証明最初に,
D
D
D D D がある局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に含まれ,
φ
(
D
)
φ
(
D
)
varphi(D) \varphi(D) φ ( D ) が次のように与えられる場合を考えることにする:
(3.10.1)
φ
(
D
)
=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∣
a
i
≤
x
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
}
(3.10.1)
φ
(
D
)
=
x
1
,
…
,
x
n
∣
a
i
≤
x
i
≤
b
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{:(3.10.1)varphi(D)={(x_(1),dots,x_(n))∣a_(i) <= x_(i) <= b_(i)(i=1,dots,n)}:} \begin{equation*}
\varphi(D)=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid a_{i} \leq x_{i} \leq b_{i}(i=1, \ldots, n)\right\} \tag{3.10.1}
\end{equation*} (3.10.1) φ ( D ) = { ( x 1 , … , x n ) ∣ a i ≤ x i ≤ b i ( i = 1 , … , n ) }
ここで,
a
i
,
b
i
a
i
,
b
i
a_(i),b_(i) a_{i}, b_{i} a i , b i は定数を表す.
S
i
±
(
i
=
1
,
…
,
n
)
S
i
±
(
i
=
1
,
…
,
n
)
S_(i)^(+-)(i=1,dots,n) S_{i}^{ \pm}(i=1, \ldots, n) S i ± ( i = 1 , … , n ) を
S
i
+
:=
{
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∣
x
i
=
b
i
,
a
j
≤
x
j
≤
b
j
(
j
≠
i
)
}
S
i
−
:=
{
φ
−
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∣
x
i
=
a
i
,
a
j
≤
x
j
≤
b
j
(
j
≠
i
)
}
S
i
+
:=
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
∣
x
i
=
b
i
,
a
j
≤
x
j
≤
b
j
(
j
≠
i
)
S
i
−
:=
φ
−
1
x
1
,
…
,
x
n
∣
x
i
=
a
i
,
a
j
≤
x
j
≤
b
j
(
j
≠
i
)
{:[S_(i)^(+):={varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))∣x_(i)=b_(i),a_(j) <= x_(j) <= b_(j)(j!=i)}],[S_(i)^(-):={varphi^(-1)(x_(1),dots,x_(n))∣x_(i)=a_(i),a_(j) <= x_(j) <= b_(j)(j!=i)}]:} \begin{aligned}
& S_{i}^{+}:=\left\{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i}=b_{i}, a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}(j \neq i)\right\} \\
& S_{i}^{-}:=\left\{\varphi^{-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \mid x_{i}=a_{i}, a_{j} \leq x_{j} \leq b_{j}(j \neq i)\right\}
\end{aligned} S i + := { φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ∣ x i = b i , a j ≤ x j ≤ b j ( j ≠ i ) } S i − := { φ − 1 ( x 1 , … , x n ) ∣ x i = a i , a j ≤ x j ≤ b j ( j ≠ i ) }
によって定義される
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D 内の閉領域とする. このとき,
∂
D
=
∪
i
=
1
n
(
S
i
+
∪
S
i
−
)
∂
D
=
∪
i
=
1
n
S
i
+
∪
S
i
−
del D=uu_(i=1)^(n)(S_(i)^(+)uuS_(i)^(-)) \partial D=\cup_{i=1}^{n}\left(S_{i}^{+} \cup S_{i}^{-}\right) ∂ D = ∪ i = 1 n ( S i + ∪ S i − ) となる. 各
S
i
±
S
i
±
S_(i)^(+-) S_{i}^{ \pm} S i ± には,
O
O
O O O から誘導される向きが上述のように定義される。
ω
ω
omega \omega ω の 局所表示を
ω
=
∑
i
=
1
n
ω
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
ω
=
∑
i
=
1
n
ω
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
omega=sum_(i=1)^(n)omega_(i)dx_(1)^^cdots^^ widehat(dx_(i))^^cdots^^dx_(n) \omega=\sum_{i=1}^{n} \omega_{i} d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n} ω = ∑ i = 1 n ω i d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n
とする. ここで
d
x
i
^
d
x
i
^
widehat(dx_(i)) \widehat{d x_{i}} d x i ^ は、
d
x
i
d
x
i
dx_(i) d x_{i} d x i を取り除くことを意味する. このとき,
d
ω
d
ω
d omega d \omega d ω は
d
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
(
∂
(
ω
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
d
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∂
ω
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
d omega=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)((del(omega_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)dx_(1)^^cdots^^dx_(n) d \omega=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\left(\frac{\partial\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} d ω = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ( ∂ ( ω i ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n
と局所表示され, それゆえ,
(3.10.2)
∫
D
d
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
…
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
(
ω
i
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
)
d
x
1
…
d
x
i
^
…
d
x
n
−
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
(
ω
i
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
(3.10.2)
∫
D
d
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
…
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
d
x
1
…
d
x
i
^
…
d
x
n
−
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
{:(3.10.2){:[int_(D)d omega=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))dots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n))],[dx_(1)dots widehat(dx_(i))dots dx_(n)],[-sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n))],[dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:}:} \begin{array}{r}
\int_{D} d \omega=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \ldots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right) \\
d x_{1} \ldots \widehat{d x_{i}} \ldots d x_{n} \\
-\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right) \\
d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \tag{3.10.2}
\end{array} (3.10.2) ∫ D d ω = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ∫ a 1 b 1 … ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ( ω i ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , b i , … , x n ) d x 1 … d x i ^ … d x n − ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ( ω i ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , a i , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i ^ ⋯ d x n
をえる.
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D から
M
M
M M M への包含写像を
ι
ι
iota \iota ι で表し,
S
j
±
S
j
±
S_(j)^(+-) S_{j}^{ \pm} S j ± から
M
M
M M M への包含写像を
ι
j
±
ι
j
±
iota_(j)^(+-) \iota_{j}^{ \pm} ι j ± で表すことにする. このとき,
∫
∂
D
ι
∗
ω
=
∑
j
=
1
n
(
∫
S
j
+
(
ι
j
+
)
∗
ω
+
∫
S
j
−
(
ι
j
−
)
∗
ω
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
∫
S
j
+
(
ω
i
∘
ι
j
+
)
⋅
(
ι
j
+
)
∗
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
)
+
∫
S
j
−
(
ω
i
∘
ι
j
−
)
⋅
(
ι
j
−
)
∗
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
)
)
∫
∂
D
ι
∗
ω
=
∑
j
=
1
n
∫
S
j
+
ι
j
+
∗
ω
+
∫
S
j
−
ι
j
−
∗
ω
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
∫
S
j
+
ω
i
∘
ι
j
+
⋅
ι
j
+
∗
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
+
∫
S
j
−
ω
i
∘
ι
j
−
⋅
ι
j
−
∗
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
{:[int_(del D)iota^(**)omega=sum_(j=1)^(n)(int_(S_(j)^(+))(iota_(j)^(+))^(**)omega+int_(S_(j)^(-))(iota_(j)^(-))^(**)omega)],[=sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(n)(int_(S_(j)^(+))(omega_(i)@iota_(j)^(+))*(iota_(j)^(+))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n)):}],[{: quad+int_(S_(j)^(-))(omega_(i)@iota_(j)^(-))*(iota_(j)^(-))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n)))]:} \begin{aligned}
& \int_{\partial D} \iota^{*} \omega= \sum_{j=1}^{n}\left(\int_{S_{j}^{+}}\left(\iota_{j}^{+}\right)^{*} \omega+\int_{S_{j}^{-}}\left(\iota_{j}^{-}\right)^{*} \omega\right) \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\int_{S_{j}^{+}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{j}^{+}\right) \cdot\left(\iota_{j}^{+}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\right. \\
&\left.\quad+\int_{S_{j}^{-}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{j}^{-}\right) \cdot\left(\iota_{j}^{-}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\right)
\end{aligned} ∫ ∂ D ι ∗ ω = ∑ j = 1 n ( ∫ S j + ( ι j + ) ∗ ω + ∫ S j − ( ι j − ) ∗ ω ) = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n ( ∫ S j + ( ω i ∘ ι j + ) ⋅ ( ι j + ) ∗ ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n ) + ∫ S j − ( ω i ∘ ι j − ) ⋅ ( ι j − ) ∗ ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n ) )
をえる。一方,
(
ι
i
±
)
∗
d
x
i
(
:=
d
(
x
i
∘
ι
i
±
)
∗
)
=
0
ι
i
±
∗
d
x
i
:=
d
x
i
∘
ι
i
±
∗
=
0
(iota_(i)^(+-))^(**)dx_(i)(:=d(x_(i)@iota_(i)^(+-))_(**))=0 \left(\iota_{i}^{ \pm}\right)^{*} d x_{i}\left(:=d\left(x_{i} \circ \iota_{i}^{ \pm}\right)_{*}\right)=0 ( ι i ± ) ∗ d x i ( := d ( x i ∘ ι i ± ) ∗ ) = 0 に注意することにより,
j
≠
i
j
≠
i
j!=i j \neq i j ≠ i の とき,
∫
S
j
±
(
ω
i
∘
ι
j
±
)
⋅
(
ι
j
±
)
∗
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
)
=
0
∫
S
j
±
ω
i
∘
ι
j
±
⋅
ι
j
±
∗
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
=
0
int_(S_(j)^(+-))(omega_(i)@iota_(j)^(+-))*(iota_(j)^(+-))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))=0 \int_{S_{j}^{ \pm}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{j}^{ \pm}\right) \cdot\left(\iota_{j}^{ \pm}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)=0 ∫ S j ± ( ω i ∘ ι j ± ) ⋅ ( ι j ± ) ∗ ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n ) = 0
が示される.
η
i
±
:
φ
(
S
i
±
)
→
R
n
−
1
η
i
±
:
φ
S
i
±
→
R
n
−
1
eta_(i)^(+-):varphi(S_(i)^(+-))rarrR^(n-1) \eta_{i}^{ \pm}: \varphi\left(S_{i}^{ \pm}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{n-1} η i ± : φ ( S i ± ) → R n − 1 を
η
i
+
(
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
)
:=
(
(
−
1
)
i
−
1
x
1
,
x
2
,
…
,
x
i
^
,
…
,
x
n
)
η
i
−
(
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
)
:=
(
(
−
1
)
i
x
1
,
x
2
,
…
,
x
i
^
,
…
,
x
n
)
η
i
+
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
:=
(
−
1
)
i
−
1
x
1
,
x
2
,
…
,
x
i
^
,
…
,
x
n
η
i
−
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
:=
(
−
1
)
i
x
1
,
x
2
,
…
,
x
i
^
,
…
,
x
n
{:[eta_(i)^(+)(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n)):=((-1)^(i-1)x_(1),x_(2),dots,( widehat(x_(i))),dots,x_(n))],[eta_(i)^(-)(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n)):=((-1)^(i)x_(1),x_(2),dots,( widehat(x_(i))),dots,x_(n))]:} \begin{aligned}
& \eta_{i}^{+}\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right):=\left((-1)^{i-1} x_{1}, x_{2}, \ldots, \widehat{x_{i}}, \ldots, x_{n}\right) \\
& \eta_{i}^{-}\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right):=\left((-1)^{i} x_{1}, x_{2}, \ldots, \widehat{x_{i}}, \ldots, x_{n}\right)
\end{aligned} η i + ( x 1 , … , b i , … , x n ) := ( ( − 1 ) i − 1 x 1 , x 2 , … , x i ^ , … , x n ) η i − ( x 1 , … , a i , … , x n ) := ( ( − 1 ) i x 1 , x 2 , … , x i ^ , … , x n )
で定める. ここで
x
i
^
x
i
^
widehat(x_(i)) \widehat{x_{i}} x i ^ は,
x
i
x
i
x_(i) x_{i} x i を取り除くことを意味する.
φ
i
±
:=
(
η
i
±
∘
φ
)
|
S
i
±
φ
i
±
:=
η
i
±
∘
φ
S
i
±
varphi_(i)^(+-):=(eta_(i)^(+-)@varphi)|_(S_(i)^(+-)) \varphi_{i}^{ \pm}:=\left.\left(\eta_{i}^{ \pm} \circ \varphi\right)\right|_{S_{i}^{ \pm}} φ i ± := ( η i ± ∘ φ ) | S i ± と おく. このとき
(
S
i
±
,
φ
i
±
)
S
i
±
,
φ
i
±
(S_(i)^(+-),varphi_(i)^(+-)) \left(S_{i}^{ \pm}, \varphi_{i}^{ \pm}\right) ( S i ± , φ i ± ) は,
S
i
±
S
i
±
S_(i)^(+-) S_{i}^{ \pm} S i ± の向きに関して, 正の局所チャートになる.
φ
i
±
=
(
y
1
i
,
±
,
…
,
y
i
−
1
i
,
±
,
y
i
+
1
i
,
±
,
…
,
y
n
i
,
±
)
φ
i
±
=
y
1
i
,
±
,
…
,
y
i
−
1
i
,
±
,
y
i
+
1
i
,
±
,
…
,
y
n
i
,
±
varphi_(i)^(+-)=(y_(1)^(i,+-),dots,y_(i-1)^(i,+-),y_(i+1)^(i,+-),dots,y_(n)^(i,+-)) \varphi_{i}^{ \pm}=\left(y_{1}^{i, \pm}, \ldots, y_{i-1}^{i, \pm}, y_{i+1}^{i, \pm}, \ldots, y_{n}^{i, \pm}\right) φ i ± = ( y 1 i , ± , … , y i − 1 i , ± , y i + 1 i , ± , … , y n i , ± )
とする. このとき,
∫
S
i
+
(
ω
i
∘
ι
i
+
)
⋅
(
ι
i
+
)
∗
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
)
=
∫
S
i
+
(
ω
i
∘
ι
i
+
)
⋅
(
−
1
)
i
−
1
(
d
y
1
i
,
+
∧
⋯
∧
d
y
i
−
1
i
,
+
∧
d
y
i
+
1
i
,
+
∧
⋯
∧
d
y
n
i
,
+
)
=
(
−
1
)
i
−
1
∫
(
−
1
)
i
−
1
a
1
(
−
1
)
i
−
1
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
(
ω
i
∘
(
φ
i
+
)
−
1
)
(
y
1
,
…
,
y
i
^
,
…
,
y
n
)
d
y
1
⋯
d
y
i
^
⋯
d
y
n
=
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
(
ω
i
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
∫
S
i
+
ω
i
∘
ι
i
+
⋅
ι
i
+
∗
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
=
∫
S
i
+
ω
i
∘
ι
i
+
⋅
(
−
1
)
i
−
1
d
y
1
i
,
+
∧
⋯
∧
d
y
i
−
1
i
,
+
∧
d
y
i
+
1
i
,
+
∧
⋯
∧
d
y
n
i
,
+
=
(
−
1
)
i
−
1
∫
(
−
1
)
i
−
1
a
1
(
−
1
)
i
−
1
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
∘
φ
i
+
−
1
y
1
,
…
,
y
i
^
,
…
,
y
n
d
y
1
⋯
d
y
i
^
⋯
d
y
n
=
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
{:[int_(S_(i)^(+))(omega_(i)@iota_(i)^(+))*(iota_(i)^(+))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))],[=int_(S_(i)^(+))(omega_(i)@iota_(i)^(+))*(-1)^(i-1)(dy_(1)^(i,+)^^cdots^^dy_(i-1)^(i,+)^^dy_(i+1)^(i,+)^^cdots^^dy_(n)^(i,+))],[=(-1)^(i-1)int_((-1)^(i-1)a_(1))^((-1)^(i-1)b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@(varphi_(i)^(+))^(-1))(y_(1),dots,( widehat(y_(i))),dots,y_(n))],[dy_(1)cdots widehat(dy_(i))cdots dy_(n)],[=(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:} \begin{aligned}
& \int_{S_{i}^{+}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{+}\right) \cdot\left(\iota_{i}^{+}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \\
&= \int_{S_{i}^{+}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{+}\right) \cdot(-1)^{i-1}\left(d y_{1}^{i,+} \wedge \cdots \wedge d y_{i-1}^{i,+} \wedge d y_{i+1}^{i,+} \wedge \cdots \wedge d y_{n}^{i,+}\right) \\
&=(-1)^{i-1} \int_{(-1)^{i-1} a_{1}}^{(-1)^{i-1} b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ\left(\varphi_{i}^{+}\right)^{-1}\right)\left(y_{1}, \ldots, \widehat{y_{i}}, \ldots, y_{n}\right) \\
& d y_{1} \cdots \widehat{d y_{i}} \cdots d y_{n} \\
&=(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n}
\end{aligned} ∫ S i + ( ω i ∘ ι i + ) ⋅ ( ι i + ) ∗ ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n ) = ∫ S i + ( ω i ∘ ι i + ) ⋅ ( − 1 ) i − 1 ( d y 1 i , + ∧ ⋯ ∧ d y i − 1 i , + ∧ d y i + 1 i , + ∧ ⋯ ∧ d y n i , + ) = ( − 1 ) i − 1 ∫ ( − 1 ) i − 1 a 1 ( − 1 ) i − 1 b 1 ∫ a 2 b 2 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ( ω i ∘ ( φ i + ) − 1 ) ( y 1 , … , y i ^ , … , y n ) d y 1 ⋯ d y i ^ ⋯ d y n = ( − 1 ) i − 1 ∫ a 1 b 1 ∫ a 2 b 2 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ( ω i ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , b i , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i ^ ⋯ d x n
および,
∫
S
i
−
(
ω
i
∘
ι
i
−
)
⋅
(
ι
i
−
)
∗
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
)
=
∫
S
i
−
(
ω
i
∘
ι
i
−
)
⋅
(
−
1
)
i
(
d
y
1
i
,
−
∧
⋯
∧
d
y
i
−
1
i
,
−
∧
d
y
i
+
1
i
,
−
∧
⋯
∧
d
y
n
i
,
−
)
=
(
−
1
)
i
∫
(
−
1
)
i
a
1
(
−
1
)
i
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
(
y
1
,
…
,
y
i
^
,
…
,
y
n
)
d
y
1
⋯
d
y
i
^
⋯
d
y
n
=
(
−
1
)
i
∫
a
1
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
(
ω
i
∘
φ
−
1
)
(
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
∫
S
i
−
ω
i
∘
ι
i
−
⋅
ι
i
−
∗
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
=
∫
S
i
−
ω
i
∘
ι
i
−
⋅
(
−
1
)
i
d
y
1
i
,
−
∧
⋯
∧
d
y
i
−
1
i
,
−
∧
d
y
i
+
1
i
,
−
∧
⋯
∧
d
y
n
i
,
−
=
(
−
1
)
i
∫
(
−
1
)
i
a
1
(
−
1
)
i
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
y
1
,
…
,
y
i
^
,
…
,
y
n
d
y
1
⋯
d
y
i
^
⋯
d
y
n
=
(
−
1
)
i
∫
a
1
b
1
∫
a
2
b
2
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
∘
φ
−
1
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
{:[int_(S_(i)^(-))(omega_(i)@iota_(i)^(-))*(iota_(i)^(-))^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))],[=int_(S_(i)^(-))(omega_(i)@iota_(i)^(-))*(-1)^(i)(dy_(1)^(i,-)^^cdots^^dy_(i-1)^(i,-)^^dy_(i+1)^(i,-)^^cdots^^dy_(n)^(i,-))],[=(-1)^(i)int_((-1)^(i)a_(1))^((-1)^(i)b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))omega_(i)(y_(1),dots,( widehat(y_(i))),dots,y_(n))],[dy_(1)cdots widehat(dy_(i))cdots dy_(n)],[=(-1)^(i)int_(a_(1))^(b_(1))int_(a_(2))^(b_(2))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))(omega_(i)@varphi^(-1))(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:} \begin{aligned}
& \int_{S_{i}^{-}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{-}\right) \cdot\left(\iota_{i}^{-}\right)^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \\
&= \int_{S_{i}^{-}}\left(\omega_{i} \circ \iota_{i}^{-}\right) \cdot(-1)^{i}\left(d y_{1}^{i,-} \wedge \cdots \wedge d y_{i-1}^{i,-} \wedge d y_{i+1}^{i,-} \wedge \cdots \wedge d y_{n}^{i,-}\right) \\
&=(-1)^{i} \int_{(-1)^{i} a_{1}}^{(-1)^{i} b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \omega_{i}\left(y_{1}, \ldots, \widehat{y_{i}}, \ldots, y_{n}\right) \\
& d y_{1} \cdots \widehat{d y_{i}} \cdots d y_{n} \\
&=(-1)^{i} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}}\left(\omega_{i} \circ \varphi^{-1}\right)\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n}
\end{aligned} ∫ S i − ( ω i ∘ ι i − ) ⋅ ( ι i − ) ∗ ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n ) = ∫ S i − ( ω i ∘ ι i − ) ⋅ ( − 1 ) i ( d y 1 i , − ∧ ⋯ ∧ d y i − 1 i , − ∧ d y i + 1 i , − ∧ ⋯ ∧ d y n i , − ) = ( − 1 ) i ∫ ( − 1 ) i a 1 ( − 1 ) i b 1 ∫ a 2 b 2 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ω i ( y 1 , … , y i ^ , … , y n ) d y 1 ⋯ d y i ^ ⋯ d y n = ( − 1 ) i ∫ a 1 b 1 ∫ a 2 b 2 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ( ω i ∘ φ − 1 ) ( x 1 , … , a i , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i ^ ⋯ d x n
が示され, それゆえ,
∫
∂
D
ι
∗
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
(
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
(3.10.3)
−
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
(
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
)
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
∫
∂
D
ι
∗
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
x
1
,
…
,
b
i
,
…
,
x
n
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
(3.10.3)
−
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
∫
a
1
b
1
⋯
∫
a
i
b
i
^
⋯
∫
a
n
b
n
ω
i
x
1
,
…
,
a
i
,
…
,
x
n
d
x
1
⋯
d
x
i
^
⋯
d
x
n
{:[int_(del D)iota^(**)omega],[=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))omega_(i)(x_(1),dots,b_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)],[(3.10.3)-sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)int_(a_(1))^(b_(1))cdots widehat(int_(a_(i))^(b_(i)))cdotsint_(a_(n))^(b_(n))omega_(i)(x_(1),dots,a_(i),dots,x_(n))dx_(1)cdots widehat(dx_(i))cdots dx_(n)]:} \begin{align*}
& \int_{\partial D} \iota^{*} \omega \\
= & \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \omega_{i}\left(x_{1}, \ldots, b_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \\
& -\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \int_{a_{1}}^{b_{1}} \cdots \widehat{\int_{a_{i}}^{b_{i}}} \cdots \int_{a_{n}}^{b_{n}} \omega_{i}\left(x_{1}, \ldots, a_{i}, \ldots, x_{n}\right) d x_{1} \cdots \widehat{d x_{i}} \cdots d x_{n} \tag{3.10.3}
\end{align*} ∫ ∂ D ι ∗ ω = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ω i ( x 1 , … , b i , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i ^ ⋯ d x n (3.10.3) − ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ∫ a 1 b 1 ⋯ ∫ a i b i ^ ⋯ ∫ a n b n ω i ( x 1 , … , a i , … , x n ) d x 1 ⋯ d x i ^ ⋯ d x n
をえる。式 (3.10.2) と式 (3.10.3) から,
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega \int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omega ∫ D d ω = ∫ ∂ D ι ∗ ω が導かれる。
次に,
D
D
D D D がある局所チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に含まれるが,
φ
(
D
)
φ
(
D
)
varphi(D) \varphi(D) φ ( D ) が式 (3.10.1)の ような領域でない場合を考える。まず,図 3.10 .2 におけるように式 (3.10.1) タイプの小閉領域
{
E
k
j
}
j
=
1
m
k
E
k
j
j
=
1
m
k
{E_(k)^(j)}_(j=1)^(m_(k)) \left\{E_{k}^{j}\right\}_{j=1}^{m_{k}} { E k j } j = 1 m k に分割されるような(Dに含まれる)閉領域
D
k
D
k
D_(k) D_{k} D k の増加列
{
D
k
}
k
=
1
∞
D
k
k
=
1
∞
{D_(k)}_(k=1)^(oo) \left\{D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} { D k } k = 1 ∞ で, その境界の列
{
∂
D
k
}
k
=
1
∞
∂
D
k
k
=
1
∞
{delD_(k)}_(k=1)^(oo) \left\{\partial D_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} { ∂ D k } k = 1 ∞ が,次の意味で
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D に収束す るようなものをとる:
(*)
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D から
∂
D
k
∂
D
k
delD_(k) \partial D_{k} ∂ D k への同相写像
η
k
η
k
eta_(k) \eta_{k} η k の族
{
η
k
}
k
=
1
∞
η
k
k
=
1
∞
{eta_(k)}_(k=1)^(oo) \left\{\eta_{k}\right\}_{k=1}^{\infty} { η k } k = 1 ∞ で
lim
k
→
∞
sup
p
∈
∂
D
‖
(
φ
∘
η
k
)
(
p
)
−
φ
(
p
)
‖
=
0
lim
k
→
∞
sup
p
∈
∂
D
φ
∘
η
k
(
p
)
−
φ
(
p
)
=
0
lim_(k rarr oo)s u p_(p in del D)||(varphi@eta_(k))(p)-varphi(p)||=0 \lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{p \in \partial D}\left\|\left(\varphi \circ \eta_{k}\right)(p)-\varphi(p)\right\|=0 lim k → ∞ sup p ∈ ∂ D ‖ ( φ ∘ η k ) ( p ) − φ ( p ) ‖ = 0
となるようなものを許容する(このとき, “
D
∖
D
k
D
∖
D
k
D\\D_(k) D \backslash D_{k} D ∖ D k の面積”
→
0
(
k
→
∞
)
→
0
(
k
→
∞
)
rarr0(k rarr oo) \rightarrow 0(k \rightarrow \infty) → 0 ( k → ∞ ) と なる).
このとき,
斜線部は
φ
(
D
k
)
φ
D
k
varphi(D_(k)) \varphi\left(D_{k}\right) φ ( D k ) を表す.
図 3.10.2
φ
(
D
k
)
φ
D
k
varphi(D_(k)) \varphi\left(D_{k}\right) φ ( D k ) を構成する小閉領域の境界の向きの様子
∫
D
d
ω
=
lim
k
→
∞
∫
D
k
d
ω
=
lim
k
→
∞
∑
j
=
1
m
k
∫
E
k
j
d
ω
=
lim
k
→
∞
∑
j
=
1
m
k
∫
∂
E
k
j
(
ι
k
j
)
∗
ω
=
lim
k
→
∞
∫
∂
D
k
ι
k
∗
ω
∫
D
d
ω
=
lim
k
→
∞
∫
D
k
d
ω
=
lim
k
→
∞
∑
j
=
1
m
k
∫
E
k
j
d
ω
=
lim
k
→
∞
∑
j
=
1
m
k
∫
∂
E
k
j
ι
k
j
∗
ω
=
lim
k
→
∞
∫
∂
D
k
ι
k
∗
ω
{:[int_(D)d omega=lim_(k rarr oo)int_(D_(k))d omega=lim_(k rarr oo)sum_(j=1)^(m_(k))int_(E_(k)^(j))d omega],[=lim_(k rarr oo)sum_(j=1)^(m_(k))int_(delE_(k)^(j))(iota_(k)^(j))^(**)omega=lim_(k rarr oo)int_(delD_(k))iota_(k)^(**)omega]:} \begin{aligned}
\int_{D} d \omega & =\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{D_{k}} d \omega=\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{E_{k}^{j}} d \omega \\
& =\lim _{k \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{m_{k}} \int_{\partial E_{k}^{j}}\left(\iota_{k}^{j}\right)^{*} \omega=\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{\partial D_{k}} \iota_{k}^{*} \omega
\end{aligned} ∫ D d ω = lim k → ∞ ∫ D k d ω = lim k → ∞ ∑ j = 1 m k ∫ E k j d ω = lim k → ∞ ∑ j = 1 m k ∫ ∂ E k j ( ι k j ) ∗ ω = lim k → ∞ ∫ ∂ D k ι k ∗ ω
をえる。ここで,
ι
k
,
ι
k
j
ι
k
,
ι
k
j
iota_(k),iota_(k)^(j) \iota_{k}, \iota_{k}^{j} ι k , ι k j は各々,
∂
D
k
,
∂
E
k
j
∂
D
k
,
∂
E
k
j
delD_(k),delE_(k)^(j) \partial D_{k}, \partial E_{k}^{j} ∂ D k , ∂ E k j から
M
M
M M M への包含写像を表す. こ の変形における最後の等号は,
E
k
j
E
k
j
E_(k)^(j) E_{k}^{j} E k j と
E
k
j
′
E
k
j
′
E_(k)^(j^(')) E_{k}^{j^{\prime}} E k j ′ が隣接するとき,その隣接する各々 の境界上の積分は,向きが逆転するため相殺されることにより,成り立つこと を注意しておく. さらに,
lim
k
→
∞
sup
p
∈
∂
D
‖
(
φ
∘
η
k
)
(
p
)
−
φ
(
p
)
‖
=
0
lim
k
→
∞
sup
p
∈
∂
D
φ
∘
η
k
(
p
)
−
φ
(
p
)
=
0
lim_(k rarr oo)s u p_(p in del D)||(varphi@eta_(k))(p)-varphi(p)||=0 \lim _{k \rightarrow \infty} \sup _{p \in \partial D}\left\|\left(\varphi \circ \eta_{k}\right)(p)-\varphi(p)\right\|=0 lim k → ∞ sup p ∈ ∂ D ‖ ( φ ∘ η k ) ( p ) − φ ( p ) ‖ = 0
から,
lim
k
→
∞
∫
∂
D
k
ι
k
∗
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
lim
k
→
∞
∫
∂
D
k
ι
k
∗
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
lim_(k rarr oo)int_(delD_(k))iota_(k)^(**)omega=int_(del D)iota^(**)omega \lim _{k \rightarrow \infty} \int_{\partial D_{k}} \iota_{k}^{*} \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omega lim k → ∞ ∫ ∂ D k ι k ∗ ω = ∫ ∂ D ι ∗ ω
を示すことができる. したがって,
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega \int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omega ∫ D d ω = ∫ ∂ D ι ∗ ω が導かれる.
次に,
D
D
D D D が一般の場合を考える。 このとき,
D
D
D D D を区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の超曲面 を境界にもつコンパクト閉領域の族
{
D
i
}
i
=
1
k
D
i
i
=
1
k
{D_(i)}_(i=1)^(k) \left\{D_{i}\right\}_{i=1}^{k} { D i } i = 1 k で, 各
D
i
D
i
D_(i) D_{i} D i がある局所チャートに 含まれるようなものに分割する。このとき, すでに示した事実により,
∫
D
d
ω
=
∑
i
=
1
k
∫
D
i
d
ω
=
∑
i
=
1
k
∫
∂
D
i
ι
i
∗
ω
∫
D
d
ω
=
∑
i
=
1
k
∫
D
i
d
ω
=
∑
i
=
1
k
∫
∂
D
i
ι
i
∗
ω
int_(D)d omega=sum_(i=1)^(k)int_(D_(i))d omega=sum_(i=1)^(k)int_(delD_(i))iota_(i)^(**)omega \int_{D} d \omega=\sum_{i=1}^{k} \int_{D_{i}} d \omega=\sum_{i=1}^{k} \int_{\partial D_{i}} \iota_{i}^{*} \omega ∫ D d ω = ∑ i = 1 k ∫ D i d ω = ∑ i = 1 k ∫ ∂ D i ι i ∗ ω
が示される. ここで
ι
i
ι
i
iota_(i) \iota_{i} ι i は,
∂
D
i
∂
D
i
delD_(i) \partial D_{i} ∂ D i から
M
M
M M M への包含写像を表す.
D
i
D
i
D_(i) D_{i} D i と
D
j
D
j
D_(j) D_{j} D j が隣接するとき, その隣接する各々の境界上の積分は, 向きが逆転するため相殺さ れる. この事実を用いて,
∑
i
=
1
k
∫
∂
D
i
ι
i
∗
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
∑
i
=
1
k
∫
∂
D
i
ι
i
∗
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
sum_(i=1)^(k)int_(delD_(i))iota_(i)^(**)omega=int_(del D)iota^(**)omega \sum_{i=1}^{k} \int_{\partial D_{i}} \iota_{i}^{*} \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omega ∑ i = 1 k ∫ ∂ D i ι i ∗ ω = ∫ ∂ D ι ∗ ω
が導かれる. したがって,
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
∫
D
d
ω
=
∫
∂
D
ι
∗
ω
int_(D)d omega=int_(del D)iota^(**)omega \int_{D} d \omega=\int_{\partial D} \iota^{*} \omega ∫ D d ω = ∫ ∂ D ι ∗ ω が示される.
3.11 リーマン計量・リーマン接続
この節において, リーマン計量, およびリーマン接続を定義し, さらに, そ れらに付随するいくつかの概念を定義する.
g
g
g g g を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M 上の
C
r
(
r
≥
C
r
(
r
≥
C^(r)(r >= C^{r}(r \geq C r ( r ≥ 0) 級の対称 2 次共変テンソル場とする. 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p が正定値であ る, つまり,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の内積を与えるとき,
g
g
g g g を
M
M
M M M の
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r リーマン計量(
C
r
−
C
r
−
C^(r_(-)) \boldsymbol{C}^{r_{-}} C r − Riemannian metric) といい, 組
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r リーマン多様体(
C
r
−
C
r
−
C^(r_(-)) \boldsymbol{C}^{r_{-}} C r − Riemannian manifold)という. 以下, この節では
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする. 任意の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体上で,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン計量が構成できることを示しておこう.
M
M
M M M を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とする。命題3.1.3により,
M
M
M M M の任意の開被覆
U
U
U \mathcal{U} U に対し,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数からなるUに従属する 1 の分割が存在する。この事実を用 いることにする.
D
=
{
(
U
λ
,
φ
λ
=
(
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
)
)
∣
λ
∈
Λ
}
D
=
U
λ
,
φ
λ
=
x
1
λ
,
…
,
x
n
λ
∣
λ
∈
Λ
D={(U_(lambda),varphi_(lambda)=(x_(1)^(lambda),dots,x_(n)^(lambda)))∣lambda in Lambda} \mathcal{D}=\left\{\left(U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}=\left(x_{1}^{\lambda}, \ldots, x_{n}^{\lambda}\right)\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\} D = { ( U λ , φ λ = ( x 1 λ , … , x n λ ) ) ∣ λ ∈ Λ } を
M
M
M M M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造と する.
M
M
M M M の開被覆
{
U
λ
}
λ
∈
Λ
U
λ
λ
∈
Λ
{U_(lambda)}_(lambda in Lambda) \left\{U_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} { U λ } λ ∈ Λ に従属する 1 の分割
{
ρ
i
}
i
∈
I
ρ
i
i
∈
I
{rho_(i)}_(i inI) \left\{\rho_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { ρ i } i ∈ I で,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数からなるようなものをとる. このとき, 開被覆に従属する1の分割の定義から, 各
i
∈
I
i
∈
I
i inI i \in \mathcal{I} i ∈ I に対し,
supp
ρ
i
⊂
U
λ
i
supp
ρ
i
⊂
U
λ
i
supprho_(i)subU_(lambda_(i)) \operatorname{supp} \rho_{i} \subset U_{\lambda_{i}} supp ρ i ⊂ U λ i となる
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ の部分族
{
λ
i
}
i
∈
I
λ
i
i
∈
I
{lambda_(i)}_(i inI) \left\{\lambda_{i}\right\}_{i \in \mathcal{I}} { λ i } i ∈ I をとるこ とができ, これを用いて,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン計量
g
g
g g g を
g
:=
∑
i
∈
I
ρ
i
(
d
x
1
λ
i
⊗
d
x
1
λ
i
+
⋯
+
d
x
n
λ
i
⊗
d
x
n
λ
i
)
g
:=
∑
i
∈
I
ρ
i
d
x
1
λ
i
⊗
d
x
1
λ
i
+
⋯
+
d
x
n
λ
i
⊗
d
x
n
λ
i
g:=sum_(i inI)rho_(i)(dx_(1)^(lambda_(i))ox dx_(1)^(lambda_(i))+cdots+dx_(n)^(lambda_(i))ox dx_(n)^(lambda_(i))) g:=\sum_{i \in \mathcal{I}} \rho_{i}\left(d x_{1}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{1}^{\lambda_{i}}+\cdots+d x_{n}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{n}^{\lambda_{i}}\right) g := ∑ i ∈ I ρ i ( d x 1 λ i ⊗ d x 1 λ i + ⋯ + d x n λ i ⊗ d x n λ i )
によって定義することができる。ここで, 右辺の各項は,
ρ
i
(
d
x
1
λ
i
⊗
d
x
1
λ
i
+
ρ
i
d
x
1
λ
i
⊗
d
x
1
λ
i
+
rho_(i)(dx_(1)^(lambda_(i))ox dx_(1)^(lambda_(i))+:} \rho_{i}\left(d x_{1}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{1}^{\lambda_{i}}+\right. ρ i ( d x 1 λ i ⊗ d x 1 λ i +
⋯
+
d
x
n
λ
i
⊗
d
x
n
λ
i
)
⋯
+
d
x
n
λ
i
⊗
d
x
n
λ
i
{: cdots+dx_(n)^(lambda_(i))ox dx_(n)^(lambda_(i))) \left.\cdots+d x_{n}^{\lambda_{i}} \otimes d x_{n}^{\lambda_{i}}\right) ⋯ + d x n λ i ⊗ d x n λ i ) を
U
λ
i
U
λ
i
U_(lambda_(i)) U_{\lambda_{i}} U λ i の外で 0 になるよう拡張した
M
M
M M M 上の 2 次共変テンソ ル場を表す.
