left(W_{p},\left(\varphi_{p} \times i d\right) \circ \eta_{p}\right) \mid p \in\right.D:={(Wp,(φp×id)ηp)p M } M } M}M\}M} は, T M T M f T M ~ T M T M f T M ~ T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M)T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}TMTMfTM~ C C C^(oo)C^{\infty}C 構造を与え, さらに π : T M T M π : T M T M pi:T^(**)M oxT^(**)M ox\pi: T^{*} M \otimes T^{*} M \otimesπ:TMTM f T M ~ M f T M ~ M f^(**)T widetilde(M)rarr Mf^{*} T \widetilde{M} \rightarrow MfTM~M が, { η p : π 1 ( W p ) W p × R n 2 ( n + k ) } p M η p : π 1 W p W p × R n 2 ( n + k ) p M {eta_(p):pi^(-1)(W_(p))rarrW_(p)xxR^(n^(2)(n+k))}_(p in M)\left\{\eta_{p}: \pi^{-1}\left(W_{p}\right) \rightarrow W_{p} \times \mathbb{R}^{n^{2}(n+k)}\right\}_{p \in M}{ηp:π1(Wp)Wp×Rn2(n+k)}pM を局所自明化写像 の族とするような C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドルになることが示される. h h hhh がこ の C C C^(oo)C^{\infty}C 級実ベクトルバンドル T M T M f T M ~ T M T M f T M ~ T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M)T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}TMTMfTM~ C C C^(oo)C^{\infty}C 切断であることを 示すには, h h hhh ( U p , φ p ) U p , φ p (U_(p),varphi_(p))\left(U_{p}, \varphi_{p}\right)(Up,φp) ( V p , ψ p ) V p , ψ p (V_(p),psi_(p))\left(V_{p}, \psi_{p}\right)(Vp,ψp) に関する成分 h i j α h i j α h_(ij)^(alpha)h_{i j}{ }^{\alpha}hijα C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることを 示せばよいのだが, h h hhh の定義式によれば, h ( x i , x j ) h x i , x j h((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))h\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)h(xi,xj) f W p f W p f∣W_(p)f \mid W_{p}fWp に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C級ベクトル場であるので, h i j α h i j α h_(ij)^(alpha)h_{i j}{ }^{\alpha}hijα C C C^(oo)C^{\infty}C 級であることが導かれる。したがって, h h hhh T M T M f T M ~ T M T M f T M ~ T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M)T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}TMTMfTM~ C C C^(oo)C^{\infty}C 切断を与えることがわかる. この C C C^(oo)C^{\infty}C 切断 h h hhh f f fff の第 2 2 2\mathbf{2}2 基本形式という. 実は, 任意の p M p M p in Mp \in MpM と任意の v , w T p M v , w T p M v,w inT_(p)M\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} Mv,wTpM に 対し, h p ( v , w ) T p M h p ( v , w ) T p M h_(p)(v,w)inT_(p)^(_|_)Mh_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \in T_{p}^{\perp} Mhp(v,w)TpM が示される。この事実を証明しよう。Mのアフィン 接続 ^ ^ widehat(grad)\widehat{\nabla}^
d f ( ^ X Y ) = pr T ( ~ X f d f ( Y ) ) ( X , Y X ( M ) ) d f ^ X Y = pr T ~ X f d f ( Y ) ( X , Y X ( M ) ) df( widehat(grad)_(X)Y)=pr_(T)( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))quad(X,Y inX(M))d f\left(\widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \mathbf{Y}\right)=\operatorname{pr}_{T}\left(\widetilde{\nabla}_{\mathbf{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M))df(^XY)=prT(~Xfdf(Y))(X,YX(M))
によって定義する. ここで, pr T pr T pr_(T)\mathrm{pr}_{T}prT は, f T M ~ f T M ~ f^(**)T widetilde(M)f^{*} T \widetilde{M}fTM~ からその部分ベクトルバンドル d f ( T M ) ( := ⨿ p M d f p ( T p M ) ) d f ( T M ) := ⨿ p M d f p T p M df(TM)quad(:=⨿_(p in M)df_(p)(T_(p)M))d f(T M) \quad\left(:=\amalg_{p \in M} d f_{p}\left(T_{p} M\right)\right)df(TM)(:=⨿pMdfp(TpM)) への直交射影を表す. ^ ^ widehat(grad)\widehat{\nabla}^ M M MMM の捩れ 0 のアフ イン接続であることは容易に示される。このアフィン接続 ^ ^ widehat(grad)\widehat{\nabla}^ は, 2.3 節で述 べた曲面上の接べクトル場の共変微分の定義に倣って定義されるものであるこ とを注意しておく. ^ = ^ = widehat(grad)=grad\widehat{\nabla}=\nabla^= であることを示そう. X , Y , Z X ( M ) X , Y , Z X ( M ) X,Y,Z inX(M)\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)X,Y,ZX(M) に対し,
X ( g ( Y , Z ) ) = X ( g ~ ( d f ( Y ) , d f ( Z ) ) ) = g ~ ( ~ X f d f ( Y ) , d f ( Z ) ) + g ~ ( d f ( Y ) , ~ X f d f ( Z ) ) = g ~ ( d f ( ^ X Y ) , d f ( Z ) ) + g ~ ( d f ( Y ) , d f ( ^ X Z ) ) = g ( ^ X Y , Z ) + g ( Y , ^ X Z ) X ( g ( Y , Z ) ) = X g ~ ( d f ( Y ) , d f ( Z ) = g ~ ~ X f d f ( Y ) , d f ( Z ) + g ~ d f ( Y ) , ~ X f d f ( Z ) = g ~ d f ^ X Y , d f ( Z ) + g ~ d f ( Y ) , d f ^ X Z = g ^ X Y , Z + g Y , ^ X Z {:[X(g(Y","Z)){:=X( widetilde(g)^((df)(Y),df(Z)))],[= widetilde(g)( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y),df(Z))+ widetilde(g)(df(Y), widetilde(grad)_(X)^(f)df(Z))],[= widetilde(g)(df( widehat(grad)_(X)Y),df(Z))+ widetilde(g)(df(Y),df( widehat(grad)_(X)Z))],[=g( widehat(grad)_(X)Y,Z)+g(Y, widehat(grad)_(X)Z)]:}\begin{aligned} \boldsymbol{X}(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})) & \left.=\boldsymbol{X}\left(\widetilde{g}^{(d f}(\boldsymbol{Y}), d f(\boldsymbol{Z})\right)\right) \\ & =\widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y}), d f(\boldsymbol{Z})\right)+\widetilde{g}\left(d f(\boldsymbol{Y}), \widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Z})\right) \\ & =\widetilde{g}\left(d f\left(\widehat{\nabla}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right), d f(\boldsymbol{Z})\right)+\widetilde{g}\left(d f(\boldsymbol{Y}), d f\left(\widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Z}\right)\right) \\ & =g\left(\widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\right)+g\left(\boldsymbol{Y}, \widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Z}\right) \end{aligned}X(g(Y,Z))=X(g~(df(Y),df(Z)))=g~(~Xfdf(Y),df(Z))+g~(df(Y),~Xfdf(Z))=g~(df(^XY),df(Z))+g~(df(Y),df(^XZ))=g(^XY,Z)+g(Y,^XZ)
が導かれる. それゆえ, ^ g = 0 ^ g = 0 widehat(grad)g=0\widehat{\nabla} g=0^g=0 をえる. したがって, ^ ^ hat(grad)\hat{\nabla}^ g g ggg のリーマン接続 であることが示され,それゆえ,リーマン接続の一意性により, ^ = ^ = hat(grad)=grad\hat{\nabla}=\nabla^= が導
かれる. したがって, h p h p h_(p)h_{p}hp の定義式から h p ( v , w ) T p M h p ( v , w ) T p M h_(p)(v,w)inT_(p)^(_|_)Mh_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \in T_{p}^{\perp} Mhp(v,w)TpM が示される. このよ うに, h h hhh はテンソル積バンドル T M T M T M T M T M T M T^(**)M oxT^(**)M oxT^(_|_)MT^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{\perp} MTMTMTM C C C^(oo)C^{\infty}C 切断になること がわかる. ここで, T M T M T M T M T M T M T^(**)M oxT^(**)M oxT^(_|_)MT^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{\perp} MTMTMTM C C C^(oo)C^{\infty}C 構造, および局所自明化写像の族は, 上述の T M T M f T M ~ T M T M f T M ~ T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M)T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}TMTMfTM~ の場合に倣って与えられることに注意する. h h hhh の定義より,
(4.6.2) ~ X f d f ( Y ) = d f ( X Y ) + h ( X , Y ) ( X , Y X ( M ) ) (4.6.2) ~ X f d f ( Y ) = d f X Y + h ( X , Y ) ( X , Y X ( M ) ) {:(4.6.2) widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y)=df(grad_(X)Y)+h(X","Y)quad(X","Y inX(M)):}\begin{equation*} \widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})=d f\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)+h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M)) \tag{4.6.2} \end{equation*}(4.6.2)~Xfdf(Y)=df(XY)+h(X,Y)(X,YX(M))
が成り立つが, この式は, ~ X f d f ( Y ) ~ X f d f ( Y ) widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y)\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})~Xfdf(Y) の接成分と法成分への直交分解を表す式 であることがわかる. 式 (4.6.2) をガウスの公式という.
3.12 節の注意で述べたように, hの g g ggg に関するトレース Tr g h Tr g h Tr_(g)h\operatorname{Tr}_{g} hTrgh
( Tr g h ) p := i = 1 n h p ( e i , e i ) ( p M ) Tr g h p := i = 1 n h p e i , e i ( p M ) (Tr_(g)h)_(p):=sum_(i=1)^(n)h_(p)(e_(i),e_(i))quad(p in M)\left(\operatorname{Tr}_{g} h\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n} h_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \quad(p \in M)(Trgh)p:=i=1nhp(ei,ei)(pM)
( e 1 , , e n ) : ( T p M , g p ) e 1 , , e n : T p M , g p ((e_(1),dots,e_(n)):(T_(p)M,g_(p))(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right):\left(T_{p} M, g_{p}\right)(e1,,en):(TpM,gp) の正規直交基底)によって定義される. 1 n Tr g h 1 n Tr g h (1)/(n)Tr_(g)h\frac{1}{n} \operatorname{Tr}_{g} h1nTrgh f f fff の平均曲率ベクトル場といい, H H HHH で表す. H = 0 H = 0 H=0H=\mathbf{0}H=0 が成り立つとき, f f fff M M MMM から ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) への極小はめ込み(minimal immersion)という. なぜこ のようによばれるかについては,次節で説明する.
次に, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の形テンソル場を定義する. A p : T p M × A p : T p M × A_(p):T_(p)^(_|_)M xxA_{p}: T_{p}^{\perp} M \timesAp:TpM× T p M T p M T p M T p M T_(p)M rarrT_(p)MT_{p} M \rightarrow T_{p} MTpMTpM
d f p ( A p ( ξ , v ) ) := pr T f ( p ) ( ( ~ X f ξ ~ ) p ) ( ξ T p M , v T p M ) d f p A p ( ξ , v ) := pr T f ( p ) ~ X f ξ ~ p ξ T p M , v T p M df_(p)(A_(p)(xi,v)):=-pr_(T_(f(p)))(( widetilde(grad)_(X)^(f)( widetilde(xi)))_(p))quad(xi inT_(p)^(_|_)M,v inT_(p)M)d f_{p}\left(A_{p}(\xi, \boldsymbol{v})\right):=-\operatorname{pr}_{T_{f(p)}}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}\right)_{p}\right) \quad\left(\xi \in T_{p}^{\perp} M, v \in T_{p} M\right)dfp(Ap(ξ,v)):=prTf(p)((~Xfξ~)p)(ξTpM,vTpM)
で定める. ここで, X X X\boldsymbol{X}X X p = v X p = v X_(p)=v\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}Xp=v となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元であり, ξ ~ ξ ~ widetilde(xi)\widetilde{\xi}ξ~ ξ ~ p = ξ ξ ~ p = ξ widetilde(xi)_(p)=xi\widetilde{\xi}_{p}=\xiξ~p=ξ となる X ( M ) X ( M ) X^(_|_)(M)\mathcal{X}^{\perp}(M)X(M) の元であり, pr T f ( p ) pr T f ( p ) pr_(T_(f(p)))\mathrm{pr}_{T_{f(p)}}prTf(p) T f ( p ) M ~ T f ( p ) M ~ T_(f(p)) widetilde(M)T_{f(p)} \widetilde{M}Tf(p)M~ から d f p ( T p M ) d f p T p M df_(p)(T_(p)M)d f_{p}\left(T_{p} M\right)dfp(TpM) への直交射影を 表す. この定義は, v , ξ v , ξ v,xi\boldsymbol{v}, \xiv,ξ の拡張 X , ξ ~ X , ξ ~ X, widetilde(xi)\boldsymbol{X}, \widetilde{\xi}X,ξ~ のとり方によらないことが示される. 通常, A p ( ξ , v ) A p ( ξ , v ) A_(p)(xi,v)A_{p}(\xi, \boldsymbol{v})Ap(ξ,v) ( A p ) ξ ( v ) A p ξ ( v ) (A_(p))_(xi)(v)\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})(Ap)ξ(v) と表される。また, A p : T p M × T p M T p M A p : T p M × T p M T p M A_(p):T_(p)^(_|_)M xxT_(p)M rarrT_(p)MA_{p}: T_{p}^{\perp} M \times T_{p} M \rightarrow T_{p} MAp:TpM×TpMTpM が双線形であること, つまり, ( T p M ) T p M T p M T p M T p M T p M (T_(p)^(_|_)M)^(**)oxT_(p)^(**)M oxT_(p)M\left(T_{p}^{\perp} M\right)^{*} \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{p} M(TpM)TpMTpM の元であることが容易に示 される. さらに, 各点 p M p M p in Mp \in MpM に対し A p A p A_(p)A_{p}Ap を対応させる対応 A A AAA は, テンソル積 バンドル ( T M ) T M T M T M T M T M (T^(_|_)M)^(**)oxT^(**)M ox TM\left(T^{\perp} M\right)^{*} \otimes T^{*} M \otimes T M(TM)TMTM C C C^(oo)C^{\infty}C 級切断を与えることが示される. ここ で, ( T M ) T M T M T M T M T M (T^(_|_)M)^(**)oxT^(**)M ox TM\left(T^{\perp} M\right)^{*} \otimes T^{*} M \otimes T M(TM)TMTM C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトルバンドル構造は, 前述の T M T M T^(**)M oxT^{*} M \otimesTM T M f T M ~ T M f T M ~ T^(**)M oxf^(**)T widetilde(M)T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}TMfTM~ の場合に做って与えられることに注意する。この C C C^(oo)C^{\infty}C 切断 A A AAA をリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff )の形テンソル場(shape tensor)
といい, ( A p ) ξ A p ξ (A_(p))_(xi)\left(A_{p}\right)_{\xi}(Ap)ξ ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff ) の ξ ξ xi\xiξ に対する形作用素(shape operator) とよぶ. h p h p h_(p)h_{p}hp A p A p A_(p)A_{p}Ap の間に,
g ~ f ( p ) ( h p ( v , w ) , ξ ) = g p ( ( A p ) ξ ( v ) , w ) ( v , w T p M , ξ T p M ) g ~ f ( p ) h p ( v , w ) , ξ = g p A p ξ ( v ) , w v , w T p M , ξ T p M widetilde(g)_(f(p))(h_(p)(v,w),xi)=g_(p)((A_(p))_(xi)(v),w)quad(v,w inT_(p)M,xi inT_(p)^(_|_)M)\widetilde{g}_{f(p)}\left(h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}), \xi\right)=g_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M, \xi \in T_{p}^{\perp} M\right)g~f(p)(hp(v,w),ξ)=gp((Ap)ξ(v),w)(v,wTpM,ξTpM)
が成り立つことが示されるので, h p h p h_(p)h_{p}hp の対称性より ( A p ) ξ A p ξ (A_(p))_(xi)\left(A_{p}\right)_{\xi}(Ap)ξ ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の対称変換であること,それゆえ, ( A p ) ξ A p ξ (A_(p))_(xi)\left(A_{p}\right)_{\xi}(Ap)ξ の固有ベクトルからなる ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底が存在することがわかる。上式は, 次のように示される:
g ~ f ( p ) ( h p ( v , w ) , ξ ) = g ~ f ( p ) ( ( ~ X f d f ( Y ) ) p d f p ( ( X Y ) p ) , ξ ) = g ~ f ( p ) ( ( ~ X f d f ( Y ) ) p , ξ ) = g ~ f ( p ) ( d f p ( w ) , ( ~ X f ξ ~ p ) = g ~ f ( p ) ( d f p ( w ) , d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) ) = g p ( w , ( A p ) ξ ( v ) ) g ~ f ( p ) h p ( v , w ) , ξ = g ~ f ( p ) ~ X f d f ( Y ) p d f p X Y p , ξ = g ~ f ( p ) ~ X f d f ( Y ) p , ξ = g ~ f ( p ) d f p ( w ) , ~ X f ξ ~ p = g ~ f ( p ) d f p ( w ) , d f p A p ξ ( v ) = g p w , A p ξ ( v ) {:[ widetilde(g)_(f(p))(h_(p)(v,w),xi)= widetilde(g)_(f(p))(( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))_(p)-df_(p)((grad_(X)Y)_(p)),xi)],[= widetilde(g)_(f(p))(( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))_(p),xi)=- widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(w),( widetilde(grad)_(X)^(f) widetilde(xi)_(p)):}],[=- widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(w),-df_(p)((A_(p))_(xi)(v)))=g_(p)(w,(A_(p))_(xi)(v))]:}\begin{aligned} \widetilde{g}_{f(p)}\left(h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}), \xi\right) & =\widetilde{g}_{f(p)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right)_{p}-d f_{p}\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right), \xi\right) \\ & =\widetilde{g}_{f(p)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right)_{p}, \xi\right)=-\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{w}),\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}_{p}\right)\right. \\ & =-\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{w}),-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)\right)=g_{p}\left(\boldsymbol{w},\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right) \end{aligned}g~f(p)(hp(v,w),ξ)=g~f(p)((~Xfdf(Y))pdfp((XY)p),ξ)=g~f(p)((~Xfdf(Y))p,ξ)=g~f(p)(dfp(w),(~Xfξ~p)=g~f(p)(dfp(w),dfp((Ap)ξ(v)))=gp(w,(Ap)ξ(v))
(ここで X , Y X , Y X,Y\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}X,Y は, X p = v , Y p = w X p = v , Y p = w X_(p)=v,Y_(p)=w\boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w}Xp=v,Yp=w となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元であり, ξ ~ ξ ~ widetilde(xi)\widetilde{\xi}ξ~ ξ ~ p = ξ ξ ~ p = ξ widetilde(xi)_(p)=xi\widetilde{\xi}_{p}=\xiξ~p=ξ となる x ( M ) x ( M ) x^(_|_)(M)x^{\perp}(M)x(M) の元である). ( A p ) ξ A p ξ (A_(p))_(xi)\left(A_{p}\right)_{\xi}(Ap)ξ の固有ベクトルからなる ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底を ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n (e_(1),dots,e_(n))\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) とし, ( A p ) ξ ( e i ) = λ i e i ( i = 1 , , n ) A p ξ e i = λ i e i ( i = 1 , , n ) (A_(p))_(xi)(e_(i))=lambda_(i)e_(i)(i=1,dots,n)\left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\lambda_{i} \boldsymbol{e}_{i}(i=1, \ldots, n)(Ap)ξ(ei)=λiei(i=1,,n) とするとき
(4.6.3) g ~ f ( p ) ( H p , ξ ) = 1 n i = 1 n g ~ f ( p ) ( h p ( e i , e i ) , ξ ) = 1 n i = 1 n g p ( ( A p ) ξ ( e i ) , e i ) = 1 n i = 1 n λ i (4.6.3) g ~ f ( p ) H p , ξ = 1 n i = 1 n g ~ f ( p ) h p e i , e i , ξ = 1 n i = 1 n g p A p ξ e i , e i = 1 n i = 1 n λ i {:[(4.6.3) widetilde(g)_(f(p))(H_(p),xi)=(1)/(n)sum_(i=1)^(n) widetilde(g)_(f(p))(h_(p)(e_(i),e_(i)),xi)],[=(1)/(n)sum_(i=1)^(n)g_(p)((A_(p))_(xi)(e_(i)),e_(i))=(1)/(n)sum_(i=1)^(n)lambda_(i)]:}\begin{align*} \widetilde{g}_{f(p)}\left(H_{p}, \xi\right) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \widetilde{g}_{f(p)}\left(h_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right), \xi\right) \tag{4.6.3}\\ & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} g_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right), \boldsymbol{e}_{i}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \end{align*}(4.6.3)g~f(p)(Hp,ξ)=1ni=1ng~f(p)(hp(ei,ei),ξ)=1ni=1ngp((Ap)ξ(ei),ei)=1ni=1nλi
が成り立つことを注意しておく.
次に, リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の法接続を定義する. X ( M ) × X ( M ) × grad^(_|_):X(M)xx\nabla^{\perp} : \mathcal{X}(M) \timesX(M)× X ( M ) X ( M ) X ( M ) X ( M ) X^(_|_)(M)rarrX^(_|_)(M)\mathcal{X}^{\perp}(M) \rightarrow \mathcal{X}^{\perp}(M)X(M)X(M)
( ( X , ξ ~ ) ) p := pr T f ( p ) ( ( ~ X f ξ ~ ) p ) ( X X ( M ) , ξ ~ X ( M ) ) ( X , ξ ~ ) p := pr T f ( p ) ~ X f ξ ~ p X X ( M ) , ξ ~ X ( M ) (grad^(_|_)(X,( widetilde(xi))))_(p):=pr_(T_(f(p))^(_|_))(( widetilde(grad)_(X)^(f)( widetilde(xi)))_(p))quad(X inX(M),( widetilde(xi))inX^(_|_)(M))\left(\nabla^{\perp}(\boldsymbol{X}, \widetilde{\xi})\right)_{p}:=\operatorname{pr}_{T_{f(p)}^{\perp}}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}\right)_{p}\right) \quad\left(\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right)((X,ξ~))p:=prTf(p)((~Xfξ~)p)(XX(M),ξ~X(M))
によって定義する。ただし, pr T f ( p ) pr T f ( p ) pr_(T_(f(p))^(_|_))\operatorname{pr}_{T_{f(p)}^{\perp}}prTf(p) T f ( p ) M ~ T f ( p ) M ~ T_(f(p)) widetilde(M)T_{f(p)} \widetilde{M}Tf(p)M~ から T p M T p M T_(p)^(_|_)MT_{p}^{\perp} MTpM への直交射影を表 す. grad^(_|_)\nabla^{\perp} は法ベクトルバンドル T M T M T^(_|_)MT^{\perp} MTM の接続になる. grad^(_|_)\nabla^{\perp} を、リーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff ) の法接続という。通常, ( X , ξ ~ ) ( X , ξ ~ ) grad^(_|_)(X, widetilde(xi))\nabla^{\perp}(\boldsymbol{X}, \widetilde{\xi})(X,ξ~) X ξ ~ X ξ ~ grad(X)/() widetilde(xi)\nabla \frac{\boldsymbol{X}}{} \widetilde{\xi}Xξ~ と表され る. A A AAA grad^(_|_)\nabla^{\perp} の定義より,
(4.6.4) ~ X f ξ ~ = d f ( A ξ ~ X ) + X ξ ~ ( X X ( M ) , ξ ~ X ( M ) ) (4.6.4) ~ X f ξ ~ = d f A ξ ~ X + X ξ ~ X X ( M ) , ξ ~ X ( M ) {:(4.6.4) widetilde(grad)_(X)^(f) widetilde(xi)=-df(A_( tilde(xi))X)+grad_(X)^(_|_) widetilde(xi)quad(X inX(M),( widetilde(xi))inX^(_|_)(M)):}\begin{equation*} \widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}=-d f\left(A_{\tilde{\xi}} \boldsymbol{X}\right)+\nabla_{\boldsymbol{X}}^{\perp} \widetilde{\xi} \quad\left(\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right) \tag{4.6.4} \end{equation*}(4.6.4)~Xfξ~=df(Aξ~X)+Xξ~(XX(M),ξ~X(M))
が成り立つ. この式は, ~ X f ξ ~ ~ X f ξ ~ widetilde(grad)_(X)^(f) widetilde(xi)\widetilde{\nabla}_{X}^{f} \widetilde{\xi}~Xfξ~ の接成分と法成分への直交分解を表す式であ る. 式(4.6.4)をワインガルテンの公式(Weingarten formula)という.
( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内のはめ込まれたリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) に対し, k = dim M ~ k = dim M ~ k=dim widetilde(M)-k=\operatorname{dim} \widetilde{M}-k=dimM~ dim M dim M dim M\operatorname{dim} MdimM はその余次元とよばれる。特に, 余次元 1 のはめ込まれたリーマン 部分多様体は,はめ込まれたリーマン超曲面 (immersed Riemannian hypersurface) とよばれる。 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) をによってはめ込まれ た ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内の n n nnn 次元リーマン超曲面とし, A A AAA をその形テンソル場とする。 M M MMM上で大域的に定義される C C C^(oo)C^{\infty}C 級単位法べクトル場 N N NNN が存在するとする. 例 えば, M , M ~ M , M ~ M, widetilde(M)M, \widetilde{M}M,M~ が向き付け可能ならば, N N N\boldsymbol{N}N は存在する。このとき, N N N\boldsymbol{N}N を用い て, M M MMM 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) テンソル場 A A A\mathcal{A}A A p := ( A p ) N p ( p M ) A p := A p N p ( p M ) A_(p):=(A_(p))_(N_(p))(p in M)\mathcal{A}_{p}:=\left(A_{p}\right)_{N_{p}}(p \in M)Ap:=(Ap)Np(pM) により定義す る. A A A\mathcal{A}A をリーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff ) の N N N\boldsymbol{N}N に対する形作用素といい, h S := g ( A ( ) , ) h S := g ( A ( ) , ) h^(S):=g(A(∙),∙)h^{S}:=g(\mathcal{A}(\bullet), \bullet)hS:=g(A(),) をリーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff )の N N N\boldsymbol{N}N に対するスカラ 一値第 2 基本形式(scalar-valued second fundamental form)といい う. また, H := 1 n Tr A H := 1 n Tr A H:=(1)/(n)TrA\mathcal{H}:=\frac{1}{n} \operatorname{Tr} \mathcal{A}H:=1nTrA をリーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) (または f f fff ) の N N N\boldsymbol{N}N に対する 平均曲率という.リーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の(法ベクトル値)第 2 基本形式 h h hhh h = h S N h = h S N h=h^(S)ox Nh=h^{S} \otimes \boldsymbol{N}h=hSN と記述され, リーマン超曲面 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) の平均曲率ベクトル場 H H HHH H = H N H = H N H=HNH=\mathcal{H} \boldsymbol{N}H=HN と記述される.
次に, f f fff によってはめ込まれた ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内のリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) に対 するガウスの方程式・コダッチの方程式・リッチの方程式について述べること にする。 R ~ , R , R R ~ , R , R widetilde(R),R,R^(_|_)\widetilde{R}, R, R^{\perp}R~,R,R を各々, ~ , , ~ , , widetilde(grad),grad,grad^(_|_)\widetilde{\nabla}, \nabla, \nabla^{\perp}~,, の曲率テンソル場とする. 最初に, ガ ウスの方程式(Gauss equation)について述べる.
定理 4.6.1 R ~ , R , h R ~ , R , h widetilde(R),R,h\widetilde{R}, R, hR~,R,h の間に次の関係式が成り立つ:
g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) d f ( Z ) , d f ( W ) ) = g ( R ( X , Y ) Z , W ) + g ~ ( h ( X , Z ) , h ( Y , W ) ) g ~ ( h ( X , W ) , h ( Y , Z ) ) ( X , Y , Z , W X ( M ) ) g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) d f ( Z ) , d f ( W ) ) = g ( R ( X , Y ) Z , W ) + g ~ ( h ( X , Z ) , h ( Y , W ) ) g ~ ( h ( X , W ) , h ( Y , Z ) ) ( X , Y , Z , W X ( M ) ) {:[ widetilde(g)( widetilde(R)(df(X)","df(Y))df(Z)","df(W))],[=g(R(X","Y)Z","W)+ widetilde(g)(h(X","Z)","h(Y","W))- widetilde(g)(h(X","W)","h(Y","Z))],[(X","Y","Z","W inX(M))]:}\begin{aligned} & \widetilde{g}(\widetilde{R}(d f(\boldsymbol{X}), d f(\boldsymbol{Y})) d f(\boldsymbol{Z}), d f(\boldsymbol{W})) \\ = & g(R(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W})+\widetilde{g}(h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}), h(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{W}))-\widetilde{g}(h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{W}), h(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})) \\ & (\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W} \in \mathcal{X}(M)) \end{aligned}g~(R~(df(X),df(Y))df(Z),df(W))=g(R(X,Y)Z,W)+g~(h(X,Z),h(Y,W))g~(h(X,W),h(Y,Z))(X,Y,Z,WX(M))
grad\nabla grad^(_|_)\nabla^{\perp} を用いて, T M T M T M T M T M T M T M T M T^(**)M oxT^(**)M oxT^(**)M oxT^(_|_)MT^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{\perp} MTMTMTMTM C C C^(oo)C^{\infty}C 切断 ¯ h ¯ h bar(grad)h\bar{\nabla} h¯h
( ¯ h ) p ( v 1 , v 2 , v 3 ) := v 1 ( h ( X 2 , X 3 ) ) h p ( v 1 X 2 , v 3 ) h p ( v 2 , v 1 X 3 ) ( p M , v i T p M ( i = 1 , 2 , 3 ) ) ( ¯ h ) p v 1 , v 2 , v 3 := v 1 h X 2 , X 3 h p v 1 X 2 , v 3 h p v 2 , v 1 X 3 p M , v i T p M ( i = 1 , 2 , 3 ) {:[( bar(grad)h)_(p)(v_(1),v_(2),v_(3)):=grad_(v_(1))^(_|_)(h(X_(2),X_(3)))-h_(p)(grad_(v_(1))X_(2),v_(3))-h_(p)(v_(2),grad_(v_(1))X_(3))],[(p in M,quadv_(i)inT_(p)M(i=1,2,3))]:}\begin{array}{r} (\bar{\nabla} h)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right):=\nabla_{\boldsymbol{v}_{1}}^{\perp}\left(h\left(\boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3}\right)\right)-h_{p}\left(\nabla_{\boldsymbol{v}_{1}} \boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right)-h_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}, \nabla_{\boldsymbol{v}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right) \\ \left(p \in M, \quad \boldsymbol{v}_{i} \in T_{p} M(i=1,2,3)\right) \end{array}(¯h)p(v1,v2,v3):=v1(h(X2,X3))hp(v1X2,v3)hp(v2,v1X3)(pM,viTpM(i=1,2,3))
によって定義する. ここで, X i ( i = 2 , 3 ) X i ( i = 2 , 3 ) X_(i)(i=2,3)\boldsymbol{X}_{i}(i=2,3)Xi(i=2,3) は, ( X i ) p = v i X i p = v i (X_(i))_(p)=v_(i)\left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{i}(Xi)p=vi となる X ( M ) X ( M ) X(M)\mathcal{X}(M)X(M) の元を表す. 以下, ( ¯ h ) ( X , Y , Z ) ( ¯ h ) ( X , Y , Z ) ( bar(grad)h)(X,Y,Z)(\bar{\nabla} h)(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})(¯h)(X,Y,Z) ( ¯ X h ) ( Y , Z ) ¯ X h ( Y , Z ) ( bar(grad)_(X)h)(Y,Z)\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} h\right)(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})(¯Xh)(Y,Z) と表すことにする. 次
に, コダッチの方程式(Codazzi equation)を述べる.
定理 4.6.2 R ~ R ~ widetilde(R)\widetilde{R}R~ ¯ h ¯ h bar(grad)h\bar{\nabla} h¯h の間に次の関係式が成り立つ:
g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) d f ( Z ) , ξ ~ ) = g ~ ( ( ¯ X h ) ( Y , Z ) , ξ ~ ) g ~ ( ( ¯ Y h ) ( X , Z ) , ξ ~ ) g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) d f ( Z ) , ξ ~ ) = g ~ ¯ X h ( Y , Z ) , ξ ~ g ~ ¯ Y h ( X , Z ) , ξ ~ widetilde(g)( widetilde(R)(df(X),df(Y))df(Z), widetilde(xi))= widetilde(g)(( bar(grad)_(X)h)(Y,Z),( widetilde(xi)))- widetilde(g)(( bar(grad)_(Y)h)(X,Z),( widetilde(xi)))\widetilde{g}(\widetilde{R}(d f(\boldsymbol{X}), d f(\boldsymbol{Y})) d f(\boldsymbol{Z}), \widetilde{\xi})=\widetilde{g}\left(\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} h\right)(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}), \widetilde{\xi}\right)-\widetilde{g}\left(\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{Y}} h\right)(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}), \widetilde{\xi}\right)g~(R~(df(X),df(Y))df(Z),ξ~)=g~((¯Xh)(Y,Z),ξ~)g~((¯Yh)(X,Z),ξ~)
( X , Y , Z X ( M ) , ξ ~ X ( M ) ) X , Y , Z X ( M ) , ξ ~ X ( M ) (X,Y,Z inX(M),( widetilde(xi))inX^(_|_)(M))\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right)(X,Y,ZX(M),ξ~X(M))
特に, ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) が定曲率空間の場合,
( ¯ X h ) ( Y , Z ) = ( ¯ Y h ) ( X , Z ) ( X , Y , Z X ( M ) ) ¯ X h ( Y , Z ) = ¯ Y h ( X , Z ) ( X , Y , Z X ( M ) ) ( bar(grad)_(X)h)(Y,Z)=( bar(grad)_(Y)h)(X,Z)quad(X,Y,Z inX(M))\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} h\right)(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})=\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{Y}} h\right)(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M))(¯Xh)(Y,Z)=(¯Yh)(X,Z)(X,Y,ZX(M))
が成り立つ.
次に, リッチの方程式(Ricci equation)について述べることにする.
定理 4.6.3 R ~ , R , A R ~ , R , A widetilde(R),R^(_|_),A\widetilde{R}, R^{\perp}, AR~,R,A の間に次の関係式が成り立つ:
g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) ξ ~ 1 , ξ ~ 2 ) = g ~ ( R ( X , Y ) ξ ~ 1 , ξ ~ 2 ) g ( [ A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ] ( X ) , Y ) g ~ R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) ξ ~ 1 , ξ ~ 2 = g ~ R ( X , Y ) ξ ~ 1 , ξ ~ 2 g A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ( X ) , Y widetilde(g)(( widetilde(R))(df(X),df(Y)) widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2))= widetilde(g)(R^(_|_)(X,Y) widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2))-g([A_( tilde(xi)_(1)),A_( widetilde(xi)_(2))](X),Y)\widetilde{g}\left(\widetilde{R}(d f(\boldsymbol{X}), d f(\boldsymbol{Y})) \widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2}\right)=\widetilde{g}\left(R^{\perp}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2}\right)-g\left(\left[A_{\tilde{\xi}_{1}}, A_{\widetilde{\xi}_{2}}\right](\boldsymbol{X}), \boldsymbol{Y}\right)g~(R~(df(X),df(Y))ξ~1,ξ~2)=g~(R(X,Y)ξ~1,ξ~2)g([Aξ~1,Aξ~2](X),Y)
( X , Y X ( M ) , ξ ~ 1 , ξ ~ 2 X ( M ) ) X , Y X ( M ) , ξ ~ 1 , ξ ~ 2 X ( M ) (X,Y inX(M), widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2)inX^(_|_)(M))\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right)(X,YX(M),ξ~1,ξ~2X(M))
ここで, [ A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ] A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 [A_( tilde(xi)_(1)),A_( tilde(xi)_(2))]\left[A_{\tilde{\xi}_{1}}, A_{\tilde{\xi}_{2}}\right][Aξ~1,Aξ~2] は交換子積 A ξ ~ 1 A ξ ~ 2 A ξ ~ 2 A ξ ~ 1 A ξ ~ 1 A ξ ~ 2 A ξ ~ 2 A ξ ~ 1 A_( tilde(xi)_(1))@A_( tilde(xi)_(2))-A_( tilde(xi)_(2))@A_( tilde(xi)_(1))A_{\tilde{\xi}_{1}} \circ A_{\tilde{\xi}_{2}}-A_{\tilde{\xi}_{2}} \circ A_{\tilde{\xi}_{1}}Aξ~1Aξ~2Aξ~2Aξ~1 を表す.
これらの定理の証明については, [ K o 8 ] [ K o 8 ] [Ko8][K o 8][Ko8] の 5.9 節を参照のこと.
次に, リーマン部分多様体の主曲率を定義する。 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) f f fff によってはめ 込まれた ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) 内の n n nnn 次元リーマン部分多様体とし, A , H , A , H , A,H,grad^(_|_)A, H, \nabla^{\perp}A,H, をその形テ ンソル場, 平均曲率ベクトル場, 法接続とする。法ベクトル ξ T p M ξ T p M xi inT_(p)^(_|_)M\xi \in T_{p}^{\perp} MξTpM に対 し, ( A p ) ξ A p ξ (A_(p))_(xi)\left(A_{p}\right)_{\xi}(Ap)ξ の固有値をリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) ξ ξ xi\boldsymbol{\xi}ξ に対する主曲率といい, その固有ベクトルを ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) ξ ξ xi\boldsymbol{\xi}ξ に対する主曲率ベクトルという.
特に, ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) が定曲率空間で, 法接続 grad^(_|_)\nabla^{\perp} が平坦(つまり R = 0 R = 0 R^(_|_)=0)のR^{\perp}=0 ) のR=0 場合を考える. このとき, リッチの方程式と命題 4.3 .2 によれば,
[ A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ] = 0 ( ξ ~ 1 , ξ ~ 2 X ( M ) ) A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 = 0 ξ ~ 1 , ξ ~ 2 X ( M ) [A_( tilde(xi)_(1)),A_( tilde(xi)_(2))]=0quad( widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2)inX^(_|_)(M))\left[A_{\tilde{\xi}_{1}}, A_{\tilde{\xi}_{2}}\right]=0 \quad\left(\widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right)[Aξ~1,Aξ~2]=0(ξ~1,ξ~2X(M))
が成り立つ, つまり, { ( A p ) ξ } ξ T p M A p ξ ξ T p M {(A_(p))_(xi)}_(xi inT_(p)^(_|_)M)\left\{\left(A_{p}\right)_{\xi}\right\}_{\xi \in T_{p}^{\perp} M}{(Ap)ξ}ξTpM は対称変換の可換族になる。それゆえ, ( A p ) ξ ( ξ T p M ) A p ξ ξ T p M (A_(p))_(xi)(xi inT_(p)^(_|_)M)\left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\xi \in T_{p}^{\perp} M\right)(Ap)ξ(ξTpM) は, ある正規直交基底に関して同時に対角化される,つま り, それらは T p M T p M T_(p)MT_{p} MTpM の同時固有空間分解
T p M = E 1 p E l p p ( ( A p ) ξ | E i p = λ ξ , i p id E i p ( i = 1 , , l p , ξ T p M ) ) T p M = E 1 p E l p p A p ξ E i p = λ ξ , i p id E i p i = 1 , , l p , ξ T p M {:[T_(p)M=E_(1)^(p)o+cdots o+E_(l_(p))^(p)],[((A_(p))_(xi)|_(E_(i)^(p))=^(EE)lambda_(xi,i)^(p)id_(E_(i)^(p))quad(i=1,dots,l_(p),xi inT_(p)^(_|_)M))]:}\begin{gathered} T_{p} M=E_{1}^{p} \oplus \cdots \oplus E_{l_{p}}^{p} \\ \left(\left.\left(A_{p}\right)_{\xi}\right|_{E_{i}^{p}}={ }^{\exists} \lambda_{\xi, i}^{p} \operatorname{id}_{E_{i}^{p}} \quad\left(i=1, \ldots, l_{p}, \xi \in T_{p}^{\perp} M\right)\right) \end{gathered}TpM=E1pElpp((Ap)ξ|Eip=λξ,ipidEip(i=1,,lp,ξTpM))
を許容する. この事実の証明は, 線形代数の本を参照のこと. T p M T p M T_(p)^(_|_)MT_{p}^{\perp} MTpM 上の関数 λ ^ p , i ( i = 1 , , l p ) λ ^ p , i i = 1 , , l p widehat(lambda)_(p,i)(i=1,dots,l_(p))\widehat{\lambda}_{p, i}\left(i=1, \ldots, l_{p}\right)λ^p,i(i=1,,lp) λ ^ p , i ( ξ ) := λ ξ , i p ( ξ T p M ) λ ^ p , i ( ξ ) := λ ξ , i p ξ T p M widehat(lambda)_(p,i)(xi):=lambda_(xi,i)^(p)(xi inT_(p)^(_|_)M)\widehat{\lambda}_{p, i}(\xi):=\lambda_{\xi, i}^{p}\left(\xi \in T_{p}^{\perp} M\right)λ^p,i(ξ):=λξ,ip(ξTpM) にり定める. これらは, T p M T p M T_(p)^(_|_)MT_{p}^{\perp} MTpM 上の線形関数になることが示される。. 実際, ξ 1 , ξ 2 T p M ξ 1 , ξ 2 T p M xi_(1),xi_(2)inT_(p)^(_|_)M\xi_{1}, \xi_{2} \in T_{p}^{\perp} Mξ1,ξ2TpM a , b R a , b R a,b inRa, b \in \mathbb{R}a,bR に対し,
( A p ) a ξ 1 + b ξ 2 | E i p = λ ^ p , i ( a ξ 1 + b ξ 2 ) id E i p ( A p ) a ξ 1 + b ξ 2 | E i p = a ( A p ) ξ 1 | E i p + b ( A p ) ξ 2 | E i p = ( a λ ^ p , i ( ξ 1 ) + b λ ^ p , i ( ξ 2 ) ) id E i p A p a ξ 1 + b ξ 2 E i p = λ ^ p , i a ξ 1 + b ξ 2 id E i p A p a ξ 1 + b ξ 2 E i p = a A p ξ 1 E i p + b A p ξ 2 E i p = a λ ^ p , i ξ 1 + b λ ^ p , i ξ 2 id E i p {:[(A_(p))_(axi_(1)+bxi_(2))|_(E_(i)^(p))= widehat(lambda)_(p,i)(axi_(1)+bxi_(2))id_(E_(i)^(p))],[(A_(p))_(axi_(1)+bxi_(2))|_(E_(i)^(p))=a(A_(p))_(xi_(1))|_(E_(i)^(p))+b(A_(p))_(xi_(2))|_(E_(i)^(p))=(a widehat(lambda)_(p,i)(xi_(1))+b widehat(lambda)_(p,i)(xi_(2)))id_(E_(i)^(p))]:}\begin{aligned} & \left.\left(A_{p}\right)_{a \xi_{1}+b \xi_{2}}\right|_{E_{i}^{p}}=\widehat{\lambda}_{p, i}\left(a \xi_{1}+b \xi_{2}\right) \operatorname{id}_{E_{i}^{p}} \\ & \left.\left(A_{p}\right)_{a \xi_{1}+b \xi_{2}}\right|_{E_{i}^{p}}=\left.a\left(A_{p}\right)_{\xi_{1}}\right|_{E_{i}^{p}}+\left.b\left(A_{p}\right)_{\xi_{2}}\right|_{E_{i}^{p}}=\left(a \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{1}\right)+b \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{2}\right)\right) \mathrm{id}_{E_{i}^{p}} \end{aligned}(Ap)aξ1+bξ2|Eip=λ^p,i(aξ1+bξ2)idEip(Ap)aξ1+bξ2|Eip=a(Ap)ξ1|Eip+b(Ap)ξ2|Eip=(aλ^p,i(ξ1)+bλ^p,i(ξ2))idEip
が示され, それゆえ, λ ^ p , i ( a ξ 1 + b ξ 2 ) = a λ ^ p , i ( ξ 1 ) + b λ ^ p , i ( ξ 2 ) λ ^ p , i a ξ 1 + b ξ 2 = a λ ^ p , i ξ 1 + b λ ^ p , i ξ 2 widehat(lambda)_(p,i)(axi_(1)+bxi_(2))=a widehat(lambda)_(p,i)(xi_(1))+b widehat(lambda)_(p,i)(xi_(2))\widehat{\lambda}_{p, i}\left(a \xi_{1}+b \xi_{2}\right)=a \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{1}\right)+b \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{2}\right)λ^p,i(aξ1+bξ2)=aλ^p,i(ξ1)+bλ^p,i(ξ2) をえる. λ ^ p , i ( i = λ ^ p , i ( i = widehat(lambda)_(p,i)(i=\widehat{\lambda}_{p, i}(i=λ^p,i(i= 1 , , l p ) 1 , , l p {:1,dots,l_(p))\left.1, \ldots, l_{p}\right)1,,lp) を, 平坦な法接続をもつリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, \boldsymbol{g})(M,g) の点 p p p\boldsymbol{p}p におけ る主曲率という. l p l p l_(p)l_{p}lp p M p M p in Mp \in MpM によらず一定の場合を考える. l := l p l := l p l:=l_(p)l:=l_{p}l:=lp とお く. このとき, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g) を主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体という. 点 p p ppp ごとに E i p ( i = 1 , , l ) E i p ( i = 1 , , l ) E_(i)^(p)(i=1,dots,l)E_{i}^{p}(i=1, \ldots, l)Eip(i=1,,l) を並べ替えることにより, 対応 p E i p ( i = 1 , , l ) p E i p ( i = 1 , , l ) p|->E_(i)^(p)(i=1,dots,l)p \mapsto E_{i}^{p}(i=1, \ldots, l)pEip(i=1,,l) C C C^(oo)C^{\infty}C 級接分布を与えるようにすることができ, そのとき, 対応 λ ^ i : p λ ^ p , i ( p M ) λ ^ i : p λ ^ p , i ( p M ) widehat(lambda)_(i):p|-> widehat(lambda)_(p,i)(p in M)\widehat{\lambda}_{i}: p \mapsto \widehat{\lambda}_{p, i}(p \in M)λ^i:pλ^p,i(pM) は, 法ベクトルバンドル T M T M T^(_|_)MT^{\perp} MTM の 双対バンドル ( T M ) T M (T^(_|_)M)^(**)\left(T^{\perp} M\right)^{*}(TM) C C C^(oo)C^{\infty}C 級切断を与えることになる。これらの C C C^(oo)C^{\infty}C 切断 λ ^ i ( i = 1 , , l ) λ ^ i ( i = 1 , , l ) widehat(lambda)_(i)(i=1,dots,l)\widehat{\lambda}_{i}(i=1, \ldots, l)λ^i(i=1,,l) を, 主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体 ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, \boldsymbol{g})(M,g) の主曲率という.定曲率空間内の主曲率の個数一定の平坦 な法接続をもつリーマン部分多様体で,主曲率の法接続に関する平行性を課 したものとして, 等径部分多様体(isoparametric submanifold)という 概念が [ Te 1 ] [ Te 1 ] [Te1][\mathrm{Te} 1][Te1] において定義され,その後 [Te2] において,その無限次元版とし て, 可分なヒルベルト空間内で, 無限次元等径部分多様体という概念が定義さ れた. さらに, [TT]において, リーマン対称空間(Riemannian symmetric space)とよばれる定曲率空間を一般化した空間内で,等径部分多様体の 一般概念として,等焦部分多様体(equifocal submanifold)という概念が 定義された。 これらの部分多様体の平行族とよばれる族とその切断とよばれ る族は, 極座標と同種の幾何学模様を与え, 興味深い研究対象として, R. S. Palais, C. L. Terng, G. Thorbergssonをはじめとする多くの微分幾何学者に よって研究されている。 これらの部分多様体のモデルは, 極作用とよばれるリ
一群作用の軌道として与えられる. これらの部分多様体の研究に興味のある方 は, [Ch], [HL], [HLO], [Mo1], [Mo2], [PT], [Te1], [Te2], [TT], [Ko5], [Ko6]等を参照のこと. 特に, 等径超曲面(余次元 1 の等径部分多様体)に興味の ある方は, [Ca1], [Ca2], [FKM], [Miy1]-[Miy4], [Mu1], [Mu2], [OT1], [OT2]等を参照のこと.