2.2 節で,
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 超曲面
S
S
S S S に対し, 第 1 基本形式
g
g
g g g を定義した. こ れは,
S
S
S S S 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級のリーマン計量を与える. この第 1 基本形式に相当する 概念を,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン多様体内のはめ込まれた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 部分多様体に対し定義し
よう.
f
f
f f f を
n
n
n n n 次元
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 多様体
M
M
M M M から
(
n
+
k
)
(
n
+
k
)
(n+k) (n+k) ( n + k ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン多様体
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像とする。このとき,
g
~
g
~
widetilde(g) \widetilde{g} g ~ の
f
f
f f f による引き戻し
f
∗
g
~
f
∗
g
~
f^(**) widetilde(g) f^{*} \widetilde{g} f ∗ g ~ が
(
f
∗
g
~
)
p
(
v
,
w
)
:=
g
~
f
(
p
)
(
d
f
p
(
v
)
,
d
f
p
(
w
)
)
(
p
∈
M
,
v
,
w
∈
T
p
M
)
f
∗
g
~
p
(
v
,
w
)
:=
g
~
f
(
p
)
d
f
p
(
v
)
,
d
f
p
(
w
)
p
∈
M
,
v
,
w
∈
T
p
M
(f^(**)( widetilde(g)))_(p)(v,w):= widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(v),df_(p)(w))quad(p in M,v,w inT_(p)M) \left(f^{*} \widetilde{g}\right)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{v}), d f_{p}(\boldsymbol{w})\right) \quad\left(p \in M, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right) ( f ∗ g ~ ) p ( v , w ) := g ~ f ( p ) ( d f p ( v ) , d f p ( w ) ) ( p ∈ M , v , w ∈ T p M )
によって定義される。これ,
M
M
M M M 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の対称 2 次共変テンソル場に なる。 この事実は,次のように示される。
g
:=
f
∗
g
~
g
:=
f
∗
g
~
g:=f^(**) tilde(g) g:=f^{*} \tilde{g} g := f ∗ g ~ とおく.
g
g
g g g が
M
M
M M M 上の対称 2 次共変テンソル場であることは, 明らかである.
g
g
g g g が
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であることを 示す.
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわり の局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
+
r
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
+
r
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n+r))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n+r}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n + r ) ) をとる。必要ならば
U
U
U U U を縮めること により,
f
(
U
)
⊂
V
f
(
U
)
⊂
V
f(U)sub V f(U) \subset V f ( U ) ⊂ V としてよい。
g
g
g g g の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分を
g
i
j
(
1
≤
i
,
j
≤
n
)
g
i
j
(
1
≤
i
,
j
≤
n
)
g_(ij)(1 <= i,j <= n) g_{i j}(1 \leq i, j \leq n) g i j ( 1 ≤ i , j ≤ n ) とし,
g
~
g
~
widetilde(g) \widetilde{g} g ~ の
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) に関する成分を
g
~
α
β
(
1
≤
α
,
β
≤
n
+
r
)
g
~
α
β
(
1
≤
α
,
β
≤
n
+
r
)
widetilde(g)_(alpha beta)(1 <= alpha,beta <= n+r) \widetilde{g}_{\alpha \beta}(1 \leq \alpha, \beta \leq n+r) g ~ α β ( 1 ≤ α , β ≤ n + r ) とする. このとき,式 (3.4.1) を用いて,
g
i
j
∘
φ
−
1
=
∑
α
=
1
n
+
k
∑
β
=
1
n
+
k
∂
(
y
α
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∂
(
y
β
∘
f
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
(
g
~
α
β
∘
f
∘
φ
−
1
)
g
i
j
∘
φ
−
1
=
∑
α
=
1
n
+
k
∑
β
=
1
n
+
k
∂
y
α
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
i
∂
y
β
∘
f
∘
φ
−
1
∂
x
j
g
~
α
β
∘
f
∘
φ
−
1
g_(ij)@varphi^(-1)=sum_(alpha=1)^(n+k)sum_(beta=1)^(n+k)(del(y_(alpha)@f@varphi^(-1)))/(delx_(i))(del(y_(beta)@f@varphi^(-1)))/(delx_(j))( widetilde(g)_(alpha beta)@f@varphi^(-1)) g_{i j} \circ \varphi^{-1}=\sum_{\alpha=1}^{n+k} \sum_{\beta=1}^{n+k} \frac{\partial\left(y_{\alpha} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \frac{\partial\left(y_{\beta} \circ f \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\left(\widetilde{g}_{\alpha \beta} \circ f \circ \varphi^{-1}\right) g i j ∘ φ − 1 = ∑ α = 1 n + k ∑ β = 1 n + k ∂ ( y α ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∂ ( y β ∘ f ∘ φ − 1 ) ∂ x j ( g ~ α β ∘ f ∘ φ − 1 )
が示される。それゆえ,
g
~
,
f
g
~
,
f
widetilde(g),f \widetilde{g}, f g ~ , f が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることより,
g
i
j
∘
φ
−
1
g
i
j
∘
φ
−
1
g_(ij)@varphi^(-1) g_{i j} \circ \varphi^{-1} g i j ∘ φ − 1 が
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 で あること,つまり,
g
g
g g g が
U
U
U U U 上で
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であることがわかる.
p
p
p p p の任意性によ り,
g
g
g g g が
M
M
M M M 上で
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級であることが示される. 特に,
f
f
f f f が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r はめ込みであ る場合を考えよう. この場合,
g
p
(
v
,
v
)
=
0
g
p
(
v
,
v
)
=
0
g_(p)(v,v)=0 g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=0 g p ( v , v ) = 0 とすると、
g
p
(
v
,
v
)
=
g
~
f
(
p
)
(
d
f
p
(
v
)
,
d
f
p
(
v
)
)
=
0
g
p
(
v
,
v
)
=
g
~
f
(
p
)
d
f
p
(
v
)
,
d
f
p
(
v
)
=
0
g_(p)(v,v)= widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(v),df_(p)(v))=0 g_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{v}), d f_{p}(\boldsymbol{v})\right)=0 g p ( v , v ) = g ~ f ( p ) ( d f p ( v ) , d f p ( v ) ) = 0
となり,
g
~
f
(
p
)
g
~
f
(
p
)
widetilde(g)_(f(p)) \widetilde{g}_{f(p)} g ~ f ( p ) の正定值性から
d
f
p
(
v
)
=
0
f
(
p
)
d
f
p
(
v
)
=
0
f
(
p
)
df_(p)(v)=0_(f(p)) d f_{p}(\boldsymbol{v})=\mathbf{0}_{f(p)} d f p ( v ) = 0 f ( p ) が導かれる. さらに,
f
f
f f f がはめ 込み(それゆえ
d
f
p
d
f
p
df_(p) d f_{p} d f p が単射)であることから,
v
=
0
p
v
=
0
p
v=0_(p) \boldsymbol{v}=\mathbf{0}_{p} v = 0 p が導かれる.したがっ て,
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p は正定値である。 これは, 上述の事実と合わせて,
g
g
g g g が
M
M
M M M の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級 リーマン計量であることを導く。この
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級リーマン計量
g
g
g g g を
g
~
g
~
widetilde(g) \widetilde{\boldsymbol{g}} g ~ から
f
f
f \boldsymbol{f} f に よって誘導されるリーマン計量(induced Riemannian metric)といい,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
(
M
)
f
(
M
)
f(M) f(M) f ( M ) )を
f
f
f \boldsymbol{f} f によってはめ込まれた
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\boldsymbol{g}}) ( M ~ , g ~ ) 内の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 リー マン部分多様体(Riemannian submanifold)という. た。,
f
f
f f f を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) から
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) への等長はめ込み(isometric immersion)という. 特に
k
=
k
=
k= k= k = 1 のとき,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を,
f
f
f \boldsymbol{f} f によってはめ込まれた
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{\boldsymbol{g}}) ( M ~ , g ~ ) 内の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 リーマン 超曲面(Riemannian hypersurface)という. また,
f
f
f f f が埋め込みである
とき,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
(
M
)
f
(
M
)
f(M) f(M) f ( M ) )を
f
f
f \boldsymbol{f} f によって埋め込まれた
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{\boldsymbol{M}}, \widetilde{\boldsymbol{g}}) ( M ~ , g ~ ) 内の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 リーマン部分多様体といい,
f
f
f f f
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) から
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) への等長埋め込み (isometric embedding) という.
の包含写像とする. このとき,
ι
ι
iota \iota ι は
S
S
S S S から
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 埋め込みであり,
g
~
E
g
~
E
widetilde(g)_(E) \widetilde{g}_{\mathbb{E}} g ~ E からしによって誘導されるリーマン計量
g
:=
ι
∗
g
~
E
g
:=
ι
∗
g
~
E
g:=iota^(**) widetilde(g)_(E) g:=\iota^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}} g := ι ∗ g ~ E は, 2.2 節で述べた
S
S
S S S の第 1 基本形式であり,
(
S
,
g
)
(
S
,
g
)
(S,g) (S, g) ( S , g ) は
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 内のしによって埋め达まれた
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r リーマン 超曲面である.
問 3.11.1
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
(
=
(
A
n
,
g
~
E
)
)
c
:
[
a
,
b
]
→
E
n
=
A
n
,
g
~
E
c:[a,b]rarrE^(n)(=(A^(n), widetilde(g)_(E))) c:[a, b] \rightarrow \mathbb{E}^{n}\left(=\left(\mathbb{A}^{n}, \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right)\right) c : [ a , b ] → E n ( = ( A n , g ~ E ) ) を
C
r
(
r
≥
1
)
C
r
(
r
≥
1
)
C^(r)(r >= 1) C^{r}(r \geq 1) C r ( r ≥ 1 ) 正則曲線とする.
(i)
c
c
c c c が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r はめ込みであることを示せ.
(ii)
s
s
s s s を
c
c
c c c の弧長パラメーター(つまり
s
(
t
)
=
∫
a
t
‖
c
→
′
(
t
)
‖
d
t
)
s
(
t
)
=
∫
a
t
c
→
′
(
t
)
d
t
{:s(t)=int_(a)^(t)|| vec(c)^(')(t)||dt) \left.s(t)=\int_{a}^{t}\left\|\vec{c}^{\prime}(t)\right\| d t\right) s ( t ) = ∫ a t ‖ c → ′ ( t ) ‖ d t ) とする。誘導リ ーマン計量
c
∗
g
~
E
c
∗
g
~
E
c^(**) widetilde(g)_(E) c^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}} c ∗ g ~ E を関数
s
s
s s s の微分
d
s
d
s
ds d s d s を用いて表せ.
S
n
(
1
)
=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
R
n
+
1
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
1
}
(
⊂
R
n
+
1
)
S
n
(
1
)
=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
R
n
+
1
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
1
⊂
R
n
+
1
S^(n)(1)={(x_(1),dots,x_(n+1))inR^(n+1)∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=1}(subR^(n+1)) S^{n}(1)=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=1\right\}\left(\subset \mathbb{R}^{n+1}\right) S n ( 1 ) = { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ R n + 1 ∣ ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = 1 } ( ⊂ R n + 1 )
は, 問 3.1.2 で述べたように,
n
n
n n n 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体になる.
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 と
A
n
+
1
A
n
+
1
A^(n+1) \mathbb{A}^{n+1} A n + 1 の同一視の 下,
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) E
E
n
+
1
=
(
A
n
+
1
,
g
~
E
)
E
n
+
1
=
A
n
+
1
,
g
~
E
E^(n+1)=(A^(n+1), widetilde(g)_(E)) \mathbb{E}^{n+1}=\left(\mathbb{A}^{n+1}, \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right) E n + 1 = ( A n + 1 , g ~ E ) の正則部分多様体とみなすことにする.
を
を
を を を を
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) から
E
n
+
1
E
n
+
1
E^(n+1) \mathbb{E}^{n+1} E n + 1 への包含写像とし,
g
~
E
を
R
n
+
1
g
~
E
を
R
n
+
1
widetilde(g)_(E)をR^(n+1) \widetilde{g}_{\mathbb{E}} を \mathbb{R}^{n+1} を g ~ E を R n + 1 のユークリッド計量, つまり,
g
~
E
(
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
=
δ
i
j
g
~
E
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
=
δ
i
j
widetilde(g)_(E)((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))=delta_(ij) \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)=\delta_{i j} g ~ E ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) = δ i j
(
id
R
n
+
1
=
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
)
id
R
n
+
1
=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
(id_(R^(n+1))=(x_(1),dots,x_(n+1))) \left(\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n+1}}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right)\right) ( id R n + 1 = ( x 1 , … , x n + 1 ) ) にって定義される
A
n
+
1
(
=
R
n
+
1
)
A
n
+
1
=
R
n
+
1
A^(n+1)(=R^(n+1)) \mathbb{A}^{n+1}\left(=\mathbb{R}^{n+1}\right) A n + 1 ( = R n + 1 ) の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 級リーマ ン計量とする.
g
~
E
g
~
E
widetilde(g)_(E) \widetilde{g}_{\mathbb{E}} g ~ E からしによって誘導される
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) のリーマン計量
ι
∗
g
~
E
ι
∗
g
~
E
iota^(**) widetilde(g)_(E) \iota^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}} ι ∗ g ~ E を
g
g
g g g と表 し.
(
U
1
+
,
φ
1
+
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
U
1
+
,
φ
1
+
=
y
1
,
…
,
y
n
(U_(1)^(+),varphi_(1)^(+)=(y_(1),dots,y_(n))) \left(U_{1}^{+}, \varphi_{1}^{+}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( U 1 + , φ 1 + = ( y 1 , … , y n ) ) を
U
1
+
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
S
n
(
1
)
∣
x
1
>
0
}
φ
1
+
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
:=
(
x
2
,
…
,
x
n
+
1
)
U
1
+
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
S
n
(
1
)
∣
x
1
>
0
φ
1
+
x
1
,
…
,
x
n
+
1
:=
x
2
,
…
,
x
n
+
1
{:[U_(1)^(+):={(x_(1),dots,x_(n+1))inS^(n)(1)∣x_(1) > 0}],[varphi_(1)^(+)(x_(1),dots,x_(n+1)):=(x_(2),dots,x_(n+1))]:} \begin{gathered}
U_{1}^{+}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in S^{n}(1) \mid x_{1}>0\right\} \\
\varphi_{1}^{+}\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right):=\left(x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)
\end{gathered} U 1 + := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ S n ( 1 ) ∣ x 1 > 0 } φ 1 + ( x 1 , … , x n + 1 ) := ( x 2 , … , x n + 1 )
と定義される
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の局所チャートとする.
(
U
1
+
,
φ
1
+
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
U
1
+
,
φ
1
+
=
y
1
,
…
,
y
n
(U_(1)^(+),varphi_(1)^(+)=(y_(1),dots,y_(n))) \left(U_{1}^{+}, \varphi_{1}^{+}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( U 1 + , φ 1 + = ( y 1 , … , y n ) ) に関する
g
g
g g g の成分
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j を求めよ.
(
M
i
,
g
i
)
(
i
=
1
,
2
)
M
i
,
g
i
(
i
=
1
,
2
)
(M_(i),g_(i))(i=1,2) \left(M_{i}, g_{i}\right)(i=1,2) ( M i , g i ) ( i = 1 , 2 ) を
n
i
n
i
n_(i) n_{i} n i 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体とし,
ρ
i
(
i
=
1
,
2
)
ρ
i
(
i
=
1
,
2
)
rho_(i)(i=1,2) \rho_{i}(i=1,2) ρ i ( i = 1 , 2 ) を
M
1
×
M
2
M
1
×
M
2
M_(1)xxM_(2) M_{1} \times M_{2} M 1 × M 2 上の正値
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級関数とする。また, 積多様体
M
1
×
M
2
M
1
×
M
2
M_(1)xxM_(2) M_{1} \times M_{2} M 1 × M 2 から
M
i
M
i
M_(i) M_{i} M i への 自然な射影を
π
i
π
i
pi_(i) \pi_{i} π i で表す. 積多様体
M
1
×
M
2
M
1
×
M
2
M_(1)xxM_(2) M_{1} \times M_{2} M 1 × M 2 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級 2 次共変テンソル場
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2) \rho_{1} g_{1} \times{ }_{\rho_{2}} g_{2} ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 を
(
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
)
(
p
1
,
p
2
)
(
v
,
w
)
:=
ρ
1
(
p
1
,
p
2
)
(
g
1
)
p
1
(
d
(
π
1
)
(
p
1
,
p
2
)
(
v
)
,
d
(
π
1
)
(
p
1
,
p
2
)
(
w
)
)
+
ρ
2
(
p
1
,
p
2
)
(
g
2
)
p
2
(
d
(
π
2
)
(
p
1
,
p
2
)
(
v
)
,
d
(
π
2
)
(
p
1
,
p
2
)
(
w
)
)
(
(
p
1
,
p
2
)
∈
M
1
×
M
2
,
v
,
w
∈
T
(
p
1
,
p
2
)
(
M
1
×
M
2
)
)
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
p
1
,
p
2
(
v
,
w
)
:=
ρ
1
p
1
,
p
2
g
1
p
1
d
π
1
p
1
,
p
2
(
v
)
,
d
π
1
p
1
,
p
2
(
w
)
+
ρ
2
p
1
,
p
2
g
2
p
2
d
π
2
p
1
,
p
2
(
v
)
,
d
π
2
p
1
,
p
2
(
w
)
p
1
,
p
2
∈
M
1
×
M
2
,
v
,
w
∈
T
p
1
,
p
2
M
1
×
M
2
{:[(rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2))_((p_(1),p_(2)))(v","w):=rho_(1)(p_(1),p_(2))(g_(1))_(p_(1))(d(pi_(1))_((p_(1),p_(2)))(v),d(pi_(1))_((p_(1),p_(2)))(w))],[+rho_(2)(p_(1),p_(2))(g_(2))_(p_(2))(d(pi_(2))_((p_(1),p_(2)))(v),d(pi_(2))_((p_(1),p_(2)))(w))],[((p_(1),p_(2))inM_(1)xxM_(2),v,w inT_((p_(1),p_(2)))(M_(1)xxM_(2)))]:} \begin{aligned}
\left(\rho_{1} g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):= & \rho_{1}\left(p_{1}, p_{2}\right)\left(g_{1}\right)_{p_{1}}\left(d\left(\pi_{1}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{v}), d\left(\pi_{1}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{w})\right) \\
& +\rho_{2}\left(p_{1}, p_{2}\right)\left(g_{2}\right)_{p_{2}}\left(d\left(\pi_{2}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{v}), d\left(\pi_{2}\right)_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}(\boldsymbol{w})\right) \\
& \left(\left(p_{1}, p_{2}\right) \in M_{1} \times M_{2}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{\left(p_{1}, p_{2}\right)}\left(M_{1} \times M_{2}\right)\right)
\end{aligned} ( ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 ) ( p 1 , p 2 ) ( v , w ) := ρ 1 ( p 1 , p 2 ) ( g 1 ) p 1 ( d ( π 1 ) ( p 1 , p 2 ) ( v ) , d ( π 1 ) ( p 1 , p 2 ) ( w ) ) + ρ 2 ( p 1 , p 2 ) ( g 2 ) p 2 ( d ( π 2 ) ( p 1 , p 2 ) ( v ) , d ( π 2 ) ( p 1 , p 2 ) ( w ) ) ( ( p 1 , p 2 ) ∈ M 1 × M 2 , v , w ∈ T ( p 1 , p 2 ) ( M 1 × M 2 ) )
によって定義する。 これは明らかに,
M
1
×
M
2
M
1
×
M
2
M_(1)xxM_(2) M_{1} \times M_{2} M 1 × M 2 の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン計量になり、
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体
(
M
1
×
M
2
,
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
)
M
1
×
M
2
,
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
(M_(1)xxM_(2),rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2)) \left(M_{1} \times M_{2}, \rho_{1} g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2}\right) ( M 1 × M 2 , ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 ) は,
(
M
1
,
g
1
)
M
1
,
g
1
(M_(1),g_(1)) \left(M_{1}, g_{1}\right) ( M 1 , g 1 ) と
(
M
2
,
g
2
)
M
2
,
g
2
(M_(2),g_(2)) \left(M_{2}, g_{2}\right) ( M 2 , g 2 ) の 2 重捩 れ積リーマン多様体(doubly twisted product Riemannian manifold) とよばれる. 特に
ρ
1
≡
1
ρ
1
≡
1
rho_(1)-=1 \rho_{1} \equiv 1 ρ 1 ≡ 1 の場合,
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
ρ
1
g
1
×
ρ
2
g
2
rho_(1)g_(1)xx_(rho_(2))g_(2) \rho_{1} g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2} ρ 1 g 1 × ρ 2 g 2 は
g
1
×
ρ
2
g
2
g
1
×
ρ
2
g
2
g_(1)xx_(rho_(2))g_(2) g_{1} \times_{\rho_{2}} g_{2} g 1 × ρ 2 g 2 と表され,
(
M
1
×
M
1
×
(M_(1)xx:} \left(M_{1} \times\right. ( M 1 ×
M
2
,
g
1
×
ρ
2
g
2
)
M
2
,
g
1
×
ρ
2
g
2
{:M_(2),g_(1)xx_(rho_(2))g_(2)) \left.M_{2}, g_{1} \times{ }_{\rho_{2}} g_{2}\right) M 2 , g 1 × ρ 2 g 2 ) は
(
M
1
,
g
1
)
M
1
,
g
1
(M_(1),g_(1)) \left(M_{1}, g_{1}\right) ( M 1 , g 1 ) と
(
M
2
,
g
2
)
M
2
,
g
2
(M_(2),g_(2)) \left(M_{2}, g_{2}\right) ( M 2 , g 2 ) の捩れ積リーマン多様体(twisted product Riemannian manifold)とよばれ,さらに
ρ
2
≡
1
ρ
2
≡
1
rho_(2)-=1 \rho_{2} \equiv 1 ρ 2 ≡ 1 の場合,
ρ
1
g
1
ρ
1
g
1
rho_(1)g_(1) \rho_{1} g_{1} ρ 1 g 1
×
ρ
2
g
2
×
ρ
2
g
2
xx_(rho_(2))g_(2) \times_{\rho_{2}} g_{2} × ρ 2 g 2 は
g
1
×
g
2
g
1
×
g
2
g_(1)xxg_(2) g_{1} \times g_{2} g 1 × g 2 と表され,
(
M
1
×
M
2
,
g
1
×
g
2
)
M
1
×
M
2
,
g
1
×
g
2
(M_(1)xxM_(2),g_(1)xxg_(2)) \left(M_{1} \times M_{2}, g_{1} \times g_{2}\right) ( M 1 × M 2 , g 1 × g 2 ) は
(
M
1
,
g
1
)
M
1
,
g
1
(M_(1),g_(1)) \left(M_{1}, g_{1}\right) ( M 1 , g 1 ) と
(
M
2
,
g
2
)
M
2
,
g
2
(M_(2),g_(2)) \left(M_{2}, g_{2}\right) ( M 2 , g 2 ) の積リ ーマン多様体(product Riemannian manifold)とよばれる.
例 3.11.1 単位円
(
S
1
(
1
)
,
g
S
)
(
g
S
:=
ι
∗
g
~
E
)
S
1
(
1
)
,
g
S
g
S
:=
ι
∗
g
~
E
(S^(1)(1),g_(S))(g_(S):=iota^(**) widetilde(g)_(E)) \left(S^{1}(1), g_{S}\right)\left(g_{S}:=\iota^{*} \widetilde{g}_{\mathbb{E}}\right) ( S 1 ( 1 ) , g S ) ( g S := ι ∗ g ~ E ) と 1 次元ユークリッド空間
E
1
=
E
1
=
E^(1)= E^{1}= E 1 =
(
A
1
,
g
E
)
A
1
,
g
E
(A^(1),g_(E)) \left(\mathbb{A}^{1}, g_{\mathbb{E}}\right) ( A 1 , g E ) を考える。ここで, しは
S
1
(
1
)
S
1
(
1
)
S^(1)(1) S^{1}(1) S 1 ( 1 ) から
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 への包含写像を表し,
g
~
E
g
~
E
widetilde(g)_(E) \widetilde{g}_{\mathbb{E}} g ~ E は
E
2
E
2
E^(2) \mathbb{E}^{2} E 2 のユークリッド計量を表す.
S
1
(
1
)
×
A
1
S
1
(
1
)
×
A
1
S^(1)(1)xxA^(1) S^{1}(1) \times \mathbb{A}^{1} S 1 ( 1 ) × A 1 上の正値
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数
ρ
ρ
rho \rho ρ を
ρ
(
(
cos
θ
,
sin
θ
)
,
t
)
:=
sin
2
θ
2
+
1
(
θ
∈
[
0
,
2
π
)
,
t
∈
A
1
(
=
R
)
)
ρ
(
(
cos
θ
,
sin
θ
)
,
t
)
:=
sin
2
θ
2
+
1
θ
∈
[
0
,
2
π
)
,
t
∈
A
1
(
=
R
)
rho((cos theta,sin theta),t):=sin^(2)((theta)/(2))+1quad(theta in[0,2pi),t inA^(1)(=R)) \rho((\cos \theta, \sin \theta), t):=\sin ^{2} \frac{\theta}{2}+1 \quad\left(\theta \in[0,2 \pi), t \in \mathbb{A}^{1}(=\mathbb{R})\right) ρ ( ( cos θ , sin θ ) , t ) := sin 2 θ 2 + 1 ( θ ∈ [ 0 , 2 π ) , t ∈ A 1 ( = R ) )
と定義する. このとき, 積リーマン多様体
(
S
(
1
)
×
A
1
,
g
S
×
g
E
)
S
(
1
)
×
A
1
,
g
S
×
g
E
(S(1)xxA^(1),g_(S)xxg_(E)) \left(S(1) \times \mathbb{A}^{1}, g_{S} \times g_{\mathbb{E}}\right) ( S ( 1 ) × A 1 , g S × g E ) と抳れ積リー マン多様体
(
S
(
1
)
×
A
1
,
g
S
×
ρ
g
E
)
S
(
1
)
×
A
1
,
g
S
×
ρ
g
E
(S(1)xxA^(1),g_(S)xx_(rho)g_(E)) \left(S(1) \times \mathbb{A}^{1}, g_{S} \times{ }_{\rho} g_{\mathbb{E}}\right) ( S ( 1 ) × A 1 , g S × ρ g E ) は各々, 3 次元ユークリッド空間
E
3
E
3
E^(3) \mathbb{E}^{3} E 3 へ図 3.11.1のように等長的に埋め込まれる。
次に, アフィン接続を定義しよう. 写像
∇
:
X
(
M
)
×
X
(
M
)
→
X
(
M
)
∇
:
X
(
M
)
×
X
(
M
)
→
X
(
M
)
grad:X(M)xxX(M)rarrX(M) \nabla: \mathcal{X}(M) \times \mathcal{X}(M) \rightarrow \mathcal{X}(M) ∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) で,次の 4 条件を満たすものを
M
M
M M M のアフィン接続(affine connection)と いう:
(i)
∇
a
X
+
b
Y
Z
=
a
∇
X
Z
+
b
∇
Y
Z
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
)
∇
a
X
+
b
Y
Z
=
a
∇
X
Z
+
b
∇
Y
Z
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
)
grad_(aX+bY)Z=agrad_(X)Z+bgrad_(Y)Z quad(X,Y,Z inX(M),a,b inR) \nabla_{a \boldsymbol{X}+b \boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}=a \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Z}+b \nabla_{\mathbf{Y}} \boldsymbol{Z} \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R}) ∇ a X + b Y Z = a ∇ X Z + b ∇ Y Z ( X , Y , Z ∈ X ( M ) , a , b ∈ R ) ;
(ii)
∇
X
(
a
Y
+
b
Z
)
=
a
∇
X
Y
+
b
∇
X
Z
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
)
∇
X
(
a
Y
+
b
Z
)
=
a
∇
X
Y
+
b
∇
X
Z
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
)
grad_(X)(aY+bZ)=agrad_(X)Y+bgrad_(X)Z quad(X,Y,Z inX(M),a,b inR) \nabla_{\boldsymbol{X}}(a \boldsymbol{Y}+b \boldsymbol{Z})=a \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}+b \nabla_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Z} \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R}) ∇ X ( a Y + b Z ) = a ∇ X Y + b ∇ X Z ( X , Y , Z ∈ X ( M ) , a , b ∈ R ) ;
(iii)
∇
f
X
Y
=
f
∇
X
Y
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
)
∇
f
X
Y
=
f
∇
X
Y
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
grad_(fX)Y=fgrad_(X)Y quad(X,Y inX(M),f inC^(oo)(M)) \nabla_{f \boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}=f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M)\right) ∇ f X Y = f ∇ X Y ( X , Y ∈ X ( M ) , f ∈ C ∞ ( M ) ) ;
(iv)
∇
X
(
f
Y
)
=
X
(
f
)
Y
+
f
∇
X
Y
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
)
∇
X
(
f
Y
)
=
X
(
f
)
Y
+
f
∇
X
Y
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
grad_(X)(fY)=X(f)Y+fgrad_(X)Y quad(X,Y inX(M),f inC^(oo)(M)) \nabla_{\boldsymbol{X}}(f \boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X}(f) \boldsymbol{Y}+f \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M)\right) ∇ X ( f Y ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y ( X , Y ∈ X ( M ) , f ∈ C ∞ ( M ) ) .
ただし,
∇
X
Y
∇
X
Y
grad_(X)Y \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y} ∇ X Y 等は
∇
(
X
,
Y
)
∇
(
X
,
Y
)
grad(X,Y) \nabla(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) ∇ ( X , Y ) 等を表す。また, 組
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) はアフィン接続多様体(affinely connected manifold)とよばれる。
∇
∇
grad \nabla ∇ をのアフィン接
図 3.11.1捩れ積リーマン多様体の例
続とする.
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M と
M
M
M M M 上のベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y に対し,
∇
v
Y
(
∈
T
p
M
)
∇
v
Y
∈
T
p
M
grad_(v)Y(inT_(p)M) \nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}\left(\in T_{p} M\right) ∇ v Y ( ∈ T p M ) を
∇
v
Y
:=
(
∇
X
Y
)
p
∇
v
Y
:=
∇
X
Y
p
grad_(v)Y:=(grad_(X)Y)_(p) \nabla_{v} \boldsymbol{Y}:=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p} ∇ v Y := ( ∇ X Y ) p (ただし,
X
X
X \boldsymbol{X} X は
X
p
=
v
X
p
=
v
X_(p)=v \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v} X p = v となる
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級べクト ル場)によって定義する。
∇
v
Y
∇
v
Y
grad_(v)Y \nabla_{v} \boldsymbol{Y} ∇ v Y は,
v
v
v \boldsymbol{v} v の拡張
X
X
X \boldsymbol{X} X のとり方によらずに定まる ことを示そう.
p
p
p p p のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) をとり,
X
X
X \boldsymbol{X} X の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する局所表示を
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X
=
∑
i
=
1
n
X
i
∂
∂
x
i
X=sum_(i=1)^(n)X_(i)(del)/(delx_(i)) \boldsymbol{X}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} X = ∑ i = 1 n X i ∂ ∂ x i とする. このとき, 条件 (i) と (iii) を用いて,
(
∇
X
Y
)
p
=
(
∑
i
=
1
n
X
i
∇
∂
∂
x
i
Y
)
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∇
∂
∂
x
i
Y
)
p
∇
X
Y
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
∇
∂
∂
x
i
Y
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
∇
∂
∂
x
i
Y
p
(grad_(X)Y)_(p)=(sum_(i=1)^(n)X_(i)grad_((del)/(delx_(i)))Y)_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)(grad_((del)/(delx_(i)))Y)_(p) \left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \boldsymbol{Y}\right)_{p} ( ∇ X Y ) p = ( ∑ i = 1 n X i ∇ ∂ ∂ x i Y ) p = ∑ i = 1 n X i ( p ) ( ∇ ∂ ∂ x i Y ) p
をえる。一方,
v
=
X
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∂
∂
x
i
)
p
v
=
X
p
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
p
)
∂
∂
x
i
p
v=X_(p)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(p)((del)/(delx_(i)))_(p) \boldsymbol{v}=\boldsymbol{X}_{p}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p} v = X p = ∑ i = 1 n X i ( p ) ( ∂ ∂ x i ) p なので,
X
i
(
p
)
X
i
(
p
)
X_(i)(p) X_{i}(p) X i ( p ) は
v
v
v \boldsymbol{v} v の拡張
X
X
X \boldsymbol{X} X のとり方によらずに定まり, それゆえ,
(
∇
X
Y
)
p
∇
X
Y
p
(grad_(X)Y)_(p) \left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p} ( ∇ X Y ) p が
v
v
v \boldsymbol{v} v の拡張
X
X
X \boldsymbol{X} X のとり方に よらずに定まることが示される。
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
T
p
:
T
p
M
×
T
p
M
→
T
p
M
T
p
:
T
p
M
×
T
p
M
→
T
p
M
T_(p):T_(p)M xxT_(p)M rarrT_(p)M T_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \rightarrow T_{p} M T p : T p M × T p M → T p M を
T
p
(
v
,
w
)
:=
(
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
)
p
(
v
,
w
∈
T
p
M
)
T
p
(
v
,
w
)
:=
∇
X
Y
−
∇
Y
X
−
[
X
,
Y
]
p
v
,
w
∈
T
p
M
T_(p)(v,w):=(grad_(X)Y-grad_(Y)X-[X,Y])_(p)quad(v,w inT_(p)M) T_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}-\nabla_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}-[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]\right)_{p} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right) T p ( v , w ) := ( ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] ) p ( v , w ∈ T p M )
によって定義する. ここで,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y は各々,
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X_(p)=v,Y_(p)=w \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w} X p = v , Y p = w となる
M
M
M M M 上 の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場を表す.
T
p
(
v
,
w
)
T
p
(
v
,
w
)
T_(p)(v,w) T_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) T p ( v , w ) は well-defined, つまり,
v
,
w
v
,
w
v,w \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} v , w の拡張
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y のとり方によらずに定まり, さらに,
T
p
T
p
T_(p) T_{p} T p は双線形であることが示され る. また, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
T
p
T
p
T_(p) T_{p} T p を対応させる対応
T
T
T T T は,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
(
1
,
2
)
(
1
,
2
)
(1,2) (1,2) ( 1 , 2 ) 次テンソル場を与えることが示される. この
(
1
,
2
)
(
1
,
2
)
(1,2) (1,2) ( 1 , 2 ) 次テンソル場
T
T
T T T を
∇
∇
grad \nabla ∇
の捩れテンソル場(torsion tensor field)という.