4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式

この節において, 向き付けられた n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 ( M , O ) ( M , O ) (M,O)(M, O)(M,O) の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr級の境界をもつコンパクト閉領域 D D DDD から ( n + k ) ( n + k ) (n+k)(n+k)(n+k) 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン多様体 ( M ~ , g ~ ) ( M ~ , g ~ ) ( widetilde(M), widetilde(g))(\widetilde{M}, \widetilde{g})(M~,g~) への C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込み全体のなす集合上で体積汎関数を定義し,その第 1 変分公式と第 2 変分公式を導くことにする。 D D DDD から M ~ C M ~ C widetilde(M)へのC^(oo)\widetilde{M} へ の C^{\infty}M~C はめ込み写像全体のなす集合を Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) で表すことにする。この集合は、フレシェ 多様体とよばれる無限次元多様体になり, g ~ g ~ widetilde(g)\widetilde{g}g~ を用いて自然に定義されるリーマ ン計量 g L 2 g L 2 g_(L^(2))\mathbf{g}_{L^{2}}gL2 をもつ. g L 2 g L 2 g_(L^(2))\mathbf{g}_{L^{2}}gL2 の定義を述べよう。そのために, Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) の点 f f fff における接空間 T f Imm ( D , M ~ ) T f Imm ( D , M ~ ) T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M))T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})TfImm(D,M~) がどのように定義されるべきかを述べるこ とにする。まず, C C C^(oo)C^{\infty}C はめ达みの C C C^(oo)C^{\infty}C 変形を定義しょう. f Imm ( D , M ~ ) f Imm ( D , M ~ ) f inImm^(oo)(D, widetilde(M))f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})fImm(D,M~) に対し、Dから M ~ M ~ widetilde(M)\widetilde{M}M~ への C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込みの 1 パラメーター族 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) で, 次 の 2 条件を満たすものを考える:
(i) F ( p , t ) := f t ( p ) ( ( p , t ) D × ( ε , ε ) ) F ( p , t ) := f t ( p ) ( ( p , t ) D × ( ε , ε ) ) F(p,t):=f_(t)(p)((p,t)in D xx(-epsi,epsi))F(p, t):=f_{t}(p)((p, t) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon))F(p,t):=ft(p)((p,t)D×(ε,ε)) によって定義される写像 F F FFF : D × ( ε , ε ) M ~ D × ( ε , ε ) M ~ D xx(-epsi,epsi)rarr widetilde(M)D \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \widetilde{M}D×(ε,ε)M~ C C C^(oo)C^{\infty}C 写像である;
(ii) f 0 = f f 0 = f f_(0)=ff_{0}=ff0=f.
このような族 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) (または F F F)F )F f f fff C C C C^(oo)C^{\infty}C 級変形 ( C C (C^(oo):}\left(C^{\infty}\right.(C-deformation)という. 以下, F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) と表す. t f t ( t ( ε , ε ) ) t f t ( t ( ε , ε ) ) t|->f_(t)(t in(-epsi,epsi))t \mapsto f_{t}(t \in(-\varepsilon, \varepsilon))tft(t(ε,ε)) Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) における C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とみなされるので, f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 級変形 F F FFF に対 し,
( V F ) p := d F ( p , 0 ) ( ( t ) ( p , 0 ) ) ( T f ( p ) M ~ ) ( p D ) V F p := d F ( p , 0 ) t ( p , 0 ) T f ( p ) M ~ ( p D ) (V_(F))_(p):=dF_((p,0))(((del)/(del t))_((p,0)))(inT_(f(p))( widetilde(M)))quad(p in D)\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{p}:=d F_{(p, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{(p, 0)}\right)\left(\in T_{f(p)} \widetilde{M}\right) \quad(p \in D)(VF)p:=dF(p,0)((t)(p,0))(Tf(p)M~)(pD)
によって定義される f f fff に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトル場 V F V F V_(F)\boldsymbol{V}_{F}VF は, C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 t f t t f t t|->f_(t)t \mapsto f_{t}tft の初速度とみなされ、それゆえ, Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) の点 f f fff における接空間
T f Imm ( D , M ~ ) T f Imm ( D , M ~ ) T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M))T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})TfImm(D,M~) の元とみなされる. V F V F V_(F)V_{F}VF は, C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) の変分べ クトル場とよばれる。特に, f t | D = f | D ( t ( ε , ε ) ) f t D = f D ( t ( ε , ε ) ) f_(t)|_(del D)=f|_(del D)(t in(-epsi,epsi))\left.f_{t}\right|_{\partial D}=\left.f\right|_{\partial D}(t \in(-\varepsilon, \varepsilon))ft|D=f|D(t(ε,ε)) であるとき, その 変形を f f f\boldsymbol{f}f の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形(boundary-fixed C C C^(oo)C^{\infty}C-deformation of f)といい, V F V F V_(F)\boldsymbol{V}_{F}VF f f fff の法べクトル場であるとき, その変形を f f f\boldsymbol{f}f C C C^(oo)\boldsymbol{C}^{\infty}C 級法変形 ( C C (C^(oo):}\left(C^{\infty}\right.(C-normal deformation of f ) f {:f)\left.\boldsymbol{f}\right)f) という。逆に, f f fff に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C ベク トル場 V V V\boldsymbol{V}V が与えられたとき, 十分小さな正の数 ε ε epsi\varepsilonε に対し, V V V\boldsymbol{V}V を変分ベクトル 場としてもつ f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 級変形 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε)
f t ( p ) := exp f ( p ) ( t V p ) ( ( p , t ) D × ( ε , ε ) ) f t ( p ) := exp f ( p ) t V p ( ( p , t ) D × ( ε , ε ) ) f_(t)(p):=exp_(f(p))(tV_(p))quad((p,t)in D xx(-epsi,epsi))f_{t}(p):=\exp _{f(p)}\left(t V_{p}\right) \quad((p, t) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon))ft(p):=expf(p)(tVp)((p,t)D×(ε,ε))
によって定義することができる。したがって, T f Imm ( D , M ~ ) T f Imm ( D , M ~ ) T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M))T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})TfImm(D,M~) が, f f fff に沿う C C C^(oo)C^{\infty}C ベクトル場の全体 X f ( D , M ~ ) X f ( D , M ~ ) X_(f)(D, widetilde(M))\mathcal{X}_{f}(D, \widetilde{M})Xf(D,M~) として定義されることがわかる. 接空間 T f Imm ( D , M ~ ) = X f ( D , M ~ ) T f Imm ( D , M ~ ) = X f ( D , M ~ ) T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M))=X_(f)(D, widetilde(M))T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})=\mathcal{X}_{f}(D, \widetilde{M})TfImm(D,M~)=Xf(D,M~) に与える内積 ( g L 2 ) f g L 2 f (g_(L^(2)))_(f)\left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f}(gL2)f は次のように定義され る:
( g L 2 ) f ( X , Y ) := D g ~ f ( ) ( X , Y ) d V f g ~ ( X , Y T f Imm ( D , M ~ ) ) g L 2 f ( X , Y ) := D g ~ f ( ) ( X , Y ) d V f g ~ X , Y T f Imm ( D , M ~ ) (g_(L^(2)))_(f)(X,Y):=int_(D) widetilde(g)_(f(*))(X,Y)dV_(f^(**) tilde(g))quad(X,Y inT_(f)Imm^(oo)(D,( widetilde(M))))\left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}):=\int_{D} \widetilde{g}_{f(\cdot)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) d V_{f^{*} \tilde{g}} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})\right)(gL2)f(X,Y):=Dg~f()(X,Y)dVfg~(X,YTfImm(D,M~))
Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) の各点 f f fff に対し, ( g L 2 ) f g L 2 f (g_(L^(2)))_(f)\left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f}(gL2)f を対応させる対応として, Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) C C C^(oo)C^{\infty}C リーマン計量 g L 2 g L 2 g_(L^(2))\mathbf{g}_{L^{2}}gL2 が定義される.
Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) 上の汎関数 Vol Vol Vol\mathrm{Vol}Vol
Vol ( f ) := D d V f g ~ ( f Imm ( D , M ~ ) ) Vol ( f ) := D d V f g ~ f Imm ( D , M ~ ) Vol(f):=int_(D)dV_(f^(**) tilde(g))quad(f inImm^(oo)(D,( widetilde(M))))\operatorname{Vol}(f):=\int_{D} d V_{f^{*} \tilde{g}} \quad\left(f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})\right)Vol(f):=DdVfg~(fImm(D,M~))
によって定義する. この右辺の量は, リーマン多様体 ( M , f g ~ ) M , f g ~ (M,f^(**)( widetilde(g)))\left(M, f^{*} \widetilde{g}\right)(M,fg~) の区分的に C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の境界をもつコンパクト閉領域 D D DDD のリーマン体積とよばれるものなの で,この汎関数は,体積汎関数(volume functional)とよばれる。ここで,関数ではなく汎関数という言葉を用いた理由は, Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) が写像空間 (関数空間の一般化)であり,その上で定義される関数だからである.体積汎関数 Vol Vol Vol\mathrm{Vol}Vol の臨界点, つまり, Vol の f f fff における微分 d Vol f d Vol f dVol_(f)d \mathrm{Vol}_{f}dVolf が 0 になるよう な C C C^(oo)C^{\infty}C はめ込み f f fff を求めることは, 変分学の視点から重要である. そのため に, 微分 d Vol f d Vol f dVol_(f)d \mathrm{Vol}_{f}dVolf の積分表示式を与えることは重要であり, Vol Vol Vol\mathrm{Vol}Vol の第 1 変分公式 がそれに相当する. f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) に対し, V F V F V_(F)\boldsymbol{V}_{F}VF t f t t f t t|->f_(t)t \mapsto f_{t}tft Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) における C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線とみたときの初速度なので, d Vol f ( V F ) d Vol f V F dVol_(f)(V_(F))d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)dVolf(VF) は,
d Vol f ( V F ) = d d t | t = 0 Vol ( f t ) d Vol f V F = d d t t = 0 Vol f t dVol_(f)(V_(F))=(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)dVolf(VF)=ddt|t=0Vol(ft)
によって与えられる。以下, r 2 r 2 r >= 2r \geq 2r2 とする。
定理 4.7.1 (第 1 変分公式) f f quad f\quad ff C C C^(oo)C^{\infty}C 級変形 F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) に対し,
(4.7.1) d Vol f ( V F ) = d d t | t = 0 Vol ( f t ) = D ( div g ( V F ) T n g ~ ( H , V F ) ) d V g (4.7.1) d Vol f V F = d d t t = 0 Vol f t = D div g V F T n g ~ H , V F d V g {:(4.7.1)dVol_(f)(V_(F))=(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D)(div_(g)(V_(F))_(T)-n( widetilde(g))(H,V_(F)))dV_(g):}\begin{equation*} d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D}\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}-n \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right)\right) d V_{g} \tag{4.7.1} \end{equation*}(4.7.1)dVolf(VF)=ddt|t=0Vol(ft)=D(divg(VF)Tng~(H,VF))dVg
が成り立つ. ここで, g g ggg f g ~ f g ~ f^(**) widetilde(g)f^{*} \widetilde{g}fg~ を表し, H H HHH f f fff の平均曲率ベクトル場を表す.特に, M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体であるとき, D D DDD として M M MMM をとことができ, その とき,
(4.7.2) d Vol f ( V F ) = n M g ~ ( H , V F ) d V g (4.7.2) d Vol f V F = n M g ~ H , V F d V g {:(4.7.2)dVol_(f)(V_(F))=-nint_(M) widetilde(g)(H,V_(F))dV_(g):}\begin{equation*} d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=-n \int_{M} \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right) d V_{g} \tag{4.7.2} \end{equation*}(4.7.2)dVolf(VF)=nMg~(H,VF)dVg
が成り立つ.
証明 g t := f t g ~ g t := f t g ~ g_(t):=f_(t)^(**) widetilde(g)g_{t}:=f_{t}^{*} \widetilde{g}gt:=ftg~ とおく. M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に関す

( g.. ) ) ))) の第 ( i , j ) ( i , j ) (i,j)(i, j)(i,j) 余因子を G i j G i j G_(ij)G_{i j}Gij と表すことにする. このとき, 行列式の展開と逆行列を求める公式により, U U UUU 上で,
d d t | t = 0 d V g t = d d t | t = 0 det ( ( g t ) i j ) d x 1 d x n d d t t = 0 d V g t = d d t t = 0 det g t i j d x 1 d x n {:(d)/(dt)|_(t=0)dV_(g_(t))=(d)/(dt)|_(t=0)sqrt(det((g_(t))_(ij)))dx_(1)^^cdots^^dx_(n):}\begin{aligned} & \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} d V_{g_{t}}=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right)_{i j}\right)} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \end{aligned}ddt|t=0dVgt=ddt|t=0det((gt)ij)dx1dxn
(4.7.3) = 1 2 det ( g . . ) j = 1 n i = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 G i j d x 1 d x n = i = 1 n j = 1 n det ( g . . ) 2 d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j d x 1 d x n = 1 2 i = 1 n j = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j d V g (4.7.3) = 1 2 det ( g . . ) j = 1 n i = 1 n d g t i j d t t = 0 G i j d x 1 d x n = i = 1 n j = 1 n det ( g . . ) 2 d g t i j d t t = 0 g i j d x 1 d x n = 1 2 i = 1 n j = 1 n d g t i j d t t = 0 g i j d V g {:[(4.7.3)=(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)G_(ij)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(sqrt(det(g..)))/(2)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)],[=(1)/(2)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)dV_(g)]:}\begin{align*} & =\left.\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} G_{i j} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \tag{4.7.3}\\ & =\left.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\sqrt{\operatorname{det}(g . .)}}{2} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \\ & =\left.\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j} d V_{g} \end{align*}(4.7.3)=12det(g..)j=1ni=1nd(gt)ijdt|t=0Gijdx1dxn=i=1nj=1ndet(g..)2d(gt)ijdt|t=0gijdx1dxn=12i=1nj=1nd(gt)ijdt|t=0gijdVg
が成り立つことが示される。一方,
d ( g t ) i j d t | t = 0 = d d t | t = 0 g ~ ( d f t ( x i ) , d f t ( x j ) ) = g ~ ( ( ~ t F d F ( x i ) ) | t = 0 , d f ( x j ) ) (4.7.4) + g ~ ( d f ( x i ) , ( ~ t F d F ( x j ) ) | t = 0 ) = g ~ ( ~ x i F V F , d f ( x j ) ) + g ~ ( d f ( x i ) , ~ x j F V F ) d g t i j d t t = 0 = d d t t = 0 g ~ d f t x i , d f t x j = g ~ ~ t F d F x i t = 0 , d f x j (4.7.4) + g ~ d f x i , ~ t F d F x j t = 0 = g ~ ~ x i F V F , d f x j + g ~ d f x i , ~ x j F V F {:[(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0) widetilde(g)(df_(t)((del)/(delx_(i))),df_(t)((del)/(delx_(j))))],[= widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(i))))|_(t=0),df((del)/(delx_(j))))],[(4.7.4)+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))),( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(j))))|_(t=0))],[= widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F),df((del)/(delx_(j))))+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))), widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(F)V_(F))]:}\begin{align*} & \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0}=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \widetilde{g}\left(d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ = & \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)\right|_{t=0}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ & +\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right),\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right|_{t=0}\right) \tag{4.7.4}\\ = & \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)+\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right) \end{align*}d(gt)ijdt|t=0=ddt|t=0g~(dft(xi),dft(xj))=g~((~tFdF(xi))|t=0,df(xj))(4.7.4)+g~(df(xi),(~tFdF(xj))|t=0)=g~(~xiFVF,df(xj))+g~(df(xi),~xjFVF)
をえる. f f fff の第 2 基本形式, 形テンソル場を各々, h , A h , A h,Ah, Ah,A と表す. このとき,
g ~ ( ~ x i F V F , d f ( x j ) ) (4.7.5) = g ( x i ( V F ) T , x j ) g ( A ( V F ) x i , x j ) = g ( x i ( V F ) T , x j ) g ~ ( h ( x i , x j ) , ( V F ) ) g ~ ~ x i F V F , d f x j (4.7.5) = g x i V F T , x j g A V F x i , x j = g x i V F T , x j g ~ h x i , x j , V F {:[ widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F),df((del)/(delx_(j))))],[(4.7.5)=g(grad_((del)/(delx_(i)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(j)))-g(A_((V_(F))_(_|_))(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))],[=g(grad_((del)/(delx_(i)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(j)))- widetilde(g)(h((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))),(V_(F))_(_|_))]:}\begin{align*} & \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ = & g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)-g\left(A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \tag{4.7.5}\\ = & g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)-\widetilde{g}\left(h\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right),\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right) \end{align*}g~(~xiFVF,df(xj))(4.7.5)=g(xi(VF)T,xj)g(A(VF)xi,xj)=g(xi(VF)T,xj)g~(h(xi,xj),(VF))
をえる. ここで, ( V F ) V F (V_(F))_(_|_)\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}(VF) V F V F V_(F)\boldsymbol{V}_{F}VF の法成分を表し, ( V F ) T V F T (V_(F))_(T)\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}(VF)T は, d f ( ( V F ) T ) d f V F T df((V_(F))_(T))d f\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)df((VF)T) V F V F V_(F)\boldsymbol{V}_{F}VF の接成分になるような D D DDD の接ベクトル場を表す。式 (4.7.3), (4.7.4), (4.7.5) から, U U UUU 上で
d d t | t = 0 d V g t = ( div g ( V F ) T n g ~ ( H , V F ) ) d V g d d t t = 0 d V g t = div g V F T n g ~ H , V F d V g (d)/(dt)|_(t=0)dV_(g_(t))=(div_(g)(V_(F))_(T)-n( widetilde(g))(H,V_(F)))dV_(g)\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} d V_{g_{t}}=\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}-n \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right)\right) d V_{g}ddt|t=0dVgt=(divg(VF)Tng~(H,VF))dVg
が成り立つことが導かれる。したがって, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) の任意性により, D D DDD 上でこ の関係式が成り立つことがわかる。この両辺を D D DDD 上で積分し,微分と積分の 順序交換を用いることにより,
d d t | t = 0 Vol ( f t ) = D ( div g ( V F ) T n g ~ ( H , V F ) ) d V g d d t t = 0 Vol f t = D div g V F T n g ~ H , V F d V g (d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D)(div_(g)(V_(F))_(T)-n( widetilde(g))(H,V_(F)))dV_(g)\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D}\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}-n \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right)\right) d V_{g}ddt|t=0Vol(ft)=D(divg(VF)Tng~(H,VF))dVg
をえる. 特に M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体であるとき, D = M D = M D=MD=MD=M として, ガウスの発散定理(系 3.12.2)を用いることにより, 式 (4.7.2) が示される。
特に, 境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形, または C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形の場合に, 次の事実が導か れる。
系 4.7.2 F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) f f fff Imm ( D , M ~ ) Imm ( D , M ~ ) Imm^(oo)(D, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})Imm(D,M~) における境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C変形, または C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形とする。このとき,
d Vol f ( V F ) = d d t | t = 0 Vol ( f t ) = n D g ~ ( H , V F ) d V g d Vol f V F = d d t t = 0 Vol f t = n D g ~ H , V F d V g dVol_(f)(V_(F))=(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=-nint_(D) widetilde(g)(H,V_(F))dV_(g)d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=-n \int_{D} \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right) d V_{g}dVolf(VF)=ddt|t=0Vol(ft)=nDg~(H,VF)dVg
が成り立つ.
証明 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形の場合, ( V F ) T = 0 V F T = 0 (V_(F))_(T)=0\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}=\mathbf{0}(VF)T=0 となるので, 式 (4.7.1) から主張における関係式が導かれる。 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) が境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形の場合を考えよう. この場合, ( V F ) T | D = 0 V F T D = 0 (V_(F))_(T)|_(del D)=0\left.\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right|_{\partial D}=\mathbf{0}(VF)T|D=0 なので, ガウスの発散定理(定理 3.12.1) より,
D div g ( V F ) T d V g = D g ( ( V F ) T , N ) d V ι g = 0 D div g V F T d V g = D g V F T , N d V ι g = 0 int_(D)div_(g)(V_(F))_(T)dV_(g)=int_(del D)g((V_(F))_(T),N)dV_(iota^(**)g)=0\int_{D} \operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T} d V_{g}=\int_{\partial D} g\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \boldsymbol{N}\right) d V_{\iota^{*} g}=0Ddivg(VF)TdVg=Dg((VF)T,N)dVιg=0
が成り立つ. ここでしは, D D del D\partial DD から M M MMM への包含写像を表し, N N N\boldsymbol{N}N D D del D\partial DD の外側向きの単位法ベクトル場を表す。それゆえ,式(4.7.1)から主張における関係式が導かれる。
この系から, 次の事実が導かれる。
定理 4.7.3 f Imm ( D , M ~ ) f Imm ( D , M ~ ) f inImm^(oo)(D, widetilde(M))f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})fImm(D,M~) とする. このとき, 次の 3 つの主張は同値 である:
(i) f f quad f\quad ff の任意の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) に対し, d d t | t = 0 Vol ( f t ) d d t t = 0 Vol f t (d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)ddt|t=0Vol(ft) = 0 = 0 =0=0=0 が成り立つ;
(ii) f f fff の任意の C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) に対し, d d t | t = 0 Vol ( f t ) = 0 d d t t = 0 Vol f t = 0 (d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=0\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=0ddt|t=0Vol(ft)=0 が成り 立つ;
(iii) H | D = 0 H D = 0 H|_(D)=0\left.H\right|_{D}=\mathbf{0}H|D=0 が成り立つ.
特に M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体であるとき, D D DDD として M M MMM をとることができる. D = M D = M D=MD=MD=M のとき, 次の 2 つの主張は同値である:
(iv) f f fff の任意の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) に対し, d d t | t = 0 Vol ( f t ) = 0 d d t t = 0 Vol f t = 0 (d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=0\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=0ddt|t=0Vol(ft)=0 が成り 立つ;
(v) H = 0 H = 0 H=0H=\mathbf{0}H=0 が成り立つ.
証明 (iii) =>\Rightarrow (i), および (iii) =>\Rightarrow (ii) は, 系 4.7 .2 における変分公式から直接導かれる. (i) =>\Rightarrow (iii)を示そう. ρ ρ rho\rhoρ ρ | D = 0 , ρ | D D > 0 ρ D = 0 , ρ D D > 0 rho|_(del D)=0, rho|_(D\\del D) > 0\left.\rho\right|_{\partial D}=0,\left.\rho\right|_{D \backslash \partial D}>0ρ|D=0,ρ|DD>0 を満たす D D DDD 上の
C C C^(oo)C^{\infty}C 級関数とし, f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε)
f t ( p ) := exp f ( p ) ( t ρ ( p ) H p ) ( p D ) f t ( p ) := exp f ( p ) t ρ ( p ) H p ( p D ) f_(t)(p):=exp_(f(p))(t rho(p)H_(p))quad(p in D)f_{t}(p):=\exp _{f(p)}\left(t \rho(p) H_{p}\right) \quad(p \in D)ft(p):=expf(p)(tρ(p)Hp)(pD)
によって定義する. 明らかに, この C C C^(oo)C^{\infty}C 変形は x x x\boldsymbol{x}x の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形に なる。それゆえ,(i)を仮定しているので, d d t | t = 0 Vol ( f t ) = 0 d d t t = 0 Vol f t = 0 (d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=0\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=0ddt|t=0Vol(ft)=0 となる。一方, この C C C^(oo)C^{\infty}C 変形の変分ベクトル場 V F V F V_(F)\boldsymbol{V}_{F}VF V F = ρ H | D V F = ρ H D V_(F)= rho H|_(D)\boldsymbol{V}_{F}=\left.\rho H\right|_{D}VF=ρH|D によって与えられるので,系 4.7.2における変分公式より,
d d t | t = 0 Vol ( f t ) = n D ρ g ~ ( H , H ) d V g d d t t = 0 Vol f t = n D ρ g ~ ( H , H ) d V g (d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=-nint_(D)rho widetilde(g)(H,H)dV_(g)\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=-n \int_{D} \rho \widetilde{g}(H, H) d V_{g}ddt|t=0Vol(ft)=nDρg~(H,H)dVg
が示される. したがって, D ρ g ~ ( H , H ) d V g = 0 D ρ g ~ ( H , H ) d V g = 0 int_(D)rho widetilde(g)(H,H)dV_(g)=0\int_{D} \rho \widetilde{g}(H, H) d V_{g}=0Dρg~(H,H)dVg=0 がえられ, ρ ρ rho\rhoρ の任意性から H | D = 0 H D = 0 H|_(D)=0\left.H\right|_{D}=\mathbf{0}H|D=0 が導かれる. この C C C^(oo)C^{\infty}C 変形は, C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形であり, 上述と同様の議論により, (ii) =>\Rightarrow (iii) が示される. 後半部も, 定理 4.7.1 の後半部の主張を用 いて同様に示される.
注意 この事実に基づいて, H = 0 H = 0 H=0H=0H=0 となるリーマン多様体へのはめ达みは、極小 はめ込みとよばれるようになった。
次に, 体積沉関数 Vol の第 2 変分公式を述べるために, T M , T M T M , T M TM,T^(_|_)MT M, T^{\perp} MTM,TM, また は f T M ~ f T M ~ f^(**)T widetilde(M)f^{*} T \widetilde{M}fTM~ C C C^(oo)C^{\infty}C 切断の空間からそれ自身への 5 つの作用素を定義しておこ う. g := f g ~ g := f g ~ g:=f^(**) widetilde(g)g:=f^{*} \widetilde{g}g:=fg~ のリーマン接続を grad\nabla と表し, f f fff の法接続を grad^(_|_)\nabla^{\perp} と表す.また, g ~ g ~ widetilde(g)\widetilde{g}g~ の曲率テンソル場を R ~ R ~ widetilde(R)\widetilde{R}R~ と表す.接ベクトルバンドル T M T M TMT MTM C C C^(oo)C^{\infty}C 切断の空間 Γ ( T M ) Γ ( T M ) Gamma^(oo)(TM)\Gamma^{\infty}(T M)Γ(TM) からそれ自身への 2 階の微分作用素 Δ Δ Delta\DeltaΔ
( Δ X ) p := i = 1 n ( ( e i ( e i X ) ) p ( e i e i X ) p ) ( X Γ ( T M ) , p M ) ( Δ X ) p := i = 1 n e i e i X p e i e i X p X Γ ( T M ) , p M (Delta X)_(p):=sum_(i=1)^(n)((grad_(e_(i))(grad_(e_(i))X))_(p)-(grad_({:grad_(e_(i)e_(i))X)_(p)))quad(X inGamma^(oo)(TM),quad p in M):}(\Delta \boldsymbol{X})_{p}:=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\nabla_{e_{i}}\left(\nabla_{e_{i}} \boldsymbol{X}\right)\right)_{p}-\left(\nabla_{\left.\left.\nabla_{e_{i} e_{i}} \boldsymbol{X}\right)_{p}\right)} \quad\left(\boldsymbol{X} \in \Gamma^{\infty}(T M), \quad p \in M\right)\right.\right.(ΔX)p:=i=1n((ei(eiX))p(eieiX)p)(XΓ(TM),pM)
( ( e 1 , , e n ) : p e 1 , , e n : p ((e_(1),dots,e_(n)):p:}\left(\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right): p\right.((e1,,en):p の近傍上で定義された g g ggg に関する局所正規直交基底場)に よって定義し, f f fff の法ベクトルバンドルの C C C^(oo)C^{\infty}C 切断の空間 Γ ( T M ) Γ T M Gamma^(oo)(T^(_|_)M)\Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right)Γ(TM) からそ れ自身への 2 階の微分作用素 Δ Δ Delta^(_|_)\Delta^{\perp}Δ
( Δ ξ ) p := i = 1 n ( ( e i ( e i ξ ) ) p ( e i e i ξ ) p ) ( ξ Γ ( T M ) , p M ) Δ ξ p := i = 1 n e i e i ξ p e i e i ξ p ξ Γ T M , p M (Delta^(_|_)xi)_(p):=sum_(i=1)^(n)((grad_(e_(i))^(_|_)(grad_(e_(i))^(_|_)xi))_(p)-(grad_(grad_(e_(i))e_(i))^(_|_)xi)_(p))quad(xi inGamma^(oo)(T^(_|_)M),p in M)\left(\Delta^{\perp} \xi\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\nabla_{e_{i}}^{\perp}\left(\nabla_{e_{i}}^{\perp} \xi\right)\right)_{p}-\left(\nabla_{\nabla_{e_{i}} e_{i}}^{\perp} \xi\right)_{p}\right) \quad\left(\xi \in \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right), p \in M\right)(Δξ)p:=i=1n((ei(eiξ))p(eieiξ)p)(ξΓ(TM),pM)
( ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n ((e_(1),dots,e_(n)):}\left(\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)\right.((e1,,en) :上と同様)によって定義する。また, Γ ( T M ) Γ T M Gamma^(oo)(T^(_|_)M)\Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right)Γ(TM) からそれ自身への線形作用素 A , R A , R A^(_|_),R^(_|_)\mathcal{A}^{\perp}, \mathcal{R}^{\perp}A,R
g ~ ( A ( ξ 1 ) , ξ 2 ) := Tr ( A ξ 1 A ξ 2 ) , g ~ ( R ( ξ 1 ) , ξ 2 ) := Tr ( R ~ ( d f ( ) , ξ 1 ) ξ 2 ) T ( ξ 1 , ξ 2 Γ ( T M ) ) g ~ A ξ 1 , ξ 2 := Tr A ξ 1 A ξ 2 , g ~ R ξ 1 , ξ 2 := Tr R ~ d f ( ) , ξ 1 ξ 2 T ξ 1 , ξ 2 Γ T M {:[ widetilde(g)(A^(_|_)(xi_(1)),xi_(2)):=-Tr(A_(xi_(1))@A_(xi_(2)))","quad widetilde(g)(R^(_|_)(xi_(1)),xi_(2)):=-Tr(( widetilde(R))(df(*),xi_(1))xi_(2))_(T)],[(xi_(1),xi_(2)inGamma^(oo)(T^(_|_)M))]:}\begin{array}{r} \widetilde{g}\left(\mathcal{A}^{\perp}\left(\xi_{1}\right), \xi_{2}\right):=-\operatorname{Tr}\left(A_{\xi_{1}} \circ A_{\xi_{2}}\right), \quad \widetilde{g}\left(\mathcal{R}^{\perp}\left(\xi_{1}\right), \xi_{2}\right):=-\operatorname{Tr}\left(\widetilde{R}\left(d f(\cdot), \xi_{1}\right) \xi_{2}\right)_{T} \\ \left(\xi_{1}, \xi_{2} \in \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right)\right) \end{array}g~(A(ξ1),ξ2):=Tr(Aξ1Aξ2),g~(R(ξ1),ξ2):=Tr(R~(df(),ξ1)ξ2)T(ξ1,ξ2Γ(TM))
により定め, Γ ( f T M ~ ) Γ f T M ~ Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))\Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)Γ(fTM~) からそれ自身への線形作用素 R R R\mathcal{R}R を,
g ~ ( R ( W 1 ) , W 2 ) := Tr ( R ~ ( d f ( ) , W 1 ) W 2 ) T ( W 1 , W 2 Γ ( f T M ~ ) ) g ~ R W 1 , W 2 := Tr R ~ d f ( ) , W 1 W 2 T W 1 , W 2 Γ f T M ~ widetilde(g)(R(W_(1)),W_(2)):=-Tr(( widetilde(R))(df(*),W_(1))W_(2))_(T)quad(W_(1),W_(2)inGamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M))))\widetilde{g}\left(\mathcal{R}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right):=-\operatorname{Tr}\left(\widetilde{R}\left(d f(\cdot), \boldsymbol{W}_{1}\right) \boldsymbol{W}_{2}\right)_{T} \quad\left(\boldsymbol{W}_{1}, \boldsymbol{W}_{2} \in \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)\right)g~(R(W1),W2):=Tr(R~(df(),W1)W2)T(W1,W2Γ(fTM~))
によって定める.ここで, ( R ~ ( d f ( ) , ) ) T ( R ~ ( d f ( ) , ) ) T ( widetilde(R)(df(*),∙)∙)_(T)(\widetilde{R}(d f(\cdot), \bullet) \bullet)_{T}(R~(df(),))T は, d f ( ( R ~ ( d f ( ) , ) T ) d f R ~ ( d f ( ) , ) T df((( widetilde(R))(df(*),∙)_(T)):}d f\left(\left(\widetilde{R}(d f(\cdot), \bullet)_{T}\right)\right.df((R~(df(),)T) R ~ ( d f ( ) , ) ) R ~ ( d f ( ) , ) ) widetilde(R)(df(*),∙)∙)\widetilde{R}(d f(\cdot), \bullet) \bullet)R~(df(),)) の接成分になるような M M MMM 上のベクトル場を表す.
また, ファイバー計量 g E g E g_(E)g_{E}gE を備えたべクトルバンドル E E EEE に値をとる, ( M , g ) ( M , g ) (M,g)(M, g)(M,g)上の 2 次共変テンソル場同士の内積を定義しておこう。ここで, ファイバー 計量とは, M M MMM の各点 p p ppp に対し, p p ppp 上のファイバー E p E p E_(p)E_{p}Ep の内積 ( g E ) p g E p (g_(E))_(p)\left(g_{E}\right)_{p}(gE)p を対応さ せる対応 g E g E g_(E)g_{E}gE のことである。 M M MMM 上の E E EEE に值をとる k k kkk 次共変テンソル場 S 1 , S 2 S 1 , S 2 S_(1),S_(2)S_{1}, S_{2}S1,S2 (つまり S 1 , S 2 Γ ( ( k T M ) E ) ) S 1 , S 2 Γ k T M E {:S_(1),S_(2)in Gamma((ox^(k)T^(**)M)ox E))\left.S_{1}, S_{2} \in \Gamma\left(\left(\otimes^{k} T^{*} M\right) \otimes E\right)\right)S1,S2Γ((kTM)E)) に対し,それらの内積 S 1 , S 2 S 1 , S 2 (:S_(1),S_(2):)\left\langle S_{1}, S_{2}\right\rangleS1,S2
S 1 , S 2 ( p ) := i 1 = 1 n i k = 1 n ( g E ) p ( ( S 1 ) p ( e i 1 , , e i k ) ( S 2 ) p ( e i 1 , , e i k ) ) ( p M ) S 1 , S 2 ( p ) := i 1 = 1 n i k = 1 n g E p S 1 p e i 1 , , e i k S 2 p e i 1 , , e i k ( p M ) {:[(:S_(1),S_(2):)(p):=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)(g_(E))_(p)((S_(1))_(p)(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))(S_(2))_(p)(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k))))],[(p in M)]:}\begin{array}{r} \left\langle S_{1}, S_{2}\right\rangle(p):=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n}\left(g_{E}\right)_{p}\left(\left(S_{1}\right)_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\left(S_{2}\right)_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\right) \\ (p \in M) \end{array}S1,S2(p):=i1=1nik=1n(gE)p((S1)p(ei1,,eik)(S2)p(ei1,,eik))(pM)
e 1 , , e n ) e 1 , , e n {:(e_(1),dots,e_(n))\left.( \boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)e1,,en) ( T p M , g p ) T p M , g p (T_(p)M,g_(p))\left(T_{p} M, g_{p}\right)(TpM,gp) の正規直交基底)によって定義され, 特に, S 1 S 1 S_(1)S_{1}S1 同士の内積の平方根 S 1 , S 1 S 1 , S 1 sqrt((:S_(1),S_(1):))\sqrt{\left\langle S_{1}, S_{1}\right\rangle}S1,S1 S 1 S 1 ||S_(1)||\left\|S_{1}\right\|S1 と表される. また, M M MMM 上の ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1)(1,1)(1,1) 次テン ソル場 S ^ 1 , S ^ 2 S ^ 1 , S ^ 2 hat(S)_(1), hat(S)_(2)\hat{S}_{1}, \hat{S}_{2}S^1,S^2 に対し,それらの内積 S ^ 1 , S ^ 2 S ^ 1 , S ^ 2 (: hat(S)_(1), hat(S)_(2):)\left\langle\hat{S}_{1}, \hat{S}_{2}\right\rangleS^1,S^2
S ^ 1 , S ^ 2 := Tr ( S ^ 1 S ^ 2 ) S ^ 1 , S ^ 2 := Tr S ^ 1 S ^ 2 (: hat(S)_(1), hat(S)_(2):):=Tr( hat(S)_(1)@ hat(S)_(2))\left\langle\hat{S}_{1}, \hat{S}_{2}\right\rangle:=\operatorname{Tr}\left(\hat{S}_{1} \circ \hat{S}_{2}\right)S^1,S^2:=Tr(S^1S^2)
で定義され, 特に, S ^ 1 S ^ 1 hat(S)_(1)\hat{S}_{1}S^1 同士の内積の平方根 S ^ 1 , S ^ 1 S ^ 1 , S ^ 1 sqrt((: hat(S)_(1), hat(S)_(1):))\sqrt{\left\langle\hat{S}_{1}, \hat{S}_{1}\right\rangle}S^1,S^1 S ^ 1 S ^ 1 || hat(S)_(1)||\left\|\hat{S}_{1}\right\|S^1 と表される.
Vol Vol Vol\mathrm{Vol}Vol の臨界点 f f fff におけるヘッシアン ( H Vol ) f ( H Vol ) f (HVol)_(f)(H \mathrm{Vol})_{f}(HVol)f は, f f fff の任意の C C C^(oo)C^{\infty}C 変形 F = F = F=F=F= { f t } t ( ε , ε ) f t t ( ε , ε ) {f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}{ft}t(ε,ε) に対し,
( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) ( H Vol ) f V F , V F = d 2 d t 2 t = 0 Vol f t (H Vol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))(H \operatorname{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)(HVol)f(VF,VF)=d2dt2|t=0Vol(ft)
が成り立つような T f Imm ( M , M ~ ) T f Imm ( M , M ~ ) T_(f)Imm^(oo)(M, widetilde(M))T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M})TfImm(M,M~) 上の対称 2 次共変テンソルとして定義さ れる。
以下, r 3 r 3 r >= 3r \geq 3r3 とする.
定理 4.7.4(第 2 変分公式) f Imm ( D , M ~ ) f Imm ( D , M ~ ) f inImm^(oo)(D, widetilde(M))f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})fImm(D,M~) を Vol の臨界点とする. こ のとき, f f fff の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 級変形 F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) に対し,
( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) = D g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) d v f g ~ ( H Vol ) f V F , V F = d 2 d t 2 t = 0 Vol f t = D g ~ J ~ V F , V F d v f g ~ (HVol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D) widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))dv_(f^(**) tilde(g))(H \mathrm{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D} \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d v_{f^{*} \tilde{g}}(HVol)f(VF,VF)=d2dt2|t=0Vol(ft)=Dg~(J~(VF),VF)dvfg~
が成り立つ. ここで J ~ J ~ widetilde(J)\widetilde{\mathcal{J}}J~ は, 次式によって定義される Γ ( f T M ~ ) Γ f T M ~ Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))\Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)Γ(fTM~) からそれ自身への作用素を表す:
g ~ ( J ~ ( W 1 ) , W 2 ) = ( div g ( W 1 ) T ) ( div g ( W 2 ) T ) + g ( Δ ( W 1 ) T , ( W 2 ) T ) g ~ ( Δ ( W 1 ) , W 2 ) + g ~ ( A ( ( W 1 ) ) , W 2 ) + g ~ ( R ( W 1 ) , W 2 ) + h ( ( W 1 ) T , ) , h ( ( W 2 ) T , ) + 2 h ( , ( W 1 ) T ) , ( W 2 ) + 2 A ( W 1 ) , ( W 2 ) T ( W 1 , W 2 Γ ( f T M ~ ) ) g ~ J ~ W 1 , W 2 = div g W 1 T div g W 2 T + g Δ W 1 T , W 2 T g ~ Δ W 1 , W 2 + g ~ A W 1 , W 2 + g ~ R W 1 , W 2 + h W 1 T , , h W 2 T , + 2 h , W 1 T , W 2 + 2 A W 1 , W 2 T W 1 , W 2 Γ f T M ~ {:[ widetilde(g)(( widetilde(J))(W_(1)),W_(2))],[=-(div_(g)(W_(1))_(T))(div_(g)(W_(2))_(T))+g(Delta(W_(1))_(T),(W_(2))_(T))- widetilde(g)(Delta^(_|_)(W_(1))_(_|_),W_(2))],[+ widetilde(g)(A^(_|_)((W_(1))_(_|_)),W_(2))+ widetilde(g)(R(W_(1)),W_(2))+(:h((W_(1))_(T),*),h((W_(2))_(T),dots):)],[+2(:h(*,(W_(1))_(T)),grad^(_|_)(W_(2))_(_|_):)+2(:A_((W_(1))_(_|_)),grad(W_(2))_(T):)],[quad(W_(1),W_(2)inGamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M))))]:}\begin{aligned} & \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right) \\ = & -\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T}\right)\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}\right)+g\left(\Delta\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T},\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}\right)-\widetilde{g}\left(\Delta^{\perp}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{\perp}, \boldsymbol{W}_{2}\right) \\ & +\widetilde{g}\left(\mathcal{A}^{\perp}\left(\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right)+\widetilde{g}\left(\mathcal{R}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right)+\left\langle h\left(\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T}, \cdot\right), h\left(\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}, \ldots\right)\right\rangle \\ & +2\left\langle h\left(\cdot,\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T}\right), \nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{\perp}\right\rangle+2\left\langle A_{\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{\perp}}, \nabla\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}\right\rangle \\ & \quad\left(\boldsymbol{W}_{1}, \boldsymbol{W}_{2} \in \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)\right) \end{aligned}g~(J~(W1),W2)=(divg(W1)T)(divg(W2)T)+g(Δ(W1)T,(W2)T)g~(Δ(W1),W2)+g~(A((W1)),W2)+g~(R(W1),W2)+h((W1)T,),h((W2)T,)+2h(,(W1)T),(W2)+2A(W1),(W2)T(W1,W2Γ(fTM~))
証明 g := f g ~ , g t := f t g ~ g := f g ~ , g t := f t g ~ g:=f^(**) widetilde(g),g_(t):=f_(t)^(**) widetilde(g)g:=f^{*} \widetilde{g}, g_{t}:=f_{t}^{*} \widetilde{g}g:=fg~,gt:=ftg~ とおく. M M MMM の局所チャート ( U , φ = ( x 1 , , x n ) ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=(x_(1),dots,x_(n)))\left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right)(U,φ=(x1,,xn)) に関する g t g t g_(t)g_{t}gt の成分を ( g t ) i j g t i j (g_(t))_(ij)\left(g_{t}\right)_{i j}(gt)ij, 行列 ( ( g t ) . . ) g t . . ((g_(t))..)\left(\left(g_{t}\right) ..\right)((gt)..) の逆行列を ( g t ) g t (g_(t)^(∙))\left(g_{t}^{\bullet}\right)(gt) と表し, 行列 ( ( g t ) . . ) g t . . ((g_(t))..)\left(\left(g_{t}\right) ..\right)((gt)..) の第 ( i , j ) ( i , j ) (i,j)(i, j)(i,j) 余因子を ( G t ) i j G t i j (G_(t))_(ij)\left(G_{t}\right)_{i j}(Gt)ij と表す. また, ( V F ) t 0 ( t 0 ( ε , ε ) ) V F t 0 t 0 ( ε , ε ) (V_(F))_(t_(0))(t_(0)in(-epsi,epsi))\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{t_{0}}\left(t_{0} \in(-\varepsilon, \varepsilon)\right)(VF)t0(t0(ε,ε))
( ( V F ) t 0 ) p := d F ( p , t 0 ) ( ( t ) ( p , t 0 ) ) ( p M ) V F t 0 p := d F p , t 0 t p , t 0 ( p M ) ((V_(F))_(t_(0)))_(p):=dF_((p,t_(0)))(((del)/(del t))_((p,t_(0))))quad(p in M)\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{t_{0}}\right)_{p}:=d F_{\left(p, t_{0}\right)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{\left(p, t_{0}\right)}\right) \quad(p \in M)((VF)t0)p:=dF(p,t0)((t)(p,t0))(pM)
によって定義する. このとき,
d 2 d t 2 | t = 0 d V g t = d d t | t = 0 ( 1 2 det ( ( g t ) ) × j = 1 n | ( g t ) 11 d ( g t ) 1 j d t ( g t ) 1 n ( g t ) n 1 d ( g t ) n j d t ( g t ) n n | d x 1 d x n ) d 2 d t 2 t = 0 d V g t = d d t t = 0 1 2 det g t × j = 1 n g t 11 d g t 1 j d t g t 1 n g t n 1 d g t n j d t g t n n d x 1 d x n {:[(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)dV_(g_(t))],[=(d)/(dt)|_(t=0)((1)/(2sqrt(det((g_(t))dots))):}],[{: xxsum_(j=1)^(n)|[(g_(t))_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt),cdots,(g_(t))_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[(g_(t))_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt),cdots,(g_(t))_(nn)]|dx_(1)^^cdots^^dx_(n))]:}\begin{aligned} & \left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} d V_{g_{t}} \\ & =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right) \ldots\right)}}\right. \\ & \left.\times \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc} \left(g_{t}\right)_{11} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{1 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \left(g_{t}\right)_{n 1} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{n n} \end{array}\right| d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \end{aligned}d2dt2|t=0dVgt=ddt|t=0(12det((gt))×j=1n|(gt)11d(gt)1jdt(gt)1n(gt)n1d(gt)njdt(gt)nn|dx1dxn)
= 1 4 1 ( det ( g . . ) ) 3 = 1 4 1 ( det ( g . . ) ) 3 {:=-(1)/(4)(1)/((sqrt(det(g..)))^(3)):}\begin{aligned} & =-\frac{1}{4} \frac{1}{(\sqrt{\operatorname{det}(g . .)})^{3}} \end{aligned}=141(det(g..))3
+ 1 det ( g . . ) + 1 det ( g . . ) {:+(1)/(sqrt(det(g..))):}\begin{aligned} & +\frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \end{aligned}+1det(g..)
が示される. 定理 4.7.1の証明中の計算によれば,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目 ) = ( div g V T n g ~ ( H , V ) ) 2 d V g ) = div g V T n g ~ ( H , V ) 2 d V g )=-(div_(g)V_(T)-n( widetilde(g))(H,V))^(2)dV_(g))=-\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \widetilde{g}(H, \boldsymbol{V})\right)^{2} d V_{g})=(divgVTng~(H,V))2dVg
をえる. それゆえ, f f fff は極小はめ込み, つまり H = 0 H = 0 H=0H=\mathbf{0}H=0 なので,
(4.7.7) (式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目 ) = ( div g V T ) 2 d V g (4.7.7)  (式 (4.7.6) の最終辺の第  1  項目 )  = div g V T 2 d V g {:(4.7.7)" (式 (4.7.6) の最終辺の第 "1" 項目 ) "=-(div_(g)V_(T))^(2)dV_(g):}\begin{equation*} \text { (式 (4.7.6) の最終辺の第 } 1 \text { 項目 ) }=-\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2} d V_{g} \tag{4.7.7} \end{equation*}(4.7.7) (式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目 ) =(divgVT)2dVg
をえる。
次に, 式 (4.7.6) の最終辺の第 3 項目を計算しよう. ~ ~ widetilde(grad)\widetilde{\nabla}~ が捩れ0 の接続であ ることと R ~ R ~ widetilde(R)\widetilde{R}R~ の定義から,
d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 = d 2 d t 2 | t = 0 g ~ ( d f t ( x i ) , d f t ( x j ) ) = g ~ ( ( ~ t F ( ~ t F d F ( x i ) ) ) | t = 0 , d f ( x j ) ) + g ~ ( d f ( x i ) , ( ~ t F ( ~ t F d F ( x j ) ) ) | t = 0 ) d 2 g t i j d t 2 t = 0 = d 2 d t 2 t = 0 g ~ d f t x i , d f t x j = g ~ ~ t F ~ t F d F x i t = 0 , d f x j + g ~ d f x i , ~ t F ~ t F d F x j t = 0 {:[(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0) widetilde(g)(df_(t)((del)/(delx_(i))),df_(t)((del)/(delx_(j))))],[= widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(i)))))|_(t=0),df((del)/(delx_(j))))],[+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))),( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(j)))))|_(t=0))]:}\begin{aligned} & \left.\frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0}=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \widetilde{g}\left(d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ = & \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)\right)\right|_{t=0}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ & +\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right),\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right)\right|_{t=0}\right) \end{aligned}d2(gt)ijdt2|t=0=d2dt2|t=0g~(dft(xi),dft(xj))=g~((~tF(~tFdF(xi)))|t=0,df(xj))+g~(df(xi),(~tF(~tFdF(xj)))|t=0)
+ 2 g ~ ( ( ~ t F d F ( x i ) ) | t = 0 , ( ~ t F d F ( x j ) ) | t = 0 ) = g ~ ( ( ~ x i F ( ~ t F d F ( t ) ) ) | t = 0 , d f ( x j ) ) g ~ ( R ~ ( d f ( x i ) , V F ) V F , d f ( x j ) ) + g ~ ( d f ( x i ) , ( ~ x i F ( ~ t F d F ( t ) ) ) | t = 0 ) g ~ ( d f ( x i ) , R ~ ( d F ( x j ) , V F ) V F ) + 2 g ~ ( ~ x i F V F , ~ x j F V F ) + 2 g ~ ~ t F d F x i t = 0 , ~ t F d F x j t = 0 = g ~ ~ x i F ~ t F d F t t = 0 , d f x j g ~ R ~ d f x i , V F V F , d f x j + g ~ d f x i , ~ x i F ~ t F d F t t = 0 g ~ d f x i , R ~ d F x j , V F V F + 2 g ~ ~ x i F V F , ~ x j F V F {:[+2 widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(i))))|_(t=0),( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(j))))|_(t=0))],[= widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t))))|_(t=0),df((del)/(delx_(j))))],[- widetilde(g)(( widetilde(R))(df((del)/(delx_(i))),V_(F))V_(F),df((del)/(delx_(j))))],[+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))), quad( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t))))|_(t=0))],[- widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))),( widetilde(R))(dF((del)/(delx_(j))),V_(F))V_(F))],[+2 widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F), widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(F)V_(F))]:}\begin{aligned} & +2 \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)\right|_{t=0},\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right|_{t=0}\right) \\ = & \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\right|_{t=0}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ & -\widetilde{g}\left(\widetilde{R}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\ & +\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right),\left.\quad\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\right|_{t=0}\right) \\ & -\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \widetilde{R}\left(d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) \boldsymbol{V}_{F}\right) \\ & +2 \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, \widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right) \end{aligned}+2g~((~tFdF(xi))|t=0,(~tFdF(xj))|t=0)=g~((~xiF(~tFdF(t)))|t=0,df(xj))g~(R~(df(xi),VF)VF,df(xj))+g~(df(xi),(~xiF(~tFdF(t)))|t=0)g~(df(xi),R~(dF(xj),VF)VF)+2g~(~xiFVF,~xjFVF)
が導かれる. この式を用いて,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 3 項目)
= 1 2 det ( g . . ) i = 1 n j = 1 n d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 G i j d x 1 d x n = 1 2 i = 1 n j = 1 n d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 g i j d V g = i = 1 n j = 1 n g ~ ( ( ~ x i F 0 ( ~ t F d F ( t ) ) ) | t = 0 , d F ( x j ) ) g i j d V g i = 1 n j = 1 n g ~ ( R ~ ( d f ( x i ) , V F ) V F , d f ( x j ) ) g i j d V g + i = 1 n j = 1 n g ~ ( ~ x i F V F , ~ x j F V F ) g i j d V g = div g ( ( ( ~ t F d F ( t ) ) | t = 0 ) T ) d V g n g ~ ( H , ( ~ t F d F ( t ) ) | t = 0 ) d V g (4.7.8) + g ( R ( V F ) , V F ) d V g + ~ F V F 2 d V g = 1 2 det ( g . . ) i = 1 n j = 1 n d 2 g t i j d t 2 t = 0 G i j d x 1 d x n = 1 2 i = 1 n j = 1 n d 2 g t i j d t 2 t = 0 g i j d V g = i = 1 n j = 1 n g ~ ~ x i F 0 ~ t F d F t t = 0 , d F x j g i j d V g i = 1 n j = 1 n g ~ R ~ d f x i , V F V F , d f x j g i j d V g + i = 1 n j = 1 n g ~ ~ x i F V F , ~ x j F V F g i j d V g = div g ~ t F d F t t = 0 T d V g n g ~ H , ~ t F d F t t = 0 d V g (4.7.8) + g R V F , V F d V g + ~ F V F 2 d V g {:[=(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)G_(ij)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)],[=(1)/(2)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)g^(ij)dV_(g)],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n) widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F_(0))( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t))))|_(t=0),dF((del)/(delx_(j))))g^(ij)dV_(g)],[-sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n) widetilde(g)(( widetilde(R))(df((del)/(delx_(i))),V_(F))V_(F),df((del)/(delx_(j))))g^(ij)dV_(g)],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n) widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F), widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(F)V_(F))g^(ij)dV_(g)],[=div_(g)((( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t)))|_(t=0))_(T))dV_(g)-n widetilde(g)(H,( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t)))|_(t=0))dV_(g)],[(4.7.8)+g(R(V_(F)),V_(F))dV_(g)+|| widetilde(grad)^(F)V_(F)||^(2)dV_(g)]:}\begin{align*} = & \left.\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} G_{i j} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \\ = & \left.\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} g^{i j} d V_{g} \\ = & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F_{0}}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\right|_{t=0}, d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) g^{i j} d V_{g} \\ & -\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{g}\left(\widetilde{R}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) g^{i j} d V_{g} \\ & +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, \widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right) g^{i j} d V_{g} \\ = & \operatorname{div}{ }_{g}\left(\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right|_{t=0}\right)_{T}\right) d V_{g}-n \widetilde{g}\left(H,\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right|_{t=0}\right) d V_{g} \\ & +g\left(\mathcal{R}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d V_{g}+\left\|\widetilde{\nabla}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right\|^{2} d V_{g} \tag{4.7.8} \end{align*}=12det(g..)i=1nj=1nd2(gt)ijdt2|t=0Gijdx1dxn=12i=1nj=1nd2(gt)ijdt2|t=0gijdVg=i=1nj=1ng~((~xiF0(~tFdF(t)))|t=0,dF(xj))gijdVgi=1nj=1ng~(R~(df(xi),VF)VF,df(xj))gijdVg+i=1nj=1ng~(~xiFVF,~xjFVF)gijdVg=divg(((~tFdF(t))|t=0)T)dVgng~(H,(~tFdF(t))|t=0)dVg(4.7.8)+g(R(VF),VF)dVg+~FVF2dVg
が導かれる. この式の最終辺の最終項は, ガウスの公式とワインガルテンの公式を用いて, 次のように変形される:
~ F V F 2 = ( V F ) T 2 + A ( V F ) 2 + ( V F ) 2 + h ( ( V F ) T , ) 2 (4.7.9) 2 ( V F ) T , A ( V F ) + 2 h ( , ( V F ) T ) , ( V F ) ~ F V F 2 = V F T 2 + A V F 2 + V F 2 + h V F T , 2 (4.7.9) 2 V F T , A V F + 2 h , V F T , V F {:[|| widetilde(grad)^(F)V_(F)||^(2)=||grad(V_(F))_(T)||^(2)+||A_((V_(F))_(_|_))||^(2)+||grad^(_|_)(V_(F))_(_|_)||^(2)+||h((V_(F))_(T),*)||^(2)],[(4.7.9)-2(:grad(V_(F))_(T),A_((V_(F))_(_|_)):)+2(:h(*,(V_(F))_(T)),grad^(_|_)(V_(F))_(_|_):)]:}\begin{align*} \left\|\widetilde{\nabla}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right\|^{2}= & \left\|\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\|^{2}+\left\|A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\|^{2}+\left\|\nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\|^{2}+\left\|h\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \cdot\right)\right\|^{2} \\ & -2\left\langle\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\rangle+2\left\langle h\left(\cdot,\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right), \nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\rangle \tag{4.7.9} \end{align*}~FVF2=(VF)T2+A(VF)2+(VF)2+h((VF)T,)2(4.7.9)2(VF)T,A(VF)+2h(,(VF)T),(VF)
さらに,
( V F ) T 2 = i = 1 n g ( e i ( V F ) T , e i ( V F ) T ) = i = 1 n ( 1 2 e i ( e i ( g ( ( V F ) T , ( V F ) T ) ) g ( e i ( e i ( V F ) T ) , ( V F ) T ) ) (4.7.10) = 1 2 Δ g ( g ( ( V F ) T , ( V F ) T ) ) g ( Δ g ( V F ) T , ( V F ) T ) V F T 2 = i = 1 n g e i V F T , e i V F T = i = 1 n 1 2 e i e i g V F T , V F T g e i e i V F T , V F T (4.7.10) = 1 2 Δ g g V F T , V F T g Δ g V F T , V F T {:[||grad(V_(F))_(T)||^(2)=sum_(i=1)^(n)g(grad_(e_(i))(V_(F))_(T),grad_(e_(i))(V_(F))_(T))],[=sum_(i=1)^(n)((1)/(2)e_(i)(e_(i)(g((V_(F))_(T),(V_(F))_(T)))-g(grad_(e_(i))(grad_(e_(i))(V_(F))_(T)),(V_(F))_(T))):}],[(4.7.10)=(1)/(2)Delta_(g)(g((V_(F))_(T),(V_(F))_(T)))-g(Delta_(g)(V_(F))_(T),(V_(F))_(T))]:}\begin{align*} \left\|\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\|^{2} & =\sum_{i=1}^{n} g\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right) \\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{i}\left(\boldsymbol{e}_{i}\left(g\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)\right)-g\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right),\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)\right)\right. \\ & =\frac{1}{2} \Delta_{g}\left(g\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)\right)-g\left(\Delta_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right) \tag{4.7.10} \end{align*}(VF)T2=i=1ng(ei(VF)T,ei(VF)T)=i=1n(12ei(ei(g((VF)T,(VF)T))g(ei(ei(VF)T),(VF)T))(4.7.10)=12Δg(g((VF)T,(VF)T))g(Δg(VF)T,(VF)T)
が示され, 同様に,
(4.7.11) ( V F ) 2 = 1 2 Δ ( g ~ ( ( V F ) , ( V F ) ) ) g ( Δ ( V F ) , V F ) (4.7.11) V F 2 = 1 2 Δ g ~ V F , V F g Δ V F , V F {:(4.7.11)||grad^(_|_)(V_(F))_(_|_)||^(2)=(1)/(2)Delta^(_|_)(( widetilde(g))((V_(F))_(_|_),(V_(F))_(_|_)))-g(Delta^(_|_)(V_(F))_(_|_),V_(F)):}\begin{equation*} \left\|\nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\|^{2}=\frac{1}{2} \Delta^{\perp}\left(\widetilde{g}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right)\right)-g\left(\Delta^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}, \boldsymbol{V}_{F}\right) \tag{4.7.11} \end{equation*}(4.7.11)(VF)2=12Δ(g~((VF),(VF)))g(Δ(VF),VF)
が示される.
次に, 式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目を計算しよう。単純計算により,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目)
= 1 2 j 1 = 1 n j 2 = 1 n k 1 = 1 n k 2 = 1 n ( d ( g t ) k 1 j 1 d t | t = 0 ) ( d ( g t ) k 2 j 2 d t | t = 0 ) g k 1 k 2 g j 1 j 2 d V g (4.7.12) = 1 2 d ( g t ) . . d t | t = 0 2 d V g = 1 2 j 1 = 1 n j 2 = 1 n k 1 = 1 n k 2 = 1 n d g t k 1 j 1 d t t = 0 d g t k 2 j 2 d t t = 0 g k 1 k 2 g j 1 j 2 d V g (4.7.12) = 1 2 d g t . . d t t = 0 2 d V g {:[=-(1)/(2)sum_(j_(1)=1)^(n)sum_(j_(2)=1)^(n)sum_(k_(1)=1)^(n)sum_(k_(2)=1)^(n)((d(g_(t))_(k_(1)j_(1)))/(dt)|_(t=0))((d(g_(t))_(k_(2)j_(2)))/(dt)|_(t=0))g^(k_(1)k_(2))g^(j_(1)j_(2))dV_(g)],[(4.7.12)=-(1)/(2)||(d(g_(t))..)/(dt)|_(t=0)||^(2)dV_(g)]:}\begin{align*} & =-\frac{1}{2} \sum_{j_{1}=1}^{n} \sum_{j_{2}=1}^{n} \sum_{k_{1}=1}^{n} \sum_{k_{2}=1}^{n}\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{1} j_{1}}}{d t}\right|_{t=0}\right)\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{2} j_{2}}}{d t}\right|_{t=0}\right) g^{k_{1} k_{2}} g^{j_{1} j_{2}} d V_{g} \\ & =-\frac{1}{2}\left\|\left.\frac{d\left(g_{t}\right) . .}{d t}\right|_{t=0}\right\|^{2} d V_{g} \tag{4.7.12} \end{align*}=12j1=1nj2=1nk1=1nk2=1n(d(gt)k1j1dt|t=0)(d(gt)k2j2dt|t=0)gk1k2gj1j2dVg(4.7.12)=12d(gt)..dt|t=02dVg
をえる。一方, 式 ( 4.7 .4 ) , ( 4.7 .5 ) ( 4.7 .4 ) , ( 4.7 .5 ) (4.7.4),(4.7.5)(4.7 .4),(4.7 .5)(4.7.4),(4.7.5) から,
(4.7.13) d ( g t ) i j d t | t = 0 = g ~ ( x i ( V F ) T , x j ) + g ~ ( x j ( V F ) T , x i ) 2 g ( A ( V F ) x i , x j ) (4.7.13) d g t i j d t t = 0 = g ~ x i V F T , x j + g ~ x j V F T , x i 2 g A V F x i , x j {:[(4.7.13)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)= widetilde(g)(grad_((del)/(delx_(i)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(j)))+ widetilde(g)(grad_((del)/(delx_(j)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(i)))],[-2g(A_((V_(F))_(_|_))(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))]:}\begin{align*} \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0}= & \widetilde{g}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)+\widetilde{g}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right) \tag{4.7.13}\\ & -2 g\left(A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \end{align*}(4.7.13)d(gt)ijdt|t=0=g~(xi(VF)T,xj)+g~(xj(VF)T,xi)2g(A(VF)xi,xj)
が導かれる。式 (4.7.13) を式 (4.7.12) に代入して,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目)
(4.7.14) = 2 ( ( V F ) T 2 + A ( V F ) 2 2 ( V F ) T , A ( V F ) ) d V g (4.7.14) = 2 V F T 2 + A V F 2 2 V F T , A V F d V g {:(4.7.14)=-2(||grad(V_(F))_(T)||^(2)+||A_((V_(F))_(_|_))||^(2)-2(:grad(V_(F))_(T),A_((V_(F))_(_|_)):))dV_(g):}\begin{equation*} =-2\left(\left\|\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\|^{2}+\left\|A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\|^{2}-2\left\langle\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\rangle\right) d V_{g} \tag{4.7.14} \end{equation*}(4.7.14)=2((VF)T2+A(VF)22(VF)T,A(VF))dVg
をえる。式 (4.7.7)-(4.7.11), および式 (4.7.14) を式 (4.7.6) へ代入して, その 両辺を D D DDD 上で積分し, ガウスの発散定理(定理 3.12.1)を用いることにより,主張における第 2 変分公式が導かれる.
定理2.6.4における第 2 変分公式 (2.6.13) と比較してみよう. まず, 式 (2.6.13) の被積分関数の項 A ( V T ) 2 A V T 2 ||A(V_(T))||^(2)\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}A(VT)2 が, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) のどの項に相当する か説明することにする.
A ( V T ) 2 ( p ) = ( i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) e i ) e i ) ( j = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) e j ) e j ) = i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) e i ) 2 = i = 1 n h p ( ( V T ) p , e i ) 2 = h ( V T , ) , h ( V T , ) ( p ) A V T 2 ( p ) = i = 1 n A p V T p e i e i j = 1 n A p V T p e j e j = i = 1 n A p V T p e i 2 = i = 1 n h p V T p , e i 2 = h V T , , h V T , ( p ) {:[||A(V_(T))||^(2)(p)=(sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))e_(i))*(sum_(j=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(j))e_(j))],[=sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))^(2)=sum_(i=1)^(n)h_(p)((V_(T))_(p),e_(i))^(2)],[=(:h(V_(T),*),h(V_(T),*):)(p)]:}\begin{aligned} \left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}(p) & =\left(\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right) \boldsymbol{e}_{i}\right) \cdot\left(\sum_{j=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{j}\right) \boldsymbol{e}_{j}\right) \\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} h_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}, \boldsymbol{e}_{i}\right)^{2} \\ & =\left\langle h\left(\boldsymbol{V}_{T}, \cdot\right), h\left(\boldsymbol{V}_{T}, \cdot\right)\right\rangle(p) \end{aligned}A(VT)2(p)=(i=1n(Ap((VT)p)ei)ei)(j=1n(Ap((VT)p)ej)ej)=i=1n(Ap((VT)p)ei)2=i=1nhp((VT)p,ei)2=h(VT,),h(VT,)(p)
( ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n ((e_(1),dots,e_(n)):}\left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right.((e1,,en) ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) の正規直交基底)となるので, 項 A ( V T ) 2 A V T 2 ||A(V_(T))||^(2)\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}A(VT)2 は, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の項 h ( ( V F ) T , ) , h ( ( V F ) T , ) h V F T , , h V F T , (:h((V_(F))_(T),*),h((V_(F))_(T),*):)\left\langle h\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \cdot\right), h\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \cdot\right)\right\rangleh((VF)T,),h((VF)T,) に相当することがわかる.
次に, 式 (2.6.13)の被積分関数の項 V T 2 V T 2 ||gradV_(T)||^(2)\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}VT2 が, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) のどの項 に相当するか説明することにする。
V T 2 = 1 2 Δ ( V T 2 ) ( Δ V T ) V T V T 2 = 1 2 Δ V T 2 Δ V T V T ||gradV_(T)||^(2)=(1)/(2)Delta(||V_(T)||^(2))-(DeltaV_(T))*V_(T)\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}=\frac{1}{2} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}\right)-\left(\Delta \boldsymbol{V}_{T}\right) \cdot \boldsymbol{V}_{T}VT2=12Δ(VT2)(ΔVT)VT
となり, S S SSS が閉超曲面の場合 S Δ ( V T 2 ) d V g = 0 S Δ V T 2 d V g = 0 int_(S)Delta(||V_(T)||^(2))dV_(g)=0\int_{S} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}\right) d V_{g}=0SΔ(VT2)dVg=0 となるので, 項 V T 2 V T 2 ||gradV_(T)||^(2)\left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}VT2 は, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の項 g ( Δ ( V F ) T , ( V F ) T ) g Δ V F T , V F T g(Delta(V_(F))_(T),(V_(F))_(T))g\left(\Delta\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)g(Δ(VF)T,(VF)T) に相当することがわかる.
式 (2.6.13) の被積分関数の項 2 ( V N ) Tr ( A V T ) 2 ( V N ) Tr A V T 2(V*N)Tr(A@gradV_(T))2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right)2(VN)Tr(AVT) が, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の 項 2 A ( V F ) , ( V F ) T 2 A V F , V F T 2(:A_((V_(F))_(_|_)),grad(V_(F))_(T):)2\left\langle A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}, \nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\rangle2A(VF),(VF)T に相当することは明らかである.
次に, 式 (2.6.13) の被積分関数の項 2 grad g ( V N ) A ( V T ) 2 grad g ( V N ) A V T 2grad_(g)(V*N)*A(V_(T))2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)2gradg(VN)A(VT) が, g ~ ( J ~ ( V F ) g ~ J ~ V F widetilde(g)(( tilde(J))(V_(F)):}\widetilde{g}\left(\tilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)\right.g~(J~(VF), V F ) V F {:V_(F))\left.\boldsymbol{V}_{F}\right)VF) のどの項に相当するのかをみよう.
grad g ( V N ) A ( V T ) ) p = ( d ( V N ) ( A ( V T ) ) ) p grad g ( V N ) A V T p = d ( V N ) A V T p grad_(g)(V*N)*A(V_(T)))_(p)=(d(V*N)(A(V_(T))))_(p)\left.\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right)_{p}=\left(d(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right)\right)_{p}gradg(VN)A(VT))p=(d(VN)(A(VT)))p
= ( A ( V T ) ( V N ) ) p = ( ( A ( V T ) V ) N ) p = ( i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) e i ) e i V ) N p = i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) e i ) ( ( e i V ) N p ) = i = 1 n h p ( ( V T ) p , e i ) ( ( e i V ) N p ) = A V T V N p = A V T V N p = i = 1 n A p V T p e i e i V N p = i = 1 n A p V T p e i e i V N p = i = 1 n h p V T p , e i e i V N p {:[=(A(V_(T))(V_(_|_)*N))_(p)=((grad_(A(V_(T)))^(_|_)V_(_|_))*N)_(p)],[=(grad_(sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N_(p)=sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))((grad_(e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N_(p))],[=sum_(i=1)^(n)h_(p)((V_(T))_(p),e_(i))((grad_(e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N_(p))]:}\begin{aligned} & =\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\left(\boldsymbol{V}_{\perp} \cdot \boldsymbol{N}\right)\right)_{p}=\left(\left(\nabla_{A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}\right)_{p} \\ & =\left(\nabla_{\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right) \boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right)\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}\right) \\ & =\sum_{i=1}^{n} h_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}, \boldsymbol{e}_{i}\right)\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}\right) \end{aligned}=(A(VT)(VN))p=((A(VT)V)N)p=(i=1n(Ap((VT)p)ei)eiV)Np=i=1n(Ap((VT)p)ei)((eiV)Np)=i=1nhp((VT)p,ei)((eiV)Np)
( e 1 , , e n ) e 1 , , e n ((e_(1),dots,e_(n))(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)(e1,,en) ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) の正規直交基底)となるので, 項 2 grad g ( V N ) 2 grad g ( V N ) 2grad_(g)(V*N)2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})2gradg(VN). A ( V T ) A V T A(V_(T))A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)A(VT) は, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の項 2 h ( , ( V F ) T ) , ( V F ) 2 h , V F T , V F 2(:h(*,(V_(F))_(T)),grad^(_|_)(V_(F))_(_|_):)2\left\langle h\left(\cdot,\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right), \nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\rangle2h(,(VF)T),(VF) に相当することが わかる。
式 (2.6.13)の被積分関数の項 ( V N ) 2 A 2 ( V N ) 2 A 2 -(V*N)^(2)||A||^(2)-(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2}(VN)2A2 が, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の項 g ~ ( A ( ( V F ) ) , V F ) g ~ A V F , V F widetilde(g)(A^(_|_)((V_(F))_(_|_)),V_(F))\widetilde{g}\left(\mathcal{A}^{\perp}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(A((VF)),VF) に相当することは明らかである.
次に, 式 (2.6.13)の被積分関数の項 grad g ( V N ) 2 grad g ( V N ) 2 ||grad_(g)(V*N)||^(2)\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}gradg(VN)2 が, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の どの項に相当するのかをみよう.
grad g ( V N ) 2 ( p ) = i = 1 n ( ( grad g ( V N ) ) p e i ) 2 = i = 1 n ( e i ( V N ) ) 2 = i = 1 n ( ( e i V ) N ) 2 = V 2 = 1 2 Δ ( V 2 ) ( Δ V ) V grad g ( V N ) 2 ( p ) = i = 1 n grad g ( V N ) p e i 2 = i = 1 n e i V N 2 = i = 1 n e i V N 2 = V 2 = 1 2 Δ V 2 Δ V V {:[||grad_(g)(V*N)||^(2)(p)=sum_(i=1)^(n)((grad_(g)(V*N))_(p)*e_(i))^(2)=sum_(i=1)^(n)(e_(i)(V_(_|_)*N))^(2)],[=sum_(i=1)^(n)((grad_(e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N)^(2)=||grad^(_|_)V_(_|_)||^(2)],[=(1)/(2)Delta(||V_(_|_)||^(2))-(Delta^(_|_)V_(_|_))*V_(_|_)]:}\begin{aligned} \left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}(p) & =\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right)_{p} \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\boldsymbol{e}_{i}\left(\boldsymbol{V}_{\perp} \cdot \boldsymbol{N}\right)\right)^{2} \\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}\right)^{2}=\left\|\nabla^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right\|^{2} \\ & =\frac{1}{2} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{\perp}\right\|^{2}\right)-\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{V}_{\perp} \end{aligned}gradg(VN)2(p)=i=1n((gradg(VN))pei)2=i=1n(ei(VN))2=i=1n((eiV)N)2=V2=12Δ(V2)(ΔV)V
( ( e 1 , , e n ) e 1 , , e n ((e_(1),dots,e_(n)):}\left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right.((e1,,en) ( T p S , g p ) T p S , g p (T_(p)S,g_(p))\left(T_{p} S, g_{p}\right)(TpS,gp) の正規直交基底)となり, S S SSS が閉超曲面の場合, S Δ ( V 2 ) d V g = 0 S Δ V 2 d V g = 0 int_(S)Delta(||V_(_|_)||^(2))dV_(g)=0\int_{S} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{\perp}\right\|^{2}\right) d V_{g}=0SΔ(V2)dVg=0 となるので, 項 grad g ( V N ) 2 grad g ( V N ) 2 ||grad_(g)(V*N)||^(2)\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}gradg(VN)2 は, g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) g ~ J ~ V F , V F widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))\widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(J~(VF),VF) の 項 g ~ ( Δ ( V F ) , V F ) g ~ Δ V F , V F - widetilde(g)(Delta^(_|_)(V_(F))_(_|_),V_(F))-\widetilde{g}\left(\Delta^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}, \boldsymbol{V}_{F}\right)g~(Δ(VF),VF) に相当することがわかる.
このように, 定理 4.7.4における第 2 変分公式は, 定理 2.6 .4 における第 2 変分公式の一般化であることがわかる.
さらに, F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) C C C^(oo)C^{\infty}C 法変形でもある場合に, 次のサイモンズの 定理(Simons' theorem)が導かれる。
定理 4.7.5(サイモンズの定理) f Imm ( D , M ~ ) f Imm ( D , M ~ ) f inImm^(oo)(D, widetilde(M))f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})fImm(D,M~) Vol Vol Vol\mathrm{Vol}Vol の臨界点とす る. このとき, f f fff の境界固定の C C C^(oo)C^{\infty}C 級法変形 F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) に対し,
( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) = D g ~ ( J ( ( V F ) ) , V F ) d v f g ~ ( H Vol ) f V F , V F = d 2 d t 2 t = 0 Vol f t = D g ~ J V F , V F d v f g ~ (H Vol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D) widetilde(g)(J((V_(F))_(_|_)),V_(F))dv_(f^(**) widetilde(g))(H \operatorname{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D} \widetilde{g}\left(\mathcal{J}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d v_{f^{*} \widetilde{g}}(HVol)f(VF,VF)=d2dt2|t=0Vol(ft)=Dg~(J((VF)),VF)dvfg~
が成り立つ. ここで J J J\mathcal{J}J は, J := Δ + R + A J := Δ + R + A J:=-Delta^(_|_)+R^(_|_)+A^(_|_)\mathcal{J}:=-\Delta^{\perp}+\mathcal{R}^{\perp}+\mathcal{A}^{\perp}J:=Δ+R+A にって定義される