T
=
0
T
=
0
T=0 T=0 T = 0 を満たすアフィン 接続は, 捩れ0のアフィン接続(torsion-free affine connection)とよば れる。
問 3.11.3
T
p
(
v
,
w
)
T
p
(
v
,
w
)
T_(p)(v,w) T_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) T p ( v , w ) は well-defined, つまり,
v
,
w
v
,
w
v,w \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} v , w の拡張
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y のとり方によ らずに定まることを示せ.
∇
∇
grad \nabla ∇ をの捩れ0のアフィン接続とし,
W
W
W W W を
M
M
M M M の開集合とする. このと き,
∇
∇
grad \nabla ∇ を用いて, 開部分多様体
W
W
W W W のアフィン接続
∇
W
∇
W
grad^(W) \nabla^{W} ∇ W が,
∇
X
W
Y
:=
(
∇
X
~
Y
~
)
|
W
(
X
,
Y
∈
X
(
W
)
)
∇
X
W
Y
:=
∇
X
~
Y
~
W
(
X
,
Y
∈
X
(
W
)
)
grad_(X)^(W)Y:=(grad_( widetilde(X))( widetilde(Y)))|_(W)quad(X,Y inX(W)) \nabla_{\boldsymbol{X}}^{W} \boldsymbol{Y}:=\left.\left(\nabla_{\widetilde{\boldsymbol{X}}} \widetilde{\boldsymbol{Y}}\right)\right|_{W} \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(W)) ∇ X W Y := ( ∇ X ~ Y ~ ) | W ( X , Y ∈ X ( W ) )
によって定義される。 ここで,
X
~
,
Y
~
X
~
,
Y
~
widetilde(X), widetilde(Y) \widetilde{\boldsymbol{X}}, \widetilde{\boldsymbol{Y}} X ~ , Y ~ は各々,
X
~
|
W
=
X
,
Y
~
|
W
=
Y
X
~
W
=
X
,
Y
~
W
=
Y
( widetilde(X))|_(W)=X,( widetilde(Y))|_(W)=Y \left.\widetilde{\boldsymbol{X}}\right|_{W}=\boldsymbol{X},\left.\widetilde{\boldsymbol{Y}}\right|_{W}=\boldsymbol{Y} X ~ | W = X , Y ~ | W = Y となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元である.
∇
X
W
Y
∇
X
W
Y
grad_(X)^(W)Y \nabla_{\boldsymbol{X}}^{W} \boldsymbol{Y} ∇ X W Y は,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y の拡張
X
~
,
Y
~
X
~
,
Y
~
widetilde(X), widetilde(Y) \widetilde{\boldsymbol{X}}, \widetilde{\boldsymbol{Y}} X ~ , Y ~ のとり方によらずに定ま ることが容易に示される。以下,簡単のため,
∇
W
∇
W
grad^(W) \nabla^{W} ∇ W を
∇
∇
grad \nabla ∇ 略記することにす る.
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
j
=
∑
k
=
1
Γ
i
j
k
∂
∂
x
k
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
j
=
∑
k
=
1
Γ
i
j
k
∂
∂
x
k
grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(j))=sum_(k=1)Gamma_(ij)^(k)(del)/(delx_(k)) \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}=\sum_{k=1} \Gamma_{i j}^{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}} ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ x j = ∑ k = 1 Γ i j k ∂ ∂ x k
によって定義される
U
U
U U U 上の関数
Γ
i
j
k
Γ
i
j
k
Gamma_(ij)^(k) \Gamma_{i j}^{k} Γ i j k をの
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する接続係数(connection coefficient)という。一般に,
M
M
M M M にアフィン接続
∇
∇
grad \nabla ∇ が与えられて いるとき,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y に対し,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テン ソル場
∇
Y
∇
Y
grad Y \nabla \boldsymbol{Y} ∇ Y が次のように定義される:
(
∇
Y
)
p
(
v
)
:=
∇
v
Y
(
p
∈
M
,
v
∈
T
p
M
)
(
∇
Y
)
p
(
v
)
:=
∇
v
Y
p
∈
M
,
v
∈
T
p
M
(grad Y)_(p)(v):=grad_(v)Y quad(p in M,v inT_(p)M) (\nabla \boldsymbol{Y})_{p}(\boldsymbol{v}):=\nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y} \quad\left(p \in M, \boldsymbol{v} \in T_{p} M\right) ( ∇ Y ) p ( v ) := ∇ v Y ( p ∈ M , v ∈ T p M )
また,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
k
k
k k k 次共変テンソル場
S
S
S S S と
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
1
,
k
)
(
1
,
k
)
(1,k) (1, k) ( 1 , k ) 次テンソル場
S
^
S
^
hat(S) \hat{S} S ^ に対し,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) 次共変テンソル場
∇
S
∇
S
grad S \nabla S ∇ S と
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
1
,
k
+
1
)
(
1
,
k
+
1
)
(1,k+1) (1, k+1) ( 1 , k + 1 ) 次テンソル 場
∇
S
^
∇
S
^
grad hat(S) \nabla \hat{S} ∇ S ^ が各々,次のように定義される:
(
∇
S
)
p
(
v
,
w
1
,
…
,
w
k
)
:=
v
(
S
(
Y
1
,
…
,
Y
k
)
)
−
∑
i
=
1
k
S
p
(
w
1
,
…
,
∇
v
Y
i
,
…
,
w
k
)
(
∇
S
^
)
p
(
v
,
w
1
,
…
,
w
k
)
:=
∇
v
(
S
^
(
Y
1
,
…
,
Y
k
)
)
−
∑
i
=
1
k
S
^
p
(
w
1
,
…
,
∇
v
Y
i
,
…
,
w
k
)
(
p
∈
M
,
v
,
w
1
,
…
,
w
k
∈
T
p
M
)
.
ここで,
Y
i
は
(
Y
i
)
p
=
w
i
となる
X
(
M
)
(
∇
S
)
p
v
,
w
1
,
…
,
w
k
:=
v
S
Y
1
,
…
,
Y
k
−
∑
i
=
1
k
S
p
w
1
,
…
,
∇
v
Y
i
,
…
,
w
k
(
∇
S
^
)
p
v
,
w
1
,
…
,
w
k
:=
∇
v
S
^
Y
1
,
…
,
Y
k
−
∑
i
=
1
k
S
^
p
w
1
,
…
,
∇
v
Y
i
,
…
,
w
k
p
∈
M
,
v
,
w
1
,
…
,
w
k
∈
T
p
M
.
ここで,
Y
i
は
Y
i
p
=
w
i
となる
X
(
M
)
{:[(grad S)_(p)(v,w_(1),dots,w_(k)):=v(S(Y_(1),dots,Y_(k)))-sum_(i=1)^(k)S_(p)(w_(1),dots,grad_(v)Y_(i),dots,w_(k))],[(grad hat(S))_(p)(v,w_(1),dots,w_(k)):=grad_(v)(( hat(S))(Y_(1),dots,Y_(k)))-sum_(i=1)^(k) hat(S)_(p)(w_(1),dots,grad_(v)Y_(i),dots,w_(k))],[(p in M,v,w_(1),dots,w_(k)inT_(p)M)." ここで, "Y_(i)" は "(Y_(i))_(p)=w_(i)" となる "X(M)]:} \begin{aligned}
& (\nabla S)_{p}\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right):=\boldsymbol{v}\left(S\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right)\right)-\sum_{i=1}^{k} S_{p}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \nabla_{v} \boldsymbol{Y}_{i}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \\
& (\nabla \hat{S})_{p}\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right):=\nabla_{\boldsymbol{v}}\left(\hat{S}\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right)\right)-\sum_{i=1}^{k} \hat{S}_{p}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}_{i}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) \\
& \left(p \in M, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k} \in T_{p} M\right) . \text { ここで, } \boldsymbol{Y}_{i} \text { は }\left(\boldsymbol{Y}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{w}_{i} \text { となる } \mathcal{X}(M)
\end{aligned} こ こ で は と な る ( ∇ S ) p ( v , w 1 , … , w k ) := v ( S ( Y 1 , … , Y k ) ) − ∑ i = 1 k S p ( w 1 , … , ∇ v Y i , … , w k ) ( ∇ S ^ ) p ( v , w 1 , … , w k ) := ∇ v ( S ^ ( Y 1 , … , Y k ) ) − ∑ i = 1 k S ^ p ( w 1 , … , ∇ v Y i , … , w k ) ( p ∈ M , v , w 1 , … , w k ∈ T p M ) . ここで, Y i は ( Y i ) p = w i となる X ( M )
の元を表す. これらはwell-defined, つまり,
w
1
,
…
,
w
k
w
1
,
…
,
w
k
w_(1),dots,w_(k) \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k} w 1 , … , w k の拡張
Y
1
,
…
,
Y
k
Y
1
,
…
,
Y
k
Y_(1),dots,Y_(k) \boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k} Y 1 , … , Y k のとり方によらずに定まることを注意しておく.上述の
∇
Y
,
∇
S
,
∇
S
^
∇
Y
,
∇
S
,
∇
S
^
grad Y,grad S,grad hat(S) \nabla \boldsymbol{Y}, \nabla S, \nabla \hat{S} ∇ Y , ∇ S , ∇ S ^ を各々,
Y
,
S
,
S
^
Y
,
S
,
S
^
Y,S, hat(S) Y, S, \hat{S} Y , S , S ^ の
∇
∇
grad \nabla ∇ に関する共変微分という。以下,
(
∇
S
)
p
(
v
,
w
1
,
…
,
w
k
)
(
∇
S
)
p
v
,
w
1
,
…
,
w
k
(grad S)_(p)(v,w_(1),dots,w_(k)) (\nabla S)_{p}\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) ( ∇ S ) p ( v , w 1 , … , w k ) を
(
∇
v
S
)
p
(
w
1
,
…
,
w
k
)
∇
v
S
p
w
1
,
…
,
w
k
(grad_(v)S)_(p)(w_(1),dots,w_(k)) \left(\nabla_{\boldsymbol{v}} S\right)_{p}\left(\boldsymbol{w}_{1}, \ldots, \boldsymbol{w}_{k}\right) ( ∇ v S ) p ( w 1 , … , w k ) と表し,
(
∇
S
)
(
X
,
Y
1
,
…
,
Y
k
)
(
∇
S
)
X
,
Y
1
,
…
,
Y
k
(grad S)(X,Y_(1),dots,Y_(k)) (\nabla S)\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right) ( ∇ S ) ( X , Y 1 , … , Y k ) を
(
∇
X
S
)
(
Y
1
,
…
,
Y
k
)
∇
X
S
Y
1
,
…
,
Y
k
(grad_(X)S)(Y_(1),dots,Y_(k)) \left(\nabla_{\boldsymbol{X}} S\right)\left(\boldsymbol{Y}_{1}, \ldots, \boldsymbol{Y}_{k}\right) ( ∇ X S ) ( Y 1 , … , Y k ) と表す。
g
g
g g g を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リマン計量とする.
M
M
M M M の捩れ 0 のアフィン接続
∇
∇
grad \nabla ∇ で
∇
g
=
0
∇
g
=
0
grad g=0 \nabla g=0 ∇ g = 0 を満たすようなものは一意に定まる. 実際, 一意性は下で 述べる Koszul の公式から直接導かれ, 存在性も容易に示される。このような アフィン接続をリーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) のリーマン接続(Riemannian connection), または, レヴィ・チビタ接続(Levi-Civita connection)とい う.
∇
∇
grad \nabla ∇ を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) のリーマン接続とする.
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
g
g
g g g の
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に関す る成分を
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j とし, 正則行列
(
g
i
j
)
g
i
j
(g_(ij)) \left(g_{i j}\right) ( g i j ) の逆行列を
(
g
i
j
)
g
i
j
(g^(ij)) \left(g^{i j}\right) ( g i j ) として,
U
U
U U U 上の関数
{
k
i
j
}
k
i
j
{[k],[ij]} \left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\} { k i j } を
{
k
i
j
}
:=
1
2
∑
l
=
1
n
g
k
l
(
∂
g
l
j
∂
x
i
+
∂
g
i
l
∂
x
j
−
∂
g
i
j
∂
x
l
)
k
i
j
:=
1
2
∑
l
=
1
n
g
k
l
∂
g
l
j
∂
x
i
+
∂
g
i
l
∂
x
j
−
∂
g
i
j
∂
x
l
{[k],[ij]}:=(1)/(2)sum_(l=1)^(n)g^(kl)((delg_(lj))/(delx_(i))+(delg_(il))/(delx_(j))-(delg_(ij))/(delx_(l))) \left\{\begin{array}{c}
k \\
i j
\end{array}\right\}:=\frac{1}{2} \sum_{l=1}^{n} g^{k l}\left(\frac{\partial g_{l j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial g_{i l}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial g_{i j}}{\partial x_{l}}\right) { k i j } := 1 2 ∑ l = 1 n g k l ( ∂ g l j ∂ x i + ∂ g i l ∂ x j − ∂ g i j ∂ x l )
によって定義する.
{
k
i
j
}
k
i
j
{[k],[ij]} \left\{\begin{array}{c}k \\ i j\end{array}\right\} { k i j } を
g
g
g g g の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関するクリストッフェルの記号 という.問 3.11.4 上述の命題を証明せよ.
リーマン接続に対して, 次の Koszul の公式(Koszul formula)とよば れる関係式が成り立つ.
命題 3.11.2
∇
∇
grad \nabla ∇ を
M
M
M M M のリマン計量
g
g
g g g のリーマン接続とする. このとき,次の関係式が成り立つ:
2
g
(
∇
X
Y
,
Z
)
=
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
+
Y
(
g
(
Z
,
X
)
)
−
Z
(
g
(
X
,
Y
)
)
−
g
(
X
,
[
Y
,
Z
]
)
+
g
(
Y
,
[
Z
,
X
]
)
+
g
(
Z
,
[
X
,
Y
]
)
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
)
2
g
∇
X
Y
,
Z
=
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
+
Y
(
g
(
Z
,
X
)
)
−
Z
(
g
(
X
,
Y
)
)
−
g
(
X
,
[
Y
,
Z
]
)
+
g
(
Y
,
[
Z
,
X
]
)
+
g
(
Z
,
[
X
,
Y
]
)
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
)
{:[2g(grad_(X)Y,Z)=X(g(Y","Z))+Y(g(Z","X))-Z(g(X","Y))],[-g(X","[Y","Z])+g(Y","[Z","X])+g(Z","[X","Y])],[(X","Y","Z inX(M))]:} \begin{aligned}
& 2 g\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\right)= \boldsymbol{X}(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}))+\boldsymbol{Y}(g(\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}))-\boldsymbol{Z}(g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})) \\
&-g(\boldsymbol{X},[\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}])+g(\boldsymbol{Y},[\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}])+g(\boldsymbol{Z},[\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}]) \\
&(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M))
\end{aligned} 2 g ( ∇ X Y , Z ) = X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( Z , X ) ) − Z ( g ( X , Y ) ) − g ( X , [ Y , Z ] ) + g ( Y , [ Z , X ] ) + g ( Z , [ X , Y ] ) ( X , Y , Z ∈ X ( M ) )
証明
∇
g
=
0
∇
g
=
0
grad g=0 \nabla g=0 ∇ g = 0 より, 次式が成り立つ:
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
=
g
(
∇
X
Y
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
X
Z
)
Y
(
g
(
Z
,
X
)
)
=
g
(
∇
Y
Z
,
X
)
+
g
(
Z
,
∇
Y
X
)
Z
(
g
(
X
,
Y
)
)
=
g
(
∇
Z
X
,
Y
)
+
g
(
X
,
∇
Z
Y
)
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
=
g
∇
X
Y
,
Z
+
g
Y
,
∇
X
Z
Y
(
g
(
Z
,
X
)
)
=
g
∇
Y
Z
,
X
+
g
Z
,
∇
Y
X
Z
(
g
(
X
,
Y
)
)
=
g
∇
Z
X
,
Y
+
g
X
,
∇
Z
Y
{:[X(g(Y","Z))=g(grad_(X)Y,Z)+g(Y,grad_(X)Z)],[Y(g(Z","X))=g(grad_(Y)Z,X)+g(Z,grad_(Y)X)],[Z(g(X","Y))=g(grad_(Z)X,Y)+g(X,grad_(Z)Y)]:} \begin{aligned}
& \boldsymbol{X}(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}))=g\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\right)+g\left(\boldsymbol{Y}, \nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Z}\right) \\
& \boldsymbol{Y}(g(\boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}))=g\left(\nabla_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{X}\right)+g\left(\boldsymbol{Z}, \nabla_{\boldsymbol{Y}} \boldsymbol{X}\right) \\
& \boldsymbol{Z}(g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}))=g\left(\nabla_{\boldsymbol{Z}} \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}\right)+g\left(\boldsymbol{X}, \nabla_{\boldsymbol{Z}} \boldsymbol{Y}\right)
\end{aligned} X ( g ( Y , Z ) ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) Y ( g ( Z , X ) ) = g ( ∇ Y Z , X ) + g ( Z , ∇ Y X ) Z ( g ( X , Y ) ) = g ( ∇ Z X , Y ) + g ( X , ∇ Z Y )
これらの関係式と
T
=
0
T
=
0
T=0 T=0 T = 0 より, 求めるべき関係式が導かれる.
3.12 ガウスの発散定理(微分幾何学版)
この節において, リーマン多様体上のベクトル場に対するガウスの発散定理 について述べることにする。まず、リーマン体積要素を定義する。
(
M
,
g
,
O
)
(
M
,
g
,
O
)
(M,g,O) (M, g, O) ( M , g , O ) を向き付けられた
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン多様体とする。
M
M
M M M の各正の局所チャ 一ト
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に対し,
U
U
U U U 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式
(
d
V
g
)
(
U
,
φ
)
d
V
g
(
U
,
φ
)
(dV_(g))_((U,varphi)) \left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)} ( d V g ) ( U , φ ) を
(
d
V
g
)
(
U
,
φ
)
:=
det
(
g
i
j
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
d
V
g
(
U
,
φ
)
:=
det
g
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
(dV_(g))_((U,varphi)):=sqrt(det(g_(ij)))dx_(1)^^cdots^^dx_(n) \left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}:=\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} ( d V g ) ( U , φ ) := det ( g i j ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n
によって定義する. ここで,
g
i
j
g
i
j
g_(ij) g_{i j} g i j は
g
g
g g g の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分を表す.
U
∩
V
≠
U
∩
V
≠
U nn V!= U \cap V \neq U ∩ V ≠
∅
∅
O/ \emptyset ∅ となる
M
M
M M M の正の局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) をとり,
V
V
V V V 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級 の
n
n
n n n 次微分形式
(
d
V
g
)
(
V
,
ψ
)
d
V
g
(
V
,
ψ
)
(dV_(g))_((V,psi)) \left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)} ( d V g ) ( V , ψ ) を同様に定義する.つまり,
(
d
V
g
)
(
V
,
ψ
)
:=
det
(
g
¯
i
j
)
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
n
d
V
g
(
V
,
ψ
)
:=
det
g
¯
i
j
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
n
(dV_(g))_((V,psi)):=sqrt(det( bar(g)_(ij)))dy_(1)^^cdots^^dy_(n) \left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)}:=\sqrt{\operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right)} d y_{1} \wedge \cdots \wedge d y_{n} ( d V g ) ( V , ψ ) := det ( g ¯ i j ) d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n
によって定義する。ここで,
g
¯
i
j
g
¯
i
j
bar(g)_(ij) \bar{g}_{i j} g ¯ i j は
g
g
g g g の
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) に関する成分を表す.
U
∩
V
U
∩
V
U nn V U \cap V U ∩ V 上 で
(
d
V
g
)
(
U
,
φ
)
=
(
d
V
g
)
(
V
,
ψ
)
d
V
g
(
U
,
φ
)
=
d
V
g
(
V
,
ψ
)
(dV_(g))_((U,varphi))=(dV_(g))_((V,psi)) \left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}=\left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)} ( d V g ) ( U , φ ) = ( d V g ) ( V , ψ ) が成り立つことを示そう.
g
i
j
=
g
(
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
=
∑
k
=
1
n
∑
l
=
1
n
∂
(
y
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∂
(
y
l
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
g
¯
k
l
g
i
j
=
g
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
=
∑
k
=
1
n
∑
l
=
1
n
∂
y
k
∘
φ
−
1
∂
x
i
∂
y
l
∘
φ
−
1
∂
x
j
g
¯
k
l
g_(ij)=g((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))=sum_(k=1)^(n)sum_(l=1)^(n)(del(y_(k)@varphi^(-1)))/(delx_(i))(del(y_(l)@varphi^(-1)))/(delx_(j)) bar(g)_(kl) g_{i j}=g\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)=\sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} \frac{\partial\left(y_{k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \frac{\partial\left(y_{l} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \bar{g}_{k l} g i j = g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) = ∑ k = 1 n ∑ l = 1 n ∂ ( y k ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∂ ( y l ∘ φ − 1 ) ∂ x j g ¯ k l
となるので,
det
(
g
i
j
)
=
(
det
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
)
2
⋅
det
(
g
¯
i
j
)
det
g
i
j
=
det
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
2
⋅
det
g
¯
i
j
det(g_(ij))=(det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))))^(2)*det( bar(g)_(ij)) \operatorname{det}\left(g_{i j}\right)=\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)\right)^{2} \cdot \operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right) det ( g i j ) = ( det ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) ) 2 ⋅ det ( g ¯ i j )
が示される. さらに,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) と
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) が共に正の局所チャートなので,
det
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
>
0
となるので, 上式から
det
(
g
i
j
)
=
det
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
⋅
det
(
g
¯
i
j
)
det
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
>
0
となるので, 上式から
det
g
i
j
=
det
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
⋅
det
g
¯
i
j
{:[det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))) > 0" となるので, 上式から "],[sqrt(det(g_(ij)))=det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))*sqrt(det( bar(g)_(ij)))]:} \begin{array}{r}
\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right)>0 \text { となるので, 上式から } \\
\sqrt{\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right) \cdot \sqrt{\operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right)}
\end{array} と な る の で 上 式 か ら det ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) > 0 となるので, 上式から det ( g i j ) = det ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) ⋅ det ( g ¯ i j )
が導かれる. 一方,
n
n
n n n 文字の置換
σ
σ
sigma \sigma σ に対し,
d
x
σ
(
1
)
∧
⋯
∧
d
x
σ
(
n
)
=
sgn
(
σ
)
d
x
1
d
x
σ
(
1
)
∧
⋯
∧
d
x
σ
(
n
)
=
sgn
(
σ
)
d
x
1
dx_(sigma(1))^^cdots^^dx_(sigma(n))=sgn(sigma)dx_(1) d x_{\sigma(1)} \wedge \cdots \wedge d x_{\sigma(n)}=\operatorname{sgn}(\sigma) d x_{1} d x σ ( 1 ) ∧ ⋯ ∧ d x σ ( n ) = sgn ( σ ) d x 1
∧
⋯
∧
d
x
n
∧
⋯
∧
d
x
n
^^cdots^^dx_(n) \wedge \cdots \wedge d x_{n} ∧ ⋯ ∧ d x n が成り立つので,
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
n
=
det
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
⋅
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
n
=
det
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
⋅
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
dy_(1)^^cdots^^dy_(n)=det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))*dx_(1)^^cdots^^dx_(n) d y_{1} \wedge \cdots \wedge d y_{n}=\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right) \cdot d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n = det ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) ⋅ d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n
が示される. これらの関係式から,
U
∩
V
U
∩
V
U nn V U \cap V U ∩ V 上で
(
d
V
g
)
(
U
,
φ
)
=
(
d
V
g
)
(
V
,
ψ
)
d
V
g
(
U
,
φ
)
=
d
V
g
(
V
,
ψ
)
(dV_(g))_((U,varphi))=(dV_(g))_((V,psi)) \left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)}=\left(d V_{g}\right)_{(V, \psi)} ( d V g ) ( U , φ ) = ( d V g ) ( V , ψ ) が成り 立つことがわかる.それゆえ,
(
d
V
g
)
(
U
,
φ
)
d
V
g
(
U
,
φ
)
(dV_(g))_((U,varphi)) \left(d V_{g}\right)_{(U, \varphi)} ( d V g ) ( U , φ ) らを貼り合わせて
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
n
n
n n n 次微分形式がえられる。これを
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g と表し,
g
g
g g g のリーマン体積要素 (Riemannian volume element), または単に, 体積要素 (volume element)という.
ρ
ρ
rho \rho ρ を
M
M
M M M 上のコンパクトな台をもつ
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数とする。
M
M
M M M 上 の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
n
n
n n n 次微分形式
ρ
d
V
g
ρ
d
V
g
rho dV_(g) \rho d V_{g} ρ d V g の積分
∫
M
ρ
d
V
g
∫
M
ρ
d
V
g
int_(M)rho dV_(g) \int_{M} \rho d V_{g} ∫ M ρ d V g を
ρ
ρ
rho \boldsymbol{\rho} ρ の
M
M
M M M 上のリーマン体積要素
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g に関する積分(the integral of
ρ
ρ
rho \rho ρ over
M
M
M M M with respect to
d
V
g
d
V
g
dV_(g) d V_{g} d V g ) という. また,DをMのコンパクト閉領域とするとき,
∫
D
1
d
V
g
∫
D
1
d
V
g
int_(D)1dV_(g) \int_{D} 1 d V_{g} ∫ D 1 d V g を
D
D
D \boldsymbol{D} D のリ
ーマン計量
g
g
g g g に関する体積(the volume of
D
D
D D D with respect to
g
g
g g g )とよ び,
Vol
g
(
D
)
Vol
g
(
D
)
Vol_(g)(D) \operatorname{Vol}_{g}(D) Vol g ( D ) と表す. 特に,
M
M
M M M がコンパクトであるとき,
∫
M
1
d
V
g
∫
M
1
d
V
g
int_(M)1dV_(g) \int_{M} 1 d V_{g} ∫ M 1 d V g をリーマ ン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (\boldsymbol{M}, \boldsymbol{g}) ( M , g ) の体積(the volume of
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (\boldsymbol{M}, \boldsymbol{g}) ( M , g ) ) とよび,
Vol
(
M
,
g
)
Vol
(
M
,
g
)
Vol(M,g) \operatorname{Vol}(M, g) Vol ( M , g ) と表 す。
次に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の
C
r
(
r
≥
1
)
C
r
(
r
≥
1
)
C^(r)(r >= 1) C^{r}(r \geq 1) C r ( r ≥ 1 ) ベクトル場の発散を定義することにする.
∇
∇
grad \nabla ∇ を
g
g
g g g のリーマン接続とする。
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r ベクトル 場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テンソル場
∇
X
∇
X
grad X \nabla \boldsymbol{X} ∇ X のトレース
T
r
∇
X
T
r
∇
X
Tr grad X T r \nabla \boldsymbol{X} T r ∇ X を
X
X
X \boldsymbol{X} X の
g
g
g \boldsymbol{g} g に関す る発散といい,
div
g
X
div
g
X
div_(g)X \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} div g X と表す.
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の
C
r
(
r
≥
2
)
C
r
(
r
≥
2
)
C^(r)(r >= 2) C^{r}(r \geq 2) C r ( r ≥ 2 ) 級関数
ρ
ρ
rho \rho ρ に対し,
d
ρ
p
(
v
)
=
g
p
(
Y
p
,
v
)
(
∀
p
∈
M
,
∀
v
∈
T
p
M
)
d
ρ
p
(
v
)
=
g
p
Y
p
,
v
∀
p
∈
M
,
∀
v
∈
T
p
M
drho_(p)(v)=g_(p)(Y_(p),v)quad(AA p in M,AA v inT_(p)M) d \rho_{p}(\boldsymbol{v})=g_{p}\left(\boldsymbol{Y}_{p}, \boldsymbol{v}\right) \quad\left(\forall p \in M, \forall \boldsymbol{v} \in T_{p} M\right) d ρ p ( v ) = g p ( Y p , v ) ( ∀ p ∈ M , ∀ v ∈ T p M )
を満たす
M
M
M M M 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 ベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y が一意に定まる. このベクトル場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y を,
grad
g
ρ
grad
g
ρ
grad_(g)rho \operatorname{grad}_{g} \rho grad g ρ と表し,
ρ
ρ
rho \boldsymbol{\rho} ρ の
g
g
g \boldsymbol{g} g に関する勾配ベクトル場という.
grad
g
ρ
grad
g
ρ
grad_(g)rho \operatorname{grad}_{g} \rho grad g ρ の発散
div
g
(
∇
grad
g
ρ
)
div
g
∇
grad
g
ρ
div_(g)(gradgrad_(g)rho) \operatorname{div}_{g}\left(\nabla \operatorname{grad}_{g} \rho\right) div g ( ∇ grad g ρ ) は,
ρ
ρ
rho \rho ρ のラプラシアン(Laplacian)とよばれ,
Δ
g
ρ
Δ
g
ρ
Delta_(g)rho \Delta_{g} \rho Δ g ρ と表さ れる。
注意一般に,
n
n
n n n 次元リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の任意の 2 次共変テンソル場
S
S
S S S に 対し,
S
S
S S S の
g
g
g g g に関するトレース
Tr
g
S
Tr
g
S
Tr_(g)S \operatorname{Tr}_{g} S Tr g S が,
(
Tr
g
S
)
p
:=
∑
i
=
1
n
S
p
(
e
i
,
e
i
)
(
p
∈
M
)
Tr
g
S
p
:=
∑
i
=
1
n
S
p
e
i
,
e
i
(
p
∈
M
)
(Tr_(g)S)_(p):=sum_(i=1)^(n)S_(p)(e_(i),e_(i))quad(p in M) \left(\operatorname{Tr}_{g} S\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n} S_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \quad(p \in M) ( Tr g S ) p := ∑ i = 1 n S p ( e i , e i ) ( p ∈ M )
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
((e_(1),dots,e_(n)):} \left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right. ( ( e 1 , … , e n ) は
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) の正規直交基底)によって矛盾なく定義され,
g
,
S
g
,
S
g,S g, S g , S の
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に関する成分を各々,
g
i
j
,
S
i
j
g
i
j
,
S
i
j
g_(ij),S_(ij) g_{i j}, S_{i j} g i j , S i j とし, 行列
(
g
i
j
)
g
i
j
(g_(ij)) \left(g_{i j}\right) ( g i j ) の逆行列を
(
g
i
j
)
g
i
j
(g^(ij)) \left(g^{i j}\right) ( g i j ) として,
U
U
U U U 上で
(3.12.1)
Tr
g
S
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
S
i
j
g
i
j
(3.12.1)
Tr
g
S
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
S
i
j
g
i
j
{:(3.12.1)Tr_(g)S=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)S_(ij)g^(ij):} \begin{equation*}
\operatorname{Tr}_{g} S=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} S_{i j} g^{i j} \tag{3.12.1}
\end{equation*} (3.12.1) Tr g S = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n S i j g i j
が成り立つ.
Δ
g
ρ
Δ
g
ρ
Delta_(g)rho \Delta_{g} \rho Δ g ρ は,
Δ
g
ρ
:=
Tr
g
∇
d
ρ
Δ
g
ρ
:=
Tr
g
∇
d
ρ
Delta_(g)rho:=Tr_(g)grad d rho \Delta_{g} \rho:=\operatorname{Tr}_{g} \nabla d \rho Δ g ρ := Tr g ∇ d ρ , つまり,
(
Δ
g
ρ
)
p
:=
∑
i
=
1
n
(
∇
d
ρ
)
p
(
e
i
,
e
i
)
(
p
∈
M
)
Δ
g
ρ
p
:=
∑
i
=
1
n
(
∇
d
ρ
)
p
e
i
,
e
i
(
p
∈
M
)
(Delta_(g)rho)_(p):=sum_(i=1)^(n)(grad d rho)_(p)(e_(i),e_(i))quad(p in M) \left(\Delta_{g} \rho\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n}(\nabla d \rho)_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \quad(p \in M) ( Δ g ρ ) p := ∑ i = 1 n ( ∇ d ρ ) p ( e i , e i ) ( p ∈ M )
と定義することもできる.
3.10 節で述べたストークスの定理(定理 3.10.1)を用いて,1.12 節で述べ たガウスの発散定理(定理 1.12.1)を一般化した結果として, 次のガウスの発散定理(Gauss' divergence theorem)が導かれる。
定理 3.12.1(ガウスの発散定理)
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする。
(
M
,
g
,
O
)
(
M
,
g
,
O
)
(M,g,O) (M, g, O) ( M , g , O ) を向き付けられ た
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体とし,
D
D
D D D を
M
M
M M M の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつコ ンパクト閉領域とする。このとき,
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し,次の 関係式が成り立つ:
∫
D
div
g
X
d
V
g
=
∫
∂
D
g
(
X
,
N
)
d
V
ι
∗
g
∫
D
div
g
X
d
V
g
=
∫
∂
D
g
(
X
,
N
)
d
V
ι
∗
g
int_(D)div_(g)XdV_(g)=int_(del D)g(X,N)dV_(iota^(**)g) \int_{D} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} d V_{g}=\int_{\partial D} g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N}) d V_{\iota^{*} g} ∫ D div g X d V g = ∫ ∂ D g ( X , N ) d V ι ∗ g
ただし,
N
N
N \boldsymbol{N} N は
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D の外向きの単位法べクトル場を表し,
は
∂
D
は
∂
D
はdel D は ~ \partial D は は ∂ D から
M
M
M M M への 包含写像を表す(図 3.12 .1 を参照)。特に,
X
=
grad
g
ρ
(
ρ
∈
C
r
+
1
(
M
)
)
X
=
grad
g
ρ
ρ
∈
C
r
+
1
(
M
)
X=grad_(g)rho(rho inC^(r+1)(M)) \boldsymbol{X}=\operatorname{grad}_{g} \rho\left(\rho \in C^{r+1}(M)\right) X = grad g ρ ( ρ ∈ C r + 1 ( M ) ) の 場合に,次の関係式をえる:
∫
D
Δ
g
ρ
d
V
g
=
∫
∂
D
g
(
grad
g
ρ
,
N
)
d
V
ι
∗
g
∫
D
Δ
g
ρ
d
V
g
=
∫
∂
D
g
grad
g
ρ
,
N
d
V
ι
∗
g
int_(D)Delta_(g)rho dV_(g)=int_(del D)g(grad_(g)rho,N)dV_(iota^(**)g) \int_{D} \Delta_{g} \rho d V_{g}=\int_{\partial D} g\left(\operatorname{grad}_{g} \rho, \boldsymbol{N}\right) d V_{\iota^{*} g} ∫ D Δ g ρ d V g = ∫ ∂ D g ( grad g ρ , N ) d V ι ∗ g
図 3.12.1 リーマン多様体上のベクトル場に対する発散定理
証明 最初に,
D
D
D D D が
M
M
M M M のある正の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に含 まれている場合に示すことにする。
X
,
g
X
,
g
X,g \boldsymbol{X}, g X , g の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分を各々,
X
i
,
g
i
j
X
i
,
g
i
j
X_(i),g_(ij) X_{i}, g_{i j} X i , g i j とし,
(
g
i
j
)
:=
(
g
i
j
)
−
1
g
i
j
:=
g
i
j
−
1
(g^(ij)):=(g_(ij))^(-1) \left(g^{i j}\right):=\left(g_{i j}\right)^{-1} ( g i j ) := ( g i j ) − 1 とする. 簡単のため,
G
:=
det
(
g
i
j
)
G
:=
det
g
i
j
G:=det(g_(ij)) G:=\operatorname{det}\left(g_{i j}\right) G := det ( g i j ) とおく. まず,
(3.12.2)
div
g
X
=
1
G
∑
i
=
1
n
(
∂
(
(
G
X
i
)
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
(3.12.2)
div
g
X
=
1
G
∑
i
=
1
n
∂
G
X
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
{:(3.12.2)div_(g)X=(1)/(sqrtG)sum_(i=1)^(n)((del((sqrtGX_(i))@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi):} \begin{equation*}
\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X}=\frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(\left(\sqrt{G} X_{i}\right) \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) \tag{3.12.2}
\end{equation*} (3.12.2) div g X = 1 G ∑ i = 1 n ( ∂ ( ( G X i ) ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ )
が成り立つことを示そう.