erator)とよばれる). 特に M M MMM C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体であるとき, D D DDD として M M MMM を とることができ, f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 級法変形 F = { f t } t ( ε , ε ) F = f t t ( ε , ε ) F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi))F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)}F={ft}t(ε,ε) に対し,
( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) = M g ~ ( J ( ( V F ) ) , V F ) d v f g ~ ( H Vol ) f V F , V F = d 2 d t 2 t = 0 Vol f t = M g ~ J V F , V F d v f g ~ (HVol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(M) widetilde(g)(J((V_(F))_(_|_)),V_(F))dv_(f^(**) tilde(g))(H \mathrm{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{M} \widetilde{g}\left(\mathcal{J}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d v_{f^{*} \tilde{g}}(HVol)f(VF,VF)=d2dt2|t=0Vol(ft)=Mg~(J((VF)),VF)dvfg~
が成り立つ.
注意 f f fff が極小はめ込み, つまり, Vol の臨界点であるとき, Volの f f fff におけるへ ッシアン
H Vol f : Γ ( f T M ~ ) × Γ ( f T M ~ ) R H Vol f : Γ f T M ~ × Γ f T M ~ R HVol_(f):Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))xxGamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))rarrRH \operatorname{Vol}_{f}: \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) \times \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) \rightarrow \mathbb{R}HVolf:Γ(fTM~)×Γ(fTM~)R
の指数は, 極小はめ込み f f f\boldsymbol{f}f の指数(the index of the minimal immersion f f f\boldsymbol{f}f ) とよばれる. ここで H Vol f H Vol f HVol_(f)H \mathrm{Vol}_{f}HVolf の指数は, その Γ ( T M ) × Γ ( T M ) Γ T M × Γ T M Gamma^(oo)(T^(_|_)M)xxGamma^(oo)(T^(_|_)M)\Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right) \times \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right)Γ(TM)×Γ(TM) への制限の 指数と一致し, 必ず有限値をとる。 f f fff が真に体積極小であるためには, その指数が 0 でなければならない。極小はめ込み f f fff の指数が 0 であるとき, f f fff は安定(stable) であるという(図 4.7.1, 4.7.2を参照)サイモンズの定理によれば, 極小はめ込み f f fff の指数を求めるには, ヤコビ作用素 J J J\mathcal{J}J の負の固有値の重複度の和を求めればよい ことがわかる。極小はめ込みの指数・安定性の研究は, 多くの微分幾何学者により 研究されている. 例えば, 球面, 複素グラスマン多様体をはじめとするコンパクト 型対称空間とよばれるリーマン多様体上のある種のリー群作用の軌道として与えら れる極小部分多様体(正確には,その包含写像)の指数を計算するための公式が, コンパクトリー群の複素既約表現に関する理論を用いて与えらている。さらに, そ の公式を用いて, そのような軌道として与えられる極小部分多様体の安定性, およ び具体的な指数の値が調べられている([Ik], [Ki], [KT], [Ta], [Oh1], [Oh2], [Ko3], [ K o 4 ] [ K o 4 ] [Ko4][K o 4][Ko4] 等を参照).
この節の終わりに, Vol Vol -Vol-\mathrm{Vol}Vol の勾配流について述べておくことにしよう. 以下, M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 閉多様体とする. Vol : Imm ( M , M ~ ) R Imm ( M , M ~ ) R Imm^(oo)(M, widetilde(M))rarrR\operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}) \rightarrow \mathbb{R}Imm(M,M~)R の勾配べ クトル場 gradVol gradVol gradVol\operatorname{gradVol}gradVol (これは Imm ( M , M ~ ) Imm ( M , M ~ ) Imm^(oo)(M, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M})Imm(M,M~) 上のベクトル場)が
d Vol f ( X ) = ( g L 2 ) f ( ( gradVol ) f , X ) ( f Imm ( M , M ~ ) , X T f Imm ( M , M ~ ) ) d Vol f ( X ) = g L 2 f ( gradVol ) f , X f Imm ( M , M ~ ) , X T f Imm ( M , M ~ ) {:[dVol_(f)(X)=(g_(L^(2)))_(f)((gradVol)_(f),X)],[(AA f inImm^(oo)(M,( widetilde(M))),quad AA X inT_(f)Imm^(oo)(M,( widetilde(M))))]:}\begin{gathered} d \operatorname{Vol}_{f}(\boldsymbol{X})=\left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f}\left((\operatorname{gradVol})_{f}, \boldsymbol{X}\right) \\ \left(\forall f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}), \quad \forall \boldsymbol{X} \in T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M})\right) \end{gathered}dVolf(X)=(gL2)f((gradVol)f,X)(fImm(M,M~),XTfImm(M,M~))
によって定義され(この存在は明らかではない), これを用いて, Vol Vol -Vol-\operatorname{Vol}Vol の勾配流(gradient flow)が f t t = ( grad Vol ) f t f t t = ( grad Vol ) f t (delf_(t))/(del t)=-(gradVol)_(f_(t))\frac{\partial f_{t}}{\partial t}=-(\mathrm{grad} \mathrm{Vol})_{f_{t}}ftt=(gradVol)ft を満たす Imm ( M , M ~ ) Imm ( M , M ~ ) Imm^(oo)(M, widetilde(M))\operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M})Imm(M,M~) 内の
図 4.7.1極小はめ込みの安定性と平均曲率流
f 1 : f 1 : f_(1):f_{1}:f1: 安定な極小はめ込み
f 2 f 2 f_(2)f_{2}f2 : 安定でない極小はめ込み
図 4.7.2 安定な極小はめ込みと安定でない極小はめ込みの例
C C C^(oo)C^{\infty}C 曲線 t f t t f t t|->f_(t)t \mapsto f_{t}tft (つまり, C C C^(oo)C^{\infty}C 級はめ込み写像の C C C^(oo)C^{\infty}C 級族 { f t } t f t t {f_(t)}_(t))\left\{f_{t}\right\}_{t} ){ft}t たちを流線としてもつ流れとして定義される。実は, ( gradVol ) f t ( gradVol ) f t (gradVol)_(f_(t))(\operatorname{gradVol})_{f_{t}}(gradVol)ft f t f t f_(t)f_{t}ft の平均曲率べ クトル場 H t H t H_(t)H_{t}Ht ( n ) ( n ) (-n)(-n)(n) 倍と一致することが示され, 上述の定義式は f t t = n H t f t t = n H t (delf_(t))/(del t)=nH_(t)\frac{\partial f_{t}}{\partial t}=n H_{t}ftt=nHt と書き直すことができる。つまりこの流れは, 各時刻 t t ttt にいて, f t ( M ) f t ( M ) f_(t)(M)f_{t}(M)ft(M) 上 の各点 f t ( p ) f t ( p ) f_(t)(p)f_{t}(p)ft(p) n ( H t ) p n H t p n(H_(t))_(p)n\left(H_{t}\right)_{p}n(Ht)p 方向へ流れる流れである. この事実から, この勾配流 は平均曲率流(mean curvature flow)とよばれる(図 4.7.1 を参照)。それ ゆえ, f Imm ( M , M ~ ) f Imm ( M , M ~ ) f inImm^(oo)(M, widetilde(M))f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M})fImm(M,M~) を発する平均曲率流が有限時間で特異点を生じずに 無限時間まで存在する場合,無限時間において Vol の臨界点である極小はめ 达みに収束することが期待される。有限時間で特異点を生じてしまう場合は, その特異点の構造を分析した上で, その寸前で適切な手術をして, 再び平均曲率流で流す。再び有限時間で特異点を生じてしまう場合は, その寸前で適切な
手術をして, 再び平均曲率流で流す。この手術を有限回繰り返すことにより,無限時間まで存在する平均曲率流に辿り着き, 無限時間において, 極小はめ込 みを発見することができることが期待される。このように、極小はめ込みの発見において, 平均曲率流(および手術付き平均曲率流)は強力な道具となる.平均曲率流を微分幾何学の視点から本格的に学びたい人は, [ K o 7 ] [ K o 7 ] [Ko7][K o 7][Ko7] を読むこと を打勧めする。
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CHAPTER  CHAPTER  ¯ bar(" CHAPTER ")\overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER 
微分幾何学における ガウス・ボンネの定理
この章の前半部では, はじめに, 位相空間の特異コホモロジー群, CW 分割可能な位相空間の CW コホモロジー群, および, 多様体のド・ラームコホ モロジー群を定義する。次に,“閉多様体のド・ラームコホモロジー群がその 特異コホモロジー群と同型になること”を主張するド・ラームの定理を証明す る. 後半部ではまず,閉多様体上のモース関数の臨界点の指数の情報から, そ の閉多様体とホモトピー同値な CW 複体を構成できることを主張する, モー スの基本定理の厳密な証明を与える。さらにこの定理から、その閉多様体上の モース関数の偶数指数の臨界点の個数から奇数指数の臨界点の個数を引いた倡 が, その閉多様体のオイラー標数に等しくなるという事実を導く. 次に, 第 2 章で述べた閉曲面に対するガウス・ボンネの定理(閉曲面のオイラー標数の積分表示公式)に相当する事実が, より一般に, ユークリッド空間内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対しても成り立つことを証明する。この証明は,外の ユークリッド空間の各単位ベクトルに対する高さ関数たちに上述のモースの基本定理から導かれる事実を適用し,ガウス写像の微分を計算することにより遂行される。さらに, 球面内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ ボンネ型定理を証明する。この証明は, 球面の各点からの 2 乗距離関数に上述のモースの基本定理から導かれる事実を適用し,法指数写像の微分を計算す ることにより遂行される.

5.1 特異コホモロジー群, CW CW CW\mathrm{CW}CW コホモロジー群, ド・ラーム コホモロジー群

この節において, まず, ホモロジー代数学の範疇で抽象的に定義されるチ エイン複体, コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義されるホモロジ
一群, コホモロジー群について説明する。次に,一般の位相空間に対して定義 される特異チェイン複体, 特異コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義される特異ホモロジー群, 特異コホモロジー群について説明する. また, C C CCC性と W W WWW 性とよばれる 2 つの性質を満たす胞体分割可能な位相空間に対して定義される CWチェイン複体, CW CW CW\mathrm{CW}CW コチェイン複体, さらに, それらに付随し て定義される CW ホモロジー群, CW コホモロジー群について説明する。さ らに, 閉多様体に対して定義されるド・ラームコチェイン複体, それに付随し て定義されるド・ラームコホモロジー群について説明する.
はじめに, ホモロジー代数学の範疇で抽象的に定義されるチェイン複体, コ チェイン複体, さらに, それらに付随して定義されるホモロジー群, コホモロ ジー群について説明する。 F F F\mathbb{F}F を環とする。. F F F\mathbb{F}F 加群間の F F F\mathbb{F}F 準同型写像の系列
C : k + 1 C k k C k 1 k 1 3 C 2 2 C 1 1 C 0 0 { 0 } C : k + 1 C k k C k 1 k 1 3 C 2 2 C 1 1 C 0 0 { 0 } C:cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)rarr"del_(k)"C_(k-1)rarr"del_(k-1)"cdotsrarr"del_(3)"C_(2)rarr"del_(2)"C_(1)rarr"del_(1)"C_(0)rarr"0"{0}\mathcal{C}: \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k} \xrightarrow{\partial_{k}} C_{k-1} \xrightarrow{\partial_{k-1}} \cdots \xrightarrow{\partial_{3}} C_{2} \xrightarrow{\partial_{2}} C_{1} \xrightarrow{\partial_{1}} C_{0} \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\}C:k+1CkkCk1k13C22C11C00{0}
が, k 1 k = 0 k N k 1 k = 0 k N del_(k-1)@del_(k)=0(k inN)\partial_{k-1} \circ \partial_{k}=0 ( k \in \mathbb{N} )k1k=0kN を満たすとき, この系列 C C C\mathcal{C}C をチェイン複体 (chain complex) という.
Z k ( C ) := { c C k k ( c ) = 0 } , B k ( C ) := { k + 1 ( c ) c C k + 1 } Z k ( C ) := c C k k ( c ) = 0 , B k ( C ) := k + 1 ( c ) c C k + 1 Z_(k)(C):={c inC_(k)∣del_(k)(c)=0},quadB_(k)(C):={del_(k+1)(c)∣c inC_(k+1)}Z_{k}(\mathcal{C}):=\left\{c \in C_{k} \mid \partial_{k}(c)=0\right\}, \quad B_{k}(\mathcal{C}):=\left\{\partial_{k+1}(c) \mid c \in C_{k+1}\right\}Zk(C):={cCkk(c)=0},Bk(C):={k+1(c)cCk+1}
とおく. C k C k C_(k)C_{k}Ck k k k\boldsymbol{k}k 次チェイン群( k k k-\boldsymbol{k}-k chain group)とよばれ, その各元は k k k\boldsymbol{k}k

k = 0 ( k N ) k = 0 ( k N ) del_(k)=0(k inN)\partial_{k}=0(k \in \mathbb{N})k=0(kN) が成り立つので, B k ( C ) B k ( C ) B_(k)(C)B_{k}(\mathcal{C})Bk(C) Z k ( C ) Z k ( C ) Z_(k)(C)Z_{k}(\mathcal{C})Zk(C) の部分 F F F\mathbb{F}F 加群であること が示され, 商 F F F\mathbb{F}F 加群 Z k ( C ) / B k ( C ) Z k ( C ) / B k ( C ) Z_(k)(C)//B_(k)(C)Z_{k}(\mathcal{C}) / B_{k}(\mathcal{C})Zk(C)/Bk(C) は, チェイン複体 C C C\mathcal{C}C k k k\boldsymbol{k}k 次ホモロジー群 (k-th homology group) とよばれ, H k ( C ) H k ( C ) H_(k)(C)H_{k}(\mathcal{C})Hk(C) と表される.
同様に, F F F\mathbb{F}F 加群間の F F F\mathbb{F}F 準同型写像の系列
C ^ : { 0 } 0 C 0 δ 0 C 1 δ 1 C 2 δ 2 k 1 C k δ k C k + 1 δ k + 1 C ^ : { 0 } 0 C 0 δ 0 C 1 δ 1 C 2 δ 2 k 1 C k δ k C k + 1 δ k + 1 widehat(C):{0}rarr"0"C^(0)rarr"delta_(0)"C^(1)rarr"delta_(1)"C^(2)rarr"delta_(2)"cdotsrarr"del_(k-1)"C^(k)rarr"delta_(k)"C^(k+1)rarr"delta_(k+1)"cdots\widehat{\mathcal{C}}:\{\mathbf{0}\} \xrightarrow{0} C^{0} \xrightarrow{\delta_{0}} C^{1} \xrightarrow{\delta_{1}} C^{2} \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \xrightarrow{\partial_{k-1}} C^{k} \xrightarrow{\delta_{k}} C^{k+1} \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdotsC^:{0}0C0δ0C1δ1C2δ2k1CkδkCk+1δk+1
が, δ k δ k 1 = 0 k N δ k δ k 1 = 0 k N delta_(k)@delta_(k-1)=0(k inN)\delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0 ( k \in \mathbb{N} )δkδk1=0kN を満たすとき, この系列 C ^ C ^ widehat(C)\widehat{\mathcal{C}}C^ をコチェイン複体 (cochain complex) という.
Z k ( C ^ ) := { ρ C k δ k ( ρ ) = 0 } , B k ( C ^ ) := { δ k 1 ( ρ ) ρ C ^ k 1 } Z k ( C ^ ) := ρ C k δ k ( ρ ) = 0 , B k ( C ^ ) := δ k 1 ( ρ ) ρ C ^ k 1 Z^(k)( widehat(C)):={rho inC^(k)∣delta_(k)(rho)=0},quadB^(k)( widehat(C)):={delta_(k-1)(rho)∣rho in widehat(C)^(k-1)}Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}}):=\left\{\rho \in C^{k} \mid \delta_{k}(\rho)=0\right\}, \quad B^{k}(\widehat{\mathcal{C}}):=\left\{\delta_{k-1}(\rho) \mid \rho \in \widehat{C}^{k-1}\right\}Zk(C^):={ρCkδk(ρ)=0},Bk(C^):={δk1(ρ)ρC^k1}
とおく. C k C k C^(k)C^{k}Ck k k k\boldsymbol{k}k 次コチェイン群(k-cochain group)とよばれ, その各元
k k k\boldsymbol{k}k コチェイン( k k k\boldsymbol{k}k-cochain)とよばれる。また, Z k ( C ^ ) Z k ( C ^ ) Z^(k)( widehat(C))Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}})Zk(C^) の各元は k k k\boldsymbol{k}k 余輪体