∇
∂
∂
x
i
X
=
∇
∂
∂
x
i
(
∑
j
=
1
n
X
j
∂
∂
x
j
)
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
X
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
∂
∂
x
j
+
X
j
∑
k
=
1
n
{
k
i
j
}
∂
∂
x
k
=
∑
j
=
1
n
(
(
∂
(
X
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
+
∑
k
=
1
n
X
k
{
j
i
k
}
)
∂
∂
x
j
∇
∂
∂
x
i
X
=
∇
∂
∂
x
i
∑
j
=
1
n
X
j
∂
∂
x
j
=
∑
j
=
1
n
∂
X
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
∂
∂
x
j
+
X
j
∑
k
=
1
n
k
i
j
∂
∂
x
k
=
∑
j
=
1
n
∂
X
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
+
∑
k
=
1
n
X
k
j
i
k
∂
∂
x
j
{:[grad_((del)/(delx_(i)))X=grad_((del)/(delx_(i)))(sum_(j=1)^(n)X_(j)(del)/(delx_(j)))],[=sum_(j=1)^(n)((del(X_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)(del)/(delx_(j))+X_(j)sum_(k=1)^(n){[k],[ij]}(del)/(delx_(k))],[=sum_(j=1)^(n)(((del(X_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+sum_(k=1)^(n)X_(k){[j],[ik]})(del)/(delx_(j))]:} \begin{aligned}
\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \boldsymbol{X} & =\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\sum_{j=1}^{n} X_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \\
& =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(X_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) \frac{\partial}{\partial x_{j}}+X_{j} \sum_{k=1}^{n}\left\{\begin{array}{c}
k \\
i j
\end{array}\right\} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \\
& =\sum_{j=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\sum_{k=1}^{n} X_{k}\left\{\begin{array}{c}
j \\
i k
\end{array}\right\}\right) \frac{\partial}{\partial x_{j}}
\end{aligned} ∇ ∂ ∂ x i X = ∇ ∂ ∂ x i ( ∑ j = 1 n X j ∂ ∂ x j ) = ∑ j = 1 n ( ∂ ( X j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) ∂ ∂ x j + X j ∑ k = 1 n { k i j } ∂ ∂ x k = ∑ j = 1 n ( ( ∂ ( X j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) + ∑ k = 1 n X k { j i k } ) ∂ ∂ x j
となるので,
div
g
X
=
Tr
∇
X
=
∑
i
=
1
n
(
(
∂
(
X
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
+
∑
j
=
1
n
X
j
{
i
i
j
}
)
(3.12.3)
=
∑
i
=
1
n
(
(
∂
(
X
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
+
1
2
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
X
j
(
∂
(
g
i
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
∘
φ
)
g
i
k
)
div
g
X
=
Tr
∇
X
=
∑
i
=
1
n
∂
X
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
+
∑
j
=
1
n
X
j
i
i
j
(3.12.3)
=
∑
i
=
1
n
∂
X
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
+
1
2
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
X
j
∂
g
i
k
∘
φ
−
1
∂
x
j
∘
φ
g
i
k
{:[div_(g)X=Tr grad X],[=sum_(i=1)^(n)(((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+sum_(j=1)^(n)X_(j){[i],[ij]})],[(3.12.3)=sum_(i=1)^(n)(((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+(1)/(2)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)X_(j)((del(g_(ik)@varphi^(-1)))/(delx_(j))@varphi)g^(ik))]:} \begin{align*}
& \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X}=\operatorname{Tr} \nabla \boldsymbol{X} \\
= & \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\sum_{j=1}^{n} X_{j}\left\{\begin{array}{c}
i \\
i j
\end{array}\right\}\right) \\
= & \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} X_{j}\left(\frac{\partial\left(g_{i k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \circ \varphi\right) g^{i k}\right) \tag{3.12.3}
\end{align*} div g X = Tr ∇ X = ∑ i = 1 n ( ( ∂ ( X i ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) + ∑ j = 1 n X j { i i j } ) (3.12.3) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ ( X i ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) + 1 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n X j ( ∂ ( g i k ∘ φ − 1 ) ∂ x j ∘ φ ) g i k )
をえる。一方, クラメールの公式を用いて,
∂
(
G
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
=
1
2
G
∑
j
=
1
n
|
g
11
⋯
∂
(
g
1
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
⋯
g
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
∂
(
g
n
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
⋯
g
n
n
|
=
1
2
G
∑
j
=
1
n
(
G
∑
k
=
1
n
(
∂
(
g
k
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
g
j
k
)
=
G
2
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
(
∂
(
g
j
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
g
j
k
∂
G
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
=
1
2
G
∑
j
=
1
n
g
11
⋯
∂
g
1
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
⋯
g
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
n
1
⋯
∂
g
n
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
⋯
g
n
n
=
1
2
G
∑
j
=
1
n
G
∑
k
=
1
n
∂
g
k
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
g
j
k
=
G
2
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
∂
g
j
k
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
g
j
k
{:[(del(sqrtG@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi=(1)/(2sqrtG)sum_(j=1)^(n)|[g_(11),cdots,(del(g_(1j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi,cdots,g_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[g_(n1),cdots,(del(g_(nj)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi,cdots,g_(nn)]|],[=(1)/(2sqrtG)sum_(j=1)^(n)(Gsum_(k=1)^(n)((del(g_(kj)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)g^(jk))],[=(sqrtG)/(2)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)((del(g_(jk)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)g^(jk)]:} \begin{aligned}
\frac{\partial\left(\sqrt{G} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi & =\frac{1}{2 \sqrt{G}} \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc}
g_{11} & \cdots & \frac{\partial\left(g_{1 j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi & \cdots & g_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
g_{n 1} & \cdots & \frac{\partial\left(g_{n j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi & \cdots & g_{n n}
\end{array}\right| \\
& =\frac{1}{2 \sqrt{G}} \sum_{j=1}^{n}\left(G \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(g_{k j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) g^{j k}\right) \\
& =\frac{\sqrt{G}}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(g_{j k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) g^{j k}
\end{aligned} ∂ ( G ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ = 1 2 G ∑ j = 1 n | g 11 ⋯ ∂ ( g 1 j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ⋯ g 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ g n 1 ⋯ ∂ ( g n j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ⋯ g n n | = 1 2 G ∑ j = 1 n ( G ∑ k = 1 n ( ∂ ( g k j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) g j k ) = G 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ( ∂ ( g j k ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) g j k
が示され, それゆえ,
1
G
∑
i
=
1
n
(
∂
(
(
G
X
i
)
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
=
1
G
∑
i
=
1
n
(
(
∂
(
G
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
X
i
+
G
(
∂
(
X
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
)
=
∑
i
=
1
n
(
(
∂
(
X
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
+
1
2
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
X
i
(
∂
(
g
j
k
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
g
j
k
)
1
G
∑
i
=
1
n
∂
G
X
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
=
1
G
∑
i
=
1
n
∂
G
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
X
i
+
G
∂
X
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
=
∑
i
=
1
n
∂
X
i
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
+
1
2
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
X
i
∂
g
j
k
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
g
j
k
{:[(1)/(sqrtG)sum_(i=1)^(n)((del((sqrtGX_(i))@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)],[=(1)/(sqrtG)sum_(i=1)^(n)(((del(sqrtG@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)X_(i)+sqrtG((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi))],[=sum_(i=1)^(n)(((del(X_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)+(1)/(2)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)X_(i)((del(g_(jk)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)g^(jk))]:} \begin{aligned}
& \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(\left(\sqrt{G} X_{i}\right) \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) \\
= & \frac{1}{\sqrt{G}} \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(\sqrt{G} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) X_{i}+\sqrt{G}\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)\right) \\
= & \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\frac{\partial\left(X_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} X_{i}\left(\frac{\partial\left(g_{j k} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right) g^{j k}\right)
\end{aligned} 1 G ∑ i = 1 n ( ∂ ( ( G X i ) ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) = 1 G ∑ i = 1 n ( ( ∂ ( G ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) X i + G ( ∂ ( X i ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ ( X i ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) + 1 2 ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n X i ( ∂ ( g j k ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) g j k )
をえる. この関係式と式 (3.12.3) から, 式 (3.12.2) が導かれる.
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
(
n
−
1
)
(
n
−
1
)
(n-1) (n-1) ( n − 1 ) 次微分形式
ω
ω
omega \omega ω を, 各正の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
U
,
φ
=
(U,varphi= (U, \varphi= ( U , φ =
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
x
1
,
…
,
x
n
{:(x_(1),dots,x_(n))) \left.\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( x 1 , … , x n ) ) に関する局所表示が
(3.12.4)
ω
:=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
G
X
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
(3.12.4)
ω
:=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
G
X
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
{:(3.12.4)omega:=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)sqrtGX_(i)dx_(1)^^cdots^^ widehat(dx_(i))^^cdots^^dx_(n):} \begin{equation*}
\omega:=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{G} X_{i} d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \tag{3.12.4}
\end{equation*} (3.12.4) ω := ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 G X i d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n
となるようなものとして定義する. この
ω
ω
omega \omega ω が well-defined であることを示そ
う.
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
,
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
,
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))),(V,psi=(y_(1),dots,y_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right),\left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) , ( V , ψ = ( y 1 , … , y n ) ) を
U
∩
V
≠
∅
U
∩
V
≠
∅
U nn V!=O/ U \cap V \neq \emptyset U ∩ V ≠ ∅ となるような正 の局所チャートとし,
g
,
X
g
,
X
g,X g, \boldsymbol{X} g , X の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) と
(
V
,
ψ
)
(
V
,
ψ
)
(V,psi) (V, \psi) ( V , ψ ) に関する成分を各々,
g
i
j
,
X
i
g
i
j
,
X
i
g_(ij),X_(i) g_{i j}, X_{i} g i j , X i , および
g
¯
i
j
,
X
¯
i
g
¯
i
j
,
X
¯
i
bar(g)_(ij), bar(X)_(i) \bar{g}_{i j}, \bar{X}_{i} g ¯ i j , X ¯ i とし,
G
:=
det
(
g
i
j
)
,
G
¯
:=
det
(
g
¯
i
j
)
G
:=
det
g
i
j
,
G
¯
:=
det
g
¯
i
j
G:=det(g_(ij)), bar(G):=det( bar(g)_(ij)) G:=\operatorname{det}\left(g_{i j}\right), \bar{G}:=\operatorname{det}\left(\bar{g}_{i j}\right) G := det ( g i j ) , G ¯ := det ( g ¯ i j ) として,
U
∩
V
U
∩
V
U nn V U \cap V U ∩ V 上で,
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
G
X
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
G
¯
X
¯
i
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
i
^
∧
⋯
∧
d
y
n
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
G
X
i
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
G
¯
X
¯
i
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
i
^
∧
⋯
∧
d
y
n
{:[sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)sqrtGX_(i)dx_(1)^^cdots^^ widehat(dx_(i))^^cdots^^dx_(n)],[=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)sqrt bar(G) bar(X)_(i)dy_(1)^^cdots^^ widehat(dy_(i))^^cdots^^dy_(n)]:} \begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{G} X_{i} d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \\
= & \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1} \sqrt{\bar{G}} \bar{X}_{i} d y_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d y_{i}} \wedge \cdots \wedge d y_{n}
\end{aligned} ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 G X i d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 G ¯ X ¯ i d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y i ^ ∧ ⋯ ∧ d y n
が成り立つことを示さねばならないが, この関係式は,
G
¯
=
(
det
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
)
∘
φ
)
−
1
G
X
¯
i
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
∘
φ
)
X
j
d
y
i
=
∑
j
=
1
n
(
∂
(
y
i
∘
φ
−
1
)
∂
x
j
∘
φ
)
d
x
j
G
¯
=
det
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
∘
φ
−
1
G
X
¯
i
=
∑
j
=
1
n
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
∘
φ
X
j
d
y
i
=
∑
j
=
1
n
∂
y
i
∘
φ
−
1
∂
x
j
∘
φ
d
x
j
{:[sqrt bar(G)=(det((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j)))@varphi)^(-1)sqrtG],[ bar(X)_(i)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))@varphi)X_(j)],[dy_(i)=sum_(j=1)^(n)((del(y_(i)@varphi^(-1)))/(delx_(j))@varphi)dx_(j)]:} \begin{aligned}
\sqrt{\bar{G}} & =\left(\operatorname{det}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}}\right) \circ \varphi\right)^{-1} \sqrt{G} \\
\bar{X}_{i} & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \circ \varphi\right) X_{j} \\
d y_{i} & =\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial\left(y_{i} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{j}} \circ \varphi\right) d x_{j}
\end{aligned} G ¯ = ( det ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ) ∘ φ ) − 1 G X ¯ i = ∑ j = 1 n ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ∘ φ ) X j d y i = ∑ j = 1 n ( ∂ ( y i ∘ φ − 1 ) ∂ x j ∘ φ ) d x j
および, クラメールの公式を用いて示すことができる。それゆえ,
ω
ω
omega \omega ω は welldefinedである。
ω
ω
omega \omega ω の定義式(上述の局所表示式 (3.12.4))と式 (3.12.2) から,単純計算により,
d
ω
=
div
g
X
d
V
g
d
ω
=
div
g
X
d
V
g
d omega=div_(g)XdV_(g) d \omega=\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} d V_{g} d ω = div g X d V g
が示され, 同じく
ω
ω
omega \omega ω の定義式 (3.12.4) から,
ι
∗
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
(
X
i
∘
ι
)
(
G
∘
ι
)
ι
∗
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
)
=
(
G
∘
ι
)
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
(
X
,
ι
∗
(
⋅
)
,
…
,
ι
∗
(
⋅
)
)
=
(
G
∘
ι
)
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
(
g
(
X
,
N
)
N
,
ι
∗
(
⋅
)
,
…
,
ι
∗
(
⋅
)
)
=
g
(
X
,
N
)
(
G
∘
ι
)
(
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
(
N
,
ι
∗
(
⋅
)
,
…
,
ι
∗
(
⋅
)
)
=
g
(
X
,
N
)
d
V
ι
∗
g
ι
∗
ω
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
X
i
∘
ι
(
G
∘
ι
)
ι
∗
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
i
^
∧
⋯
∧
d
x
n
=
(
G
∘
ι
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
X
,
ι
∗
(
⋅
)
,
…
,
ι
∗
(
⋅
)
=
(
G
∘
ι
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
g
(
X
,
N
)
N
,
ι
∗
(
⋅
)
,
…
,
ι
∗
(
⋅
)
=
g
(
X
,
N
)
(
G
∘
ι
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
N
,
ι
∗
(
⋅
)
,
…
,
ι
∗
(
⋅
)
=
g
(
X
,
N
)
d
V
ι
∗
g
{:[iota^(**)omega=sum_(i=1)^(n)(-1)^(i-1)(X_(i)@iota)(sqrtG@iota)iota^(**)(dx_(1)^^cdots^^( widehat(dx_(i)))^^cdots^^dx_(n))],[=(sqrtG@iota)(dx_(1)^^cdots^^dx_(n))(X,iota_(**)(*),dots,iota_(**)(*))],[=(sqrtG@iota)(dx_(1)^^cdots^^dx_(n))(g(X,N)N,iota_(**)(*),dots,iota_(**)(*))],[=g(X","N)(sqrtG@iota)(dx_(1)^^cdots^^dx_(n))(N,iota_(**)(*),dots,iota_(**)(*))],[=g(X","N)dV_(iota^(**)g)]:} \begin{aligned}
\iota^{*} \omega & =\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}\left(X_{i} \circ \iota\right)(\sqrt{G} \circ \iota) \iota^{*}\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge \widehat{d x_{i}} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right) \\
& =(\sqrt{G} \circ \iota)\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\left(\boldsymbol{X}, \iota_{*}(\cdot), \ldots, \iota_{*}(\cdot)\right) \\
& =(\sqrt{G} \circ \iota)\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\left(g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N}) \boldsymbol{N}, \iota_{*}(\cdot), \ldots, \iota_{*}(\cdot)\right) \\
& =g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N})(\sqrt{G} \circ \iota)\left(d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)\left(\boldsymbol{N}, \iota_{*}(\cdot), \ldots, \iota_{*}(\cdot)\right) \\
& =g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{N}) d V_{\iota^{*} g}
\end{aligned} ι ∗ ω = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 ( X i ∘ ι ) ( G ∘ ι ) ι ∗ ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x i ^ ∧ ⋯ ∧ d x n ) = ( G ∘ ι ) ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) ( X , ι ∗ ( ⋅ ) , … , ι ∗ ( ⋅ ) ) = ( G ∘ ι ) ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) ( g ( X , N ) N , ι ∗ ( ⋅ ) , … , ι ∗ ( ⋅ ) ) = g ( X , N ) ( G ∘ ι ) ( d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n ) ( N , ι ∗ ( ⋅ ) , … , ι ∗ ( ⋅ ) ) = g ( X , N ) d V ι ∗ g
が示される. したがって, ストークスの定理(定理 3.10.1)より, 求めるべき
関係式が導かれる。
D
D
D D D を含む
M
M
M M M の正の局所チャートが存在しない場合は, 定理3.10.1 の証明 におけるようにDを局所チャートに含まれる小閉領域に分割し, 各小閉領域上で主張における関係式が成り立つこと(上ですでに証明済み)を利用して,求めるべき関係式を導くことができる。
特に,
M
M
M M M が向き付けられた
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉リーマン多様体の場合に次の事実が導か れる。
系 3.12.2
(
M
,
g
,
O
)
(
M
,
g
,
O
)
(M,g,O) (M, g, O) ( M , g , O ) を向き付けられた
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉リーマン多様体とす る. このとき,
M
M
M M M 上の
C
r
(
r
≥
1
)
C
r
(
r
≥
1
)
C^(r)(r >= 1) C^{r}(r \geq 1) C r ( r ≥ 1 ) 級ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X に対し, 次の関係式が成 り立つ:
∫
M
div
g
X
d
V
g
=
0
∫
M
div
g
X
d
V
g
=
0
int_(M)div_(g)XdV_(g)=0 \int_{M} \operatorname{div}_{g} \boldsymbol{X} d V_{g}=0 ∫ M div g X d V g = 0
特に,
X
=
grad
g
ρ
(
ρ
∈
C
r
+
1
(
M
)
)
X
=
grad
g
ρ
ρ
∈
C
r
+
1
(
M
)
X=grad_(g)rho(rho inC^(r+1)(M)) \boldsymbol{X}=\operatorname{grad}_{g} \rho\left(\rho \in C^{r+1}(M)\right) X = grad g ρ ( ρ ∈ C r + 1 ( M ) ) の場合に, 次の関係式が成り立つ:
∫
M
Δ
g
ρ
d
V
g
=
0
∫
M
Δ
g
ρ
d
V
g
=
0
int_(M)Delta_(g)rho dV_(g)=0 \int_{M} \Delta_{g} \rho d V_{g}=0 ∫ M Δ g ρ d V g = 0
4 微分幾何学における体積沉関数の
CHAPTER
―
CHAPTER
¯
bar(" CHAPTER ") \overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER ― 変分公式
この章の前半部では, 微分幾何学における基礎的概念, および基本的事実を 述べ, 最後の 2 節で, 微分幾何学における体積汎関数の第 1 変分公式, およ び第 2 変分公式を紹介し,その厳密な証明を与えることにする.
4.1 平行移動・測地線・指数写像
この節において, アフィン接続多様体上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線に沿う平行移動, およ び測地線の概念を定義し, さらに, 指数写像の概念を定義する. この節では
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする.
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ アフィン接続多様体とし,
c
:
[
a
,
b
]
→
M
c
:
[
a
,
b
]
→
M
c:[a,b]rarr M c:[a, b] \rightarrow M c : [ a , b ] → M を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とする. 各
t
∈
[
a
,
b
]
t
∈
[
a
,
b
]
t in[a,b] t \in[a, b] t ∈ [ a , b ] に対し,
T
c
(
t
)
M
T
c
(
t
)
M
T_(c(t))M T_{c(t)} M T c ( t ) M の元
X
t
X
t
X_(t) \boldsymbol{X}_{t} X t を対応させる対応
X
X
X \boldsymbol{X} X を に沿うべクトル場という.
t
0
∈
[
a
,
b
]
t
0
∈
[
a
,
b
]
t_(0)in[a,b] t_{0} \in[a, b] t 0 ∈ [ a , b ] を 1 つ固定する.
(
U
,
φ
=
(
x
1
U
,
φ
=
x
1
(U,varphi=(x_(1):} \left(U, \varphi=\left(x_{1}\right.\right. ( U , φ = ( x 1 ,
…
,
x
n
)
)
…
,
x
n
{: dots,x_(n))) \left.\left.\ldots, x_{n}\right)\right) … , x n ) ) を
c
(
t
0
)
c
t
0
c(t_(0)) c\left(t_{0}\right) c ( t 0 ) のまわりの局所チャートとし,
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
(
∂
∂
x
i
)
X
t
=
∑
i
=
1
n
X
i
(
t
)
∂
∂
x
i
X_(t)=sum_(i=1)^(n)X_(i)(t)((del)/(delx_(i))) \boldsymbol{X}_{t}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}(t)\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right) X t = ∑ i = 1 n X i ( t ) ( ∂ ∂ x i )
によって定義される
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 を含む十分小さな開区間上の関数
X
i
X
i
X_(i) X_{i} X i が
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級で あるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X は
t
0
t
0
t_(0) \boldsymbol{t}_{\mathbf{0}} t 0 で
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r 級であるという. この
t
0
t
0
t_(0) t_{0} t 0 における
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級性が welldefined であること、つまり,
c
(
t
0
)
c
t
0
c(t_(0)) c\left(t_{0}\right) c ( t 0 ) のまわりの局所チャート
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) のとり方 によらないことが示される.
X
X
X \boldsymbol{X} X が各
t
∈
[
a
,
b
]
t
∈
[
a
,
b
]
t in[a,b] t \in[a, b] t ∈ [ a , b ] で
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級ベクトル場という.
c
c
c c c に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場の全体を
X
c
(
M
)
X
c
(
M
)
X_(c)(M) \mathcal{X}_{c}(M) X c ( M ) と表す. 写像
∇
c
′
:
X
c
(
M
)
→
X
c
(
M
)
∇
c
′
:
X
c
(
M
)
→
X
c
(
M
)
grad_(c^(')):X_(c)(M)rarrX_(c)(M) \nabla_{c^{\prime}}: \mathcal{X}_{c}(M) \rightarrow \mathcal{X}_{c}(M) ∇ c ′ : X c ( M ) → X c ( M ) で次の 3 条件を満たすようなものは, た だ 1 つ存在する:
(i)
∇
c
′
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
∇
c
′
X
+
β
∇
c
′
Y
(
X
,
Y
∈
X
c
(
M
)
,
α
,
β
∈
R
)
;
∇
c
′
(
α
X
+
β
Y
)
=
α
∇
c
′
X
+
β
∇
c
′
Y
X
,
Y
∈
X
c
(
M
)
,
α
,
β
∈
R
;
grad_(c^('))(alpha X+beta Y)=alphagrad_(c^('))X+betagrad_(c^('))Y quad(X,Y inX_(c)(M),alpha,beta inR); \nabla_{c^{\prime}}(\alpha \boldsymbol{X}+\beta \boldsymbol{Y})=\alpha \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}+\beta \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}_{c}(M), \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right) ; ∇ c ′ ( α X + β Y ) = α ∇ c ′ X + β ∇ c ′ Y ( X , Y ∈ X c ( M ) , α , β ∈ R ) ;
(ii)
∇
c
′
(
f
X
)
=
f
′
X
+
f
∇
c
′
X
(
X
∈
X
c
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
[
a
,
b
]
)
)
∇
c
′
(
f
X
)
=
f
′
X
+
f
∇
c
′
X
X
∈
X
c
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
[
a
,
b
]
)
grad_(c^('))(fX)=f^(')X+fgrad_(c^('))X quad(X inX_(c)(M),f inC^(oo)([a,b])) \nabla_{c^{\prime}}(f \boldsymbol{X})=f^{\prime} \boldsymbol{X}+f \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} \quad\left(\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}_{c}(M), f \in C^{\infty}([a, b])\right) ∇ c ′ ( f X ) = f ′ X + f ∇ c ′ X ( X ∈ X c ( M ) , f ∈ C ∞ ( [ a , b ] ) ) ;
(iii)
Z
∈
X
(
M
)
Z
∈
X
(
M
)
Z inX(M) \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M) Z ∈ X ( M ) に対し,
Z
c
∈
X
c
(
M
)
Z
c
∈
X
c
(
M
)
Z_(c)inX_(c)(M) \boldsymbol{Z}_{c} \in \mathcal{X}_{c}(M) Z c ∈ X c ( M ) を
(
Z
c
)
t
:=
Z
c
(
t
)
(
a
≤
t
≤
b
)
Z
c
t
:=
Z
c
(
t
)
(
a
≤
t
≤
b
)
(Z_(c))_(t):=Z_(c(t))(a <= t <= b) \left(\boldsymbol{Z}_{c}\right)_{t}:=\boldsymbol{Z}_{c(t)}(a \leq t \leq b) ( Z c ) t := Z c ( t ) ( a ≤ t ≤ b ) によ
って定義するとき,
(
∇
c
′
Z
c
)
t
=
∇
c
′
(
t
)
Z
(
a
≤
t
≤
b
)
∇
c
′
Z
c
t
=
∇
c
′
(
t
)
Z
(
a
≤
t
≤
b
)
(grad_(c^('))Z_(c))_(t)=grad_(c^(')(t))Z(a <= t <= b) \left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Z}_{c}\right)_{t}=\nabla_{c^{\prime}(t)} \boldsymbol{Z}(a \leq t \leq b) ( ∇ c ′ Z c ) t = ∇ c ′ ( t ) Z ( a ≤ t ≤ b ) が成り立つ.
条件 (iii)の関係式の右辺
∇
c
′
(
t
)
Z
∇
c
′
(
t
)
Z
grad_(c^(')(t))Z \nabla_{c^{\prime}(t)} \boldsymbol{Z} ∇ c ′ ( t ) Z は,
t
t
t t t を留めて
c
′
(
t
)
c
′
(
t
)
c^(')(t) c^{\prime}(t) c ′ ( t ) を
T
c
(
t
)
M
T
c
(
t
)
M
T_(c(t))M T_{c(t)} M T c ( t ) M の元とみてお り, それゆえ, 3.11 節の
∇
v
Y
(
v
∈
T
p
M
,
Y
∈
X
(
M
)
)
∇
v
Y
v
∈
T
p
M
,
Y
∈
X
(
M
)
grad_(v)Y(v inT_(p)M,Y inX(M)) \nabla_{\boldsymbol{v}} \boldsymbol{Y}\left(\boldsymbol{v} \in T_{p} M, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M)\right) ∇ v Y ( v ∈ T p M , Y ∈ X ( M ) ) の定義に従って定義されるものであることに注意する。
∇
c
′
X
∇
c
′
X
grad_(c^('))X \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X} ∇ c ′ X は
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿うベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X の共変微分とよばれる. 各
t
∈
[
a
,
b
]
t
∈
[
a
,
b
]
t in[a,b] t \in[a, b] t ∈ [ a , b ] に
T
c
(
t
)
M
T
c
(
t
)
M
T_(c(t))M T_{c(t)} M T c ( t ) M の零ベクトル
0
c
(
t
)
0
c
(
t
)
0_(c(t)) \mathbf{0}_{c(t)} 0 c ( t ) を対応させる対応
0
0
0 \mathbf{0} 0 は,
c
c
c c c に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場である. これを
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う零ベクトル場とい う.
次に, 平行ベクトル場と測地線を定義することにする。
X
∈
X
c
(
M
)
X
∈
X
c
(
M
)
X inX_(c)(M) \boldsymbol{X} \in \mathcal{X}_{c}(M) X ∈ X c ( M ) と する.
∇
c
′
X
=
0
∇
c
′
X
=
0
grad_(c^('))X=0 \nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}=\mathbf{0} ∇ c ′ X = 0 が成り立つとき,
X
X
X \boldsymbol{X} X を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う平行ベクトル場という.
c
′
∈
X
c
(
M
)
c
′
∈
X
c
(
M
)
c^(')inX_(c)(M) c^{\prime} \in \mathcal{X}_{c}(M) c ′ ∈ X c ( M ) を
c
t
′
:=
c
′
(
t
)
(
a
≤
t
≤
b
)
c
t
′
:=
c
′
(
t
)
(
a
≤
t
≤
b
)
c_(t)^('):=c^(')(t)(a <= t <= b) c_{t}^{\prime}:=c^{\prime}(t)(a \leq t \leq b) c t ′ := c ′ ( t ) ( a ≤ t ≤ b ) によって定義する. これは
c
c
c c c の速度 ベクトル場とよばれる.
∇
c
′
c
′
=
0
∇
c
′
c
′
=
0
grad_(c^('))c^(')=0 \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=0 ∇ c ′ c ′ = 0 が成り立つとき,
c
c
c c c を
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) 上の測地線という. 特に,
∇
∇
grad \nabla ∇ が
M
M
M M M のあるリーマン計量
g
g
g g g のリーマン接続である場合,
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) 上の測地線は,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, \boldsymbol{g}) ( M , g ) 上の測地線とよばれる. ここで,
c
c
c c c を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の物体の運動の軌道とみなしたとき,
∇
c
′
c
′
∇
c
′
c
′
grad_(c^('))c^(') \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime} ∇ c ′ c ′ はその加速度ベクトル場と解釈 され,それゆえ
∇
c
′
c
′
=
0
∇
c
′
c
′
=
0
grad_(c^('))c^(')=0 \nabla_{c^{\prime}} c^{\prime}=\mathbf{0} ∇ c ′ c ′ = 0 は,
c
c
c c c が等速度運動であることを意味する。このよ うに,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の測地線は,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の等速度運動をする物体の軌道を意味 することになる。
命題 4.1.1 (i)
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
c
c c c に沿う平行ベ クトル場
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y に対し,
g
c
(
t
)
(
X
t
,
Y
t
)
g
c
(
t
)
X
t
,
Y
t
g_(c(t))(X_(t),Y_(t)) g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right) g c ( t ) ( X t , Y t ) は
t
t
t t t によらず一定である.
(ii)
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の測地線
c
c
c c c に対し,
‖
c
′
(
t
)
‖
:=
|
g
c
(
t
)
(
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
)
|
c
′
(
t
)
:=
g
c
(
t
)
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
||c^(')(t)||:=sqrt(|g_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t))|) \left\|c^{\prime}(t)\right\|:=\sqrt{\left|g_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)\right|} ‖ c ′ ( t ) ‖ := | g c ( t ) ( c ′ ( t ) , c ′ ( t ) ) |
証明
∇
∇
grad \nabla ∇ を
g
g
g g g のリマン接続とする.
∇
g
=
0
∇
g
=
0
grad g=0 \nabla g=0 ∇ g = 0 より,
d
d
t
(
g
c
(
t
)
(
X
t
,
Y
t
)
)
=
g
c
(
t
)
(
(
∇
c
′
X
)
t
,
Y
t
)
+
g
c
(
t
)
(
X
t
,
(
∇
c
′
Y
)
t
)
d
d
t
g
c
(
t
)
X
t
,
Y
t
=
g
c
(
t
)
∇
c
′
X
t
,
Y
t
+
g
c
(
t
)
X
t
,
∇
c
′
Y
t
(d)/(dt)(g_(c(t))(X_(t),Y_(t)))=g_(c(t))((grad_(c^('))X)_(t),Y_(t))+g_(c(t))(X_(t),(grad_(c^('))Y)_(t)) \frac{d}{d t}\left(g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)\right)=g_{c(t)}\left(\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{X}\right)_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)+g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t},\left(\nabla_{c^{\prime}} \boldsymbol{Y}\right)_{t}\right) d d t ( g c ( t ) ( X t , Y t ) ) = g c ( t ) ( ( ∇ c ′ X ) t , Y t ) + g c ( t ) ( X t , ( ∇ c ′ Y ) t )
が成り立つ. この式の右辺は,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y が平行べクトル場であることより, 0 になることがわかる。それゆえ
d
d
t
(
g
c
(
t
)
(
X
t
,
Y
t
)
)
=
0
d
d
t
g
c
(
t
)
X
t
,
Y
t
=
0
(d)/(dt)(g_(c(t))(X_(t),Y_(t)))=0 \frac{d}{d t}\left(g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right)\right)=0 d d t ( g c ( t ) ( X t , Y t ) ) = 0 , つまり,
g
c
(
t
)
(
X
t
,
Y
t
)
g
c
(
t
)
X
t
,
Y
t
g_(c(t))(X_(t),Y_(t)) g_{c(t)}\left(\boldsymbol{X}_{t}, \boldsymbol{Y}_{t}\right) g c ( t ) ( X t , Y t ) が
t
t
t t t によず一定であることが導かれる。主張の後半部は, 前半部の主張より
直接導かれる。
平行ベクトル場と測地線に関して, 次の存在性・一意性定理が成り立つ.
定理 4.1.2 (i)
c
:
[
a
,
b
]
→
(
M
,
∇
)
c
:
[
a
,
b
]
→
(
M
,
∇
)
quad c:[a,b]rarr(M,grad) \quad c:[a, b] \rightarrow(M, \nabla) c : [ a , b ] → ( M , ∇ ) を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とする。各
v
∈
T
c
(
a
)
M
v
∈
T
c
(
a
)
M
v inT_(c(a))M \boldsymbol{v} \in T_{c(a)} M v ∈ T c ( a ) M に 対し,
c
c
c c c に沿う平行ベクトル場
X
X
X \boldsymbol{X} X で
X
a
=
v
X
a
=
v
X_(a)=v \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} X a = v となるようなものが, た だ 1 つ存在する.
(ii) 各
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M と十分小さな正の数
ε
ε
epsi \varepsilon ε に対し,
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) 上の測地線
c
c
c c c :
(
−
ε
,
ε
)
→
M
(
−
ε
,
ε
)
→
M
(-epsi,epsi)rarr M (-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M ( − ε , ε ) → M で
c
′
(
0
)
=
v
c
′
(
0
)
=
v
c^(')(0)=v c^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} c ′ ( 0 ) = v となるようなものがただ 1 つ存在する.
証明 定理 2.4.7 の証明に倣って示される.
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級アフィン接続多様体
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) 内の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
M
c
:
[
a
,
b
]
→
M
c:[a,b]rarr M c:[a, b] \rightarrow M c : [ a , b ] → M に対し,
T
c
(
a
)
M
T
c
(
a
)
M
T_(c(a))M T_{c(a)} M T c ( a ) M から
T
c
(
b
)
M
T
c
(
b
)
M
T_(c(b))M T_{c(b)} M T c ( b ) M への写像
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c を
P
c
(
v
)
:=
X
b
(
v
∈
T
c
(
a
)
M
)
(
X
:
X
a
=
v
を満たす
c
に沿う平行べクトル場
)
P
c
(
v
)
:=
X
b
v
∈
T
c
(
a
)
M
X
:
X
a
=
v
を満たす
c
に沿う平行べクトル場
{:[P_(c)(v):=X_(b)quad(v inT_(c(a))M)],[(X:X_(a)=v" を満たす "c" に沿う平行べクトル場 ")]:} \begin{gathered}
P_{c}(\boldsymbol{v}):=\boldsymbol{X}_{b} \quad\left(\boldsymbol{v} \in T_{c(a)} M\right) \\
\left(\boldsymbol{X}: \boldsymbol{X}_{a}=\boldsymbol{v} \text { を満たす } c \text { に沿う平行べクトル場 }\right)
\end{gathered} を 満 た す に 沿 う 平 行 べ ク ト ル 場 P c ( v ) := X b ( v ∈ T c ( a ) M ) ( X : X a = v を満たす c に沿う平行べクトル場 )
によって定義する. この写像
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う平行移動という. 平行移動に関し て, 次の事実が成り立つ.
定理 4.1.3 (i)
P
c
P
c
quadP_(c) \quad P_{c} P c は線形同型写像になる。
(ii)
∇
∇
grad \nabla ∇ がリーマン計量
g
g
g g g のリーマン接続であるとき,
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c は
(
T
c
(
a
)
M
,
g
c
(
a
)
)
T
c
(
a
)
M
,
g
c
(
a
)
(T_(c(a))M,g_(c(a))) \left(T_{c(a)} M, g_{c(a)}\right) ( T c ( a ) M , g c ( a ) ) から
(
T
c
(
b
)
M
,
g
c
(
b
)
)
T
c
(
b
)
M
,
g
c
(
b
)
(T_(c(b))M,g_(c(b))) \left(T_{c(b)} M, g_{c(b)}\right) ( T c ( b ) M , g c ( b ) ) への線形等長変換になる.