よばれる. δ k δ k 1 = 0 ( k N ) δ k δ k 1 = 0 ( k N ) delta_(k)@delta_(k-1)=0(k inN)\delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0(k \in \mathbb{N})δkδk1=0(kN) が成り立つので, B k ( C ^ ) B k ( C ^ ) B^(k)( widehat(C))B^{k}(\widehat{\mathcal{C}})Bk(C^) Z k ( C ^ ) Z k ( C ^ ) Z^(k)( widehat(C))Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}})Zk(C^) の部分 F F F\mathbb{F}F加群であることが示され, 商 F F F\mathbb{F}F 加群 Z k ( C ^ ) / B k ( C ^ ) Z k ( C ^ ) / B k ( C ^ ) Z^(k)( widehat(C))//B^(k)( widehat(C))Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) / B^{k}(\widehat{\mathcal{C}})Zk(C^)/Bk(C^) は, コチエイン複体 C ^ C ^ widehat(C)\widehat{\mathcal{C}}C^ k k k\boldsymbol{k}k 次コホモロジー群(k-th cohomology group)とよばれ, H k ( C ^ ) H k ( C ^ ) H^(k)( widehat(C))H^{k}(\widehat{\mathcal{C}})Hk(C^) と表さ れる。
次に, 位相空間の特異ホモロジー群・特異コホモロジー群を定義しよう. X X XXX を位相空間とし,花を環とする。
Δ k := { ( x 0 , , x k ) R k + 1 i = 1 k + 1 x i = 1 , x i 0 ( i = 1 , , k + 1 ) } Δ k := x 0 , , x k R k + 1 i = 1 k + 1 x i = 1 , x i 0 ( i = 1 , , k + 1 ) Delta^(k):={(x_(0),dots,x_(k))inR^(k+1)∣sum_(i=1)^(k+1)x_(i)=1,x_(i) >= 0quad(i=1,dots,k+1)}\Delta^{k}:=\left\{\left(x_{0}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k+1} \mid \sum_{i=1}^{k+1} x_{i}=1, x_{i} \geq 0 \quad(i=1, \ldots, k+1)\right\}Δk:={(x0,,xk)Rk+1i=1k+1xi=1,xi0(i=1,,k+1)}
とおく. これを標準 k k k\boldsymbol{k}k 単体(standard k k k\boldsymbol{k}k-simplex)といい, k k /_\^(k)\triangle^{k}k から X X XへX へX の連続写像 σ σ sigma\sigmaσ を,Xにおける特異 k k k\boldsymbol{k}k 単体(singular k k k\boldsymbol{k}k-simplex)という.特異 k k kkk 単体の形式的有限和 c := i = 1 r a i σ i c := i = 1 r a i σ i c:=sum_(i=1)^(r)a_(i)sigma_(i)c:=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \sigma_{i}c:=i=1raiσi ( σ i : X σ i : X sigma_(i):X\sigma_{i}: Xσi:X における特異 k k kkk 単体, a i a i a_(i)ina_{i} \inai F F F\mathbb{F}F ) を一般に, X X XXX における F F F\mathbb{F}F 係数の特異 k k kkk チェイン(singular k k kkk-chain of F F F\mathbb{F}F-coefficient)という。 X X XXX における F F F\mathbb{F}F 係数の特異 k k kkk チェインの全体がなす自由加群を C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) と表し, X X XXX F F F\mathbb{F}F 係数 k k k\boldsymbol{k}k 次特異チェイン群( k th k th k-th\boldsymbol{k}-\mathrm{th}kth singular chain group of F F F\mathbb{F}F-coefficient) という. ε i k : k 1 k ε i k : k 1 k epsi_(i)^(k):/_\_(k-1)rarr/_\_(k)\varepsilon_{i}^{k}: \triangle_{k-1} \rightarrow \triangle_{k}εik:k1k
ε i k ( x 0 , x 1 , , x k 1 ) := ( x 0 , x 1 , , x i 1 , 0 , x i , , x k 1 ) ( ( x 0 , x 1 , , x k 1 ) k 1 ) ε i k x 0 , x 1 , , x k 1 := x 0 , x 1 , , x i 1 , 0 , x i , , x k 1 x 0 , x 1 , , x k 1 k 1 {:[epsi_(i)^(k)(x_(0),x_(1),dots,x_(k-1)):=(x_(0),x_(1),dots,x_(i-1),0,x_(i),dots,x_(k-1))],[((x_(0),x_(1),dots,x_(k-1))in/_\_(k-1))]:}\begin{array}{r} \varepsilon_{i}^{k}\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right):=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i}, \ldots, x_{k-1}\right) \\ \left(\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right) \in \triangle_{k-1}\right) \end{array}εik(x0,x1,,xk1):=(x0,x1,,xi1,0,xi,,xk1)((x0,x1,,xk1)k1)
によって定義し, 特異 k k kkk 単体 σ σ sigma\sigmaσ に対し, 特異 ( k 1 ) ( k 1 ) (k-1)(k-1)(k1) 単体 k ( σ ) k ( σ ) del_(k)(sigma)\partial_{k}(\sigma)k(σ)
k ( σ ) := i = 0 k ( 1 ) i ( σ ε i k ) k ( σ ) := i = 0 k ( 1 ) i σ ε i k del_(k)(sigma):=sum_(i=0)^(k)(-1)^(i)(sigma@epsi_(i)^(k))\partial_{k}(\sigma):=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}\left(\sigma \circ \varepsilon_{i}^{k}\right)k(σ):=i=0k(1)i(σεik)
により定義する(図 5.1.1 を参照)。これを σ σ sigma\sigmaσ の境界(the boundary of σ σ sigma\sigmaσ ) という. F F F\mathbb{F}F 準同型写像 k : C k ( X , F ) C k 1 ( X , F ) k : C k ( X , F ) C k 1 ( X , F ) del_(k):C_(k)(X,F)rarrC_(k-1)(X,F)\partial_{k}: C_{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k-1}(X, \mathbb{F})k:Ck(X,F)Ck1(X,F)
k ( c ) := i = 1 r a i k ( σ i ) ( c = i = 1 r a i σ i C k ( X , F ) ) k ( c ) := i = 1 r a i k σ i c = i = 1 r a i σ i C k ( X , F ) del_(k)(c):=sum_(i=1)^(r)a_(i)del_(k)(sigma_(i))quad(c=sum_(i=1)^(r)a_(i)sigma_(i)inC_(k)(X,F))\partial_{k}(c):=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \partial_{k}\left(\sigma_{i}\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \sigma_{i} \in C_{k}(X, \mathbb{F})\right)k(c):=i=1raik(σi)(c=i=1raiσiCk(X,F))
図 5.1.1特異チェインとその境界
によって定義する。この F F F\mathbb{F}F 準同型写像 k k del_(k)\partial_{k}k を境界作用素(boundary operator)という.このとき容易に, k 1 k = 0 k 1 k = 0 del_(k-1)@del_(k)=0\partial_{k-1} \circ \partial_{k}=0k1k=0 が示され,それゆえ、
k + 1 C k ( X , F ) k C k 1 ( X , F ) k 1 3 C 2 ( X , F ) 2 C 1 ( X , F ) 1 C 0 ( X , F ) 0 { 0 } k + 1 C k ( X , F ) k C k 1 ( X , F ) k 1 3 C 2 ( X , F ) 2 C 1 ( X , F ) 1 C 0 ( X , F ) 0 { 0 } {:[ cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)(X","F)rarr"del_(k)"C_(k-1)(X","F)rarr"del_(k-1)"cdots],[ cdotsrarr"del_(3)"C_(2)(X","F)rarr"del_(2)"C_(1)(X","F)rarr"del_(1)"C_(0)(X","F)rarr"0"{0}]:}\begin{aligned} & \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}} C_{k-1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}} \cdots \\ & \cdots \xrightarrow{\partial_{3}} C_{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}} C_{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}} C_{0}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\} \end{aligned}k+1Ck(X,F)kCk1(X,F)k13C2(X,F)2C1(X,F)1C0(X,F)0{0}
はチエイン複体を与える. このチェイン複体の k k kkk 次ホモロジー群を X X XXX F F F\mathbb{F}F係数の k k k\boldsymbol{k}k 次特異ホモロジー群 ( k ( k (k(\boldsymbol{k}(k-th singular homology group of F F F\mathbb{F}F coefficient)といい, 本書では, H k sing ( X , F ) H k sing  ( X , F ) H_(k)^("sing ")(X,F)H_{k}^{\text {sing }}(X, \mathbb{F})Hksing (X,F) と表す。以下, 非負の各整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , F ) H k sing ( X , F ) H_(k)^(sing)(X,F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F})Hksing(X,F) F F F\mathbb{F}F 加群として有限生成であるとする. このとき, 2.9 節で述べたように, F F F\mathbb{F}F 加群 H k sing ( X , F ) H k sing ( X , F ) H_(k)^(sing)(X,F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F})Hksing(X,F) の階数(この定義については 2.9 節を 参照のこと)を,Xの k k k\boldsymbol{k}k 次ベッチ数といい, b k ( X ) b k ( X ) b_(k)(X)b_{k}(X)bk(X) と表す. また,それらの 交代和 k = 0 ( 1 ) k b k ( X ) k = 0 ( 1 ) k b k ( X ) sum_(k=0)^(oo)(-1)^(k)b_(k)(X)\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} b_{k}(X)k=0(1)kbk(X) X X XXX のオイラー標数といい, χ ( X ) χ ( X ) chi(X)\chi(X)χ(X) と表す. ここで F F F\mathbb{F}F が体のとき, H k sing ( X , F ) H k sing ( X , F ) H_(k)^(sing)(X,F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F})Hksing(X,F) の階数は, その F F F\mathbb{F}F 係数のベクトル空間としての次元 に等しいことを注意しておく。特に X X XXX がコンパクトならば, すべての非負の
整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , Z ) H k sing ( X , Z ) H_(k)^(sing)(X,Z)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{Z})Hksing(X,Z) は有限生成になり, そのオイラー標数が定義され る. また,奇数次元閉多様体のオイラー標数は 0 になることが知られている. この事実は,5.6 節で述べる偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ ボンネの定理が, なぜ, 偶数次元の場合に限定されているのかを示唆すること になるであろう.
次に, 特異コホモロジー群を定義しよう。 C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) の双対空間,つまり、 C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) から F F F\mathbb{F}F への F F F\mathbb{F}F 準同型写像全体のなす F F F\mathbb{F}F 加群 C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)^(**)C_{k}(X, \mathbb{F})^{*}Ck(X,F) C k ( X , F ) C k ( X , F ) C^(k)(X,F)C^{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) と表す. F F F\mathbb{F}F 準同型写像 δ k : C k ( X , F ) C k + 1 ( X , F ) δ k : C k ( X , F ) C k + 1 ( X , F ) delta_(k):C^(k)(X,F)rarrC^(k+1)(X,F)\delta_{k}: C^{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C^{k+1}(X, \mathbb{F})δk:Ck(X,F)Ck+1(X,F) δ k = ρ k + 1 δ k = ρ k + 1 delta_(k)=rho@del_(k+1)\delta_{k}=\rho \circ \partial_{k+1}δk=ρk+1 によって 定義する. この F F F\mathbb{F}F 準同型写像 δ k δ k delta_(k)\delta_{k}δk を余境界作用素(coboundary operator) という. このとき, 容易に δ k δ k 1 = 0 δ k δ k 1 = 0 delta_(k)@delta_(k-1)=0\delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0δkδk1=0 が示され, それゆえ,
{ 0 } δ 0 C 1 ( X , F ) δ 1 C 2 ( X , F ) δ 2 δ k 1 C k ( X , F ) δ k C k + 1 ( X , F ) δ k + 1 { 0 } δ 0 C 1 ( X , F ) δ 1 C 2 ( X , F ) δ 2 δ k 1 C k ( X , F ) δ k C k + 1 ( X , F ) δ k + 1 {:[{0}rarr"delta_(0)"C^(1)(X","F)rarr"delta_(1)"C^(2)(X","F)rarr"delta_(2)"cdots],[ cdotsrarr"delta_(k-1)"C^(k)(X","F)rarr"delta_(k)"C^(k+1)(X","F)rarr"delta_(k+1)"cdots]:}\begin{aligned} & \{\mathbf{0}\} \xrightarrow{\delta_{0}} C^{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{1}} C^{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \\ & \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}} C^{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}} C^{k+1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots \end{aligned}{0}δ0C1(X,F)δ1C2(X,F)δ2δk1Ck(X,F)δkCk+1(X,F)δk+1
は、コチエイン複体を与える. このコチェイン複体の k k kkk 次コホモロジー群を

group of F F F\mathbb{F}F-coefficient)といい, 本書では, H sing k ( X , F ) H sing  k ( X , F ) H_("sing ")^(k)(X,F)H_{\text {sing }}^{k}(X, \mathbb{F})Hsing k(X,F) と表す. ここで, ρ C k ( X , F ) ρ C k ( X , F ) rho inC^(k)(X,F)\rho \in C^{k}(X, \mathbb{F})ρCk(X,F) は, 形式的無限和 σ ρ ( σ ) σ σ ρ ( σ ) σ sum_(sigma)rho(sigma)sigma\sum_{\sigma} \rho(\sigma) \sigmaσρ(σ)σ と同一視されることに注意する. ここで σ σ sum_(sigma)\sum_{\sigma}σ は, σ σ sigma\sigmaσ X X XXX k k kkk 次特異単体全体からなる集合上を動き回る範囲で和をとることを意味する。このように, C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) は, C k ( X , F ) C k ( X , F ) C^(k)(X,F)C^{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) の部分 F F F\mathbb{F}F 加群とみなさるる。この事実から, 特異ホモロジー群 H k sing ( X , F ) H k sing ( X , F ) H_(k)^(sing)(X,F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F})Hksing(X,F) と特異コホモロジー群 H sing k ( X , F ) H sing k ( X , F ) H_(sing)^(k)(X,F)H_{\operatorname{sing}}^{k}(X, \mathbb{F})Hsingk(X,F) の違いを認識してもらえるで あろう.
次に, CW 性を満たす胞体分割可能な位相空間の CW ホモロジー群を定義 しよう. X X XXX をハウスドルフ位相空間とし, F F F\mathbb{F}F を環とする.
D k := { ( x 1 , , x k ) R k i = 1 x i 2 1 } D ` k := { ( x 1 , , x k ) R k i = 1 x i 2 < 1 } D k := { ( x 1 , , x k ) R k i = 1 x i 2 = 1 } D k := x 1 , , x k R k i = 1 x i 2 1 D ` k := x 1 , , x k R k i = 1 x i 2 < 1 D k := x 1 , , x k R k i = 1 x i 2 = 1 {:[D^(k):={(x_(1),dots,x_(k))inR^(k)∣sum_(i=1)x_(i)^(2) <= 1}],[D^(`)^(k):={(x_(1),dots,x_(k))inR^(k)∣sum_(i=1)x_(i)^(2) < 1}],[delD^(k):={(x_(1),dots,x_(k))inR^(k)∣sum_(i=1)x_(i)^(2)=1}]:}\begin{aligned} & D^{k}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid \sum_{i=1} x_{i}^{2} \leq 1\right\} \\ & \grave{D}^{k}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid \sum_{i=1} x_{i}^{2}<1\right\} \\ & \partial D^{k}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid \sum_{i=1} x_{i}^{2}=1\right\} \end{aligned}Dk:={(x1,,xk)Rki=1xi21}D`k:={(x1,,xk)Rki=1xi2<1}Dk:={(x1,,xk)Rki=1xi2=1}
( k 1 ) ( k 1 ) (k >= 1)(k \geq 1)(k1) とし, D 0 = D 0 = { 0 } , D 0 = D 0 = D 0 = { 0 } , D 0 = D^(0)=D^(0)={0},delD^(0)=O/D^{0}=D^{0}=\{0\}, \partial D^{0}=\emptysetD0=D0={0},D0= とする. σ σ sigma\sigmaσ D k D k D^(k)D^{k}Dk から X X XXX への連続写像で, σ σ sigma\sigmaσ D k D k D^(k)D^{k}Dk への制限 σ | D k σ D k sigma|_(D^(k))\left.\sigma\right|_{D^{k}}σ|Dk D k D k D^(k)D^{k}Dk から X X XXX の部分位相空間 e := σ ( D k ) e := σ D k e:=sigma(D^(k))e:=\sigma\left(D^{k}\right)e:=σ(Dk) への同相写像を与えるようなものであるとき, e e eee (または組 ( e , σ ) ( e , σ ) (e,sigma))(e, \sigma) )(e,σ) & k k k\boldsymbol{k}k 胞体

k k kkk はその次元とよばれ, dim e dim e dim e\operatorname{dim} edime と表される。 σ ( D k ) σ D k sigma(D^(k))\sigma\left(D^{k}\right)σ(Dk) は, e e eee X X XXX における閉包 e ¯ e ¯ bar(e)\bar{e}e¯ と一致することが,“ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である” という事実を用いて容易に示される。組 ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) が次の 3 条件 を満たすとする:
(i) 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, ( e λ , σ λ ) e λ , σ λ (e_(lambda),sigma_(lambda))\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right)(eλ,σλ) X X XXX における胞体である;
(ii) X = ⨿ λ Λ e λ X = ⨿ λ Λ e λ X=⨿_(lambda in Lambda)e_(lambda)X=\underset{\lambda \in \Lambda}{\amalg} e_{\lambda}X=⨿λΛeλ (直和)が成り立つ;
(iii) k λ := dim e λ ( λ Λ k λ := dim e λ λ Λ k_(lambda):=dime_(lambda)(lambda in Lambda:}k_{\lambda}:=\operatorname{dim} e_{\lambda}\left(\lambda \in \Lambda\right.kλ:=dimeλ(λΛ ) とし, X ( k ) := ⨿ k λ k e λ X ( k ) := ⨿ k λ k e λ X^((k)):=⨿_(k_(lambda) <= k)e_(lambda)X^{(k)}:=\amalg_{k_{\lambda} \leq k} e_{\lambda}X(k):=⨿kλkeλ (これは k k k\boldsymbol{k}k 骨格