証明 主張 (i) は, 定理 2.4 .8 の証明に做って示される. 主張 (ii) は, 命題 4.1.1 から直接導かれる。
次に, 指数写像を定義する.
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級アフィン接続多様体
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) の点
p
p
p p p における各接ベクトル
v
v
v \boldsymbol{v} v に対し,
γ
v
:
I
v
→
M
γ
v
:
I
v
→
M
gamma_(v):I_(v)rarr M \gamma_{\boldsymbol{v}}: I_{\boldsymbol{v}} \rightarrow M γ v : I v → M を
γ
v
′
(
0
)
=
v
γ
v
′
(
0
)
=
v
gamma_(v)^(')(0)=v \gamma_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} γ v ′ ( 0 ) = v を満たす
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) 上の測地線でそれ以上延長不可能であるようなものとする.
W
p
:=
W
p
:=
W_(p):= \mathcal{W}_{p}:= W p :=
{
v
∈
T
p
M
∣
1
∈
I
v
}
v
∈
T
p
M
∣
1
∈
I
v
{v inT_(p)M∣1inI_(v)} \left\{\boldsymbol{v} \in T_{p} M \mid 1 \in I_{\boldsymbol{v}}\right\} { v ∈ T p M ∣ 1 ∈ I v } とおく. 写像
exp
p
:
W
p
→
M
exp
p
:
W
p
→
M
exp_(p):W_(p)rarr M \exp _{p}: \mathcal{W}_{p} \rightarrow M exp p : W p → M を
exp
p
(
v
)
:=
γ
v
(
1
)
(
v
∈
W
p
)
exp
p
(
v
)
:=
γ
v
(
1
)
v
∈
W
p
exp_(p)(v):=gamma_(v)(1)quad(v inW_(p)) \exp _{p}(\boldsymbol{v}):=\gamma_{\boldsymbol{v}}(1) \quad\left(\boldsymbol{v} \in \mathcal{W}_{p}\right) exp p ( v ) := γ v ( 1 ) ( v ∈ W p )
によって定義する. この写像
exp
p
exp
p
exp_(p) \exp _{p} exp p を
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) の
p
p
p p p における指数写像(expo-
図 4.1.1 指数写像
nential map)という.
ベクトル空間
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M に付随するアフィン空間を
A
p
A
p
A_(p) \mathbb{A}_{p} A p と表すことにする。o
∈
∈
in \in ∈
A
p
A
p
A_(p) \mathbb{A}_{p} A p を基点としてとる. このとき, 対応
Φ
o
(
p
↦
o
p
→
)
Φ
o
(
p
↦
o
p
→
)
Phi_(o)(p|-> vec(op)) \Phi_{o}(p \mapsto \overrightarrow{o p}) Φ o ( p ↦ o p → ) により,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M は
A
p
A
p
A_(p) \mathbb{A}_{p} A p と同一視される。この同一視の下,
W
p
W
p
W_(p) \mathcal{W}_{p} W p は
o
o
o o o の
A
p
A
p
A_(p) \mathbb{A}_{p} A p における開近傍になり,
A
p
A
p
A_(p) \mathbb{A}_{p} A p の 開部分多様体として
n
n
n n n 次元
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 多様体とみなされる(図 4.1.1 を参照).
命題 4.1.4 oのある開近傍
W
(
⊂
W
p
)
W
⊂
W
p
W(subW_(p)) \mathcal{W}\left(\subset \mathcal{W}_{p}\right) W ( ⊂ W p ) に対し,
exp
p
∣
W
exp
p
∣
W
exp_(p)∣W \exp _{p} \mid \mathcal{W} exp p ∣ W は
M
M
M M M のある開集合への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 同型写像になる(図 4.1.1 を参照).
証明 各
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
c
v
(
t
)
:=
Φ
o
−
1
(
t
v
)
c
v
(
t
)
:=
Φ
o
−
1
(
t
v
)
c_(v)(t):=Phi_(o)^(-1)(tv) c_{\boldsymbol{v}}(t):=\Phi_{o}^{-1}(t \boldsymbol{v}) c v ( t ) := Φ o − 1 ( t v ) によって定義される
A
p
A
p
A_(p) \mathbb{A}_{p} A p 上の
C
ω
C
ω
C^(omega) C^{\omega} C ω 曲線
c
v
c
v
c_(v) c_{\boldsymbol{v}} c v の初速度
c
v
′
(
0
)
∈
T
o
A
p
c
v
′
(
0
)
∈
T
o
A
p
c_(v)^(')(0)inT_(o)A_(p) c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0) \in T_{o} \mathbb{A}_{p} c v ′ ( 0 ) ∈ T o A p を対応させる対応(問 3.3.1 で述べた対応
Ψ
o
)
Ψ
o
{:Psi_(o)) \left.\Psi_{o}\right) Ψ o ) により,
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M と
T
o
A
p
T
o
A
p
T_(o)A_(p) T_{o} \mathbb{A}_{p} T o A p は同一視される. このとき,
(
d
exp
p
)
o
(
c
v
′
(
0
)
)
=
d
d
t
|
t
=
0
(
exp
p
∘
c
v
)
(
t
)
=
d
d
t
|
t
=
0
exp
p
(
t
v
)
=
γ
v
′
(
0
)
=
v
d
exp
p
o
c
v
′
(
0
)
=
d
d
t
t
=
0
exp
p
∘
c
v
(
t
)
=
d
d
t
t
=
0
exp
p
(
t
v
)
=
γ
v
′
(
0
)
=
v
(dexp_(p))_(o)(c_(v)^(')(0))=(d)/(dt)|_(t=0)(exp_(p)@c_(v))(t)=(d)/(dt)|_(t=0)exp_(p)(tv)=gamma_(v)^(')(0)=v \left(d \exp _{p}\right)_{o}\left(c_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\exp _{p} \circ c_{\boldsymbol{v}}\right)(t)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \exp _{p}(t \boldsymbol{v})=\gamma_{\boldsymbol{v}}^{\prime}(0)=\boldsymbol{v} ( d exp p ) o ( c v ′ ( 0 ) ) = d d t | t = 0 ( exp p ∘ c v ) ( t ) = d d t | t = 0 exp p ( t v ) = γ v ′ ( 0 ) = v
となり,
(
d
exp
p
)
o
d
exp
p
o
(dexp_(p))_(o) \left(d \exp _{p}\right)_{o} ( d exp p ) o が線形同型写像であることが示される。それゆえ, 逆関数定理(定理 3.6.1)により主張が示される。
注意
∇
∇
grad \nabla ∇ が
M
M
M M M のリーマン計量
g
g
g g g のリーマン接続である場合を考えよう. この場合,
exp
p
exp
p
exp_(p) \exp _{p} exp p は, リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を点
p
p
p p p において無限小化してえられる空間 ((M,g)の点
p
p
p p p における 1 次近似)である
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) (これはユークリッド空間と
みなされる)と
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) とを幾何学的に結びつける重要な写像である. 特に,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) がユークリッド空間の場合,
exp
p
exp
p
exp_(p) \exp _{p} exp p は, 2 つのユークリッド空間
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) と
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の間の等長写像とよばれる写像になり, それゆえ,
exp
p
exp
p
exp_(p) \exp _{p} exp p を通じて,
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) と
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) は同一視される.
4.2 リーマン距離関数
この節では, リーマン計量に付随して定義されるリーマン距離関数とよばれ る距離関数を定義しよう。まず, リーマン多様体上の区分的に
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 級の曲線の 長さを定義しよう。
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン多様体とする.
p
,
q
∈
M
p
,
q
∈
M
p,q in M p, q \in M p , q ∈ M に対し,
C
1
(
M
;
p
,
q
)
C
1
(
M
;
p
,
q
)
C^(1)(M;p,q) \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) C 1 ( M ; p , q ) を,
p
p
p p p を始点,
q
q
q q q を終点とするような
[
0
,
1
]
[
0
,
1
]
[0,1] [0,1] [ 0 , 1 ] を定義域とす る区分的に
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 級の曲線全体からなる集合とする。
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
c inC^(1)(M;p,q) c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) c ∈ C 1 ( M ; p , q ) に対し,
c
c
c c c の長さ
L
g
(
c
)
L
g
(
c
)
L_(g)(c) \mathcal{L}_{g}(c) L g ( c ) が
L
g
(
c
)
:=
∑
i
=
0
k
−
1
∫
t
i
t
i
+
1
g
c
(
t
)
(
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
)
d
t
L
g
(
c
)
:=
∑
i
=
0
k
−
1
∫
t
i
t
i
+
1
g
c
(
t
)
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
d
t
L_(g)(c):=sum_(i=0)^(k-1)int_(t_(i))^(t_(i+1))sqrt(g_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t)))dt \mathcal{L}_{g}(c):=\sum_{i=0}^{k-1} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \sqrt{g_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)} d t L g ( c ) := ∑ i = 0 k − 1 ∫ t i t i + 1 g c ( t ) ( c ′ ( t ) , c ′ ( t ) ) d t
により定義される. ここで,
0
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
1
0
=
t
0
<
t
1
<
⋯
<
t
k
−
1
<
t
k
=
1
0=t_(0) < t_(1) < cdots < t_(k-1) < t_(k)=1 0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k-1}<t_{k}=1 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t k − 1 < t k = 1 は,
c
c
c c c の各制限
c
|
[
t
i
,
t
i
+
1
]
(
i
=
0
,
1
,
…
,
k
−
1
)
c
t
i
,
t
i
+
1
(
i
=
0
,
1
,
…
,
k
−
1
)
c|_([t_(i),t_(i+1)])(i=0,1,dots,k-1) \left.c\right|_{\left[t_{i}, t_{i+1}\right]}(i=0,1, \ldots, k-1) c | [ t i , t i + 1 ] ( i = 0 , 1 , … , k − 1 ) が
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 曲線であるような
[
0
,
1
]
[
0
,
1
]
[0,1] [0,1] [ 0 , 1 ] の分割を表す.写像
d
g
:
M
×
M
→
R
d
g
:
M
×
M
→
R
d_(g):M xx M rarrR d_{g}: M \times M \rightarrow \mathbb{R} d g : M × M → R を
d
g
(
p
,
q
)
:=
inf
{
L
g
(
c
)
∣
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
}
(
p
,
q
∈
M
)
d
g
(
p
,
q
)
:=
inf
L
g
(
c
)
∣
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
(
p
,
q
∈
M
)
d_(g)(p,q):=i n f{L_(g)(c)∣c inC^(1)(M;p,q)}quad(p,q in M) d_{g}(p, q):=\inf \left\{\mathcal{L}_{g}(c) \mid c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q)\right\} \quad(p, q \in M) d g ( p , q ) := inf { L g ( c ) ∣ c ∈ C 1 ( M ; p , q ) } ( p , q ∈ M )
によって定義する. この関数
d
g
d
g
d_(g) d_{g} d g は
M
M
M M M の距離関数を与えることが示される. この距離関数
d
g
d
g
d_(g) d_{g} d g は,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) のリーマン距離関数(Riemannian distance function)とよばれる(図 4.2 .1 を参照).
実際に,
d
g
d
g
d_(g) d_{g} d g が
M
M
M M M の距離関数を与えることを示そう。任意の 2 点
p
,
q
∈
M
p
,
q
∈
M
p,q in M p, q \in M p , q ∈ M に対し
d
g
(
p
,
q
)
≥
0
d
g
(
p
,
q
)
≥
0
d_(g)(p,q) >= 0 d_{g}(p, q) \geq 0 d g ( p , q ) ≥ 0 が成り立つことは, 定義より明らかである.
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M を任意にとる。
c
p
:
[
0
,
1
]
→
M
c
p
:
[
0
,
1
]
→
M
c_(p):[0,1]rarr M c_{p}:[0,1] \rightarrow M c p : [ 0 , 1 ] → M を
p
p
p p p における停留曲線(つまり,
c
p
(
t
)
=
p
(
∀
t
∈
c
p
(
t
)
=
p
(
∀
t
∈
c_(p)(t)=p(AA t in c_{p}(t)=p(\forall t \in c p ( t ) = p ( ∀ t ∈
[
0
,
1
]
)
)
[
0
,
1
]
)
)
[0,1])) [0,1])) [ 0 , 1 ] ) ) とする. このとき,
L
g
(
c
p
)
=
∫
0
1
g
c
p
(
t
)
(
c
p
′
(
t
)
c
p
′
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
g
p
(
0
,
0
)
d
t
=
0
L
g
c
p
=
∫
0
1
g
c
p
(
t
)
c
p
′
(
t
)
c
p
′
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
g
p
(
0
,
0
)
d
t
=
0
L_(g)(c_(p))=int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(p)(t))(c_(p)^(')(t)c_(p)^(')(t)))dt=int_(0)^(1)sqrt(g_(p)(0,0))dt=0 \mathcal{L}_{g}\left(c_{p}\right)=\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{p}(t)}\left(c_{p}^{\prime}(t) c_{p}^{\prime}(t)\right)} d t=\int_{0}^{1} \sqrt{g_{p}(\mathbf{0}, \mathbf{0})} d t=0 L g ( c p ) = ∫ 0 1 g c p ( t ) ( c p ′ ( t ) c p ′ ( t ) ) d t = ∫ 0 1 g p ( 0 , 0 ) d t = 0
となる。それゆえ,
d
g
(
p
,
p
)
=
0
d
g
(
p
,
p
)
=
0
d_(g)(p,p)=0 d_{g}(p, p)=0 d g ( p , p ) = 0 をえる。一方, この逆の主張 “
d
g
(
p
,
q
)
=
0
d
g
(
p
,
q
)
=
0
d_(g)(p,q)=0 d_{g}(p, q)=0 d g ( p , q ) = 0
⇒
p
=
q
"
⇒
p
=
q
"
=>p=q" \Rightarrow p=q " ⇒ p = q " の証明はデリケートな議論を要するので, ここでは省略するこ
∃
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
∃
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
EE c inC^(1)(M;p,q) \exists c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) ∃ c ∈ C 1 ( M ; p , q ) s.t.
L
g
(
c
)
=
d
g
(
p
,
q
)
L
g
(
c
)
=
d
g
(
p
,
q
)
L_(g)(c)=d_(g)(p,q) \mathcal{L}_{g}(c)=d_{g}(p, q) L g ( c ) = d g ( p , q )
図 4.2.1 リーマン距離関数と最短線の存在性
とにする(この証明については,例えば[加須栄]の 1.3 節を参照のこと). 次 に,
d
g
(
p
,
q
)
=
d
g
(
q
,
p
)
d
g
(
p
,
q
)
=
d
g
(
q
,
p
)
d_(g)(p,q)=d_(g)(q,p) d_{g}(p, q)=d_{g}(q, p) d g ( p , q ) = d g ( q , p ) を示す.
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
c inC^(1)(M;p,q) c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) c ∈ C 1 ( M ; p , q ) に対し,
c
c
c c c の逆
c
−
1
c
−
1
c^(-1) c^{-1} c − 1 (これは
c
−
1
(
t
)
:=
c
(
1
−
t
)
c
−
1
(
t
)
:=
c
(
1
−
t
)
c^(-1)(t):=c(1-t) c^{-1}(t):=c(1-t) c − 1 ( t ) := c ( 1 − t ) によって定義される)は,
C
1
(
M
;
q
,
p
)
C
1
(
M
;
q
,
p
)
C^(1)(M;q,p) \mathcal{C}^{1}(M ; q, p) C 1 ( M ; q , p ) に属する。また、
L
g
(
c
−
1
)
=
∫
0
1
g
c
−
1
(
t
)
(
(
c
−
1
)
′
(
t
)
,
(
c
−
1
)
′
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
g
c
(
1
−
t
)
(
−
c
′
(
1
−
t
)
,
−
c
′
(
1
−
t
)
)
d
t
=
∫
1
0
g
c
(
s
)
(
−
c
′
(
s
)
,
−
c
′
(
s
)
)
⋅
(
−
1
)
d
s
=
∫
0
1
g
c
(
s
)
(
c
′
(
s
)
,
c
′
(
s
)
)
d
s
=
L
g
(
c
)
L
g
c
−
1
=
∫
0
1
g
c
−
1
(
t
)
c
−
1
′
(
t
)
,
c
−
1
′
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
g
c
(
1
−
t
)
−
c
′
(
1
−
t
)
,
−
c
′
(
1
−
t
)
d
t
=
∫
1
0
g
c
(
s
)
−
c
′
(
s
)
,
−
c
′
(
s
)
⋅
(
−
1
)
d
s
=
∫
0
1
g
c
(
s
)
c
′
(
s
)
,
c
′
(
s
)
d
s
=
L
g
(
c
)
{:[L_(g)(c^(-1))=int_(0)^(1)sqrt(g_(c^(-1)(t))((c^(-1))^(')(t),(c^(-1))^(')(t)))dt],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c(1-t))(-c^(')(1-t),-c^(')(1-t)))dt],[=int_(1)^(0)sqrt(g_(c(s))(-c^(')(s),-c^(')(s)))*(-1)ds],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c(s))(c^(')(s),c^(')(s)))ds=L_(g)(c)]:} \begin{aligned}
\mathcal{L}_{g}\left(c^{-1}\right) & =\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c^{-1}(t)}\left(\left(c^{-1}\right)^{\prime}(t),\left(c^{-1}\right)^{\prime}(t)\right)} d t \\
& =\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c(1-t)}\left(-c^{\prime}(1-t),-c^{\prime}(1-t)\right)} d t \\
& =\int_{1}^{0} \sqrt{g_{c(s)}\left(-c^{\prime}(s),-c^{\prime}(s)\right)} \cdot(-1) d s \\
& =\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c(s)}\left(c^{\prime}(s), c^{\prime}(s)\right)} d s=\mathcal{L}_{g}(c)
\end{aligned} L g ( c − 1 ) = ∫ 0 1 g c − 1 ( t ) ( ( c − 1 ) ′ ( t ) , ( c − 1 ) ′ ( t ) ) d t = ∫ 0 1 g c ( 1 − t ) ( − c ′ ( 1 − t ) , − c ′ ( 1 − t ) ) d t = ∫ 1 0 g c ( s ) ( − c ′ ( s ) , − c ′ ( s ) ) ⋅ ( − 1 ) d s = ∫ 0 1 g c ( s ) ( c ′ ( s ) , c ′ ( s ) ) d s = L g ( c )
が示される. これらの事実から,
d
g
(
p
,
q
)
=
d
g
(
q
,
p
)
d
g
(
p
,
q
)
=
d
g
(
q
,
p
)
d_(g)(p,q)=d_(g)(q,p) d_{g}(p, q)=d_{g}(q, p) d g ( p , q ) = d g ( q , p ) が導かれる.
次に, 三角不等式
d
g
(
p
1
,
p
2
)
+
d
g
(
p
2
,
p
3
)
≥
d
g
(
p
1
,
p
3
)
d
g
p
1
,
p
2
+
d
g
p
2
,
p
3
≥
d
g
p
1
,
p
3
d_(g)(p_(1),p_(2))+d_(g)(p_(2),p_(3)) >= d_(g)(p_(1),p_(3)) d_{g}\left(p_{1}, p_{2}\right)+d_{g}\left(p_{2}, p_{3}\right) \geq d_{g}\left(p_{1}, p_{3}\right) d g ( p 1 , p 2 ) + d g ( p 2 , p 3 ) ≥ d g ( p 1 , p 3 ) を示す.
c
1
∈
c
1
∈
c_(1)in c_{1} \in c 1 ∈
C
1
(
M
;
p
1
,
p
2
)
,
c
2
∈
C
1
(
M
;
p
2
,
p
3
)
C
1
M
;
p
1
,
p
2
,
c
2
∈
C
1
M
;
p
2
,
p
3
C^(1)(M;p_(1),p_(2)),c_(2)inC^(1)(M;p_(2),p_(3)) \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right), c_{2} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right) C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) , c 2 ∈ C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) に対し,
c
1
⋅
c
2
∈
C
1
(
M
;
p
1
,
p
3
)
c
1
⋅
c
2
∈
C
1
M
;
p
1
,
p
3
c_(1)*c_(2)inC^(1)(M;p_(1),p_(3)) c_{1} \cdot c_{2} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{3}\right) c 1 ⋅ c 2 ∈ C 1 ( M ; p 1 , p 3 ) が
(
c
1
⋅
c
2
)
(
t
)
:=
{
c
1
(
2
t
)
(
0
≤
t
≤
1
2
)
c
2
(
2
t
−
1
)
(
1
2
≤
t
≤
1
)
c
1
⋅
c
2
(
t
)
:=
c
1
(
2
t
)
0
≤
t
≤
1
2
c
2
(
2
t
−
1
)
1
2
≤
t
≤
1
(c_(1)*c_(2))(t):={[c_(1)(2t),(0 <= t <= (1)/(2))],[c_(2)(2t-1),((1)/(2) <= t <= 1)]:} \left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(t):= \begin{cases}c_{1}(2 t) & \left(0 \leq t \leq \frac{1}{2}\right) \\ c_{2}(2 t-1) & \left(\frac{1}{2} \leq t \leq 1\right)\end{cases} ( c 1 ⋅ c 2 ) ( t ) := { c 1 ( 2 t ) ( 0 ≤ t ≤ 1 2 ) c 2 ( 2 t − 1 ) ( 1 2 ≤ t ≤ 1 )
によって定義される.
c
^
(
t
)
:=
c
1
(
2
t
)
,
c
˘
(
t
)
:=
c
2
(
2
t
−
1
)
c
^
(
t
)
:=
c
1
(
2
t
)
,
c
˘
(
t
)
:=
c
2
(
2
t
−
1
)
hat(c)(t):=c_(1)(2t),c^(˘)(t):=c_(2)(2t-1) \hat{c}(t):=c_{1}(2 t), \breve{c}(t):=c_{2}(2 t-1) c ^ ( t ) := c 1 ( 2 t ) , c ˘ ( t ) := c 2 ( 2 t − 1 ) とおく. このとき,
c
^
′
(
t
)
=
2
c
1
′
(
2
t
)
,
c
˘
′
(
t
)
=
2
c
2
′
(
2
t
−
1
)
c
^
′
(
t
)
=
2
c
1
′
(
2
t
)
,
c
˘
′
(
t
)
=
2
c
2
′
(
2
t
−
1
)
hat(c)^(')(t)=2c_(1)^(')(2t),quadc^(˘)^(')(t)=2c_(2)^(')(2t-1) \hat{c}^{\prime}(t)=2 c_{1}^{\prime}(2 t), \quad \breve{c}^{\prime}(t)=2 c_{2}^{\prime}(2 t-1) c ^ ′ ( t ) = 2 c 1 ′ ( 2 t ) , c ˘ ′ ( t ) = 2 c 2 ′ ( 2 t − 1 )
となるので,
L
g
(
c
1
⋅
c
2
)
=
∫
0
1
g
(
c
1
⋅
c
2
)
(
t
)
(
(
c
1
⋅
c
2
)
′
(
t
)
,
(
c
1
⋅
c
2
)
′
(
t
)
)
d
t
=
∫
0
1
2
g
c
1
(
2
t
)
(
2
c
1
′
(
2
t
)
,
2
c
1
′
(
2
t
)
)
d
t
+
∫
1
2
1
g
c
2
(
2
t
−
1
)
(
2
c
2
′
(
2
t
−
1
)
,
2
c
2
′
(
2
t
−
1
)
)
d
t
=
∫
0
1
g
c
1
(
s
)
(
2
c
1
′
(
s
)
,
2
c
1
′
(
s
)
)
⋅
1
2
d
s
+
∫
0
1
g
c
2
(
s
)
(
2
c
2
′
(
s
)
,
2
c
2
′
(
s
)
)
⋅
1
2
d
s
=
∫
0
1
g
c
1
(
s
)
(
c
1
′
(
s
)
,
c
1
′
(
s
)
)
d
s
+
∫
0
1
g
c
2
(
s
)
(
c
2
′
(
s
)
,
c
2
′
(
s
)
)
d
s
=
L
g
(
c
1
)
+
L
g
(
c
2
)
L
g
c
1
⋅
c
2
=
∫
0
1
g
c
1
⋅
c
2
(
t
)
c
1
⋅
c
2
′
(
t
)
,
c
1
⋅
c
2
′
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
2
g
c
1
(
2
t
)
2
c
1
′
(
2
t
)
,
2
c
1
′
(
2
t
)
d
t
+
∫
1
2
1
g
c
2
(
2
t
−
1
)
2
c
2
′
(
2
t
−
1
)
,
2
c
2
′
(
2
t
−
1
)
d
t
=
∫
0
1
g
c
1
(
s
)
2
c
1
′
(
s
)
,
2
c
1
′
(
s
)
⋅
1
2
d
s
+
∫
0
1
g
c
2
(
s
)
2
c
2
′
(
s
)
,
2
c
2
′
(
s
)
⋅
1
2
d
s
=
∫
0
1
g
c
1
(
s
)
c
1
′
(
s
)
,
c
1
′
(
s
)
d
s
+
∫
0
1
g
c
2
(
s
)
c
2
′
(
s
)
,
c
2
′
(
s
)
d
s
=
L
g
c
1
+
L
g
c
2
{:[L_(g)(c_(1)*c_(2))=int_(0)^(1)sqrt(g_((c_(1)*c_(2))(t))((c_(1)*c_(2))^(')(t),(c_(1)*c_(2))^(')(t)))dt],[=int_(0)^((1)/(2))sqrt(g_(c_(1)(2t))(2c_(1)^(')(2t),2c_(1)^(')(2t)))dt],[+int_((1)/(2))^(1)sqrt(g_(c_(2)(2t-1))(2c_(2)^(')(2t-1),2c_(2)^(')(2t-1)))dt],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(1)(s))(2c_(1)^(')(s),2c_(1)^(')(s)))*(1)/(2)ds+int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(2)(s))(2c_(2)^(')(s),2c_(2)^(')(s)))*(1)/(2)ds],[=int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(1)(s))(c_(1)^(')(s),c_(1)^(')(s)))ds+int_(0)^(1)sqrt(g_(c_(2)(s))(c_(2)^(')(s),c_(2)^(')(s)))ds],[=L_(g)(c_(1))+L_(g)(c_(2))]:} \begin{aligned}
\mathcal{L}_{g}\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)= & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)(t)}\left(\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}(t),\left(c_{1} \cdot c_{2}\right)^{\prime}(t)\right)} d t \\
= & \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{g_{c_{1}(2 t)}\left(2 c_{1}^{\prime}(2 t), 2 c_{1}^{\prime}(2 t)\right)} d t \\
& +\int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{g_{c_{2}(2 t-1)}\left(2 c_{2}^{\prime}(2 t-1), 2 c_{2}^{\prime}(2 t-1)\right)} d t \\
= & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{1}(s)}\left(2 c_{1}^{\prime}(s), 2 c_{1}^{\prime}(s)\right)} \cdot \frac{1}{2} d s+\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{2}(s)}\left(2 c_{2}^{\prime}(s), 2 c_{2}^{\prime}(s)\right)} \cdot \frac{1}{2} d s \\
= & \int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{1}(s)}\left(c_{1}^{\prime}(s), c_{1}^{\prime}(s)\right)} d s+\int_{0}^{1} \sqrt{g_{c_{2}(s)}\left(c_{2}^{\prime}(s), c_{2}^{\prime}(s)\right)} d s \\
= & \mathcal{L}_{g}\left(c_{1}\right)+\mathcal{L}_{g}\left(c_{2}\right)
\end{aligned} L g ( c 1 ⋅ c 2 ) = ∫ 0 1 g ( c 1 ⋅ c 2 ) ( t ) ( ( c 1 ⋅ c 2 ) ′ ( t ) , ( c 1 ⋅ c 2 ) ′ ( t ) ) d t = ∫ 0 1 2 g c 1 ( 2 t ) ( 2 c 1 ′ ( 2 t ) , 2 c 1 ′ ( 2 t ) ) d t + ∫ 1 2 1 g c 2 ( 2 t − 1 ) ( 2 c 2 ′ ( 2 t − 1 ) , 2 c 2 ′ ( 2 t − 1 ) ) d t = ∫ 0 1 g c 1 ( s ) ( 2 c 1 ′ ( s ) , 2 c 1 ′ ( s ) ) ⋅ 1 2 d s + ∫ 0 1 g c 2 ( s ) ( 2 c 2 ′ ( s ) , 2 c 2 ′ ( s ) ) ⋅ 1 2 d s = ∫ 0 1 g c 1 ( s ) ( c 1 ′ ( s ) , c 1 ′ ( s ) ) d s + ∫ 0 1 g c 2 ( s ) ( c 2 ′ ( s ) , c 2 ′ ( s ) ) d s = L g ( c 1 ) + L g ( c 2 )
が示される.さらに, この事実を用いて,
d
g
(
p
1
,
p
2
)
+
d
g
(
p
2
,
p
3
)
=
inf
c
1
∈
C
1
(
M
;
p
1
,
p
2
)
L
g
(
c
1
)
+
inf
c
2
∈
C
1
(
M
;
p
2
,
p
3
)
L
g
(
c
2
)
=
inf
(
c
1
,
c
2
)
∈
C
1
(
M
;
p
1
,
p
2
)
×
C
1
(
M
;
p
2
,
p
3
)
(
L
g
(
c
1
)
+
L
g
(
c
2
)
)
=
inf
(
c
1
,
c
2
)
∈
C
1
(
M
;
p
1
,
p
2
)
×
C
1
(
M
;
p
2
,
p
3
)
L
g
(
c
1
⋅
c
2
)
≥
inf
c
∈
C
1
(
M
;
p
1
,
p
3
)
L
g
(
c
)
=
d
g
(
p
1
,
p
3
)
d
g
p
1
,
p
2
+
d
g
p
2
,
p
3
=
inf
c
1
∈
C
1
M
;
p
1
,
p
2
L
g
c
1
+
inf
c
2
∈
C
1
M
;
p
2
,
p
3
L
g
c
2
=
inf
c
1
,
c
2
∈
C
1
M
;
p
1
,
p
2
×
C
1
M
;
p
2
,
p
3
L
g
c
1
+
L
g
c
2
=
inf
c
1
,
c
2
∈
C
1
M
;
p
1
,
p
2
×
C
1
M
;
p
2
,
p
3
L
g
c
1
⋅
c
2
≥
inf
c
∈
C
1
M
;
p
1
,
p
3
L
g
(
c
)
=
d
g
p
1
,
p
3
{:[d_(g)(p_(1),p_(2))+d_(g)(p_(2),p_(3))=i n f_(c_(1)inC^(1)(M;p_(1),p_(2)))L_(g)(c_(1))+i n f_(c_(2)inC^(1)(M;p_(2),p_(3)))L_(g)(c_(2))],[=i n f_((c_(1),c_(2))inC^(1)(M;p_(1),p_(2))xxC^(1)(M;p_(2),p_(3)))(L_(g)(c_(1))+L_(g)(c_(2)))],[=i n f_((c_(1),c_(2))inC^(1)(M;p_(1),p_(2))xxC^(1)(M;p_(2),p_(3)))L_(g)(c_(1)*c_(2))],[ >= i n f_(c inC^(1)(M;p_(1),p_(3)))L_(g)(c)=d_(g)(p_(1),p_(3))]:} \begin{aligned}
d_{g}\left(p_{1}, p_{2}\right)+d_{g}\left(p_{2}, p_{3}\right) & =\inf _{c_{1} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right)} \mathcal{L}_{g}\left(c_{1}\right)+\inf _{c_{2} \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)} \mathcal{L}_{g}\left(c_{2}\right) \\
& =\inf _{\left(c_{1}, c_{2}\right) \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right) \times \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)}\left(\mathcal{L}_{g}\left(c_{1}\right)+\mathcal{L}_{g}\left(c_{2}\right)\right) \\
& =\inf _{\left(c_{1}, c_{2}\right) \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{2}\right) \times \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{2}, p_{3}\right)} \mathcal{L}_{g}\left(c_{1} \cdot c_{2}\right) \\
& \geq \inf _{c \in \mathcal{C}^{1}\left(M ; p_{1}, p_{3}\right)} \mathcal{L}_{g}(c)=d_{g}\left(p_{1}, p_{3}\right)
\end{aligned} d g ( p 1 , p 2 ) + d g ( p 2 , p 3 ) = inf c 1 ∈ C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) L g ( c 1 ) + inf c 2 ∈ C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) L g ( c 2 ) = inf ( c 1 , c 2 ) ∈ C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) × C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) ( L g ( c 1 ) + L g ( c 2 ) ) = inf ( c 1 , c 2 ) ∈ C 1 ( M ; p 1 , p 2 ) × C 1 ( M ; p 2 , p 3 ) L g ( c 1 ⋅ c 2 ) ≥ inf c ∈ C 1 ( M ; p 1 , p 3 ) L g ( c ) = d g ( p 1 , p 3 )
が示される. したがって,
d
g
d
g
d_(g) d_{g} d g が
M
M
M M M の距離関数を与えることがわかる.
命題 4.2.1
d
g
d
g
quadd_(g) \quad d_{g} d g の定める(距離)位相は, 多様体
M
M
M M M の元の位相と一致する.
証明
M
M
M M M は多様体なので, 各点の十分小さな近傍はユークリッド空間の開集合とみなされる。
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) をとり,
φ
:
U
→
R
n
φ
:
U
→
R
n
varphi:U rarrR^(n) \varphi: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} φ : U → R n により
R
n
R
n
R^(n) \mathbb{R}^{n} R n のユークリッド計量
g
E
g
E
g_(E) g_{\mathbb{E}} g E から誘導される
U
U
U U U 上リリー マン計量
φ
∗
g
E
φ
∗
g
E
varphi^(**)g_(E) \varphi^{*} g_{\mathbb{E}} φ ∗ g E を
g
E
φ
g
E
φ
g_(E)^(varphi) g_{\mathbb{E}}^{\varphi} g E φ と表す.
p
∈
U
p
∈
U
p in U p \in U p ∈ U を任意にとる.
p
p
p p p の
d
g
d
g
d_(g) d_{g} d g に関する
ε
ε
epsi \varepsilon ε 近傍 を
B
g
(
p
,
ε
)
B
g
(
p
,
ε
)
B_(g)(p,epsi) B_{g}(p, \varepsilon) B g ( p , ε ) と表し,
p
p
p p p の
d
g
E
φ
d
g
E
φ
d_(g_(E)^(varphi)) d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}} d g E φ に関する
ε
ε
epsi \varepsilon ε 近傍を
B
g
E
φ
(
p
,
ε
)
B
g
E
φ
(
p
,
ε
)
B_(g_(E)^(varphi))(p,epsi) B_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \varepsilon) B g E φ ( p , ε ) と表す.
d
g
E
φ
d
g
E
φ
d_(g_(E)^(varphi)) d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}} d g E φ の定め る
U
U
U U U の位相は,
M
M
M M M の元の位相から誘導される
U
U
U U U の部分位相(=相対位相)と 一致するので,
d
g
1
φ
d
g
1
φ
d_(g_(1)^(varphi)) d_{g_{1}^{\varphi}} d g 1 φ の定める
U
U
U U U の位相と
d
g
|
U
d
g
U
d_(g|_(U)) d_{\left.g\right|_{U}} d g | U の定める
U
U
U U U の位相が一致するこ とを示せばよい。そのためには,次の 2 つの事実を示せばよい:
(I) 任意の十分小さな
ε
>
0
ε
>
0
epsi > 0 \varepsilon>0 ε > 0 に対し,
U
g
(
p
,
δ
)
⊂
U
g
E
φ
(
p
,
ε
)
U
g
(
p
,
δ
)
⊂
U
g
E
φ
(
p
,
ε
)
U_(g)(p,delta)subU_(g_(E)^(varphi))(p,epsi) U_{g}(p, \delta) \subset U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \varepsilon) U g ( p , δ ) ⊂ U g E φ ( p , ε ) となる
δ
>
0
δ
>
0
delta > 0 \delta>0 δ > 0 が 存在する;
(II) 任意の十分小さな
ε
>
0
ε
>
0
epsi > 0 \varepsilon>0 ε > 0 に対し,
U
g
E
φ
(
p
,
δ
)
⊂
U
g
(
p
,
ε
)
U
g
E
φ
(
p
,
δ
)
⊂
U
g
(
p
,
ε
)
U_(g_(E)^(varphi))(p,delta)subU_(g)(p,epsi) U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \delta) \subset U_{g}(p, \varepsilon) U g E φ ( p , δ ) ⊂ U g ( p , ε ) となる
δ
>
0
δ
>
0
delta > 0 \delta>0 δ > 0 が 存在する.