成り立つ.
このとき, ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) を胞体複体(cell complex)という. ま た, X X XXX の分割 X = ⨿ λ Λ e λ X = ⨿ λ Λ e λ X=⨿_(lambda in Lambda)e_(lambda)X=\underset{\lambda \in \Lambda}{\amalg} e_{\lambda}X=⨿λΛeλ X X XXX の胞体分割 (cell decomposition)という.胞体分割を許容するハウスドルフ空間を胞体分割可能な位相空間 (cell decomposable topological space)という. λ λ lambda\lambdaλ の部分集合 Λ Λ Lambda^(')\Lambda^{\prime}Λ
( ⨿ λ Λ e λ , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) ⨿ λ Λ e λ , e λ , σ λ λ Λ (⨿_(lambda inLambda^('))e_(lambda),{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda inLambda^(')})\left(\underset{\lambda \in \Lambda^{\prime}}{\amalg} e_{\lambda},\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda^{\prime}\right\}\right)(⨿λΛeλ,{(eλ,σλ)λΛ})
が胞体複体を与えるとき, この胞体複体を ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) の部分胞体複体(cell subcomplex)という. 各 k 1 k 1 k >= 1k \geq 1k1 に対し, ( X ( k ) , { ( e λ , σ λ ) λ X ( k ) , e λ , σ λ λ (X^((k)),{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in:}\left(X^{(k)},\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in\right.\right.(X(k),{(eλ,σλ)λ Λ Λ Lambda\LambdaΛ s.t. k λ k } ) k λ k {:k_(lambda) <= k})\left.\left.k_{\lambda} \leq k\right\}\right)kλk}) は, ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) の部分胞体複体になることが容易 に示される. Λ Λ Lambda\LambdaΛ が有限集合であるとき, ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) を有限胞体複体(finite cell complex)という。明らかに, 有限胞体複体はコンパクトに なる.
例 5.1.1 n n nnn 次元単位球面 S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) は, R n + 1 R n + 1 R^(n+1)\mathbb{R}^{n+1}Rn+1 の部分位相空間としてハウスドル フ空間である. このハウスドルフ空間 S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) の胞体分割を与えよう. σ ± k σ ± k sigma_(+-)^(k)\sigma_{ \pm}^{k}σ±k D k S n ( 1 ) ( k = 1 , , n ) D k S n ( 1 ) ( k = 1 , , n ) D^(k)rarrS^(n)(1)(k=1,dots,n)D^{k} \rightarrow S^{n}(1)(k=1, \ldots, n)DkSn(1)(k=1,,n)
σ ± k ( x 1 , , x k ) := ( x 1 , , x k , ± 1 i = 1 k x i 2 , 0 , , 0 ) ( ( x 1 , , x k ) D k ) σ ± k x 1 , , x k := x 1 , , x k , ± 1 i = 1 k x i 2 , 0 , , 0 x 1 , , x k D k sigma_(+-)^(k)(x_(1),dots,x_(k)):=(x_(1),dots,x_(k),+-sqrt(1-sum_(i=1)^(k)x_(i)^(2)),0,dots,0)quad((x_(1),dots,x_(k))inD^(k))\sigma_{ \pm}^{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right):=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, \pm \sqrt{1-\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}}, 0, \ldots, 0\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in D^{k}\right)σ±k(x1,,xk):=(x1,,xk,±1i=1kxi2,0,,0)((x1,,xk)Dk) によって定義し, σ ± 0 D 0 S n ( 1 ) σ ± 0 D 0 S n ( 1 ) sigma_(+-)^(0):D^(0)rarrS^(n)(1)\sigma_{ \pm}^{0} : D^{0} \rightarrow S^{n}(1)σ±0D0Sn(1) σ ± 0 ( 0 ) = ( ± 1 , 0 , , 0 ) σ ± 0 ( 0 ) = ( ± 1 , 0 , , 0 ) sigma_(+-)^(0)(0)=(+-1,0,dots,0)\sigma_{ \pm}^{0}(0)=( \pm 1,0, \ldots, 0)σ±0(0)=(±1,0,,0) と定める. e ± k := σ ± k ( D k ) ( k = 0 , 1 , , n ) e ± k := σ ± k D k ( k = 0 , 1 , , n ) e_(+-)^(k):=sigma_(+-)^(k)(D^(k))(k=0,1,dots,n)e_{ \pm}^{k}:=\sigma_{ \pm}^{k}\left(D^{k}\right)(k=0,1, \ldots, n)e±k:=σ±k(Dk)(k=0,1,,n) とおく.このとき,
S n ( 1 ) = ( ⨿ n e k ) ⨿ ( ⨿ n e k e k ) S n ( 1 ) = ⨿ n e k ⨿ ⨿ n e k e k S^(n)(1)=((⨿^(n))e^(k))⨿((⨿^(n))e^(k)e_(-)^(k))S^{n}(1)=\left(\stackrel{n}{\amalg} e^{k}\right) \amalg\left(\stackrel{n}{\amalg} e^{k} e_{-}^{k}\right)Sn(1)=(⨿nek)⨿(⨿nekek)
は, S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) の胞体分割を与える ( n = 2 ( n = 2 (n=2(n=2(n=2 の場合については図 5.1 .2 を参照).
S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) から n n nnn 次元実射影空間 R P n R P n RP^(n)\mathbb{R} P^{n}RPn への自然な射影を π π pi\piπ で表す. σ ^ k : D k σ ^ k : D k widehat(sigma)^(k):D^(k)rarr\widehat{\sigma}^{k}: D^{k} \rightarrowσ^k:Dk R P n ( k = 1 , , n ) R P n ( k = 1 , , n ) RP^(n)(k=1,dots,n)\mathbb{R} P^{n}(k=1, \ldots, n)RPn(k=1,,n) σ ^ k := π σ + k σ ^ k := π σ + k hat(sigma)^(k):=pi@sigma_(+)^(k)\hat{\sigma}^{k}:=\pi \circ \sigma_{+}^{k}σ^k:=πσ+k によって定義する. σ ^ 0 : D 0 R P n σ ^ 0 : D 0 R P n hat(sigma)^(0):D^(0)rarrRP^(n)\hat{\sigma}^{0}: D^{0} \rightarrow \mathbb{R} P^{n}σ^0:D0RPn σ ^ 0 ( 0 ) = [ 1 : 0 : : 0 ] σ ^ 0 ( 0 ) = [ 1 : 0 : : 0 ] widehat(sigma)^(0)(0)=[1:0:cdots:0]\widehat{\sigma}^{0}(0)=[1: 0: \cdots: 0]σ^0(0)=[1:0::0] で定める. e ^ k := σ ^ k ( D k ) ( k = 0 , 1 , , n ) e ^ k := σ ^ k D k ( k = 0 , 1 , , n ) hat(e)^(k):= widehat(sigma)^(k)(D^(k))(k=0,1,dots,n)\hat{e}^{k}:=\widehat{\sigma}^{k}\left(D^{k}\right)(k=0,1, \ldots, n)e^k:=σ^k(Dk)(k=0,1,,n) とおく. こ のとき R P n = n k = 0 e ^ k R P n = n k = 0 e ^ k RP^(n)=n_(k=0) widehat(e)^(k)\mathbb{R} P^{n}=\underset{k=0}{n} \widehat{e}^{k}RPn=nk=0e^k は, R P n R P n RP^(n)\mathbb{R} P^{n}RPn の胞体分割を与える ( n = 2 ( n = 2 (n=2(n=2(n=2 の場合について は図 5.1.2 を参照).
例 5.1.2 ハウスドルフ空間 S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) のもう 1 つの胞体分割を与えよう. σ n σ n sigma^(n)\sigma^{n}σn : D n S n ( 1 ) D n S n ( 1 ) D^(n)rarrS^(n)(1)D^{n} \rightarrow S^{n}(1)DnSn(1)
σ n ( x 1 , , x n ) := ( 2 ρ ( x 1 , , x n ) x 1 ρ ( x 1 , , x n ) 2 i = 1 n x i 2 + 1 , 2 ρ ( x 1 , , x n ) x n ρ ( x 1 , , x n ) 2 i = 1 n x i 2 + 1 , ρ ( x 1 , , x n ) 2 i = 1 n x i 2 1 ρ ( x 1 , , x n ) 2 i = 1 n x i 2 + 1 ) ( ρ ( x 1 , , x n ) := tan ( π 2 i = 1 n x i 2 ) ) σ n x 1 , , x n := 2 ρ x 1 , , x n x 1 ρ x 1 , , x n 2 i = 1 n x i 2 + 1 , 2 ρ x 1 , , x n x n ρ x 1 , , x n 2 i = 1 n x i 2 + 1 , ρ x 1 , , x n 2 i = 1 n x i 2 1 ρ x 1 , , x n 2 i = 1 n x i 2 + 1 ρ x 1 , , x n := tan π 2 i = 1 n x i 2 {:[sigma^(n)(x_(1),dots,x_(n)):=((2rho(x_(1),dots,x_(n))x_(1))/(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)+1),dots:}],[{:(2rho(x_(1),dots,x_(n))x_(n))/(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)+1),(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)-1)/(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)+1))],[quad(rho(x_(1),dots,x_(n)):=tan((pi)/(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)))]:}\begin{aligned} & \sigma^{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(\frac{2 \rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{1}}{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+1}, \ldots\right. \\ & \left.\frac{2 \rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{n}}{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+1}, \frac{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-1}{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+1}\right) \\ & \quad\left(\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\tan \left(\frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\right) \end{aligned}σn(x1,,xn):=(2ρ(x1,,xn)x1ρ(x1,,xn)2i=1nxi2+1,2ρ(x1,,xn)xnρ(x1,,xn)2i=1nxi2+1,ρ(x1,,xn)2i=1nxi21ρ(x1,,xn)2i=1nxi2+1)(ρ(x1,,xn):=tan(π2i=1nxi2))
と定義し, σ 0 : D 0 S n ( 1 ) σ 0 : D 0 S n ( 1 ) sigma^(0):D^(0)rarrS^(n)(1)\sigma^{0}: D^{0} \rightarrow S^{n}(1)σ0:D0Sn(1) σ 0 ( 0 ) = ( 0 , , 0 , 1 ) σ 0 ( 0 ) = ( 0 , , 0 , 1 ) sigma^(0)(0)=(0,dots,0,1)\sigma^{0}(0)=(0, \ldots, 0,1)σ0(0)=(0,,0,1) と定義する. e n := e n := e^(n):=e^{n}:=en:= σ n ( D n ) , e 0 := σ 0 ( D 0 ) σ n D n , e 0 := σ 0 D 0 sigma^(n)(D^(n)),e^(0):=sigma^(0)(D^(0))\sigma^{n}\left(D^{n}\right), e^{0}:=\sigma^{0}\left(D^{0}\right)σn(Dn),e0:=σ0(D0) とおく.このとき, e n = S n ( 1 ) { ( 0 , , 0 , 1 ) } , e 0 = e n = S n ( 1 ) { ( 0 , , 0 , 1 ) } , e 0 = e^(n)=S^(n)(1)\\{(0,dots,0,1)},e^(0)=e^{n}=S^{n}(1) \backslash\{(0, \ldots, 0,1)\}, e^{0}=en=Sn(1){(0,,0,1)},e0= { ( 0 , , 0 , 1 ) } { ( 0 , , 0 , 1 ) } {(0,dots,0,1)}\{(0, \ldots, 0,1)\}{(0,,0,1)} となり, S n ( 1 ) = e n ⨿ e 0 S n ( 1 ) = e n ⨿ e 0 S^(n)(1)=e^(n)⨿e^(0)S^{n}(1)=e^{n} \amalg e^{0}Sn(1)=en⨿e0 S n ( 1 ) S n ( 1 ) S^(n)(1)S^{n}(1)Sn(1) の胞体分割を与える ( n = 2 ( n = 2 (n=2(n=2(n=2 の場合については図 5.1 .2 を参照).
胞体複体の1つの構成法を与えよう. ( X , { ( e λ X , σ λ X ) λ Λ X } ) X , e λ X , σ λ X λ Λ X (X,{(e_(lambda)^(X),sigma_(lambda)^(X))∣lambda inLambda_(X)})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}^{X}, \sigma_{\lambda}^{X}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{X}\right\}\right)(X,{(eλX,σλX)λΛX}) ( Y , { ( e λ Y , σ λ Y ) λ Λ Y } ) Y , e λ Y , σ λ Y λ Λ Y (Y,{(e_(lambda)^(Y),sigma_(lambda)^(Y))∣lambda inLambda_(Y)})\left(Y,\left\{\left(e_{\lambda}^{Y}, \sigma_{\lambda}^{Y}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{Y}\right\}\right)(Y,{(eλY,σλY)λΛY}) を胞体複体とする. このとき,積位相空間 X × Y X × Y X xx YX \times YX×Y もハウスドルフ空間になり,
X × Y = ⨿ ( λ , μ ) Λ X × Λ Y ( e λ X × e μ Y ) X × Y = ⨿ ( λ , μ ) Λ X × Λ Y e λ X × e μ Y X xx Y=⨿_((lambda,mu)inLambda_(X)xxLambda_(Y))(e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y))X \times Y=\underset{(\lambda, \mu) \in \Lambda_{X} \times \Lambda_{Y}}{\amalg}\left(e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}\right)X×Y=⨿(λ,μ)ΛX×ΛY(eλX×eμY)
図 5.1.2 単位球面の胞体分割
X × Y X × Y X xx YX \times YX×Y の胞体分割を与える. k λ X := dim e λ X , k λ Y := dim e λ Y k λ X := dim e λ X , k λ Y := dim e λ Y k_(lambda)^(X):=dime_(lambda)^(X),k_(lambda)^(Y):=dime_(lambda)^(Y)k_{\lambda}^{X}:=\operatorname{dim} e_{\lambda}^{X}, k_{\lambda}^{Y}:=\operatorname{dim} e_{\lambda}^{Y}kλX:=dimeλX,kλY:=dimeλY とおく. 胞体 e λ X × e μ Y e λ X × e μ Y e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y)e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}eλX×eμY の特性写像は, σ λ X σ λ X sigma_(lambda)^(X)\sigma_{\lambda}^{X}σλX σ μ Y σ μ Y sigma_(mu)^(Y)\sigma_{\mu}^{Y}σμY の積写像 σ λ X × σ μ Y σ λ X × σ μ Y sigma_(lambda)^(X)xxsigma_(mu)^(Y)\sigma_{\lambda}^{X} \times \sigma_{\mu}^{Y}σλX×σμY によって与えられる. 実際, この積写像は, D k λ X × D k μ Y D k λ X × D k μ Y D^(k_(lambda)^(X))xxD^(k_(mu)^(Y))D^{k_{\lambda}^{X}} \times D^{k_{\mu}^{Y}}DkλX×DkμY (これは D k λ X + k μ Y D k λ X + k μ Y D^(k_(lambda)^(X)+k_(mu)^(Y))D^{k_{\lambda}^{X}+k_{\mu}^{Y}}DkλX+kμY と同一視される)から X × Y X × Y X xx YX \times YX×Y への連続写像を与え, その像 ( σ λ X × σ μ Y ) ( D λ k λ X × D k μ Y ) σ λ X × σ μ Y D λ k λ X × D k μ Y (sigma_(lambda)^(X)xxsigma_(mu)^(Y))(D_(lambda)^(k_(lambda)^(X))xxD^(k_(mu)^(Y)))\left(\sigma_{\lambda}^{X} \times \sigma_{\mu}^{Y}\right)\left(D_{\lambda}^{k_{\lambda}^{X}} \times D^{k_{\mu}^{Y}}\right)(σλX×σμY)(DλkλX×DkμY) は, e λ X × e μ Y e λ X × e μ Y ¯ bar(e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y))\overline{e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}}eλX×eμY に等しく なる. このように,
( X × Y , { ( e λ X × e μ Y , σ λ X × σ μ Y ) ( λ , μ ) Λ X × Λ Y } ) X × Y , e λ X × e μ Y , σ λ X × σ μ Y ( λ , μ ) Λ X × Λ Y (X xx Y,{(e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y),sigma_(lambda)^(X)xxsigma_(mu)^(Y))∣(lambda,mu)inLambda_(X)xxLambda_(Y)})\left(X \times Y,\left\{\left(e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}, \sigma_{\lambda}^{X} \times \sigma_{\mu}^{Y}\right) \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda_{X} \times \Lambda_{Y}\right\}\right)(X×Y,{(eλX×eμY,σλX×σμY)(λ,μ)ΛX×ΛY})
は胞体複体になる。この胞体複体を, ( X , { ( e λ X , σ λ X ) λ Λ X } ) X , e λ X , σ λ X λ Λ X (X,{(e_(lambda)^(X),sigma_(lambda)^(X))∣lambda inLambda_(X)})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}^{X}, \sigma_{\lambda}^{X}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{X}\right\}\right)(X,{(eλX,σλX)λΛX}) ( Y , { ( e λ Y , σ λ Y ) λ Λ Y } ) Y , e λ Y , σ λ Y λ Λ Y (Y,{(e_(lambda)^(Y),sigma_(lambda)^(Y))∣lambda inLambda_(Y)})\left(Y,\left\{\left(e_{\lambda}^{Y}, \sigma_{\lambda}^{Y}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{Y}\right\}\right)(Y,{(eλY,σλY)λΛY}) の積胞体複体(product cell complex)という. このように, 2 つの胞体複体から, それらの積をとることにより, 第 3 の胞体複体を構成することができる。
次に, 胞体複体の閉包有限性と弱位相性を定義する. 胞体複体 ( X , { ( e λ , σ λ ) X , e λ , σ λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣:}\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid\right.\right.(X,{(eλ,σλ) λ Λ } ) λ Λ } ) lambda in Lambda})\lambda \in \Lambda\})λΛ}) に対し,次の2つの条件を考える:
(C) X X XXX の各点 p p ppp に対し, p p ppp を含む ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) の有限部分胞体複体が存在する;
(W) A A AAA X X XXX の任意の部分集合とする. 各 λ Λ λ Λ lambda in Lambda\lambda \in \LambdaλΛ に対し, A e ¯ λ A e ¯ λ A nn bar(e)_(lambda)A \cap \bar{e}_{\lambda}Ae¯λ が部分位
相空間 e ¯ λ e ¯ λ bar(e)_(lambda)\bar{e}_{\lambda}e¯λ の開集合であるならば, A A AAA X X XXX の開集合である.
(C)は閉包有限性条件(closed finiteness condition)とよばれ,(W)は 弱位相性条件(weak topology condition)とよばれる. これらの2つの条件を満たす胞体複体は, CW 複体(CW-complex)とよばれる。
CW 複体の CW ホモロジー群を定義する前に, 一般に, 位相空間 Y Y YYY とその 部分集合 B B BBB に対し, “ B B BBB を 1 点に潰してえられる空間”とよばれる位相空間 を定義しておく.Yにおける同値関係〜を
p q : def p = q or p , q B p q : def p = q  or  p , q B p∼q:Longleftrightarrow_(def)p=q" or "p,q in Bp \sim q: \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} p=q \text { or } p, q \in Bpq:defp=q or p,qB
によって定義する.この同値関係〜に関する商位相空間 Y / Y / Y//∼Y / \simY/ Y / B Y / B Y//BY / BY/B と表 し, B B B\boldsymbol{B}B を 1 点に潰してえられる空間という. ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) をW 複体とし、 F F F\mathbb{F}F を環とする。以下, CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 ( X , { ( e λ , σ λ ) λ Λ } ) X , e λ , σ λ λ Λ (X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda})\left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right)(X,{(eλ,σλ)λΛ}) X X XXX と略記し, 胞体 ( e λ , σ λ ) e λ , σ λ (e_(lambda),sigma_(lambda))\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right)(eλ,σλ) e λ e λ e_(lambda)e_{\lambda}eλ と略記する.この CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体の k k kkk 胞体の形式的有限和 c := i = 1 r a i e λ i ( e λ i : k c := i = 1 r a i e λ i e λ i : k c:=sum_(i=1)^(r)a_(i)e_(lambda_(i))(e_(lambda_(i)):k:}c:=\sum_{i=1}^{r} a_{i} e_{\lambda_{i}}\left(e_{\lambda_{i}}: k\right.c:=i=1raieλi(eλi:k 胞体, a i F ) a i F {:a_(i)inF)\left.a_{i} \in \mathbb{F}\right)aiF) を一般に, CW 複体 X X XXX F F F\mathbb{F}F 係数の k k k\boldsymbol{k}k チェイン(k-chain of F F F\mathbb{F}F-coefficient)という. X X XXX F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk チェインの 全体がなす自由加群を C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) と表し, X X XXX F F F\mathbb{F}F 係数 k k k\boldsymbol{k}k 次チェイン群( k th k th k-th\boldsymbol{k}-\mathrm{th}kth chain group of F F F\mathbb{F}F-coefficient)という. e λ e λ e_(lambda)e_{\lambda}eλ X X XXX の胞体とし、 e μ e μ e_(mu)e_{\mu}eμ X X XXX ( k 1 ) ( k 1 ) (k-1)(k-1)(k1) 胞体とする。 π μ π μ pi_(mu)\pi_{\mu}πμ X ( k 1 ) X ( k 1 ) X^((k-1))X^{(k-1)}X(k1) から X ( k 1 ) / ( X ( k 1 ) e μ ) X ( k 1 ) / X ( k 1 ) e μ ¯ X^((k-1))//(X^((k-1))\\ bar(e_(mu)))X^{(k-1)} /\left(X^{(k-1)} \backslash \overline{e_{\mu}}\right)X(k1)/(X(k1)eμ) への商写像とす る。明らかに, X ( k 1 ) / ( X ( k 1 ) e μ ) X ( k 1 ) / X ( k 1 ) e μ ¯ X^((k-1))//(X^((k-1))\\ bar(e_(mu)))X^{(k-1)} /\left(X^{(k-1)} \backslash \overline{e_{\mu}}\right)X(k1)/(X(k1)eμ) D k 1 / D k 1 = S k 1 ( 1 ) D k 1 / D k 1 = S k 1 ( 1 ) D^(k-1)//delD^(k-1)=S^(k-1)(1)D^{k-1} / \partial D^{k-1}=S^{k-1}(1)Dk1/Dk1=Sk1(1) と同相であ る。
χ λ μ := π μ σ λ | D k : D k = S k 1 ( 1 ) X ( k 1 ) / ( X ( k 1 ) e μ ) = S k 1 ( 1 ) χ λ μ := π μ σ λ D k : D k = S k 1 ( 1 ) X ( k 1 ) / X ( k 1 ) e μ ¯ = S k 1 ( 1 ) chi_(lambda mu):=pi_(mu)@sigma_(lambda)|_(delD^(k)):delD^(k)=S^(k-1)(1)rarrX^((k-1))//(X^((k-1))\\ bar(e_(mu)))=S^(k-1)(1)\chi_{\lambda \mu}:=\left.\pi_{\mu} \circ \sigma_{\lambda}\right|_{\partial D^{k}}: \partial D^{k}=S^{k-1}(1) \rightarrow X^{(k-1)} /\left(X^{(k-1)} \backslash \overline{e_{\mu}}\right)=S^{k-1}(1)χλμ:=πμσλ|Dk:Dk=Sk1(1)X(k1)/(X(k1)eμ)=Sk1(1)
の写像度を deg ( χ λ μ ) deg χ λ μ deg(chi_(lambda mu))\operatorname{deg}\left(\chi_{\lambda \mu}\right)deg(χλμ) と表す. ここで, χ λ μ χ λ μ chi_(lambda mu)\chi_{\lambda \mu}χλμ の写像度とは, χ λ μ χ λ μ chi_(lambda mu)\chi_{\lambda \mu}χλμ S k 1 ( 1 ) S k 1 ( 1 ) S^(k-1)(1)S^{k-1}(1)Sk1(1) の 特異 ( k 1 ) ( k 1 ) quad(k-1)\quad(k-1)(k1) 輪体とみなして, その属する特異ホモロジー類 [ χ λ μ ] χ λ μ [chi_(lambda mu)]\left[\chi_{\lambda \mu}\right][χλμ] ( H sing k 1 ( S k 1 ( 1 ) ) Z ) H sing  k 1 S k 1 ( 1 ) Z (inH_("sing ")^(k-1)(S^(k-1)(1))~=Z)\left(\in H_{\text {sing }}^{k-1}\left(S^{k-1}(1)\right) \cong \mathbb{Z}\right)(Hsing k1(Sk1(1))Z) を考えたときに,このコホモロジー類の表す整数 のことである。 CW CW CW\mathrm{CW}CW 複体 X X XXX k k kkk 胞体全体からなる集合を { e λ λ Λ k } e λ λ Λ k {e_(lambda)∣lambda inLambda_(k)}\left\{e_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda_{k}\right\}{eλλΛk} とす る. k k kkk 胞体 e λ e λ e_(lambda)e_{\lambda}eλ に対し, ( k 1 ) ( k 1 ) (k-1)(k-1)(k1) 胞体 k ( e λ ) k e λ del_(k)(e_(lambda))\partial_{k}\left(e_{\lambda}\right)k(eλ)
k ( e λ ) := μ Λ k 1 deg ( χ λ μ ) e μ k e λ := μ Λ k 1 deg χ λ μ e μ del_(k)(e_(lambda)):=sum_(mu inLambda_(k-1))deg(chi_(lambda mu))e_(mu)\partial_{k}\left(e_{\lambda}\right):=\sum_{\mu \in \Lambda_{k-1}} \operatorname{deg}\left(\chi_{\lambda \mu}\right) e_{\mu}k(eλ):=μΛk1deg(χλμ)eμ
図 5.1.3 境界作用素の結合係数
によって定義する. deg ( χ λ μ ) deg χ λ μ deg(chi_(lambda mu))\operatorname{deg}\left(\chi_{\lambda \mu}\right)deg(χλμ) e λ e λ e_(lambda)e_{\lambda}eλ e μ e μ e_(mu)e_{\mu}eμ の結合係数といい, [ e λ , e μ ] e λ , e μ [e_(lambda),e_(mu)]\left[e_{\lambda}, e_{\mu}\right][eλ,eμ] と表す (図 5.1.3 を参照). X X XXX が条件 (C) を满たすことより,右辺の和が有限和であ ること、つまり、 k ( e λ ) k e λ del_(k)(e_(lambda))\partial_{k}\left(e_{\lambda}\right)k(eλ) ( k 1 ) ( k 1 ) (k-1)(k-1)(k1) チエインであることがわかる。 これを e λ e λ e_(lambda)\boldsymbol{e}_{\lambda}eλ の境界(the boundary of e λ e λ e_(lambda)\boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\lambda}}eλ ) という. F F F\mathbb{F}F 準同型写像 k : C k ( X , F ) k : C k ( X , F ) del_(k):C_(k)(X,F)rarr\partial_{k}: C_{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrowk:Ck(X,F) C k 1 ( X , F ) C k 1 ( X , F ) C_(k-1)(X,F)C_{k-1}(X, \mathbb{F})Ck1(X,F)
k ( c ) := i = 1 r a i k ( e λ i ) ( c = i = 1 r a i e λ i C k ( X , F ) ) k ( c ) := i = 1 r a i k e λ i c = i = 1 r a i e λ i C k ( X , F ) del_(k)(c):=sum_(i=1)^(r)a_(i)del_(k)(e_(lambda_(i)))quad(c=sum_(i=1)^(r)a_(i)e_(lambda_(i))inC_(k)(X,F))\partial_{k}(c):=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \partial_{k}\left(e_{\lambda_{i}}\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{r} a_{i} e_{\lambda_{i}} \in C_{k}(X, \mathbb{F})\right)k(c):=i=1raik(eλi)(c=i=1raieλiCk(X,F))
によって定める。この F F F\mathbb{F}F 準同型写像 k k del_(k)\partial_{k}k を境界作用素という. このとき, 容易 に k 1 k = 0 k 1 k = 0 del_(k-1)@del_(k)=0\partial_{k-1} \circ \partial_{k}=0k1k=0 が示され, それゆえ,
k + 1 C k ( X , F ) k C k 1 ( X , F ) k 1 3 C 2 ( X , F ) 2 C 1 ( X , F ) 1 C 0 ( X , F ) 0 { 0 } k + 1 C k ( X , F ) k C k 1 ( X , F ) k 1 3 C 2 ( X , F ) 2 C 1 ( X , F ) 1 C 0 ( X , F ) 0 { 0 } {:[cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)(X","F)rarr"del_(k)"C_(k-1)(X","F)rarr"del_(k-1)"cdots],[cdotsrarr"del_(3)"C_(2)(X","F)rarr"del_(2)"C_(1)(X","F)rarr"del_(1)"C_(0)(X","F)rarr"0"{0}]:}\begin{gathered} \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}} C_{k-1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}} \cdots \\ \cdots \xrightarrow{\partial_{3}} C_{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}} C_{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}} C_{0}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\} \end{gathered}k+1Ck(X,F)kCk1(X,F)k13C2(X,F)2C1(X,F)1C0(X,F)0{0}
はチェイン複体を与える. このチェイン複体の k k kkk 次ホモロジー群を X X XXX F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk CW CW CW\mathrm{CW}CW ホモロジー群 ( k k k\boldsymbol{k}k-th CW-homology group of F F F\mathbb{F}F-coefficient)といい, 本書では H k CW ( X , F ) H k CW ( X , F ) H_(k)^(CW)(X,F)H_{k}^{\mathrm{CW}}(X, \mathbb{F})HkCW(X,F) と表す.
次に, CWコホモロジー群を定義しよう。 C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) の双対空間,つまり, C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)C_{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) から F F F F FへのF\mathbb{F} へ の \mathbb{F}FF 準同型写像全体のなす F F F\mathbb{F}F 加群 C k ( X , F ) C k ( X , F ) C_(k)(X,F)^(**)C_{k}(X, \mathbb{F})^{*}Ck(X,F) C k ( X , F ) C k ( X , F ) C^(k)(X,F)C^{k}(X, \mathbb{F})Ck(X,F) と表す. F F F\mathbb{F}F 準同型写像 δ k : C k ( X , F ) C k + 1 ( X , F ) δ k : C k ( X , F ) C k + 1 ( X , F ) delta_(k):C^(k)(X,F)rarrC^(k+1)(X,F)\delta_{k}: C^{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C^{k+1}(X, \mathbb{F})δk:Ck(X,F)Ck+1(X,F) δ k = ρ k + 1 δ k = ρ k + 1 delta_(k)=rho@del_(k+1)\delta_{k}=\rho \circ \partial_{k+1}δk=ρk+1 によ って定義する。 この F F F\mathbb{F}F 準同型写像 δ k δ k delta_(k)\delta_{k}δk を余境界作用素という. このとき, 容易
δ k δ k 1 = 0 δ k δ k 1 = 0 delta_(k)@delta_(k-1)=0\delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0δkδk1=0 が示され, それゆえ,
{ 0 } δ 0 C 1 ( X , F ) δ 1 C 2 ( X , F ) δ 2 δ k 1 C k ( X , F ) δ k C k + 1 ( X , F ) δ k + 1 { 0 } δ 0 C 1 ( X , F ) δ 1 C 2 ( X , F ) δ 2 δ k 1 C k ( X , F ) δ k C k + 1 ( X , F ) δ k + 1 {:[{0}rarr"delta_(0)"C^(1)(X","F)rarr"delta_(1)"C^(2)(X","F)rarr"delta_(2)"cdots],[ cdotsrarr"delta_(k-1)"C^(k)(X","F)rarr"delta_(k)"C^(k+1)(X","F)rarr"delta_(k+1)"cdots]:}\begin{aligned} & \{\mathbf{0}\} \xrightarrow{\delta_{0}} C^{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{1}} C^{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \\ & \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}} C^{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}} C^{k+1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots \end{aligned}{0}δ0C1(X,F)δ1C2(X,F)δ2δk1Ck(X,F)δkCk+1(X,F)δk+1
はコチェイン複体を与える. このコチェイン複体の k k kkk 次コホモロジー群を X X XXX F F F\mathbb{F}F 係数の k k k\boldsymbol{k}k CW CW CW\mathrm{CW}CW コホモロジー群( k k k\boldsymbol{k}k-th CW CW CW\mathrm{CW}CW-cohomology group of F F F\mathbb{F}F-coefficient) といい, 本書では H CW k ( X , F ) H CW k ( X , F ) H_(CW)^(k)(X,F)H_{\mathrm{CW}}^{k}(X, \mathbb{F})HCWk(X,F) と表す.
位相空間の胞体分割以外に, 2.9 節で述べた曲面の三角形分割の一般概念と して, 位相空間の単体分割という概念がある。この分割に付随して単体分割可能な位相空間に対し, その k k k\boldsymbol{k}k 次単体ホモロジー群( k k k\boldsymbol{k}k-th simplicial homology group), k k k\boldsymbol{k}k 次単体コホモロジー群( k k k\boldsymbol{k}k-th simplicial cohomology group)という概念が定義される。これらの群を H k simp ( X , F ) H k simp  ( X , F ) H_(k)^("simp ")(X,F)H_{k}^{\text {simp }}(X, \mathbb{F})Hksimp (X,F), H simp k ( X , F ) H simp  k ( X , F ) H_("simp ")^(k)(X,F)H_{\text {simp }}^{k}(X, \mathbb{F})Hsimp k(X,F) と表すことにする. 特異(コ)ホモロジー群, CW(コ)ホモロ ジー群, 単体(コ)ホモロジー群について, 次の事実が成り立つ.
定理 5.1.1 (i) 任意の CW 分割可能な位相空間 X X XXX と任意の 0 以上の整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , F ) H k sing ( X , F ) H_(k)^(sing)(X,F)H_{k}^{\mathrm{sing}}(X, \mathbb{F})Hksing(X,F) H k CW ( X , F ) H k CW ( X , F ) H_(k)^(CW)(X,F)H_{k}^{\mathrm{CW}}(X, \mathbb{F})HkCW(X,F) は同型であり, H sing k ( X , F ) H sing k ( X , F ) H_(sing)^(k)(X,F)H_{\mathrm{sing}}^{k}(X, \mathbb{F})Hsingk(X,F) H CW k ( X , F ) H CW k ( X , F ) H_(CW)^(k)(X,F)H_{\mathrm{CW}}^{k}(X, \mathbb{F})HCWk(X,F) も同型である.
(ii) 任意の単体分割可能な位相空間 X X XXX と任意の 0 以上の整数 k k kkk に対し, H k sing ( X , F ) H k sing  ( X , F ) H_(k)^("sing ")(X,F)H_{k}^{\text {sing }}(X, \mathbb{F})Hksing (X,F) H k simp ( X , F ) H k simp  ( X , F ) H_(k)^("simp ")(X,F)H_{k}^{\text {simp }}(X, \mathbb{F})Hksimp (X,F) は同型であり, H sing k ( X , F ) H sing k ( X , F ) H_(sing)^(k)(X,F)H_{\mathrm{sing}}^{k}(X, \mathbb{F})Hsingk(X,F) H simp k ( X , F ) H simp k ( X , F ) H_(simp)^(k)(X,F)H_{\mathrm{simp}}^{k}(X, \mathbb{F})Hsimpk(X,F) も同型である.
この定理の証明は省くことにする。この定理によれば, 位相空間 X X XXX CW CW CW\mathrm{CW}CW分割可能である場合, X X XXX の(コ)ホモロジー群を計算するには, その特異 (コ)ホモロジー群を計算する代わりに,Xを CW 分割してその CW(コ) ホモロジー群を計算すればよい。同様に, 位相空間 X X XXX が単体分割可能である 場合, Xの(コ)ホモロジー群を計算するには, その特異(コ)ホモロジー 群を計算する代わりに,Xを単体分割してその単体(コ)ホモロジー群を計算すればよい。
次に, ド・ラームコホモロジー群を定義しよう. M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体と し,3.10 節で述べたように, M M MMM 上の C C C^(oo)C^{\infty}C k k kkk 次微分形式全体のなす実ベクト ル空間を Ω k ( M ) Ω k ( M ) Omega^(k)(M)\Omega^{k}(M)Ωk(M) と表す. 系列
(DR) { 0 } 0 Ω 0 ( M ) d 0 Ω 1 ( M ) d 1 d k 1 Ω k ( M ) d k Ω k + 1 ( M ) d k + 1 d n 1 Ω n ( M ) (DR) { 0 } 0 Ω 0 ( M ) d 0 Ω 1 ( M ) d 1 d k 1 Ω k ( M ) d k Ω k + 1 ( M ) d k + 1 d n 1 Ω n ( M ) {:[(DR){0}rarr"0"Omega^(0)(M)rarr"d_(0)"Omega^(1)(M)rarr"d_(1)"cdots],[ cdotsrarr"d_(k-1)"Omega^(k)(M)rarr"d_(k)"Omega^(k+1)(M)rarr"d_(k+1)"cdotsrarr"d_(n-1)"Omega^(n)(M)]:}\begin{align*} &\{\mathbf{0}\} \xrightarrow{0} \Omega^{0}(M) \xrightarrow{d_{0}} \Omega^{1}(M) \xrightarrow{d_{1}} \cdots \tag{DR}\\ & \cdots \xrightarrow{d_{k-1}} \Omega^{k}(M) \xrightarrow{d_{k}} \Omega^{k+1}(M) \xrightarrow{d_{k+1}} \cdots \xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^{n}(M) \end{align*}(DR){0}0Ω0(M)d0Ω1(M)d1dk1Ωk(M)dkΩk+1(M)dk+1dn1Ωn(M)
がコチエイン複体であることを示そう. ω Ω k ( M ) ω Ω k ( M ) omega inOmega^(k)(M)\omega \in \Omega^{k}(M)ωΩk(M) M M MMM の局所チャート ( U , φ = x 1 , , x n ) U , φ = x 1 , , x n (U,varphi=x_(1),dots,x_(n))\left(U, \varphi=x_{1}, \ldots, x_{n}\right)(U,φ=x1,,xn) に関する成分を ω i 1 i k ( 1 i 1 < < i k n ) ω i 1 i k 1 i 1 < < i k n omega_(i_(1)cdotsi_(k))(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)\omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\left(1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n\right)ωi1ik(1i1<<ikn) とす る. このとき, U U UUU 上で,
( d k + 1 d k ) ( ω ) = ( d k + 1 d k ) ( 1 i 1 < < i k n ω i 1 i k d x i 1 d x i k ) = d k + 1 ( 1 i 1 < < i k n j = 1 n ω i 1 i k x j d x j d x i 1 d x i k ) = 1 i 1 < < i k n l = 1 n j = 1 n 2 ω i 1 i k x l x j d x l d x j d x i 1 d x i k = 1 i 1 < < i k n ( 1 l < j n 2 ω i 1 i k x l x j d x l d x j d x i 1 d x i k = 1 j < l n 2 ω i 1 i k x l x j d x l d x j d x i 1 d x i k ) 1 i 1 < < i k n ( 2 ω i 1 i k x l x j 2 ω i 1 i k x j x l ) = 0 d k + 1 d k ( ω ) = d k + 1 d k 1 i 1 < < i k n ω i 1 i k d x i 1 d x i k = d k + 1 1 i 1 < < i k n j = 1 n ω i 1 i k x j d x j d x i 1 d x i k = 1 i 1 < < i k n l = 1 n j = 1 n 2 ω i 1 i k x l x j d x l d x j d x i 1 d x i k = 1 i 1 < < i k n 1 l < j n 2 ω i 1 i k x l x j d x l d x j d x i 1 d x i k = 1 j < l n 2 ω i 1 i k x l x j d x l d x j d x i 1 d x i k 1 i 1 < < i k n 2 ω i 1 i k x l x j 2 ω i 1 i k x j x l = 0 {:[(d_(k+1)@d_(k))(omega)],[=(d_(k+1)@d_(k))(sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1)cdotsi_(k))dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)))],[=d_(k+1)(sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)sum_(j=1)^(n)(delomega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(j))dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)))],[=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)sum_(l=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))dx_(l)^^dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k))],[=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)(sum_(1 <= l < j <= n)(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))dx_(l)^^dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)):}],[={:sum_(1 <= j < l <= n)(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))dx_(l)^^dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)))],[sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)((del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))-(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(j)delx_(l)))],[=0]:}\begin{aligned} &\left(d_{k+1} \circ d_{k}\right)(\omega) \\ &=\left(d_{k+1} \circ d_{k}\right)\left(\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}} d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right) \\ &= d_{k+1}\left(\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{j}} d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right) \\ &= \sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \sum_{l=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \wedge d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}} \\ &= \sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n}\left(\sum_{1 \leq l<j \leq n} \frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \wedge d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right. \\ &=\left.\sum_{1 \leq j<l \leq n} \frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \wedge d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right) \\ & \sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n}\left(\frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}}-\frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{j} \partial x_{l}}\right) \\ &= 0 \end{aligned}(dk+1dk)(ω)=(dk+1dk)(1i1<<iknωi1ikdxi1dxik)=dk+1(1i1<<iknj=1nωi1ikxjdxjdxi1dxik)=1i1<<iknl=1nj=1n2ωi1ikxlxjdxldxjdxi1dxik=1i1<<ikn(1l<jn2ωi1ikxlxjdxldxjdxi1dxik=1j<ln2ωi1ikxlxjdxldxjdxi1dxik)1i1<<ikn(2ωi1ikxlxj2ωi1ikxjxl)=0
が示され, ( U , φ ) ( U , φ ) (U,varphi)(U, \varphi)(U,φ) の任意性から, M M MMM 上で ( d k + 1 d k ) ( ω ) = 0 d k + 1 d k ( ω ) = 0 (d_(k+1)@d_(k))(omega)=0\left(d_{k+1} \circ d_{k}\right)(\omega)=0(dk+1dk)(ω)=0 が成り立つことが 導かれる。そゆえ, ω ω omega\omegaω の任意性より d k + 1 d k = 0 d k + 1 d k = 0 d_(k+1)@d_(k)=0d_{k+1} \circ d_{k}=0dk+1dk=0 が示される. したがって,系列 ( C DR ) C DR (C_(DR))\left(\mathcal{C}_{\mathrm{DR}}\right)(CDR) がコチェイン複体であることがわかる. このコチェイン複体の k k kkk次コホモロジー群を M M MMM k k k\boldsymbol{k}k 次ド・ラームコホモロジー群 ( k th ( k th (k-th(\boldsymbol{k}-\mathrm{th}(kth de Rham cohomology group)といい, 本書では H DR k ( M ) H DR k ( M ) H_(DR)^(k)(M)H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)HDRk(M) と表す. 各 Ω k ( M ) Ω k ( M ) Omega^(k)(M)\Omega^{k}(M)Ωk(M) は実 ベクトル空間なので, H DR k ( M ) H DR k ( M ) H_(DR)^(k)(M)H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)HDRk(M) も実べクトル空間であることに注意する. ま た, Ker d k d k d_(k)d_{k}dk の各元は k k k\boldsymbol{k}k 次閉微分形式 (closed form of degree k k k\boldsymbol{k}k ) とよば れ, Im d k 1 Im d k 1 Imd_(k-1)\operatorname{Im} d_{k-1}Imdk1 の各元は k k k\boldsymbol{k}k 次完全微分形式 (exact form of degree k k k\boldsymbol{k}k ) とよば
れる。

5.2 ド・ラームの定理

この節において, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体のド・ラームコホモロジー群と実係数の特異コ ホモロジー群が同型であることを主張する, ド・ラームの定理について述べる ことにする。その証明には、ストークスの定理(定理 3.10.1)が用いられる。
この節において, r 1 r 1 r >= 1r \geq 1r1 とする. M M MMM n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体とし, c = i = 1 l a i σ i c = i = 1 l a i σ i c=sum_(i=1)^(l)a_(i)sigma_(i)c=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \sigma_{i}c=i=1laiσi

M M MMM への C r C r C^(r)C^{r}Cr 写像であるとき, c c ccc F F F\mathbb{F}F 係数の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級特異 k k k\boldsymbol{k}k チェイン ( C r C r (C^(r)-:}\left(\boldsymbol{C}^{r}-\right.(Cr singular k k k\boldsymbol{k}k-chain of coefficient F F F\mathbb{F}F ) という。Mにおける F F F\mathbb{F}F 係数の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級特異 k k kkk チエインの全体のなす自由加群を C k r ( M , F ) C k r ( M , F ) C_(k)^(r)(M,F)C_{k}^{r}(M, \mathbb{F})Ckr(M,F) と表す。明らかに, F F F\mathbb{F}F 準同型写像 k : C k ( M , F ) C k 1 ( M , F ) k : C k ( M , F ) C k 1 ( M , F ) del_(k):C_(k)(M,F)rarrC_(k-1)(M,F)\partial_{k}: C_{k}(M, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k-1}(M, \mathbb{F})k:Ck(M,F)Ck1(M,F) C k r ( M , F ) C k r ( M , F ) C_(k)^(r)(M,F)C_{k}^{r}(M, \mathbb{F})Ckr(M,F) への制限は, C k r ( M , F ) C k r ( M , F ) C_(k)^(r)(M,F)C_{k}^{r}(M, \mathbb{F})Ckr(M,F) から C k 1 r ( M , F ) C k 1 r ( M , F ) C_(k-1)^(r)(M,F)C_{k-1}^{r}(M, \mathbb{F})Ck1r(M,F) への F F F\mathbb{F}F 準同型写像を導く. この制限された F F F\mathbb{F}F 準同型写像を k C r k C r del_(k)^(C^(r))\partial_{k}^{C^{r}}kCr と表すことにする. k 1 C r k C r = 0 k 1 C r k C r = 0 del_(k-1)^(C^(r))@del_(k)^(C^(r))=0\partial_{k-1}^{C^{r}} \circ \partial_{k}^{C^{r}}=0k1CrkCr=0 が成り立つので,
( C r SC ) C r SC (C^(r)*SC)\left(C^{r} \cdot \mathrm{SC}\right)(CrSC)
k + 1 C k r ( M , F ) k C r C k 1 r ( M , F ) k 1 C r 3 C r C 2 r ( M , F ) 2 C r C 1 r ( M , F ) 1 C r C 0 r ( M , F ) 0 { 0 } k + 1 C k r ( M , F ) k C r C k 1 r ( M , F ) k 1 C r 3 C r C 2 r ( M , F ) 2 C r C 1 r ( M , F ) 1 C r C 0 r ( M , F ) 0 { 0 } {:[cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)^(r)(M","F)rarr"del_(k)^(C^(r))"C_(k-1)^(r)(M","F)rarr"del_(k-1)^(C^(r))"cdots],[cdotsrarr"del_(3)^(C^(r))"C_(2)^(r)(M","F)rarr"del_(2)^(C^(r))"C_(1)^(r)(M","F)rarr"del_(1)^(C^(r))"C_(0)^(r)(M","F)rarr"0"{0}]:}\begin{gathered} \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}^{C^{r}}} C_{k-1}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}^{C^{r}}} \cdots \\ \cdots \xrightarrow{\partial_{3}^{C^{r}}} C_{2}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}^{C^{r}}} C_{1}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}^{C^{r}}} C_{0}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\} \end{gathered}k+1Ckr(M,F)kCrCk1r(M,F)k1Cr3CrC2r(M,F)2CrC1r(M,F)1CrC0r(M,F)0{0}
は,チェイン複体を与える。このチェイン複体の F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次ホモロジー群 を H sing k ( M , F ) C r H sing k ( M , F ) C r H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r))H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}Hsingk(M,F)Cr と表し, c Ker k C r c Ker k C r c in Kerdel_(k)^(C^(r))c \in \operatorname{Ker} \partial_{k}^{C^{r}}cKerkCr の属するホモロジー類を [ c ] C r [ c ] C r [c]_(C^(r))[c]_{C^{r}}[c]Cr と表そ う. H sing k ( M , F ) C r H sing k ( M , F ) C r H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r))H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}Hsingk(M,F)Cr M M MMM F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異ホモロジー群 H k sing ( M , F ) H k sing ( M , F ) H_(k)^(sing)(M,F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F})Hksing(M,F) と同型であることが示される。その証明の概略を述べておこう. Λ : H sing k ( M , F ) C r Λ : H sing k ( M , F ) C r Lambda:H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r))\Lambda: H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}Λ:Hsingk(M,F)Cr H sing k ( M , F ) H sing  k ( M , F ) rarrH_("sing ")^(k)(M,F)\rightarrow H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F})Hsing k(M,F)
Λ ( [ c ] C r ) := [ c ] ( [ c ] C r H sing k ( M , F ) C r ) Λ [ c ] C r := [ c ] [ c ] C r H sing k ( M , F ) C r Lambda([c]_(C^(r))):=[c]quad([c]_(C^(r))inH_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r)))\Lambda\left([c]_{C^{r}}\right):=[c] \quad\left([c]_{C^{r}} \in H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}\right)Λ([c]Cr):=[c]([c]CrHsingk(M,F)Cr)
によって定義する. この写像が well-defined であること,および,花準同型写像であることは明らかである. Λ Λ Lambda\LambdaΛ が単射であることを示そう. [ c 1 ] C r , [ c 2 ] C r c 1 C r , c 2 C r [c_(1)]_(C^(r)),[c_(2)]_(C^(r))in\left[c_{1}\right]_{C^{r}},\left[c_{2}\right]_{C^{r}} \in[c1]Cr,[c2]Cr H sing k ( M , F ) C r H sing  k ( M , F ) C r H_("sing ")^(k)(M,F)_(C^(r))H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}Hsing k(M,F)Cr を任意にとる。 c i = j = 1 l i a i j σ i j ( a i j F , σ i j : C r c i = j = 1 l i a i j σ i j a i j F , σ i j : C r c_(i)=sum_(j=1)^(l_(i))a_(ij)sigma_(ij)(a_(ij)inF,sigma_(ij):C^(r):}c_{i}=\sum_{j=1}^{l_{i}} a_{i j} \sigma_{i j}\left(a_{i j} \in \mathbb{F}, \sigma_{i j}: C^{r}\right.ci=j=1liaijσij(aijF,σij:Cr 級の特異 k k kkk単体 ) ( i = 1 , 2 ) ) ( i = 1 , 2 ) )(i=1,2))(i=1,2))(i=1,2) とする. Λ ( [ c 1 ] C r ) = Λ ( [ c 2 ] C r ) Λ c 1 C r = Λ c 2 C r Lambda([c_(1)]_(C^(r)))=Lambda([c_(2)]_(C^(r)))\Lambda\left(\left[c_{1}\right]_{C^{r}}\right)=\Lambda\left(\left[c_{2}\right]_{C^{r}}\right)Λ([c1]Cr)=Λ([c2]Cr) とすると, c 1 c 2 = η c 1 c 2 = η c_(1)-c_(2)=del etac_{1}-c_{2}=\partial \etac1c2=η と なる η C k + 1 sing ( M , F ) η C k + 1 sing ( M , F ) eta inC_(k+1)^(sing)(M,F)\eta \in C_{k+1}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F})ηCk+1sing(M,F) が存在する. さらに, η = j = 1 l b j τ j ( b j F , τ j η = j = 1 l b j τ j b j F , τ j eta=sum_(j=1)^(l)b_(j)tau_(j)quad(b_(j)inF,tau_(j):}\eta=\sum_{j=1}^{l} b_{j} \tau_{j} \quad\left(b_{j} \in \mathbb{F}, \tau_{j}\right.η=j=1lbjτj(bjF,τj : 特異
( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) 単体)として, 各 τ j τ j tau_(j)\tau_{j}τj の境界を固定してわずかに連続変形してえられる C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の特異 ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) 単体を τ ^ j τ ^ j widehat(tau)_(j)\widehat{\tau}_{j}τ^j とし, η ^ := j = 1 l b j τ ^ j η ^ := j = 1 l b j τ ^ j hat(eta):=sum_(j=1)^(l)b_(j) hat(tau)_(j)\hat{\eta}:=\sum_{j=1}^{l} b_{j} \hat{\tau}_{j}η^:=j=1lbjτ^j とする. このとき, η ^ η ^ hat(eta)\hat{\eta}η^ C r C r C^(r)C^{r}Cr級の特異 ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) チェインになり,
k + 1 C r ( η ^ ) = k + 1 ( η ) = c 1 c 2 k + 1 C r ( η ^ ) = k + 1 ( η ) = c 1 c 2 del_(k+1)^(C^(r))( hat(eta))=del_(k+1)(eta)=c_(1)-c_(2)\partial_{k+1}^{C^{r}}(\hat{\eta})=\partial_{k+1}(\eta)=c_{1}-c_{2}k+1Cr(η^)=k+1(η)=c1c2
となる、それゆえ, [ c 1 ] C r = [ c 2 ] C r c 1 C r = c 2 C r [c_(1)]_(C^(r))=[c_(2)]_(C^(r))\left[c_{1}\right]_{C^{r}}=\left[c_{2}\right]_{C^{r}}[c1]Cr=[c2]Cr をえる. したがって、 Λ Λ Lambda\LambdaΛ が単射であること が示される. 次に, Λ Λ Lambda\LambdaΛ が全射であることを示そう. 任意に, [ c ] H sing k ( M , F ) [ c ] H sing k ( M , F ) [c]inH_(sing)^(k)(M,F)[c] \in H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})[c]Hsingk(M,F) をとる. c = j = 1 l a j σ j ( a j F , σ j c = j = 1 l a j σ j a j F , σ j c=sum_(j=1)^(l)a_(j)sigma_(j)(a_(j)inF,sigma_(j):}c=\sum_{j=1}^{l} a_{j} \sigma_{j}\left(a_{j} \in \mathbb{F}, \sigma_{j}\right.c=j=1lajσj(ajF,σj : 特異 k k kkk 単体 ) ) ))) とする. 各 σ j σ j sigma_(j)\sigma_{j}σj の境界を 固定してわずかに連続変形してえられる C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の特異 k k kkk 単体を σ ^ j σ ^ j widehat(sigma)_(j)\widehat{\sigma}_{j}σ^j とし, c ^ := c ^ := hat(c):=\hat{c}:=c^:= j = 1 l a j σ ^ j j = 1 l a j σ ^ j sum_(j=1)^(l)a_(j) hat(sigma)_(j)\sum_{j=1}^{l} a_{j} \hat{\sigma}_{j}j=1lajσ^j とする. このとき, c ^ c ^ hat(c)\hat{c}c^ C r C r C^(r)C^{r}Cr 級の特異 ( k + 1 ) ( k + 1 ) (k+1)(k+1)(k+1) チェインになり, k C r ( c ^ ) k C r ( c ^ ) del_(k)^(C^(r))( hat(c))\partial_{k}^{C^{r}}(\hat{c})kCr(c^) = k ( c ) = 0 = k ( c ) = 0 =del_(k)(c)=0=\partial_{k}(c)=0=k(c)=0, さらに [ c ] = [ c ^ ] = Λ ( [ c ^ ] C r ) [ c ] = [ c ^ ] = Λ [ c ^ ] C r [c]=[ hat(c)]=Lambda([( hat(c))]_(C^(r)))[c]=[\hat{c}]=\Lambda\left([\hat{c}]_{C^{r}}\right)[c]=[c^]=Λ([c^]Cr) が示される. したがって, Λ Λ Lambda\LambdaΛ が 全射であることがわかる。このように Λ Λ Lambda\LambdaΛ は, H k sing ( M , F ) C r H k sing ( M , F ) C r H_(k)^(sing)(M,F)_(C_(r))H_{k}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F})_{C_{r}}Hksing(M,F)Cr から H k sing ( M , F ) H k sing ( M , F ) H_(k)^(sing)(M,F)H_{k}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F})Hksing(M,F) への F F F\mathbb{F}F 同型写像であり, この F F F\mathbb{F}F 同型写像を通じて, H sing k ( M , F ) H sing k ( M , F ) H_(sing)^(k)(M,F)H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})Hsingk(M,F) H sing k ( M , F ) C r H sing k ( M , F ) C r H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r))H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}Hsingk(M,F)Cr と同一視することにする。以下, H sing k ( M , F ) H sing k ( M , F ) H_(sing)^(k)(M,F)H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})Hsingk(M,F) H sing k ( M , F ) C r H sing k ( M , F ) C r H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r))H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}Hsingk(M,F)Cr を意味するものとする.
C k r ( X , F ) C k r ( X , F ) C_(k)^(r)(X,F)C_{k}^{r}(X, \mathbb{F})Ckr(X,F) の双対空間,つまり, C k r ( X , F ) C k r ( X , F ) C_(k)^(r)(X,F)C_{k}^{r}(X, \mathbb{F})Ckr(X,F) から F F F F FへのF\mathbb{F} へ の \mathbb{F}FF 準同型写像全体の なす F F F\mathbb{F}F 加群 C k r ( X , F ) C k r ( X , F ) C_(k)^(r)(X,F)^(**)C_{k}^{r}(X, \mathbb{F})^{*}Ckr(X,F) ( C k ) r ( X , F ) C k r ( X , F ) (C^(k))^(r)(X,F)\left(C^{k}\right)^{r}(X, \mathbb{F})(Ck)r(X,F) と表す. F F F\mathbb{F}F 準同型写像 δ k : ( C k ) r ( X , F ) δ k : C k r ( X , F ) delta_(k):(C^(k))^(r)(X,F)\delta_{k}:\left(C^{k}\right)^{r}(X, \mathbb{F})δk:(Ck)r(X,F) ( C k + 1 ) r ( X , F ) C k + 1 r ( X , F ) rarr(C^(k+1))^(r)(X,F)\rightarrow\left(C^{k+1}\right)^{r}(X, \mathbb{F})(Ck+1)r(X,F) δ k = ρ k + 1 δ k = ρ k + 1 delta_(k)=rho@del_(k+1)\delta_{k}=\rho \circ \partial_{k+1}δk=ρk+1 によって定義する. このとき明らかに, δ k δ k 1 = 0 δ k δ k 1 = 0 delta_(k)@delta_(k-1)=0\delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0δkδk1=0 が成り立ち, それゆえ,
( C r SCC ) C r SCC (C^(r)*SCC)\left(C^{r} \cdot \mathrm{SCC}\right)(CrSCC)
{ 0 } δ 0 ( C 1 ) r ( X , F ) δ 1 ( C 2 ) r ( X , F ) δ 2 δ k 1 ( C k ) r ( X , F ) δ k ( C k + 1 ) r ( X , F ) δ k + 1 { 0 } δ 0 C 1 r ( X , F ) δ 1 C 2 r ( X , F ) δ 2 δ k 1 C k r ( X , F ) δ k C k + 1 r ( X , F ) δ k + 1 {:[{0}rarr"delta_(0)"(C^(1))^(r)(X","F)rarr"delta_(1)"(C^(2))^(r)(X","F)rarr"delta_(2)"cdots],[ cdotsrarr"delta_(k-1)"(C^(k))^(r)(X","F)rarr"delta_(k)"(C^(k+1))^(r)(X","F)rarr"delta_(k+1)"cdots]:}\begin{aligned} & \{\mathbf{0}\} \xrightarrow{\delta_{0}}\left(C^{1}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{1}}\left(C^{2}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \\ & \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}}\left(C^{k}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}}\left(C^{k+1}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots \end{aligned}{0}δ0(C1)r(X,F)δ1(C2)r(X,F)δ2δk1(Ck)r(X,F)δk(Ck+1)r(X,F)δk+1
は, コチェイン複体を与える。このコチェイン複体の k k kkk 次コホモロジー群は, M M MMM F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異コホモロジー群 H sing k ( M , F ) H sing k ( M , F ) H_(sing)^(k)(M,F)H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})Hsingk(M,F) F F F\mathbb{F}F 同型であることが示 される. 以下, C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異コホモロジー群 H sing k ( M , F ) H sing k ( M , F ) H_(sing)^(k)(M,F)H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})Hsingk(M,F) は, コチェイン複体 ( C r SCC ) C r SCC (C^(r)*SCC)\left(C^{r} \cdot \mathrm{SCC}\right)(CrSCC) k k kkk 次コホモロジー群として定義されるものを意味するものとする.
k k /_\^(k)\triangle^{k}k を, R k R k R^(k)\mathbb{R}^{k}Rk の区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ有界閉領域とみなし, R k R k R^(k)\mathbb{R}^{k}Rk の正の 向きから定まる向きにより向き付けられているとする。 M M MMM 上の C r C r C^(r)C^{r}Cr k k kkk 次微
分形式 ω ω omega\omegaω M M MMM におけ実係数の C r C r C^(r)C^{r}Cr 級特異 k k kkk チェイン c = i = 1 l a i σ i c = i = 1 l a i σ i c=sum_(i=1)^(l)a_(i)sigma_(i)c=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \sigma_{i}c=i=1laiσi に対し, c ω c ω int_(c)omega\int_{c} \omegacω を次式によって定義する:
c ω := i = 1 l a i k σ i ω c ω := i = 1 l a i k σ i ω int_(c)omega:=sum_(i=1)^(l)a_(i)int_(/_\^(k))sigma_(i)^(**)omega\int_{c} \omega:=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \int_{\triangle^{k}} \sigma_{i}^{*} \omegacω:=i=1laikσiω
ただし, k σ i ω k σ i ω int_(/_\_(k))sigma_(i)^(**)omega\int_{\triangle_{k}} \sigma_{i}^{*} \omegakσiω は,区分的に C C C^(oo)C^{\infty}C 級の境界をもつ上述のように向き付けら れた有界閉領域 k k /_\^(k)\triangle^{k}k 上の C r 1 C r 1 C^(r-1)C^{r-1}Cr1 級の k k kkk 次微分形式 σ i ω σ i ω sigma_(i)^(**)omega\sigma_{i}^{*} \omegaσiω の積分を表している (これは 3.10 節で定義済み). この量 c ω ω c ω ω int_(c)omegaをomega\int_{c} \omega を \omegacωω C r C r C^(r)C^{r}Cr 級特異 k k kkk チェイン c c ccc 上 の積分(the integral of ω ω omega\boldsymbol{\omega}ω over a C r C r C^(r)\boldsymbol{C}^{r}Cr-singular k k k\boldsymbol{k}k-chain c c c\boldsymbol{c}c ) とよぶ.
定理 5.2.1(ド・ラームの定理) n n nnn 次元 C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM に対し, M M MMM k k kkk 次 ド・ラームコホモロジー群 H DR k ( M ) H DR k ( M ) H_(DR)^(k)(M)H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)HDRk(M) M M MMM の実係数の k k kkk 次特異コホモロジー 群 H sing k ( M , R ) H sing  k ( M , R ) H_("sing ")^(k)(M,R)H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{R})Hsing k(M,R) は同型である ( k = 0 , 1 , , n ) ( k = 0 , 1 , , n ) (k=0,1,dots,n)(k=0,1, \ldots, n)(k=0,1,,n).
ド・ラームの定理を証明する前に, マイヤー・ヴイートリス完全系列につい て述べておく. f f fff C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 M M MMM から C C C^(oo)C^{\infty}C 多様体 N N NNN への C C C^(oo)C^{\infty}C 写像とする. このとき, M , N M , N M,NM, NM,N F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異チェイン群間の準同型写像 f f f_(**)f_{*}f : C k r ( M , F ) C k r ( N , F ) C k r ( M , F ) C k r ( N , F ) C_(k)^(r)(M,F)rarrC_(k)^(r)(N,F)C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k}^{r}(N, \mathbb{F})Ckr(M,F)Ckr(N,F) が次のように定義される:
f ( c ) := i = 1 l a i ( f σ i ) ( c = i = 1 l a i σ i C k r ( M , F ) ) f ( c ) := i = 1 l a i f σ i c = i = 1 l a i σ i C k r ( M , F ) f_(**)(c):=sum_(i=1)^(l)a_(i)(f@sigma_(i))quad(c=sum_(i=1)^(l)a_(i)sigma_(i)inC_(k)^(r)(M,F))f_{*}(c):=\sum_{i=1}^{l} a_{i}\left(f \circ \sigma_{i}\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \sigma_{i} \in C_{k}^{r}(M, \mathbb{F})\right)f(c):=i=1lai(fσi)(c=i=1laiσiCkr(M,F))
この準同型写像 f f f_(**)f_{*}f を用いて, M , N M , N M,NM, NM,N F F F\mathbb{F}F 係数の k k kkk 次特異コホモロジー群間の 準同型写像 f sing : H sing k ( N , F ) H sing k ( M , F ) f sing  : H sing  k ( N , F ) H sing  k ( M , F ) f_("sing ")^(**):H_("sing ")^(k)(N,F)rarrH_("sing ")^(k)(M,F)f_{\text {sing }}^{*}: H_{\text {sing }}^{k}(N, \mathbb{F}) \rightarrow H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F})fsing :Hsing k(N,F)Hsing k(M,F) が次のように定義される:
f sing ( [ ρ ] ) := [ ρ f ] ( [ ρ ] H sing k ( N , F ) ) f sing  ( [ ρ ] ) := ρ f [ ρ ] H sing  k ( N , F ) f_("sing ")^(**)([rho]):=[rho@f_(**)]quad([rho]inH_("sing ")^(k)(N,F))f_{\text {sing }}^{*}([\rho]):=\left[\rho \circ f_{*}\right] \quad\left([\rho] \in H_{\text {sing }}^{k}(N, \mathbb{F})\right)fsing ([ρ]):=[ρf]([ρ]Hsing k(N,F))
また, 線形写像 f DR : H DR k ( N ) H DR k ( M ) f DR : H DR k ( N ) H DR k ( M ) f_(DR)^(**):H_(DR)^(k)(N)rarrH_(DR)^(k)(M)f_{\mathrm{DR}}^{*}: H_{\mathrm{DR}}^{k}(N) \rightarrow H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)fDR:HDRk(N)HDRk(M) が次のように定義される:
f DR ( [ ω ] ) := [ f ω ] ( [ ω ] H DR k ( M ) ) f DR ( [ ω ] ) := f ω [ ω ] H DR k ( M ) f_(DR)^(**)([omega]):=[f^(**)omega]quad([omega]inH_(DR)^(k)(M))f_{\mathrm{DR}}^{*}([\omega]):=\left[f^{*} \omega\right] \quad\left([\omega] \in H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)\right)fDR([ω]):=[fω]([ω]HDRk(M))
{ U , V } { U , V } {U,V}\{U, V\}{U,V} M M MMM の開被覆とし, ι U , ι V ι U , ι V iota_(U),iota_(V)\iota_{U}, \iota_{V}ιU,ιV を各々, U , V U , V U,VU, VU,V から M M MMM への包含写像とし, ι U , ι V ι U , ι V iota^(U),iota^(V)\iota^{U}, \iota^{V}ιU,ιV を各々, U V U V U nn VU \cap VUV から U , V U , V U,VU, VU,V への包含写像とする. このとき, 次のマイヤ ー・ヴイートリス完全系列が成り立つ.

  1. IサZ 新へに人さ率用 &・T