この 2 つの事実を示そう.
V
V
V V V を,
p
p
p p p を含む
U
U
U U U の開部分集合で相対コンパクト (つまり,Vの閉包
V
¯
V
¯
bar(V) \bar{V} V ¯ がコンパクト)であるようなものとする.
S
q
M
(
q
∈
S
q
M
(
q
∈
S_(q)M(q in S_{q} M(q \in S q M ( q ∈
V
¯
)
V
¯
)
bar(V)) \bar{V}) V ¯ ) を
S
q
M
:=
{
v
∈
T
q
M
∣
g
E
φ
(
v
,
v
)
=
1
}
S
q
M
:=
v
∈
T
q
M
∣
g
E
φ
(
v
,
v
)
=
1
S_(q)M:={v inT_(q)M∣g_(E)^(varphi)(v,v)=1} S_{q} M:=\left\{\boldsymbol{v} \in T_{q} M \mid g_{\mathbb{E}}^{\varphi}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})=1\right\} S q M := { v ∈ T q M ∣ g E φ ( v , v ) = 1 }
によって定義し,
S
V
¯
S
V
¯
S bar(V) S \bar{V} S V ¯ を
S
V
¯
:=
⨿
q
∈
V
¯
S
q
M
S
V
¯
:=
⨿
q
∈
V
¯
S
q
M
S bar(V):=⨿_(q in bar(V))S_(q)M S \bar{V}:=\amalg_{q \in \bar{V}} S_{q} M S V ¯ := ⨿ q ∈ V ¯ S q M によって定義する.
S
V
¯
S
V
¯
S bar(V) S \bar{V} S V ¯ は
T
M
T
M
TM T M T M の コンパクト部分集合になることが容易に示される。
S
V
¯
S
V
¯
S bar(V) S \bar{V} S V ¯ 上の関数
ρ
ρ
rho \rho ρ を
ρ
(
v
)
:=
g
π
(
v
)
(
v
,
v
)
(
v
∈
S
V
¯
)
ρ
(
v
)
:=
g
π
(
v
)
(
v
,
v
)
(
v
∈
S
V
¯
)
rho(v):=sqrt(g_(pi(v))(v,v))quad(v in S bar(V)) \rho(\boldsymbol{v}):=\sqrt{g_{\pi(\boldsymbol{v})}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{v})} \quad(\boldsymbol{v} \in S \bar{V}) ρ ( v ) := g π ( v ) ( v , v ) ( v ∈ S V ¯ )
によって定義する。この関数は連続になることが容易に示される。
ρ
ρ
rho \rho ρ はコン パクト集合
S
V
¯
S
V
¯
S bar(V) S \bar{V} S V ¯ 上の連続関数なので, 最大値と最小値をもつ。
a
:=
min
V
¯
ρ
a
:=
min
V
¯
ρ
a:=min_( bar(V))rho a:=\min _{\bar{V}} \rho a := min V ¯ ρ ,
b
:=
max
V
¯
ρ
b
:=
max
V
¯
ρ
b:=max_( bar(V))rho b:=\max _{\bar{V}} \rho b := max V ¯ ρ とおく.また,
α
1
:=
inf
q
∈
∂
V
d
g
(
p
,
q
)
,
α
2
:=
inf
q
∈
∂
V
d
g
E
φ
(
p
,
q
)
α
1
:=
inf
q
∈
∂
V
d
g
(
p
,
q
)
,
α
2
:=
inf
q
∈
∂
V
d
g
E
φ
(
p
,
q
)
alpha_(1):=i n f_(q in del V)d_(g)(p,q),quadalpha_(2):=i n f_(q in del V)d_(g_(E)^(varphi))(p,q) \alpha_{1}:=\inf _{q \in \partial V} d_{g}(p, q), \quad \alpha_{2}:=\inf _{q \in \partial V} d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, q) α 1 := inf q ∈ ∂ V d g ( p , q ) , α 2 := inf q ∈ ∂ V d g E φ ( p , q )
とおく.
V
V
V V V 内の区分的に
C
1
C
1
C^(1) C^{1} C 1 級の曲線
c
:
[
0
,
1
]
→
V
c
:
[
0
,
1
]
→
V
c:[0,1]rarr V c:[0,1] \rightarrow V c : [ 0 , 1 ] → V に対し,
L
g
(
c
)
=
∑
i
=
0
k
−
1
L
g
(
c
‖
[
t
i
−
1
,
t
i
]
)
=
∑
i
=
0
k
−
1
∫
t
i
t
i
+
1
g
c
(
t
)
(
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
)
d
t
=
∑
i
=
0
k
−
1
∫
t
i
t
i
+
1
(
g
E
φ
)
c
(
t
)
(
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
)
ρ
(
c
′
(
t
)
‖
c
′
(
t
)
‖
g
E
φ
)
d
t
L
g
(
c
)
=
∑
i
=
0
k
−
1
L
g
c
‖
t
i
−
1
,
t
i
=
∑
i
=
0
k
−
1
∫
t
i
t
i
+
1
g
c
(
t
)
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
d
t
=
∑
i
=
0
k
−
1
∫
t
i
t
i
+
1
g
E
φ
c
(
t
)
c
′
(
t
)
,
c
′
(
t
)
ρ
c
′
(
t
)
c
′
(
t
)
g
E
φ
d
t
{:[L_(g)(c)=sum_(i=0)^(k-1)L_(g)(c||_([t_(i-1),t_(i)]))=sum_(i=0)^(k-1)int_(t_(i))^(t_(i+1))sqrt(g_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t)))dt],[=sum_(i=0)^(k-1)int_(t_(i))^(t_(i+1))sqrt((g_(E)^(varphi))_(c(t))(c^(')(t),c^(')(t)))rho((c^(')(t))/(||c^(')(t)||_(g_(E)^(varphi))))dt]:} \begin{aligned}
\mathcal{L}_{g}(c) & =\sum_{i=0}^{k-1} \mathcal{L}_{g}\left(c \|_{\left[t_{i-1}, t_{i}\right]}\right)=\sum_{i=0}^{k-1} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \sqrt{g_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)} d t \\
& =\sum_{i=0}^{k-1} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} \sqrt{\left(g_{\mathbb{E}}^{\varphi}\right)_{c(t)}\left(c^{\prime}(t), c^{\prime}(t)\right)} \rho\left(\frac{c^{\prime}(t)}{\left\|c^{\prime}(t)\right\|_{g_{\mathbb{E}}^{\varphi}}}\right) d t
\end{aligned} L g ( c ) = ∑ i = 0 k − 1 L g ( c ‖ [ t i − 1 , t i ] ) = ∑ i = 0 k − 1 ∫ t i t i + 1 g c ( t ) ( c ′ ( t ) , c ′ ( t ) ) d t = ∑ i = 0 k − 1 ∫ t i t i + 1 ( g E φ ) c ( t ) ( c ′ ( t ) , c ′ ( t ) ) ρ ( c ′ ( t ) ‖ c ′ ( t ) ‖ g E φ ) d t
が成り立ち, それゆえ,
(4.2.1)
a
L
g
E
φ
(
c
)
≤
L
g
(
c
)
≤
b
L
g
E
φ
(
c
)
(4.2.1)
a
L
g
E
φ
(
c
)
≤
L
g
(
c
)
≤
b
L
g
E
φ
(
c
)
{:(4.2.1)aL_(g_(E)^(varphi))(c) <= L_(g)(c) <= bL_(g_(E)^(varphi))(c):} \begin{equation*}
a \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \leq \mathcal{L}_{g}(c) \leq b \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \tag{4.2.1}
\end{equation*} (4.2.1) a L g E φ ( c ) ≤ L g ( c ) ≤ b L g E φ ( c )
が成り立つ. したがって,
q
∈
U
g
(
p
,
α
1
)
q
∈
U
g
p
,
α
1
q inU_(g)(p,alpha_(1)) q \in U_{g}\left(p, \alpha_{1}\right) q ∈ U g ( p , α 1 ) に対し.
(4.2.2)
d
g
(
p
,
q
)
=
inf
c
∈
C
p
,
q
1
s.t.
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
(
p
,
α
1
)
L
g
(
c
)
≥
a
c
∈
C
p
,
q
1
inf
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
(
p
,
α
1
)
L
g
E
φ
(
c
)
≥
a
d
g
E
φ
(
p
,
q
)
(4.2.2)
d
g
(
p
,
q
)
=
inf
c
∈
C
p
,
q
1
s.t.
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
p
,
α
1
L
g
(
c
)
≥
a
c
∈
C
p
,
q
1
inf
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
p
,
α
1
L
g
E
φ
(
c
)
≥
a
d
g
E
φ
(
p
,
q
)
{:[(4.2.2)d_(g)(p","q)=i n f_(c inC_(p,q)^(1)" s.t. "c([0,1])subU_(g)(p,alpha_(1)))L_(g)(c)],[ >= a_(c inC_(p,q)^(1))i n f_(c([0,1])subU_(g)(p,alpha_(1)))L_(g_(E)^(varphi))(c) >= ad_(g_(E)^(varphi))(p","q)]:} \begin{align*}
& d_{g}(p, q)=\inf _{c \in \mathcal{C}_{p, q}^{1} \text { s.t. } c([0,1]) \subset U_{g}\left(p, \alpha_{1}\right)} \mathcal{L}_{g}(c) \tag{4.2.2}\\
& \geq a_{c \in \mathcal{C}_{p, q}^{1}} \inf _{c([0,1]) \subset U_{g}\left(p, \alpha_{1}\right)} \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \geq a d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, q)
\end{align*} (4.2.2) d g ( p , q ) = inf c ∈ C p , q 1 s.t. c ( [ 0 , 1 ] ) ⊂ U g ( p , α 1 ) L g ( c ) ≥ a c ∈ C p , q 1 inf c ( [ 0 , 1 ] ) ⊂ U g ( p , α 1 ) L g E φ ( c ) ≥ a d g E φ ( p , q )
が成り立つ. 十分小さな正の数
ε
ε
epsi \varepsilon ε をとる.
δ
:=
min
{
a
ε
,
α
1
}
δ
:=
min
a
ε
,
α
1
delta:=min{a epsi,alpha_(1)} \delta:=\min \left\{a \varepsilon, \alpha_{1}\right\} δ := min { a ε , α 1 } とおく.
q
∈
q
∈
q in q \in q ∈
U
g
(
p
,
δ
)
U
g
(
p
,
δ
)
U_(g)(p,delta) U_{g}(p, \delta) U g ( p , δ ) とする. このとき, 式 (4.2.2) より,
d
g
⊵
φ
(
p
,
q
)
≤
1
a
d
g
(
p
,
q
)
<
δ
a
≤
ε
d
g
⊵
φ
(
p
,
q
)
≤
1
a
d
g
(
p
,
q
)
<
δ
a
≤
ε
d_(g_(⊵)^(varphi))(p,q) <= (1)/(a)d_(g)(p,q) < (delta )/(a) <= epsi d_{g_{\unrhd}^{\varphi}}(p, q) \leq \frac{1}{a} d_{g}(p, q)<\frac{\delta}{a} \leq \varepsilon d g ⊵ φ ( p , q ) ≤ 1 a d g ( p , q ) < δ a ≤ ε
が示され,それゆえ
q
∈
U
g
E
φ
(
p
,
ε
)
q
∈
U
g
E
φ
(
p
,
ε
)
q inU_(g_(E)^(varphi))(p,epsi) q \in U_{g_{E}^{\varphi}}(p, \varepsilon) q ∈ U g E φ ( p , ε ) が示される.したがって,
U
g
(
p
,
δ
)
⊂
U
g
(
p
,
δ
)
⊂
U_(g)(p,delta)sub U_{g}(p, \delta) \subset U g ( p , δ ) ⊂
U
g
E
φ
(
p
,
ε
)
U
g
E
φ
(
p
,
ε
)
U_(g_(E)^(varphi))(p,epsi) U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \varepsilon) U g E φ ( p , ε ) が示される.
一方, 式 (4.2.1) より,
q
∈
U
g
E
φ
(
p
,
α
2
)
q
∈
U
g
E
φ
p
,
α
2
q inU_(g_(E)^(varphi))(p,alpha_(2)) q \in U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}\left(p, \alpha_{2}\right) q ∈ U g E φ ( p , α 2 ) に対し,
d
g
E
φ
(
p
,
q
)
=
inf
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
s.t.
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
E
φ
(
p
,
α
2
)
L
g
E
φ
(
c
)
(4.2.3)
≥
1
b
inf
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
s.t.
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
E
φ
(
p
,
α
2
)
L
g
(
c
)
≥
1
b
d
g
(
p
,
q
)
d
g
E
φ
(
p
,
q
)
=
inf
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
s.t.
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
E
φ
p
,
α
2
L
g
E
φ
(
c
)
(4.2.3)
≥
1
b
inf
c
∈
C
1
(
M
;
p
,
q
)
s.t.
c
(
[
0
,
1
]
)
⊂
U
g
E
φ
p
,
α
2
L
g
(
c
)
≥
1
b
d
g
(
p
,
q
)
{:[d_(g_(E)^(varphi))(p","q)=i n f_(c inC^(1)(M;p,q)" s.t. "c([0,1])subU_(g_(E)^(varphi))(p,alpha_(2)))L_(g_(E)^(varphi))(c)],[(4.2.3) >= (1)/(b)i n f_(c inC^(1)(M;p,q)" s.t. "c([0,1])subU_(g_(E)^(varphi))(p,alpha_(2)))L_(g)(c) >= (1)/(b)d_(g)(p","q)]:} \begin{align*}
d_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, q) & =\inf _{c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) \text { s.t. } c([0,1]) \subset U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}\left(p, \alpha_{2}\right)} \mathcal{L}_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(c) \\
& \geq \frac{1}{b} \inf _{c \in \mathcal{C}^{1}(M ; p, q) \text { s.t. } c([0,1]) \subset U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}\left(p, \alpha_{2}\right)} \mathcal{L}_{g}(c) \geq \frac{1}{b} d_{g}(p, q) \tag{4.2.3}
\end{align*} d g E φ ( p , q ) = inf c ∈ C 1 ( M ; p , q ) s.t. c ( [ 0 , 1 ] ) ⊂ U g E φ ( p , α 2 ) L g E φ ( c ) (4.2.3) ≥ 1 b inf c ∈ C 1 ( M ; p , q ) s.t. c ( [ 0 , 1 ] ) ⊂ U g E φ ( p , α 2 ) L g ( c ) ≥ 1 b d g ( p , q )
が成り立つ. 十分小さな正の数
ε
ε
epsi \varepsilon ε をとる.
δ
:=
min
{
ε
b
,
α
2
}
δ
:=
min
ε
b
,
α
2
delta:=min{(epsi )/(b),alpha_(2)} \delta:=\min \left\{\frac{\varepsilon}{b}, \alpha_{2}\right\} δ := min { ε b , α 2 }
とおく.
q
∈
U
g
E
φ
(
p
,
δ
)
q
∈
U
g
E
φ
(
p
,
δ
)
q inU_(g_(E)^(varphi))(p,delta) q \in U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \delta) q ∈ U g E φ ( p , δ ) とする. このとき, 式 (4.2.3) より,
d
g
(
p
,
q
)
≤
b
d
g
ε
φ
(
p
,
q
)
<
b
δ
≤
ε
d
g
(
p
,
q
)
≤
b
d
g
ε
φ
(
p
,
q
)
<
b
δ
≤
ε
d_(g)(p,q) <= bd_(g_(epsi)^(varphi))(p,q) < b delta <= epsi d_{g}(p, q) \leq b d_{g_{\varepsilon}^{\varphi}}(p, q)<b \delta \leq \varepsilon d g ( p , q ) ≤ b d g ε φ ( p , q ) < b δ ≤ ε
が示され,それゆえ
q
∈
U
g
(
p
,
ε
)
q
∈
U
g
(
p
,
ε
)
q inU_(g)(p,epsi) q \in U_{g}(p, \varepsilon) q ∈ U g ( p , ε ) が示される.したがって,
U
g
E
φ
(
p
,
δ
)
⊂
U
g
E
φ
(
p
,
δ
)
⊂
U_(g_(E)^(varphi))(p,delta)sub U_{g_{\mathrm{E}}^{\varphi}}(p, \delta) \subset U g E φ ( p , δ ) ⊂
U
g
(
p
,
ε
)
U
g
(
p
,
ε
)
U_(g)(p,epsi) U_{g}(p, \varepsilon) U g ( p , ε ) が示される. 以上で,
d
g
ε
φ
d
g
ε
φ
d_(g_(epsi)^(varphi)) d_{g_{\varepsilon}^{\varphi}} d g ε φ の定める
U
U
U U U の位相と
d
g
|
U
d
g
U
d_(g|_(U)) d_{\left.g\right|_{U}} d g | U の定める
U
U
U U U の位相が一致することが示される。この事実から, この命題の主張が導かれる.
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
v
v
v \boldsymbol{v} v を初速度にもつ測地線でそれ以上延長不可能なものを
γ
v
:
I
v
→
M
γ
v
:
I
v
→
M
gamma_(v):I_(v)rarr M \gamma_{\boldsymbol{v}}: I_{\boldsymbol{v}} \rightarrow M γ v : I v → M とする.
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の任意の点
p
p
p p p と任意の
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
γ
v
γ
v
gamma_(v) \gamma_{\boldsymbol{v}} γ v が
R
R
R \mathbb{R} R 全体で定義される(つまり
I
v
=
R
I
v
=
R
I_(v)=R I_{v}=\mathbb{R} I v = R ) とき,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) は測地的完備 (geodesically complete) であるという。
測地的完備性について, 次のHopf-Rinow(ホップ・リノー)の定理 (Hopf-Rinow's theorem)が成り立つ.
定理 4.2.2 (Hopf-Rinow) 距離空間
(
M
,
d
g
)
M
,
d
g
(M,d_(g)) \left(M, d_{g}\right) ( M , d g ) が完備であることと
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) が測地的完備であることは同値である.
この定理の証明については, 例えば [加須栄 1] の 3.10.1 節を参照のこと.
注意
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) が測地的完備であるとき,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の任意の 2 点
p
,
q
p
,
q
p,q p, q p , q に対し,
p
p
p p p と
q
q
q q q を結ぶ最短測地線が存在する。この事実は, 測地的完備性より、
M
M
M M M の任意の点
p
p
p p p に おける指数写像
exp
p
exp
p
exp_(p) \exp _{p} exp p が
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 全体で定義されることを用いて導かれる.
4.3 曲率テンソル場
この節において, リーマン多様体の歪みを表す曲率テンソル場, および, そ れに付随して定義されるリッチテンソル場, スカラー曲率, さらに断面曲率を 定義する. まず, より一般に,
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ アフィン接続多様体
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) を考え る.
R
p
:
T
p
M
×
T
p
M
×
T
p
M
→
T
p
M
R
p
:
T
p
M
×
T
p
M
×
T
p
M
→
T
p
M
R_(p):T_(p)M xxT_(p)M xxT_(p)M rarrT_(p)M R_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \times T_{p} M \rightarrow T_{p} M R p : T p M × T p M × T p M → T p M を
R
p
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
:=
(
∇
X
1
(
∇
X
2
X
3
)
−
∇
X
2
(
∇
X
1
X
3
)
−
∇
[
X
1
,
X
2
]
X
3
)
p
(
v
1
,
v
2
,
v
3
∈
T
p
M
)
R
p
v
1
,
v
2
,
v
3
:=
∇
X
1
∇
X
2
X
3
−
∇
X
2
∇
X
1
X
3
−
∇
X
1
,
X
2
X
3
p
v
1
,
v
2
,
v
3
∈
T
p
M
{:[R_(p)(v_(1),v_(2),v_(3)):=(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3))_(p)],[(v_(1),v_(2),v_(3)inT_(p)M)]:} \begin{array}{r}
R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right):=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\mathbf{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}\right)_{p} \\
\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3} \in T_{p} M\right)
\end{array} R p ( v 1 , v 2 , v 3 ) := ( ∇ X 1 ( ∇ X 2 X 3 ) − ∇ X 2 ( ∇ X 1 X 3 ) − ∇ [ X 1 , X 2 ] X 3 ) p ( v 1 , v 2 , v 3 ∈ T p M )
によって定義する。 ここで,
X
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
X
i
(
i
=
1
,
2
,
3
)
X_(i)(i=1,2,3) \boldsymbol{X}_{i}(i=1,2,3) X i ( i = 1 , 2 , 3 ) は
(
X
i
)
p
=
v
i
X
i
p
=
v
i
(X_(i))_(p)=v_(i) \left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{i} ( X i ) p = v i となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元を表す.
R
p
R
p
R_(p) R_{p} R p が well-defined であることを示そう.
p
p
p p p のまわりの局所チャ ート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) をとり,
X
i
=
∑
j
=
1
n
(
X
i
)
j
∂
∂
x
j
(
i
=
1
,
2
,
3
)
X
i
=
∑
j
=
1
n
X
i
j
∂
∂
x
j
(
i
=
1
,
2
,
3
)
quadX_(i)=sum_(j=1)^(n)(X_(i))^(j)(del)/(delx_(j))(i=1,2,3) \quad \boldsymbol{X}_{i}=\sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}\right)^{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}(i=1,2,3) X i = ∑ j = 1 n ( X i ) j ∂ ∂ x j ( i = 1 , 2 , 3 ) とする. このとき, これらを
∇
X
1
(
∇
X
2
X
3
)
−
∇
X
2
(
∇
X
1
X
3
)
−
∇
[
X
1
,
X
2
]
X
3
∇
X
1
∇
X
2
X
3
−
∇
X
2
∇
X
1
X
3
−
∇
X
1
,
X
2
X
3
grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3) \nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3} ∇ X 1 ( ∇ X 2 X 3 ) − ∇ X 2 ( ∇ X 1 X 3 ) − ∇ [ X 1 , X 2 ] X 3
に代入して,
∇
∇
grad \nabla ∇ と
[
[
[ [ [ ,
]
の
性
質
,
お
よ
び
[
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
]
=
0
]
の
性
質
,
お
よ
び
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
=
0
]の性質,および[(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))]=0 ] の性質, および \left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right]=\mathbf{0} の 性 質 お よ び ] の 性 質 , お よ び [ ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ] = 0 を用いて計算すると、
∇
X
1
(
∇
X
2
X
3
)
−
∇
X
2
(
∇
X
1
X
3
)
−
∇
[
X
1
,
X
2
]
X
3
(4.3.1)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
(
X
1
)
i
(
X
2
)
j
(
X
3
)
k
×
(
∇
∂
∂
x
i
(
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
k
)
−
∇
∂
∂
x
j
(
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
k
)
)
∇
X
1
∇
X
2
X
3
−
∇
X
2
∇
X
1
X
3
−
∇
X
1
,
X
2
X
3
(4.3.1)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
X
1
i
X
2
j
X
3
k
×
∇
∂
∂
x
i
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
k
−
∇
∂
∂
x
j
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
k
{:[grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3)],[(4.3.1)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(X_(1))^(i)(X_(2))^(j)(X_(3))^(k)],[quad xx(grad_((del)/(delx_(i)))(grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(k)))-grad_((del)/(delx_(j)))(grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(k))))]:} \begin{align*}
& \nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\mathbf{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3} \\
&=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{1}\right)^{i}\left(X_{2}\right)^{j}\left(X_{3}\right)^{k} \tag{4.3.1}\\
& \quad \times\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right)
\end{align*} ∇ X 1 ( ∇ X 2 X 3 ) − ∇ X 2 ( ∇ X 1 X 3 ) − ∇ [ X 1 , X 2 ] X 3 (4.3.1) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ( X 1 ) i ( X 2 ) j ( X 3 ) k × ( ∇ ∂ ∂ x i ( ∇ ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k ) − ∇ ∂ ∂ x j ( ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ x k ) )
が示され, それゆえ,
(
∇
X
1
(
∇
X
2
X
3
)
−
∇
X
2
(
∇
X
1
X
3
)
−
∇
[
X
1
,
X
2
]
X
3
)
p
(4.3.2)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
(
X
1
)
i
(
p
)
(
X
2
)
j
(
p
)
(
X
3
)
k
(
p
)
∇
X
1
∇
X
2
X
3
−
∇
X
2
∇
X
1
X
3
−
∇
X
1
,
X
2
X
3
p
(4.3.2)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
n
X
1
i
(
p
)
X
2
j
(
p
)
X
3
k
(
p
)
{:[(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3))_(p)],[(4.3.2)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)sum_(k=1)^(n)(X_(1))^(i)(p)(X_(2))^(j)(p)(X_(3))^(k)(p)]:} \begin{align*}
& \left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}\right)_{p} \\
= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n}\left(X_{1}\right)^{i}(p)\left(X_{2}\right)^{j}(p)\left(X_{3}\right)^{k}(p) \tag{4.3.2}
\end{align*} ( ∇ X 1 ( ∇ X 2 X 3 ) − ∇ X 2 ( ∇ X 1 X 3 ) − ∇ [ X 1 , X 2 ] X 3 ) p (4.3.2) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ( X 1 ) i ( p ) ( X 2 ) j ( p ) ( X 3 ) k ( p )
×
(
∇
∂
∂
x
i
(
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
k
)
−
∇
∂
∂
x
j
(
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
k
)
)
p
×
∇
∂
∂
x
i
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
k
−
∇
∂
∂
x
j
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
k
p
xx(grad_((del)/(delx_(i)))(grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(k)))-grad_((del)/(delx_(j)))(grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(k))))_(p) \times\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right)_{p} × ( ∇ ∂ ∂ x i ( ∇ ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k ) − ∇ ∂ ∂ x j ( ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ x k ) ) p
をえる。一方,
v
i
=
(
X
i
)
p
=
∑
j
=
1
n
(
X
i
)
j
(
p
)
(
∂
∂
x
j
)
p
v
i
=
X
i
p
=
∑
j
=
1
n
X
i
j
(
p
)
∂
∂
x
j
p
v_(i)=(X_(i))_(p)=sum_(j=1)^(n)(X_(i))^(j)(p)((del)/(delx_(j)))_(p) \boldsymbol{v}_{i}=\left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}\right)^{j}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p} v i = ( X i ) p = ∑ j = 1 n ( X i ) j ( p ) ( ∂ ∂ x j ) p なので,
(
X
i
)
j
(
p
)
X
i
j
(
p
)
(X_(i))^(j)(p) \left(X_{i}\right)^{j}(p) ( X i ) j ( p ) は,
v
i
v
i
v_(i) \boldsymbol{v}_{i} v i の拡張
X
i
X
i
X_(i) \boldsymbol{X}_{i} X i のとり方によらずに定まる。それゆえ,
(
∇
X
1
(
∇
X
2
X
3
)
−
∇
X
2
(
∇
X
1
X
3
)
−
∇
[
X
1
,
X
2
]
X
3
)
p
∇
X
1
∇
X
2
X
3
−
∇
X
2
∇
X
1
X
3
−
∇
X
1
,
X
2
X
3
p
(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))X_(3))-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))X_(3))-grad_([X_(1),X_(2)])X_(3))_(p) \left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \boldsymbol{X}_{3}\right)_{p} ( ∇ X 1 ( ∇ X 2 X 3 ) − ∇ X 2 ( ∇ X 1 X 3 ) − ∇ [ X 1 , X 2 ] X 3 ) p
が
v
i
v
i
v_(i) \boldsymbol{v}_{i} v i の拡張
X
i
X
i
X_(i) \boldsymbol{X}_{i} X i のとり方によらずに定まることがわかり, ゆえに,
R
p
R
p
R_(p) R_{p} R p が well-defined であることが示される. 同時に式 (4.3.2) から,
R
p
R
p
R_(p) R_{p} R p が
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 上の
(
1
,
3
)
(
1
,
3
)
(1,3) (1,3) ( 1 , 3 ) 次テンソルであることが示される.
各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
R
p
R
p
R_(p) R_{p} R p を対応させることにより定義される
M
M
M M M 上の
(
1
,
3
)
(
1
,
3
)
(1,3) (1,3) ( 1 , 3 ) 次テンソル場
R
R
R R R を考えよう。
R
R
R R R の定義より,
R
(
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
,
∂
∂
x
k
)
(4.3.3)
=
(
∇
∂
∂
x
i
(
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
k
)
−
∇
∂
∂
x
j
(
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
k
)
)
=
∑
l
=
1
n
(
∂
Γ
j
k
l
∂
x
i
−
∂
Γ
i
k
l
∂
x
j
+
∑
m
=
1
n
(
Γ
j
k
m
Γ
i
m
l
−
Γ
i
k
m
Γ
j
m
l
)
)
∂
∂
x
l
R
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
,
∂
∂
x
k
(4.3.3)
=
∇
∂
∂
x
i
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
k
−
∇
∂
∂
x
j
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
k
=
∑
l
=
1
n
∂
Γ
j
k
l
∂
x
i
−
∂
Γ
i
k
l
∂
x
j
+
∑
m
=
1
n
Γ
j
k
m
Γ
i
m
l
−
Γ
i
k
m
Γ
j
m
l
∂
∂
x
l
{:[R((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)),(del)/(delx_(k)))],[(4.3.3)=(grad_((del)/(delx_(i)))(grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(k)))-grad_((del)/(delx_(j)))(grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(k))))],[=sum_(l=1)^(n)((delGamma_(jk)^(l))/(delx_(i))-(delGamma_(ik)^(l))/(delx_(j))+sum_(m=1)^(n)(Gamma_(jk)^(m)Gamma_(im)^(l)-Gamma_(ik)^(m)Gamma_(jm)^(l)))(del)/(delx_(l))]:} \begin{align*}
& R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}, \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right) \\
= & \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)-\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}\right)\right) \tag{4.3.3}\\
= & \sum_{l=1}^{n}\left(\frac{\partial \Gamma_{j k}^{l}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial x_{j}}+\sum_{m=1}^{n}\left(\Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{i m}^{l}-\Gamma_{i k}^{m} \Gamma_{j m}^{l}\right)\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}}
\end{align*} R ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x k ) (4.3.3) = ( ∇ ∂ ∂ x i ( ∇ ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k ) − ∇ ∂ ∂ x j ( ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ x k ) ) = ∑ l = 1 n ( ∂ Γ j k l ∂ x i − ∂ Γ i k l ∂ x j + ∑ m = 1 n ( Γ j k m Γ i m l − Γ i k m Γ j m l ) ) ∂ ∂ x l
をえる. ここで,
Γ
i
j
k
Γ
i
j
k
Gamma_(ij)^(k) \Gamma_{i j}^{k} Γ i j k 等は,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する接続係数を表す. したがって,
R
R
R R R の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分
R
i
j
k
l
R
i
j
k
l
R_(ijk)^(l) R_{i j k}{ }^{l} R i j k l は,
R
i
j
k
l
=
∂
Γ
j
k
l
∂
x
i
−
∂
Γ
i
k
l
∂
x
j
+
∑
l
=
1
n
(
Γ
j
k
m
Γ
i
m
l
−
Γ
i
k
m
Γ
j
m
l
)
R
i
j
k
l
=
∂
Γ
j
k
l
∂
x
i
−
∂
Γ
i
k
l
∂
x
j
+
∑
l
=
1
n
Γ
j
k
m
Γ
i
m
l
−
Γ
i
k
m
Γ
j
m
l
R_(ijk)^(l)=(delGamma_(jk)^(l))/(delx_(i))-(delGamma_(ik)^(l))/(delx_(j))+sum_(l=1)^(n)(Gamma_(jk)^(m)Gamma_(im)^(l)-Gamma_(ik)^(m)Gamma_(jm)^(l)) R_{i j k}^{l}=\frac{\partial \Gamma_{j k}^{l}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial x_{j}}+\sum_{l=1}^{n}\left(\Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{i m}^{l}-\Gamma_{i k}^{m} \Gamma_{j m}^{l}\right) R i j k l = ∂ Γ j k l ∂ x i − ∂ Γ i k l ∂ x j + ∑ l = 1 n ( Γ j k m Γ i m l − Γ i k m Γ j m l )
によって与えられる。この式から,
R
i
j
k
l
∘
φ
−
1
R
i
j
k
l
∘
φ
−
1
R_(ijk)^(l)@varphi^(-1) R_{i j k}{ }^{l} \circ \varphi^{-1} R i j k l ∘ φ − 1 が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることがわかる. したがって,
R
R
R R R は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の
(
1
,
3
)
(
1
,
3
)
(1,3) (1,3) ( 1 , 3 ) 次テンソル場である。
R
R
R R R を
(
M
,
∇
)
(
M
,
∇
)
(M,grad) (M, \nabla) ( M , ∇ ) の曲率 テンソル場(curvature tensor field)という.
R
=
0
R
=
0
R=0 R=0 R = 0 であるとき,アフ イン接続
∇
∇
grad \nabla ∇ は平坦(flat)であるという. 特に,
∇
∇
grad \nabla ∇ がリーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) のリーマン接続である場合,
R
R
R R R をリーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の曲率テンソル場
⋅
(
(
W
)
X
∋
M
′
Z
′
X
′
X
)
⋅
(
W
)
X
∋
M
′
Z
′
X
′
X
*((W)X∋M^(')Z^(')X^(')X) \cdot\left((W) \mathcal{X} \ni \boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) ⋅ ( ( W ) X ∋ M ′ Z ′ X ′ X )
(
Λ
′
X
(
M
′
Z
)
Ψ
)
E
=
(
M
′
Z
(
x
′
X
)
Ψ
)
E
:
(
Z
′
M
(
x
′
X
)
Ψ
)
E
−
=
(
M
′
Z
(
x
′
X
)
Ψ
)
E
Λ
′
X
M
′
Z
Ψ
E
=
M
′
Z
x
′
X
Ψ
E
:
Z
′
M
x
′
X
Ψ
E
−
=
M
′
Z
x
′
X
Ψ
E
{:[(Lambda^(')X(M^(')Z)Psi)E=(M^(')Z(x^(')X)Psi)^(E)],[:(Z^(')M(x^(')X)Psi)E-=(M^(')Z(x^(')X)Psi)^(E)]:} \begin{align*}
\left(\boldsymbol{\Lambda}^{\prime} \boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}\right) \Psi\right) E & =\left(\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi\right)^{E} \\
:\left(\boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi\right) E- & =\left(\boldsymbol{M}^{\prime} \boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{x}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi\right)^{E}
\end{align*} ( Λ ′ X ( M ′ Z ) Ψ ) E = ( M ′ Z ( x ′ X ) Ψ ) E : ( Z ′ M ( x ′ X ) Ψ ) E − = ( M ′ Z ( x ′ X ) Ψ ) E
(I)
0
=
M
(
X
′
X
)
(
y
z
Δ
)
+
M
(
X
′
Z
)
(
y
λ
Δ
)
+
M
(
Z
′
X
)
(
U
x
Δ
)
⋮
0
=
Λ
(
X
′
Z
)
Ψ
+
X
(
Z
′
X
)
Z
+
Z
(
Λ
′
X
)
U
⋮
Z
(
X
′
X
)
Ψ
−
=
Z
(
Λ
′
X
)
Ψ
(I)
0
=
M
X
′
X
y
z
Δ
+
M
X
′
Z
y
λ
Δ
+
M
Z
′
X
U
x
Δ
⋮
0
=
Λ
X
′
Z
Ψ
+
X
Z
′
X
Z
+
Z
Λ
′
X
U
⋮
Z
X
′
X
Ψ
−
=
Z
Λ
′
X
Ψ
{:(I){:[0=M(X^(')X)(y^(z)Delta)+M(X^(')Z)(y^(lambda)Delta)+M(Z^(')X)(U^(x Delta))],[vdots0=Lambda(X^(')Z)Psi+X(Z^(')X)Z+Z(Lambda^(')X)U],[vdotsZ(X^(')X)Psi-=Z(Lambda^(')X)Psi]:}:} \begin{array}{r}
0=\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)\left(y^{\boldsymbol{z}} \Delta\right)+\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Z}\right)\left(y^{\boldsymbol{\lambda}} \Delta\right)+\boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{X}\right)\left(\mathcal{U}^{\boldsymbol{x} \Delta}\right) \\
\vdots 0=\boldsymbol{\Lambda}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{Z}\right) \Psi+\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{Z}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \mathcal{Z}+\boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{\Lambda}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \mathcal{U} \\
\vdots \boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{X}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi-=\boldsymbol{Z}\left(\boldsymbol{\Lambda}^{\prime} \boldsymbol{X}\right) \Psi \tag{I}
\end{array} (I) 0 = M ( X ′ X ) ( y z Δ ) + M ( X ′ Z ) ( y λ Δ ) + M ( Z ′ X ) ( U x Δ ) ⋮ 0 = Λ ( X ′ Z ) Ψ + X ( Z ′ X ) Z + Z ( Λ ′ X ) U ⋮ Z ( X ′ X ) Ψ − = Z ( Λ ′ X ) Ψ
I
⋅
&
⋅
∇
¯
I
⋅
&
⋅
∇
¯
I*&* bar(grad) \mathrm{I} \cdot \boldsymbol{\&} \cdot \bar{\nabla} I ⋅ & ⋅ ∇ ¯ 瞕㟽
[
z
X
c
X
X
Δ
−
[
z
X
Δ
T
X
Δ
]
=
(
z
X
I
X
X
)
U
[
z
X
c
X
X
Δ
−
z
X
Δ
T
X
Δ
=
z
X
I
X
X
U
^([z)X^(^(c)X)X Delta-[^(z)X Delta^(^(T)X)Delta]=(^(z)X^(^(I)X)X)U { }^{[z} \boldsymbol{X}^{{ }^{c} \boldsymbol{X}} \boldsymbol{X} \Delta-\left[{ }^{z} \boldsymbol{X} \Delta{ }^{{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{X}} \Delta\right]=\left({ }^{z} \boldsymbol{X}{ }^{{ }^{\mathrm{I}} \boldsymbol{X}} \boldsymbol{X}\right) \mathcal{U} [ z X c X X Δ − [ z X Δ T X Δ ] = ( z X I X X ) U
∵≠
0
∵≠
0
∵≠0 \because \neq 0 ∵≠ 0
⋅
(
ε
X
)
(
[
z
X
1
X
X
]
−
[
z
X
Δ
1
X
Δ
]
)
=
⋅
ε
X
z
X
1
X
X
−
z
X
Δ
1
X
Δ
=
*(^(epsi)X)([^(z)X^(^(1)X)X]-[^(z)X Delta^(^(1)X)Delta])= \cdot\left({ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}\right)\left(\left[{ }^{z} \boldsymbol{X}^{{ }^{1} \boldsymbol{X}} \boldsymbol{X}\right]-\left[{ }^{z} \boldsymbol{X} \Delta{ }^{{ }^{1} \boldsymbol{X}} \Delta\right]\right)= ⋅ ( ε X ) ( [ z X 1 X X ] − [ z X Δ 1 X Δ ] ) =
ε
X
[
[
X
'
X
]
Δ
−
(
ε
X
)
(
I
X
Δ
∘
z
X
Δ
−
z
X
Δ
∘
I
X
Δ
)
=
(
ε
X
)
(
z
X
L
X
)
y
ε
X
[
X
'
X
Δ
−
ε
X
I
X
Δ
∘
z
X
Δ
−
z
X
Δ
∘
I
X
Δ
=
ε
X
z
X
L
X
y
^(epsi)X^([^([)X^("' ")X])Delta-(^(epsi)X)(^(I)X Delta@^(z)X Delta-^(z)X Delta@^(I)X Delta)=(^(epsi)X)(^(z)X^(L)X)y { }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}^{\left[{ }^{[} \boldsymbol{X}^{\text {' }} \boldsymbol{X}\right]} \Delta-\left({ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}\right)\left({ }^{\mathrm{I}} \boldsymbol{X} \Delta \circ{ }^{\mathrm{z}} \boldsymbol{X} \Delta-{ }^{z} \boldsymbol{X} \Delta \circ{ }^{\mathrm{I}} \boldsymbol{X} \Delta\right)=\left({ }^{\varepsilon} \boldsymbol{X}\right)\left({ }^{\mathrm{z}} \boldsymbol{X}{ }^{\mathrm{L}} \boldsymbol{X}\right) y ε X [ [ X ' X ] Δ − ( ε X ) ( I X Δ ∘ z X Δ − z X Δ ∘ I X Δ ) = ( ε X ) ( z X L X ) y
Ric
p
(
v
,
w
)
:=
Tr
R
p
(
⋅
,
v
)
w
(
p
∈
M
,
v
,
w
∈
T
p
M
)
Ric
p
(
v
,
w
)
:=
Tr
R
p
(
⋅
,
v
)
w
p
∈
M
,
v
,
w
∈
T
p
M
Ric_(p)(v,w):=TrR_(p)(*,v)w quad(p in M,v,w inT_(p)M) \operatorname{Ric}_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\operatorname{Tr} R_{p}(\cdot, \boldsymbol{v}) \boldsymbol{w} \quad\left(p \in M, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right) Ric p ( v , w ) := Tr R p ( ⋅ , v ) w ( p ∈ M , v , w ∈ T p M )
によって定義する。命題4.3.1 の(ii),(iv)を用いて, Ric が対称であることが 示される. Ricを
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) のリッチテンソル場(Ricci tensor field)という. また,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数
S
S
S S S を
S
:=
Tr
g
Ric
S
:=
Tr
g
Ric
S:=Tr_(g)Ric S:=\operatorname{Tr}_{g} \operatorname{Ric} S := Tr g Ric にって定義する
(
Tr
g
(
⋅
)
Tr
g
(
⋅
)
(Tr_(g)(*):} \left(\operatorname{Tr}_{g}(\cdot)\right. ( Tr g ( ⋅ ) の定義については 3.12 節を参照).
S
S
S S S は
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) のスカラー曲率(scalar curvature) とよばれる.
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の 2 次元部分ベクトル空間
Π
Π
Pi \Pi Π に対し,
K
(
Π
)
K
(
Π
)
K(Pi) K(\Pi) K ( Π ) を
K
(
Π
)
:=
g
p
(
R
p
(
e
1
,
e
2
)
e
2
,
e
1
)
K
(
Π
)
:=
g
p
R
p
e
1
,
e
2
e
2
,
e
1
K(Pi):=g_(p)(R_(p)(e_(1),e_(2))e_(2),e_(1)) K(\Pi):=g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{1}\right) K ( Π ) := g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 )
(
(
e
1
,
e
2
)
(
e
1
,
e
2
((e_(1),e_(2)) (\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) ( ( ( e 1 , e 2 ) は の(
g
p
g
p
g_(p) g_{p} g p に関する)正規直交基底)によって定義する。
K
(
Π
)
K
(
Π
)
K(Pi) K(\Pi) K ( Π ) を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の Пに関する断面曲率(sectional curvature)という。
K
(
Π
)
K
(
Π
)
K(Pi) K(\Pi) K ( Π ) が well-defined であることを示そう.
Π
Π
Pi \Pi Π の正規直交基底
(
e
―
1
,
e
―
2
)
e
¯
1
,
e
¯
2
( bar(e)_(1), bar(e)_(2)) \left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}\right) ( e ― 1 , e ― 2 ) をもう1つと り,
e
―
i
=
∑
j
=
1
2
a
i
j
e
j
(
i
=
1
,
2
)
e
¯
i
=
∑
j
=
1
2
a
i
j
e
j
(
i
=
1
,
2
)
bar(e)_(i)=sum_(j=1)^(2)a_(ij)e_(j)(i=1,2) \overline{\boldsymbol{e}}_{i}=\sum_{j=1}^{2} a_{i j} \boldsymbol{e}_{j}(i=1,2) e ― i = ∑ j = 1 2 a i j e j ( i = 1 , 2 ) とするとき, 命題 4.3.1と
|
det
(
a
i
j
)
|
=
1
det
a
i
j
=
1
|det(a_(ij))|=1 \left|\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)\right|=1 | det ( a i j ) | = 1 を用 いて,
g
p
(
R
p
(
e
―
1
,
e
―
2
)
e
―
2
,
e
―
1
)
=
(
det
(
a
i
j
)
)
2
⋅
g
p
(
R
p
(
e
1
,
e
2
)
e
2
,
e
1
)
=
g
p
(
R
p
(
e
1
,
e
2
)
e
2
,
e
1
)
g
p
R
p
e
¯
1
,
e
¯
2
e
¯
2
,
e
¯
1
=
det
a
i
j
2
⋅
g
p
R
p
e
1
,
e
2
e
2
,
e
1
=
g
p
R
p
e
1
,
e
2
e
2
,
e
1
{:[g_(p)(R_(p)( bar(e)_(1), bar(e)_(2)) bar(e)_(2), bar(e)_(1))=(det(a_(ij)))^(2)*g_(p)(R_(p)(e_(1),e_(2))e_(2),e_(1))],[=g_(p)(R_(p)(e_(1),e_(2))e_(2),e_(1))]:} \begin{aligned}
g_{p}\left(R_{p}\left(\overline{\boldsymbol{e}}_{1}, \overline{\boldsymbol{e}}_{2}\right) \overline{\boldsymbol{e}}_{2}, \overline{\boldsymbol{e}}_{1}\right) & =\left(\operatorname{det}\left(a_{i j}\right)\right)^{2} \cdot g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{1}\right) \\
& =g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right) \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{1}\right)
\end{aligned} g p ( R p ( e ― 1 , e ― 2 ) e ― 2 , e ― 1 ) = ( det ( a i j ) ) 2 ⋅ g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 ) = g p ( R p ( e 1 , e 2 ) e 2 , e 1 )
が示されるので,
K
(
Π
)
K
(
Π
)
K(Pi) K(\Pi) K ( Π ) がwell-defined であることがわかる. 特に,
dim
M
dim
M
dim M \operatorname{dim} M dim M
=
2
=
2
=2 =2 = 2 のとき,
K
p
:=
K
(
T
p
M
)
K
p
:=
K
T
p
M
K_(p):=K(T_(p)M) K_{p}:=K\left(T_{p} M\right) K p := K ( T p M ) は,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, \boldsymbol{g}) ( M , g ) の
p
p
p \boldsymbol{p} p におけるガウス曲率(the Gaussian curvature of
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (\boldsymbol{M}, \boldsymbol{g}) ( M , g ) at
p
)
p
)
p) \boldsymbol{p}) p ) とよばれる。各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に
K
p
K
p
K_(p) K_{p} K p を 対応させることにより定義される関数
K
:
M
→
R
を
,
(
M
,
g
)
K
:
M
→
R
を
,
(
M
,
g
)
K:M rarrRを,(M,g) K: M \rightarrow \mathbb{R} を,(M, \boldsymbol{g}) を K : M → R を , ( M , g ) のガウス 曲率(the Gaussian curvature of
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, \boldsymbol{g}) ( M , g ) ) とよぶ.
M
M
M M M の任意の点
p
p
p p p と
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の任意の 2 次元部分ベクトル空間
Π
Π
Pi \Pi Π に対し,
K
(
Π
)
K
(
Π
)
K(Pi) K(\Pi) K ( Π ) が一定値
c
c
c c c をとると き,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を一定の断面曲率
c
c
c \boldsymbol{c} c をもつ定曲率空間(the space of constant curvature c) という. 特に, 一定の断面曲率 0 をもつ定曲率空間を平坦な 空間(flat space)という。
命題 4.3.2
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) が一定の断面曲率
c
c
c c c をもつことと,
R
R
R R R が次式を満たすこ とは同値である:
(4.3.4)
R
(
X
,
Y
)
Z
=
c
(
g
(
Y
,
Z
)
X
−
g
(
X
,
Z
)
Y
)
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
)
(4.3.4)
R
(
X
,
Y
)
Z
=
c
(
g
(
Y
,
Z
)
X
−
g
(
X
,
Z
)
Y
)
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
)
{:(4.3.4)R(X","Y)Z=c(g(Y","Z)X-g(X","Z)Y)quad(X","Y","Z inX(M)):} \begin{equation*}
R(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \boldsymbol{Z}=c(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}) \boldsymbol{X}-g(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}) \boldsymbol{Y}) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)) \tag{4.3.4}
\end{equation*} (4.3.4) R ( X , Y ) Z = c ( g ( Y , Z ) X − g ( X , Z ) Y ) ( X , Y , Z ∈ X ( M ) )
証明
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の曲率テンソル場
R
R
R R R が式 (4.3.4)を満たすならば,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) が 一定の断面曲率
c
c
c c c をもつことは明らかである。逆を示そう。
M
M
M M M 上の 4 次共変 テンソル場
R
,
R
^
R
,
R
^
R, widehat(R) \mathcal{R}, \widehat{\mathcal{R}} R , R ^ を各々,
R
p
(
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
)
:=
g
p
(
R
p
(
v
1
,
v
2
)
v
3
,
v
4
)
,
R
^
p
(
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
)
:=
c
(
g
p
(
v
2
,
v
3
)
g
p
(
v
1
,
v
4
)
−
g
p
(
v
1
,
v
3
)
g
p
(
v
2
,
v
4
)
)
(
p
∈
M
,
v
1
,
…
,
v
4
∈
T
p
M
)
R
p
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
:=
g
p
R
p
v
1
,
v
2
v
3
,
v
4
,
R
^
p
v
1
,
v
2
,
v
3
,
v
4
:=
c
g
p
v
2
,
v
3
g
p
v
1
,
v
4
−
g
p
v
1
,
v
3
g
p
v
2
,
v
4
p
∈
M
,
v
1
,
…
,
v
4
∈
T
p
M
{:[R_(p)(v_(1),v_(2),v_(3),v_(4)):=g_(p)(R_(p)(v_(1),v_(2))v_(3),v_(4))","],[ widehat(R)_(p)(v_(1),v_(2),v_(3),v_(4)):=c(g_(p)(v_(2),v_(3))g_(p)(v_(1),v_(4))-g_(p)(v_(1),v_(3))g_(p)(v_(2),v_(4)))],[(p in M,v_(1),dots,v_(4)inT_(p)M)]:} \begin{array}{r}
\mathcal{R}_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right):=g_{p}\left(R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}\right) \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right), \\
\widehat{\mathcal{R}}_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}, \boldsymbol{v}_{4}\right):=c\left(g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right) g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{4}\right)-g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{3}\right) g_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{4}\right)\right) \\
\left(p \in M, \boldsymbol{v}_{1}, \ldots, \boldsymbol{v}_{4} \in T_{p} M\right)
\end{array} R p ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) := g p ( R p ( v 1 , v 2 ) v 3 , v 4 ) , R ^ p ( v 1 , v 2 , v 3 , v 4 ) := c ( g p ( v 2 , v 3 ) g p ( v 1 , v 4 ) − g p ( v 1 , v 3 ) g p ( v 2 , v 4 ) ) ( p ∈ M , v 1 , … , v 4 ∈ T p M )
によって定義する。
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) が一定の断面曲率
c
c
c c c をもつとすると, 任意に
p
∈
p
∈
p in p \in p ∈
M
M
M M M ,および
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) の正規直交基底
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) をとったとき,任意の
i
,
j
i
,
j
i,j i, j i , j
∈
{
1
,
⋯
,
n
}
∈
{
1
,
⋯
,
n
}
in{1,cdots,n} \in\{1, \cdots, n\} ∈ { 1 , ⋯ , n } に対し,
R
p
(
e
i
,
e
j
,
e
j
,
e
i
)
=
R
^
p
(
e
i
,
e
j
,
e
j
,
e
i
)
(
=
c
(
1
−
δ
i
j
)
)
R
p
e
i
,
e
j
,
e
j
,
e
i
=
R
^
p
e
i
,
e
j
,
e
j
,
e
i
=
c
1
−
δ
i
j
R_(p)(e_(i),e_(j),e_(j),e_(i))= widehat(R)_(p)(e_(i),e_(j),e_(j),e_(i))(=c(1-delta_(ij))) \mathcal{R}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{i}\right)=\widehat{\mathcal{R}}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{i}\right)\left(=c\left(1-\delta_{i j}\right)\right) R p ( e i , e j , e j , e i ) = R ^ p ( e i , e j , e j , e i ) ( = c ( 1 − δ i j ) )
が成り立つ.一方,
R
R
R \mathcal{R} R と同様に,
R
^
R
^
widehat(R) \widehat{\mathcal{R}} R ^ も命題4.3.1における関係式 (i), (ii), (iv), および (v)を満たすことが容易に示される。これらの事実から,任意の
i
,
j
,
k
,
l
∈
{
1
,
…
,
n
}
i
,
j
,
k
,
l
∈
{
1
,
…
,
n
}
i,j,k,l in{1,dots,n} i, j, k, l \in\{1, \ldots, n\} i , j , k , l ∈ { 1 , … , n } に対し,
R
p
(
e
i
,
e
j
,
e
k
,
e
l
)
=
R
^
p
(
e
i
,
e
j
,
e
k
,
e
l
)
R
p
e
i
,
e
j
,
e
k
,
e
l
=
R
^
p
e
i
,
e
j
,
e
k
,
e
l
R_(p)(e_(i),e_(j),e_(k),e_(l))= widehat(R)_(p)(e_(i),e_(j),e_(k),e_(l)) \mathcal{R}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{k}, \boldsymbol{e}_{l}\right)=\widehat{\mathcal{R}}_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{j}, \boldsymbol{e}_{k}, \boldsymbol{e}_{l}\right) R p ( e i , e j , e k , e l ) = R ^ p ( e i , e j , e k , e l )
が成り立つこと,それゆえ,
R
p
=
R
^
p
R
p
=
R
^
p
R_(p)= widehat(R)_(p) \mathcal{R}_{p}=\widehat{\mathcal{R}}_{p} R p = R ^ p が成り立つことが示される.
ここで,定曲率空間の例を紹介する.
例 4.3.1 (i)
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元ユークリッド空間
E
n
:=
(
A
n
,
g
E
)
E
n
:=
A
n
,
g
E
E^(n):=(A^(n),g_(E)) \mathbb{E}^{n}:=\left(\mathbb{A}^{n}, g_{\mathbb{E}}\right) E n := ( A n , g E ) は平坦な空間 である.
(ii)
n
≥
2
n
≥
2
n >= 2 n \geq 2 n ≥ 2 とする.
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (n+1) ( n + 1 ) 次元ユークリッド空間
E
n
+
1
=
(
A
n
+
1
,
g
E
)
E
n
+
1
=
A
n
+
1
,
g
E
E^(n+1)=(A^(n+1),g_(E)) \mathbb{E}^{n+1}=\left(\mathbb{A}^{n+1}, g_{\mathbb{E}}\right) E n + 1 = ( A n + 1 , g E ) 内の 半径
r
r
r r r の
n
(
≥
2
)
n
(
≥
2
)
n( >= 2) n(\geq 2) n ( ≥ 2 ) 次元球面
S
n
(
r
)
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
R
n
+
1
(
=
A
n
+
1
)
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
r
2
}
S
n
(
r
)
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
R
n
+
1
=
A
n
+
1
∣
∑
i
=
1
n
+
1
x
i
2
=
r
2
S^(n)(r):={(x_(1),dots,x_(n+1))inR^(n+1)(=A^(n+1))∣sum_(i=1)^(n+1)x_(i)^(2)=r^(2)} S^{n}(r):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\left(=\mathbb{A}^{n+1}\right) \mid \sum_{i=1}^{n+1} x_{i}^{2}=r^{2}\right\} S n ( r ) := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ R n + 1 ( = A n + 1 ) ∣ ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = r 2 }
を考える. ここで
o
∈
A
n
+
1
o
∈
A
n
+
1
o inA^(n+1) o \in \mathbb{A}^{n+1} o ∈ A n + 1 を基点として,
Φ
o
Φ
o
Phi_(o) \Phi_{o} Φ o を通じて,
A
n
+
1
A
n
+
1
A^(n+1) \mathbb{A}^{n+1} A n + 1 を
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 と同
一視している.
g
S
,
r
g
S
,
r
g_(S,r) g_{\mathbb{S}, r} g S , r を超曲面
S
n
(
r
)
S
n
(
r
)
S^(n)(r) S^{n}(r) S n ( r ) の第 1 基本形式とする.このとき,
(
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
)
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
(S^(n)(r),g_(S,r)) \left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right) ( S n ( r ) , g S , r ) は一定の断面曲率
1
r
2
1
r
2
(1)/(r^(2)) \frac{1}{r^{2}} 1 r 2 をもつ定曲率空間になる.
(iii)数べクトル空間
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の指数 1 の非退化対称形式〈,〉
⟩
L
⟩
L
:)_(L) \rangle_{\mathbb{L}} ⟩ L を
⟨
v
,
w
⟩
L
:=
−
v
1
w
1
+
∑
i
=
2
n
+
1
v
i
w
i
(
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
+
1
)
,
w
=
(
w
1
,
…
,
w
n
+
1
)
∈
R
n
+
1
)
⟨
v
,
w
⟩
L
:=
−
v
1
w
1
+
∑
i
=
2
n
+
1
v
i
w
i
v
=
v
1
,
…
,
v
n
+
1
,
w
=
w
1
,
…
,
w
n
+
1
∈
R
n
+
1
{:[(:v","w:)_(L):=-v_(1)w_(1)+sum_(i=2)^(n+1)v_(i)w_(i)],[(v=(v_(1),dots,v_(n+1)),w=(w_(1),dots,w_(n+1))inR^(n+1))]:} \begin{gathered}
\langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle_{\mathbb{L}}:=-v_{1} w_{1}+\sum_{i=2}^{n+1} v_{i} w_{i} \\
\left(\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n+1}\right), \boldsymbol{w}=\left(w_{1}, \ldots, w_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1}\right)
\end{gathered} ⟨ v , w ⟩ L := − v 1 w 1 + ∑ i = 2 n + 1 v i w i ( v = ( v 1 , … , v n + 1 ) , w = ( w 1 , … , w n + 1 ) ∈ R n + 1 )
と定義し,
A
n
+
1
A
n
+
1
A^(n+1) \mathbb{A}^{n+1} A n + 1 上の指数 1 の非退化かつ対称な 2 次共変テンソル場
g
L
g
L
g_(L) g_{\mathbb{L}} g L を
(
g
L
)
p
(
v
,
w
)
:=
⟨
v
,
w
⟩
L
(
p
∈
A
n
+
1
,
v
,
w
∈
T
p
A
n
+
1
)
g
L
p
(
v
,
w
)
:=
⟨
v
,
w
⟩
L
p
∈
A
n
+
1
,
v
,
w
∈
T
p
A
n
+
1
(g_(L))_(p)(v,w):=(:v,w:)_(L)quad(p inA^(n+1),v,w inT_(p)A^(n+1)) \left(g_{\mathbb{L}}\right)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle_{\mathbb{L}} \quad\left(p \in \mathbb{A}^{n+1}, \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} \mathbb{A}^{n+1}\right) ( g L ) p ( v , w ) := ⟨ v , w ⟩ L ( p ∈ A n + 1 , v , w ∈ T p A n + 1 )
と定義する. ここで各点
p
∈
A
n
+
1
p
∈
A
n
+
1
p inA^(n+1) p \in \mathbb{A}^{n+1} p ∈ A n + 1 に対し,
T
p
A
n
+
1
T
p
A
n
+
1
T_(p)A^(n+1) T_{p} \mathbb{A}^{n+1} T p A n + 1 は
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 と同一視されて いる. このとき,
L
n
+
1
:=
(
A
n
+
1
,
g
L
)
L
n
+
1
:=
A
n
+
1
,
g
L
L^(n+1):=(A^(n+1),g_(L)) \mathbb{L}^{n+1}:=\left(\mathbb{A}^{n+1}, g_{\mathbb{L}}\right) L n + 1 := ( A n + 1 , g L ) は,
(
n
+
1
)
(
n
+
1
)
(n+1) (\boldsymbol{n}+\mathbf{1}) ( n + 1 ) 次元ローレンツ空間
(
(
n
+
(
(
n
+
((n+ ((\boldsymbol{n}+ ( ( n + 1)-dimensional Lorentzian space) とよばれる。
L
n
+
1
L
n
+
1
L^(n+1) \mathbb{L}^{n+1} L n + 1 内の超曲面
H
n
(
−
r
)
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
∈
R
n
+
1
∣
−
x
1
2
+
∑
i
=
2
n
+
1
x
i
2
=
−
r
2
かつ
x
1
>
0
}
H
n
(
−
r
)
:=
x
1
,
…
,
x
n
+
1
∈
R
n
+
1
∣
−
x
1
2
+
∑
i
=
2
n
+
1
x
i
2
=
−
r
2
かつ
x
1
>
0
H^(n)(-r):={(x_(1),dots,x_(n+1))inR^(n+1)∣-x_(1)^(2)+sum_(i=2)^(n+1)x_(i)^(2)=-r^(2)" かつ "x_(1) > 0} H^{n}(-r):=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid-x_{1}^{2}+\sum_{i=2}^{n+1} x_{i}^{2}=-r^{2} \text { かつ } x_{1}>0\right\} か つ H n ( − r ) := { ( x 1 , … , x n + 1 ) ∈ R n + 1 ∣ − x 1 2 + ∑ i = 2 n + 1 x i 2 = − r 2 かつ x 1 > 0 }
上の 2 次共変テンソル場
g
H
,
r
g
H
,
r
g_(H,r) g_{\mathbb{H}, r} g H , r を
(
g
H
,
r
)
p
(
v
,
w
)
:=
⟨
v
,
w
⟩
L
(
v
,
w
∈
T
p
H
n
(
−
r
)
)
g
H
,
r
p
(
v
,
w
)
:=
⟨
v
,
w
⟩
L
v
,
w
∈
T
p
H
n
(
−
r
)
(g_(H,r))_(p)(v,w):=(:v,w:)_(L)quad(v,w inT_(p)H^(n)(-r)) \left(g_{\mathbb{H}, r}\right)_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\langle\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\rangle_{\mathbb{L}} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} H^{n}(-r)\right) ( g H , r ) p ( v , w ) := ⟨ v , w ⟩ L ( v , w ∈ T p H n ( − r ) )
によって定義する。ここで,
T
p
A
n
+
1
T
p
A
n
+
1
T_(p)A^(n+1) T_{p} \mathbb{A}^{n+1} T p A n + 1 と
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の同一視の下,
T
p
H
n
(
−
r
)
T
p
H
n
(
−
r
)
T_(p)H^(n)(-r) T_{p} H^{n}(-r) T p H n ( − r ) を
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の部分べクトル空間とみなしている.
g
H
,
r
g
H
,
r
g_(H,r) g_{\mathbb{H}, r} g H , r は,
H
n
(
−
r
)
H
n
(
−
r
)
H^(n)(-r) H^{n}(-r) H n ( − r ) の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン 計量になり,
(
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
)
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
(H^(n)(-r),g_(H,r)) \left(H^{n}(-r), g_{\mathbb{H}, r}\right) ( H n ( − r ) , g H , r ) は一定の断面曲率
−
1
r
2
−
1
r
2
-(1)/(r^(2)) -\frac{1}{r^{2}} − 1 r 2 をもつ定曲率空間になる ことが示される。
(
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
)
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
(H^(n)(-r),g_(H,r)) \left(H^{n}(-r), g_{\mathbb{H}, r}\right) ( H n ( − r ) , g H , r ) は,
n
n
n \boldsymbol{n} n 次元双曲空間(
n
n
n \boldsymbol{n} n -dimensional hyperbolic space)とよばれる.
4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場
この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルの接続, およびその曲率テン ソル場について説明する。
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドル
E
→
π
M
E
→
π
M
Erarr"pi"M E \xrightarrow{\pi} M E → π M に対し,
E
E
E E E の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断の全体を
Γ
∞
(
E
)
Γ
∞
(
E
)
Gamma^(oo)(E) \Gamma^{\infty}(E) Γ ∞ ( E ) で表す. 写像
∇
:
X
(
M
)
×
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
∇
:
X
(
M
)
×
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
grad:X(M)xxGamma^(oo)(E)rarrGamma^(oo)(E) \nabla: \mathcal{X}(M) \times \Gamma^{\infty}(E) \rightarrow \Gamma^{\infty}(E) ∇ : X ( M ) × Γ ∞ ( E ) → Γ ∞ ( E ) で,次の 4 条件を満たすものを実ベクトルバンドル
E
E
E \boldsymbol{E} E の接続(connection of
a
a
a \mathbf{a} a
real vector bundle
E
E
E E E ) という :
(i)
∇
a
X
+
b
Y
σ
=
a
∇
X
σ
+
b
∇
Y
σ
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
,
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
)
∇
a
X
+
b
Y
σ
=
a
∇
X
σ
+
b
∇
Y
σ
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
,
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
grad_(aX+bY)sigma=agrad_(X)sigma+bgrad_(Y)sigmaquad(X,Y inX(M),a,b inR,sigma inGamma^(oo)(E)) \nabla_{a X+b Y} \sigma=a \nabla_{X} \sigma+b \nabla_{Y} \sigma \quad\left(X, Y \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R}, \sigma \in \Gamma^{\infty}(E)\right) ∇ a X + b Y σ = a ∇ X σ + b ∇ Y σ ( X , Y ∈ X ( M ) , a , b ∈ R , σ ∈ Γ ∞ ( E ) ) ;
(ii)
∇
X
(
a
σ
1
+
b
σ
2
)
=
a
∇
X
σ
1
+
b
∇
X
σ
2
(
X
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
,
σ
1
,
σ
2
∈
∇
X
a
σ
1
+
b
σ
2
=
a
∇
X
σ
1
+
b
∇
X
σ
2
X
∈
X
(
M
)
,
a
,
b
∈
R
,
σ
1
,
σ
2
∈
grad_(X)(asigma_(1)+bsigma_(2))=agrad_(X)sigma_(1)+bgrad_(X)sigma_(2)quad(X inX(M),a,b inR,sigma_(1),sigma_(2)in:} \nabla_{X}\left(a \sigma_{1}+b \sigma_{2}\right)=a \nabla_{X} \sigma_{1}+b \nabla_{X} \sigma_{2} \quad\left(X \in \mathcal{X}(M), a, b \in \mathbb{R}, \sigma_{1}, \sigma_{2} \in\right. ∇ X ( a σ 1 + b σ 2 ) = a ∇ X σ 1 + b ∇ X σ 2 ( X ∈ X ( M ) , a , b ∈ R , σ 1 , σ 2 ∈
Γ
∞
(
E
)
)
Γ
∞
(
E
)
{:Gamma^(oo)(E)) \left.\Gamma^{\infty}(E)\right) Γ ∞ ( E ) ) ;
(iii)
∇
f
X
σ
=
f
∇
X
σ
(
X
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
,
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
)
∇
f
X
σ
=
f
∇
X
σ
X
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
,
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
grad_(fX)sigma=fgrad_(X)sigmaquad(X inX(M),f inC^(oo)(M),sigma inGamma^(oo)(E)) \nabla_{f X} \sigma=f \nabla_{X} \sigma \quad\left(X \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M), \sigma \in \Gamma^{\infty}(E)\right) ∇ f X σ = f ∇ X σ ( X ∈ X ( M ) , f ∈ C ∞ ( M ) , σ ∈ Γ ∞ ( E ) ) ;
(iv)
∇
X
(
f
σ
)
=
X
(
f
)
σ
+
f
∇
X
σ
(
X
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
,
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
)
∇
X
(
f
σ
)
=
X
(
f
)
σ
+
f
∇
X
σ
X
∈
X
(
M
)
,
f
∈
C
∞
(
M
)
,
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
grad_(X)(f sigma)=X(f)sigma+fgrad_(X)sigmaquad(X inX(M),f inC^(oo)(M),sigma inGamma^(oo)(E)) \nabla_{X}(f \sigma)=X(f) \sigma+f \nabla_{X} \sigma \quad\left(X \in \mathcal{X}(M), f \in C^{\infty}(M), \sigma \in \Gamma^{\infty}(E)\right) ∇ X ( f σ ) = X ( f ) σ + f ∇ X σ ( X ∈ X ( M ) , f ∈ C ∞ ( M ) , σ ∈ Γ ∞ ( E ) ) .
ここで,
∇
(
X
,
σ
)
∇
(
X
,
σ
)
grad(X,sigma) \nabla(X, \sigma) ∇ ( X , σ ) を
∇
X
σ
∇
X
σ
grad_(X)sigma \nabla_{X} \sigma ∇ X σ と表している.
v
∈
T
p
M
v
∈
T
p
M
v inT_(p)M \boldsymbol{v} \in T_{p} M v ∈ T p M に対し,
∇
v
σ
∈
E
p
∇
v
σ
∈
E
p
grad_(v)sigma inE_(p) \nabla_{\boldsymbol{v}} \sigma \in E_{p} ∇ v σ ∈ E p を
∇
v
σ
:=
(
∇
X
σ
)
p
(
X
∇
v
σ
:=
∇
X
σ
p
X
grad_(v)sigma:=(grad_(X)sigma)_(p)(X:} \nabla_{v} \sigma:=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \sigma\right)_{p}\left(\boldsymbol{X}\right. ∇ v σ := ( ∇ X σ ) p ( X は
X
p
=
v
X
p
=
v
X_(p)=v \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v} X p = v となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元
)
)
) ) ) にって定義する.
∇
v
σ
∇
v
σ
grad_(v)sigma \nabla_{v} \sigma ∇ v σ は well-defined, つまり,
v
v
v \boldsymbol{v} v の拡張
X
X
X \boldsymbol{X} X のとり方によらずに定まることが 示される。
M
M
M M M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドル
E
E
E E E の接続
∇
∇
grad \nabla ∇ の曲率テンソル場を 定義しよう.
R
p
:
T
p
M
×
T
p
M
×
E
p
→
E
p
R
p
:
T
p
M
×
T
p
M
×
E
p
→
E
p
R_(p):T_(p)M xxT_(p)M xxE_(p)rarrE_(p) R_{p}: T_{p} M \times T_{p} M \times E_{p} \rightarrow E_{p} R p : T p M × T p M × E p → E p を
R
p
(
v
1
,
v
2
,
ξ
)
:=
(
∇
X
1
(
∇
X
2
σ
)
−
∇
X
2
(
∇
X
1
σ
)
−
∇
[
X
1
,
X
2
]
σ
)
p
(
v
1
,
v
2
∈
T
p
M
,
ξ
∈
E
p
)
R
p
v
1
,
v
2
,
ξ
:=
∇
X
1
∇
X
2
σ
−
∇
X
2
∇
X
1
σ
−
∇
X
1
,
X
2
σ
p
v
1
,
v
2
∈
T
p
M
,
ξ
∈
E
p
{:[R_(p)(v_(1),v_(2),xi):=(grad_(X_(1))(grad_(X_(2))sigma)-grad_(X_(2))(grad_(X_(1))sigma)-grad_([X_(1),X_(2)])sigma)_(p)],[(v_(1),v_(2)inT_(p)M,xi inE_(p))]:} \begin{array}{r}
R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \xi\right):=\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}} \sigma\right)-\nabla_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\nabla_{\boldsymbol{X}_{1}} \sigma\right)-\nabla_{\left[\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right]} \sigma\right)_{p} \\
\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2} \in T_{p} M, \xi \in E_{p}\right)
\end{array} R p ( v 1 , v 2 , ξ ) := ( ∇ X 1 ( ∇ X 2 σ ) − ∇ X 2 ( ∇ X 1 σ ) − ∇ [ X 1 , X 2 ] σ ) p ( v 1 , v 2 ∈ T p M , ξ ∈ E p )
(其
(
i
=
1
,
2
)
(
i
=
1
,
2
)
(i=1,2) (i=1,2) ( i = 1 , 2 ) は
(
X
i
)
p
=
v
i
X
i
p
=
v
i
(X_(i))_(p)=v_(i) \left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{i} ( X i ) p = v i となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元,
σ
σ
sigma \sigma σ は
σ
(
p
)
=
ξ
σ
(
p
)
=
ξ
sigma(p)=xi \sigma(p)=\xi σ ( p ) = ξ となる
Γ
∞
(
E
)
Γ
∞
(
E
)
Gamma^(oo)(E) \Gamma^{\infty}(E) Γ ∞ ( E ) の元)によって定義する。
R
p
(
v
1
,
v
2
,
ξ
)
R
p
v
1
,
v
2
,
ξ
R_(p)(v_(1),v_(2),xi) R_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \xi\right) R p ( v 1 , v 2 , ξ ) はwell-defined, つまり,
v
1
v
1
v_(1) \boldsymbol{v}_{1} v 1 ,
v
2
v
2
v_(2) \boldsymbol{v}_{2} v 2 の拡張
X
1
,
X
2
X
1
,
X
2
X_(1),X_(2) \boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2} X 1 , X 2 と
ξ
ξ
xi \xi ξ の拡張
σ
σ
sigma \sigma σ のとり方によらずに定まることが示される.明らかに,
R
p
R
p
R_(p) R_{p} R p は多重線形, つまり, テンソル積空間
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
E
p
∗
⊗
E
p
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
E
p
∗
⊗
E
p
T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxE_(p)^(**)oxE_(p) T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes E_{p}^{*} \otimes E_{p} T p ∗ M ⊗ T p ∗ M ⊗ E p ∗ ⊗ E p の元であり, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
R
p
R
p
R_(p) R_{p} R p を対応させる対応
R
R
R R R はテンソル積バン ドル
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
E
∗
⊗
E
:=
⨿
p
∈
M
(
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
E
p
∗
⊗
E
p
)
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
E
∗
⊗
E
:=
⨿
p
∈
M
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
E
p
∗
⊗
E
p
T^(**)M oxT^(**)M oxE^(**)ox E:=⨿_(p in M)(T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxE_(p)^(**)oxE_(p)) T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E:=\underset{p \in M}{\amalg}\left(T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes E_{p}^{*} \otimes E_{p}\right) T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E := ⨿ p ∈ M ( T p ∗ M ⊗ T p ∗ M ⊗ E p ∗ ⊗ E p )
の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断を与えることが示される.
R
R
R R R を
∇
∇
grad \nabla ∇ の曲率テンソル場という. 以下,
R
p
(
v
1
,
v
2
,
ξ
)
R
p
v
1
,
v
2
,
ξ
R_(p)(v_(1),v_(2),xi) R_{p}\left(v_{1}, v_{2}, \xi\right) R p ( v 1 , v 2 , ξ ) を
R
p
(
v
1
,
v
2
)
ξ
R
p
v
1
,
v
2
ξ
R_(p)(v_(1),v_(2))xi R_{p}\left(v_{1}, v_{2}\right) \xi R p ( v 1 , v 2 ) ξ と表し,
R
(
X
1
,
X
2
,
σ
)
R
X
1
,
X
2
,
σ
R(X_(1),X_(2),sigma) R\left(X_{1}, X_{2}, \sigma\right) R ( X 1 , X 2 , σ ) を
R
(
X
1
,
X
2
)
σ
R
X
1
,
X
2
σ
R(X_(1),X_(2))sigma R\left(X_{1}, X_{2}\right) \sigma R ( X 1 , X 2 ) σ と表す.
注意
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
E
∗
⊗
E
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
E
∗
⊗
E
T^(**)M oxT^(**)M oxE^(**)ox E T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造が,
M
M
M M M の局所チャートと
T
∗
M
,
E
∗
T
∗
M
,
E
∗
T^(**)M,E^(**) T^{*} M, E^{*} T ∗ M , E ∗ ,
E
E
E E E の局所自明化写像を用いて自然に定義され,その
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造の下に, 自然な射影
π
:
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
E
∗
⊗
E
→
M
π
:
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
E
∗
⊗
E
→
M
pi:T^(**)M oxT^(**)M oxE^(**)ox E rarr M \pi: T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes E^{*} \otimes E \rightarrow M π : T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ∗ ⊗ E → M は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルになる.
E
→
π
M
~
E
→
π
M
~
Erarr"pi" widetilde(M) E \xrightarrow{\pi} \widetilde{M} E → π M ~ を階数
k
k
k k k の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 実ベクトルバンドルとし,
f
:
M
→
M
~
f
:
M
→
M
~
f:M rarr widetilde(M) f: M \rightarrow \widetilde{M} f : M → M ~ を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像とする.
f
∗
E
:=
⨿
p
∈
M
(
{
p
}
×
E
f
(
p
)
)
f
∗
E
:=
⨿
p
∈
M
{
p
}
×
E
f
(
p
)
f^(**)E:=⨿_(p in M)({p}xxE_(f(p))) f^{*} E:=\underset{p \in M}{\amalg}\left(\{p\} \times E_{f(p)}\right) f ∗ E := ⨿ p ∈ M ( { p } × E f ( p ) ) とおき,
π
f
:
f
∗
E
→
M
π
f
:
f
∗
E
→
M
pi^(f):f^(**)E rarr M \pi^{f}: f^{*} E \rightarrow M π f : f ∗ E → M を自然な射
影とする. このとき,
f
∗
E
f
∗
E
f^(**)E f^{*} E f ∗ E の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造が自然に定義され, その
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造の下 に,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルになる。この実ベクトルバンドル
f
∗
E
→
π
f
M
f
∗
E
→
π
f
M
f^(**)Erarr"pi^(f)"M f^{*} E \xrightarrow{\pi^{f}} M f ∗ E → π f M を、
E
E
E E E の
f
f
f f f にる誘導実ベクトルバンドル(induced real vector bundle) という.
f
∗
E
f
∗
E
f^(**)E f^{*} E f ∗ E の切断は,
{
p
}
×
E
f
(
p
)
{
p
}
×
E
f
(
p
)
{p}xxE_(f(p)) \{p\} \times E_{f(p)} { p } × E f ( p ) と
E
f
(
p
)
E
f
(
p
)
E_(f(p)) E_{f(p)} E f ( p ) の同一視の下, 各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
E
f
(
p
)
E
f
(
p
)
E_(f(p)) E_{f(p)} E f ( p ) の元を対応させる対応とみなせる. 特に,
f
∗
T
M
~
f
∗
T
M
~
f^(**)T widetilde(M) f^{*} T \widetilde{M} f ∗ T M ~ の切断, つま り, 各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
T
f
(
p
)
M
~
T
f
(
p
)
M
~
T_(f(p)) widetilde(M) T_{f(p)} \widetilde{M} T f ( p ) M ~ の元を対応させる対応を
f
f
f \boldsymbol{f} f に沿うべクトル場 という.
f
f
f f f に沿うベクトル場
X
X
X X X が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることは,
f
∗
T
M
~
f
∗
T
M
~
f^(**)T widetilde(M) f^{*} T \widetilde{M} f ∗ T M ~ の切断として
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であることで定められる.
m
:=
dim
M
~
m
:=
dim
M
~
m:=dim widetilde(M) m:=\operatorname{dim} \widetilde{M} m := dim M ~ とする.
X
X
X X X が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であるため の必要十分条件は, 任意の
p
0
∈
M
p
0
∈
M
p_(0)in M p_{0} \in M p 0 ∈ M と
f
(
p
0
)
f
p
0
f(p_(0)) f\left(p_{0}\right) f ( p 0 ) のまわりの
M
~
M
~
widetilde(M) \widetilde{M} M ~ の局所チャート
(
V
,
ψ
=
(
y
1
,
…
,
y
m
)
)
V
,
ψ
=
y
1
,
…
,
y
m
(V,psi=(y_(1),dots,y_(m))) \left(V, \psi=\left(y_{1}, \ldots, y_{m}\right)\right) ( V , ψ = ( y 1 , … , y m ) ) に対して,
X
p
=
∑
i
=
1
m
X
i
(
p
)
(
∂
∂
y
i
)
f
(
p
)
(
p
∈
f
−
1
(
V
)
)
X
p
=
∑
i
=
1
m
X
i
(
p
)
∂
∂
y
i
f
(
p
)
p
∈
f
−
1
(
V
)
X_(p)=sum_(i=1)^(m)X_(i)(p)((del)/(dely_(i)))_(f(p))(p inf^(-1)(V)) X_{p}=\sum_{i=1}^{m} X_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_{i}}\right)_{f(p)}\left(p \in f^{-1}(V)\right) X p = ∑ i = 1 m X i ( p ) ( ∂ ∂ y i ) f ( p ) ( p ∈ f − 1 ( V ) ) に よって定義される関数
X
i
:
f
−
1
(
V
)
→
R
(
i
=
1
,
…
,
m
)
X
i
:
f
−
1
(
V
)
→
R
(
i
=
1
,
…
,
m
)
X_(i):f^(-1)(V)rarrR(i=1,dots,m) X_{i}: f^{-1}(V) \rightarrow \mathbb{R}(i=1, \ldots, m) X i : f − 1 ( V ) → R ( i = 1 , … , m ) が
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級であること である.
f
f
f f f に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級べクトル場の全体
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
Γ
∞
f
∗
T
M
~
Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M))) \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) を
X
f
(
M
,
M
~
)
X
f
(
M
,
M
~
)
X_(f)(M, widetilde(M)) \mathcal{X}_{f}(M, \widetilde{M}) X f ( M , M ~ ) と表す.
∇
∇
grad \nabla ∇ を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 実ベクトルバンドル
E
→
π
M
~
E
→
π
M
~
Erarr"pi" widetilde(M) E \xrightarrow{\pi} \widetilde{M} E → π M ~ の接続とする。このとき,
f
∗
E
f
∗
E
f^(**)E f^{*} E f ∗ E の 接続
∇
f
∇
f
grad^(f) \nabla^{f} ∇ f で次の条件を満たすようなものがただ 1 つ存在する:
(*)
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
σ
∈
Γ
∞
(
E
)
sigma inGamma^(oo)(E) \sigma \in \Gamma^{\infty}(E) σ ∈ Γ ∞ ( E ) に対し,
σ
f
∈
Γ
∞
(
f
∗
E
)
σ
f
∈
Γ
∞
f
∗
E
sigma_(f)inGamma^(oo)(f^(**)E) \sigma_{f} \in \Gamma^{\infty}\left(f^{*} E\right) σ f ∈ Γ ∞ ( f ∗ E ) を
(
σ
f
)
p
:=
σ
f
(
p
)
(
p
∈
M
)
σ
f
p
:=
σ
f
(
p
)
(
p
∈
M
)
(sigma_(f))_(p):=sigma_(f(p))(p in M) \left(\sigma_{f}\right)_{p}:=\sigma_{f(p)}(p \in M) ( σ f ) p := σ f ( p ) ( p ∈ M ) によ って定義するとき, 任意の
X
∈
X
(
M
)
X
∈
X
(
M
)
X inX(M) \boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M) X ∈ X ( M ) に対し,
(
∇
X
f
σ
f
)
p
=
∇
d
f
p
(
X
p
)
σ
∇
X
f
σ
f
p
=
∇
d
f
p
X
p
σ
(grad_(X)^(f)sigma_(f))_(p)=grad_(df_(p)(X_(p)))sigma \left(\nabla_{X}^{f} \sigma_{f}\right)_{p}=\nabla_{d f_{p}\left(X_{p}\right)} \sigma ( ∇ X f σ f ) p = ∇ d f p ( X p ) σ
(
p
∈
M
)
(
p
∈
M
)
(p in M) (p \in M) ( p ∈ M ) が成り立つ.
この接続
∇
f
∇
f
grad^(f) \nabla^{f} ∇ f を
∇
f
∇
f
grad f \nabla f ∇ f による誘導接続(induced connection),または、引き戻し接続(pull-back connection)という.
特に,
∇
∇
grad \nabla ∇ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
M
~
c
:
[
a
,
b
]
→
M
~
c:[a,b]rarr widetilde(M) c:[a, b] \rightarrow \widetilde{M} c : [ a , b ] → M ~ による誘導接続
∇
c
∇
c
grad^(c) \nabla^{c} ∇ c に対し,
∇
d
d
t
c
∇
d
d
t
c
grad_((d)/(dt))^(c) \nabla_{\frac{d}{d t}}^{c} ∇ d d t c は 4.1 節で述べた
∇
c
′
∇
c
′
grad_(c^(')) \nabla_{c^{\prime}} ∇ c ′ と一致する.
σ
∈
Γ
∞
(
c
∗
E
)
σ
∈
Γ
∞
c
∗
E
sigma inGamma^(oo)(c^(**)E) \sigma \in \Gamma^{\infty}\left(c^{*} E\right) σ ∈ Γ ∞ ( c ∗ E ) に対し,
∇
c
′
σ
=
0
∇
c
′
σ
=
0
grad_(c^('))sigma=0 \nabla_{c^{\prime}} \sigma=\mathbf{0} ∇ c ′ σ = 0 が成り立つと き,
σ
σ
sigma \sigma σ を
c
c
c \boldsymbol{c} c に沿う
E
E
E \boldsymbol{E} E の平行切断(parallel section of
E
E
E \boldsymbol{E} E along
c
c
c \boldsymbol{c} c )という.定理 4.1.2 の (i) に類似して, 次の事実が示される。
定理 4.4.1
c
:
[
a
,
b
]
→
M
~
c
:
[
a
,
b
]
→
M
~
c:[a,b]rarr widetilde(M) c:[a, b] \rightarrow \widetilde{M} c : [ a , b ] → M ~ を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とする。各
ξ
∈
E
c
(
a
)
ξ
∈
E
c
(
a
)
xi inE_(c(a)) \xi \in E_{c(a)} ξ ∈ E c ( a ) に対し,
c
c
c c c に沿 う
E
E
E E E の平行切断
σ
σ
sigma \sigma σ で
σ
(
a
)
=
ξ
σ
(
a
)
=
ξ
sigma(a)=xi \sigma(a)=\xi σ ( a ) = ξ となるようなものが, ただ 1 つ存在する.
M
~
M
~
widetilde(M) \widetilde{M} M ~ 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
c
:
[
a
,
b
]
→
M
~
c
:
[
a
,
b
]
→
M
~
c:[a,b]rarr widetilde(M) c:[a, b] \rightarrow \widetilde{M} c : [ a , b ] → M ~ に対し,
E
c
(
a
)
E
c
(
a
)
E_(c(a)) E_{c(a)} E c ( a ) から
E
c
(
b
)
E
c
(
b
)
E_(c(b)) E_{c(b)} E c ( b ) への写像
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c を
P
c
(
ξ
)
:=
σ
(
b
)
(
ξ
∈
E
c
(
a
)
)
(
σ
:
σ
(
a
)
=
ξ
を満たす
c
に沿う平行切断
)
P
c
(
ξ
)
:=
σ
(
b
)
ξ
∈
E
c
(
a
)
(
σ
:
σ
(
a
)
=
ξ
を満たす
c
に沿う平行切断
)
{:[P_(c)(xi):=sigma(b)quad(xi inE_(c(a)))],[(sigma:sigma(a)=xi" を満たす "c" に沿う平行切断 ")]:} \begin{gathered}
P_{c}(\xi):=\sigma(b) \quad\left(\xi \in E_{c(a)}\right) \\
(\sigma: \sigma(a)=\xi \text { を満たす } c \text { に沿う平行切断 })
\end{gathered} を 満 た す に 沿 う 平 行 切 断 P c ( ξ ) := σ ( b ) ( ξ ∈ E c ( a ) ) ( σ : σ ( a ) = ξ を満たす c に沿う平行切断 )
によって定義する. この写像
P
c
P
c
P_(c) P_{c} P c を
∇
∇
grad \nabla ∇ に関する
c
c
c c c に沿う平行移動という.
4.5 測地変形とヤコビ場
この節において, リーマン多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の測地線に沿うヤコビ場を,あ る 2 階常微分方程式(ヤコビ方程式とよばれるもの)の解として定義し, 測地変形(測地線の滑らかな 1 パラメーター族)の変分ベクトル場がヤコビ場 であること,逆に,測地線に沿う任意のヤコビ場に対し,それを変分ベクト ル場にもつ測地変形が構成できることを説明する。このように,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の 測地線族の振る舞いは, ヤコビ場の振る舞いによって支配されることがわか る。一方, ヤコビ場の振る舞いは, ヤコビ方程式が曲率テンソル場を用いて定義されるため,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の曲率によって支配されることがわかる。したがって,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の測地線族の振る舞いは,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の曲率によって支配されることに なる.例えば,2次元リーマン多様体上の測地三角形の形状(例えば, 内角の 和)は,ヤコビ場の振る舞いを分析することにより,ある程度わかる。このよ うに,2.8 節で述べた曲面に対するガウス・ボンネの定理(局所版)から導か れる曲面上の測地三角形の内角の和に関する情報は, 実は, ヤコビ場の振る舞 いを分析することによってもある程度わかる。
注意この節で述べる内容は, より一般に, 抳れのないアフィン接続多様体上で 成り立つことを注意しておく。
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級リーマン多様体とし,
∇
,
R
∇
,
R
grad,R \nabla, R ∇ , R を各々,
g
g
g g g のリーマン接続, 曲率テンソル場とする。以下,
I
I
I I I は 0 を含む開区間とする。
γ
:
I
→
M
γ
:
I
→
M
gamma:I rarr M \gamma: I \rightarrow M γ : I → M を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の測地線とし,
Y
:
I
→
T
M
Y
:
I
→
T
M
Y:I rarr TM \boldsymbol{Y}: I \rightarrow T M Y : I → T M を
γ
γ
gamma \gamma γ に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトル場とする。簡単のた め,
∇
γ
′
Y
,
∇
γ
′
(
∇
γ
′
Y
)
∇
γ
′
Y
,
∇
γ
′
∇
γ
′
Y
grad_(gamma^('))Y,grad_(gamma^('))(grad_(gamma^('))Y) \nabla_{\gamma^{\prime}} \boldsymbol{Y}, \nabla_{\gamma^{\prime}}\left(\nabla_{\gamma^{\prime}} \boldsymbol{Y}\right) ∇ γ ′ Y , ∇ γ ′ ( ∇ γ ′ Y ) を各々,
Y
′
,
Y
′
′
Y
′
,
Y
′
′
Y^('),Y^('') \boldsymbol{Y}^{\prime}, \boldsymbol{Y}^{\prime \prime} Y ′ , Y ′ ′ と略記することにする。Yが 2 階常微分方程式
(4.5.1)
Y
′
′
(
s
)
+
R
γ
(
s
)
(
Y
(
s
)
,
γ
′
(
s
)
)
γ
′
(
s
)
=
0
(
s
∈
I
)
(4.5.1)
Y
′
′
(
s
)
+
R
γ
(
s
)
Y
(
s
)
,
γ
′
(
s
)
γ
′
(
s
)
=
0
(
s
∈
I
)
{:(4.5.1)Y^('')(s)+R_(gamma(s))(Y(s),gamma^(')(s))gamma^(')(s)=0quad(s in I):} \begin{equation*}
\boldsymbol{Y}^{\prime \prime}(s)+R_{\gamma(s)}\left(\boldsymbol{Y}(s), \gamma^{\prime}(s)\right) \gamma^{\prime}(s)=0 \quad(s \in I) \tag{4.5.1}
\end{equation*} (4.5.1) Y ′ ′ ( s ) + R γ ( s ) ( Y ( s ) , γ ′ ( s ) ) γ ′ ( s ) = 0 ( s ∈ I )
を満たすとき,
Y
Y
Y Y Y を
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場(Jacobi field)という. また, 式
(4.5.1) はヤコビ方程式(Jacobi equation)とよばれる.
γ
:
I
→
M
γ
:
I
→
M
gamma:I rarr M \gamma: I \rightarrow M γ : I → M を測地線とし,
{
γ
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
γ
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の
I
I
I I I を定義域とする測地線の 1 パラメーター族で, 次の 2 条件を満たすようなものとする:
(i)
δ
(
s
,
t
)
:=
γ
t
(
s
)
(
(
s
,
t
)
∈
I
×
(
−
ε
,
ε
)
)
δ
(
s
,
t
)
:=
γ
t
(
s
)
(
(
s
,
t
)
∈
I
×
(
−
ε
,
ε
)
)
delta(s,t):=gamma_(t)(s)quad((s,t)in I xx(-epsi,epsi)) \delta(s, t):=\gamma_{t}(s) \quad((s, t) \in I \times(-\varepsilon, \varepsilon)) δ ( s , t ) := γ t ( s ) ( ( s , t ) ∈ I × ( − ε , ε ) ) によって定義される写像
δ
δ
delta \delta δ :
I
×
(
−
ε
,
ε
)
→
M
I
×
(
−
ε
,
ε
)
→
M
I xx(-epsi,epsi)rarr M I \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M I × ( − ε , ε ) → M は,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像である;
(ii)
γ
0
=
γ
γ
0
=
γ
gamma_(0)=gamma \gamma_{0}=\gamma γ 0 = γ .
このような族
{
γ
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
γ
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) を
γ
γ
gamma \gamma γ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の測地変形 (geodesic deformation)といい,
s
↦
d
δ
(
s
,
0
)
(
(
∂
∂
t
)
|
(
s
,
0
)
)
s
↦
d
δ
(
s
,
0
)
∂
∂
t
(
s
,
0
)
s|->ddelta_((s,0))(((del)/(del t))|_((s,0))) s \mapsto d \delta_{(s, 0)}\left(\left.\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right|_{(s, 0)}\right) s ↦ d δ ( s , 0 ) ( ( ∂ ∂ t ) | ( s , 0 ) ) をその変分ベクトル場という.
命題 4.5.1 測地線
γ
γ
gamma \gamma γ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の測地変形の変分べクトル場は
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコ ビ場になり, 逆に, 測地線
γ
γ
gamma \gamma γ に沿う任意のヤコビ場に対し, それを変分べク トル場とする
γ
γ
gamma \gamma γ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の測地変形が存在する.
証明
δ
=
{
γ
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
γ
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の測地線
γ
:
I
→
M
γ
:
I
→
M
gamma:I rarr M \gamma: I \rightarrow M γ : I → M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の測地変形とし,その変分ベクトル場を
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y とする。
δ
δ
delta \delta δ は測地変形なので,
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
(
∂
∂
s
)
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
∂
∂
s
grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del s)) \nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right) ∇ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ s )
=
0
=
0
=0 =0 = 0 が成り立つ. ここで,
∇
δ
∇
δ
grad^(delta) \nabla^{\delta} ∇ δ は
∇
∇
grad \nabla ∇ の
δ
δ
delta \delta δ に誘導接続を表す.
∇
∇
grad \nabla ∇ が抳れ 0 であることと
[
∂
∂
s
,
∂
∂
t
]
=
0
∂
∂
s
,
∂
∂
t
=
0
[(del)/(del s),(del)/(del t)]=0 \left[\frac{\partial}{\partial s}, \frac{\partial}{\partial t}\right]=0 [ ∂ ∂ s , ∂ ∂ t ] = 0 より,
(4.5.2)
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
(
∂
∂
t
)
=
∇
∂
∂
t
δ
d
δ
(
∂
∂
s
)
(4.5.2)
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
∂
∂
t
=
∇
∂
∂
t
δ
d
δ
∂
∂
s
{:(4.5.2)grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t))=grad_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)):} \begin{equation*}
\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)=\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right) \tag{4.5.2}
\end{equation*} (4.5.2) ∇ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ t ) = ∇ ∂ ∂ t δ d δ ( ∂ ∂ s )
が示される。
Y
′
′
Y
′
′
Y^('') \boldsymbol{Y}^{\prime \prime} Y ′ ′ を計算しよう. 式 (4.5.2) と曲率テンソル場
R
R
R R R の定義から,
Y
′
′
(
s
)
=
(
∇
∂
∂
s
δ
(
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
(
∂
∂
t
)
)
)
(
s
,
0
)
=
(
∇
∂
∂
s
δ
(
∇
∂
∂
t
δ
d
δ
(
∂
∂
s
)
)
)
(
s
,
0
)
=
(
∇
∂
∂
t
δ
(
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
(
∂
∂
s
)
)
)
(
s
,
0
)
+
R
γ
(
s
)
(
d
δ
(
s
,
0
)
(
(
∂
∂
s
)
(
s
,
0
)
)
,
d
δ
(
s
,
0
)
(
(
∂
∂
t
)
(
s
,
0
)
)
)
d
δ
(
s
,
0
)
(
(
∂
∂
s
)
(
s
,
0
)
)
=
−
R
γ
(
s
)
(
Y
(
s
)
,
γ
′
(
s
)
)
γ
′
(
s
)
Y
′
′
(
s
)
=
∇
∂
∂
s
δ
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
∂
∂
t
(
s
,
0
)
=
∇
∂
∂
s
δ
∇
∂
∂
t
δ
d
δ
∂
∂
s
(
s
,
0
)
=
∇
∂
∂
t
δ
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
∂
∂
s
(
s
,
0
)
+
R
γ
(
s
)
d
δ
(
s
,
0
)
∂
∂
s
(
s
,
0
)
,
d
δ
(
s
,
0
)
∂
∂
t
(
s
,
0
)
d
δ
(
s
,
0
)
∂
∂
s
(
s
,
0
)
=
−
R
γ
(
s
)
Y
(
s
)
,
γ
′
(
s
)
γ
′
(
s
)
{:[Y^('')(s)=(grad_((del)/(del s))^(delta)(grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t))))_((s,0))=(grad_((del)/(del s))^(delta)(grad_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s))))_((s,0))],[=(grad_((del)/(del t))^(delta)(grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del s))))_((s,0))],[+R_(gamma(s))(ddelta_((s,0))(((del)/(del s))_((s,0))),ddelta_((s,0))(((del)/(del t))_((s,0))))ddelta_((s,0))(((del)/(del s))_((s,0)))],[=-R_(gamma(s))(Y(s),gamma^(')(s))gamma^(')(s)]:} \begin{aligned}
\boldsymbol{Y}^{\prime \prime}(s)= & \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)_{(s, 0)}=\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)\right)_{(s, 0)} \\
= & \left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)\right)_{(s, 0)} \\
& +R_{\gamma(s)}\left(d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)_{(s, 0)}\right), d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{(s, 0)}\right)\right) d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)_{(s, 0)}\right) \\
= & -R_{\gamma(s)}\left(\boldsymbol{Y}(s), \gamma^{\prime}(s)\right) \gamma^{\prime}(s)
\end{aligned} Y ′ ′ ( s ) = ( ∇ ∂ ∂ s δ ( ∇ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ t ) ) ) ( s , 0 ) = ( ∇ ∂ ∂ s δ ( ∇ ∂ ∂ t δ d δ ( ∂ ∂ s ) ) ) ( s , 0 ) = ( ∇ ∂ ∂ t δ ( ∇ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ s ) ) ) ( s , 0 ) + R γ ( s ) ( d δ ( s , 0 ) ( ( ∂ ∂ s ) ( s , 0 ) ) , d δ ( s , 0 ) ( ( ∂ ∂ t ) ( s , 0 ) ) ) d δ ( s , 0 ) ( ( ∂ ∂ s ) ( s , 0 ) ) = − R γ ( s ) ( Y ( s ) , γ ′ ( s ) ) γ ′ ( s )
が導かれる。こように,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y がヤコビ方程式 (4.5.1)を満たすこと,つまり、
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場であることが示される.
Y
:
Y
(
0
)
=
0
,
Y
′
(
0
)
≠
0
となるヤコビ場
∇
α
′
Z
|
t
=
0
=
d
Z
d
t
|
t
=
0
=
Y
′
(
0
)
Y
:
Y
(
0
)
=
0
,
Y
′
(
0
)
≠
0
となるヤコビ場
∇
α
′
Z
t
=
0
=
d
Z
d
t
t
=
0
=
Y
′
(
0
)
{:[Y:Y(0)=0","Y^(')(0)!=0" となるヤコビ場 "],[grad_(alpha^('))Z|_(t=0)=(dZ)/(dt)|_(t=0)=Y^(')(0)]:} \begin{gathered}
\boldsymbol{Y}: \boldsymbol{Y}(0)=0, \boldsymbol{Y}^{\prime}(0) \neq 0 \text { となるヤコビ場 } \\
\left.\nabla_{\alpha^{\prime}} \boldsymbol{Z}\right|_{t=0}=\left.\frac{d \boldsymbol{Z}}{d t}\right|_{t=0}=\boldsymbol{Y}^{\prime}(0)
\end{gathered} と な る ヤ コ ビ 場 Y : Y ( 0 ) = 0 , Y ′ ( 0 ) ≠ 0 となるヤコビ場 ∇ α ′ Z | t = 0 = d Z d t | t = 0 = Y ′ ( 0 )
図 4.5.1 ヤコビ場から測地変形を構成する方法(例 1 )
次に,逆を示す.
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y を
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場とする.
α
′
(
0
)
=
Y
(
0
)
α
′
(
0
)
=
Y
(
0
)
alpha^(')(0)=Y(0) \alpha^{\prime}(0)=\boldsymbol{Y}(0) α ′ ( 0 ) = Y ( 0 ) となる
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
α
:
(
−
ε
,
ε
)
→
M
α
:
(
−
ε
,
ε
)
→
M
alpha:(-epsi,epsi)rarr M \alpha:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M α : ( − ε , ε ) → M をとり,
Z
:
(
−
ε
,
ε
)
→
T
M
Z
:
(
−
ε
,
ε
)
→
T
M
Z:(-epsi,epsi)rarr TM \boldsymbol{Z}:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow T M Z : ( − ε , ε ) → T M を
Z
(
0
)
=
γ
′
(
0
)
,
(
∇
α
′
Z
)
0
Z
(
0
)
=
γ
′
(
0
)
,
∇
α
′
Z
0
Z(0)=gamma^(')(0),(grad_(alpha^('))Z)_(0) \boldsymbol{Z}(0)=\gamma^{\prime}(0),\left(\nabla_{\alpha^{\prime}} \boldsymbol{Z}\right)_{0} Z ( 0 ) = γ ′ ( 0 ) , ( ∇ α ′ Z ) 0
=
Y
′
(
0
)
=
Y
′
(
0
)
=Y^(')(0) =\boldsymbol{Y}^{\prime}(0) = Y ′ ( 0 ) を満たす
α
α
alpha \alpha α に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトル場とする. このベクトル場
Z
Z
Z \boldsymbol{Z} Z を用い て,
I
I
I I I を定義域とする測地線の 1 パラメーター族
{
γ
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
γ
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) を
γ
t
(
s
)
:=
exp
α
(
t
)
(
s
Z
(
t
)
)
(
s
∈
I
)
γ
t
(
s
)
:=
exp
α
(
t
)
(
s
Z
(
t
)
)
(
s
∈
I
)
gamma_(t)(s):=exp_(alpha(t))(sZ(t))quad(s in I) \gamma_{t}(s):=\exp _{\alpha(t)}(s \boldsymbol{Z}(t)) \quad(s \in I) γ t ( s ) := exp α ( t ) ( s Z ( t ) ) ( s ∈ I )
によって定義し(図 4.5.1, 4.5.2を参照),
δ
:
I
×
(
−
ε
,
ε
)
→
M
δ
:
I
×
(
−
ε
,
ε
)
→
M
delta:I xx(-epsi,epsi)rarr M \delta: I \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M δ : I × ( − ε , ε ) → M を
δ
(
s
,
t
)
:=
δ
(
s
,
t
)
:=
delta(s,t):= \delta(s, t):= δ ( s , t ) :=
γ
t
(
s
)
γ
t
(
s
)
gamma_(t)(s) \gamma_{t}(s) γ t ( s ) により定義する。明らかに,
δ
=
{
γ
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
γ
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) は
γ
γ
gamma \gamma γ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の測地変形 を与える。それゆえ,
δ
δ
delta \delta δ の変分ベクトル場
Y
^
(
s
)
:=
d
δ
(
s
,
0
)
(
(
∂
∂
t
)
(
s
,
0
)
)
Y
^
(
s
)
:=
d
δ
(
s
,
0
)
∂
∂
t
(
s
,
0
)
widehat(Y)(s):=ddelta_((s,0))(((del)/(del t))_((s,0))) \widehat{\boldsymbol{Y}}(s):=d \delta_{(s, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{(s, 0)}\right) Y ^ ( s ) := d δ ( s , 0 ) ( ( ∂ ∂ t ) ( s , 0 ) ) は、
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場になる。一方,
Y
^
(
0
)
=
Y
(
0
)
Y
^
(
0
)
=
Y
(
0
)
widehat(Y)(0)=Y(0) \widehat{\boldsymbol{Y}}(0)=\boldsymbol{Y}(0) Y ^ ( 0 ) = Y ( 0 ) , および
Y
^
′
(
0
)
=
(
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
(
∂
∂
t
)
)
(
0
,
0
)
=
(
∇
∂
∂
t
δ
d
δ
(
∂
∂
s
)
)
(
0
,
0
)
=
(
∇
α
′
Z
)
0
=
Y
′
(
0
)
Y
^
′
(
0
)
=
∇
∂
∂
s
δ
d
δ
∂
∂
t
(
0
,
0
)
=
∇
∂
∂
t
δ
d
δ
∂
∂
s
(
0
,
0
)
=
∇
α
′
Z
0
=
Y
′
(
0
)
{:[ widehat(Y)^(')(0)=(grad_((del)/(del s))^(delta)d delta((del)/(del t)))_((0,0))=(grad_((del)/(del t))^(delta)d delta((del)/(del s)))_((0,0))],[=(grad_(alpha^('))Z)_(0)=Y^(')(0)]:} \begin{aligned}
\widehat{\boldsymbol{Y}}^{\prime}(0)=\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial s}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)_{(0,0)} & =\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}}^{\delta} d \delta\left(\frac{\partial}{\partial s}\right)\right)_{(0,0)} \\
& =\left(\nabla_{\alpha^{\prime}} \boldsymbol{Z}\right)_{0}=\boldsymbol{Y}^{\prime}(0)
\end{aligned} Y ^ ′ ( 0 ) = ( ∇ ∂ ∂ s δ d δ ( ∂ ∂ t ) ) ( 0 , 0 ) = ( ∇ ∂ ∂ t δ d δ ( ∂ ∂ s ) ) ( 0 , 0 ) = ( ∇ α ′ Z ) 0 = Y ′ ( 0 )
をえる. このように,
Y
,
Y
^
Y
,
Y
^
Y, widehat(Y) \boldsymbol{Y}, \widehat{\boldsymbol{Y}} Y , Y ^ は共にヤコビ方程式(これは, 2 階正規型常微分方程式)の解であり,
Y
(
0
)
=
Y
^
(
0
)
,
Y
′
(
0
)
=
Y
^
′
(
0
)
Y
(
0
)
=
Y
^
(
0
)
,
Y
′
(
0
)
=
Y
^
′
(
0
)
Y(0)= widehat(Y)(0),Y^(')(0)= widehat(Y)^(')(0) \boldsymbol{Y}(0)=\widehat{\boldsymbol{Y}}(0), \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)=\widehat{\boldsymbol{Y}}^{\prime}(0) Y ( 0 ) = Y ^ ( 0 ) , Y ′ ( 0 ) = Y ^ ′ ( 0 ) が成り立つので, 2 階正規型常微分方程式の解の一意性定理によりそれらは一致する.したがって,
図 4.5.2 ヤコビ場から測地変形を構成する方法(例 2 )
δ
=
{
γ
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
δ
=
γ
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
delta={gamma_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \delta=\left\{\gamma_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} δ = { γ t } t ∈ ( − ε , ε ) は,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y を変分ベクトル場にもつ
γ
γ
gamma \gamma γ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の測地変形であ る.
例 4.5.1
n
n
n n n 次元ユークリッド空間
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n におけるヤコビ場の振る舞いをみよう.
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n は平坦, つまり
R
=
0
R
=
0
R=0 R=0 R = 0 なので, ヤコビ方程式は
Y
′
′
=
0
Y
′
′
=
0
Y^('')=0 \boldsymbol{Y}^{\prime \prime}=0 Y ′ ′ = 0 となり,
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n 上の 測地線
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y は次のように記述される:
Y
(
s
)
=
P
γ
∣
[
0
,
s
]
(
Y
(
0
)
+
s
Y
′
(
0
)
)
Y
(
s
)
=
P
γ
∣
[
0
,
s
]
Y
(
0
)
+
s
Y
′
(
0
)
Y(s)=P_(gamma∣[0,s])(Y(0)+sY^(')(0)) \boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma \mid[0, s]}\left(\boldsymbol{Y}(0)+s \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right) Y ( s ) = P γ ∣ [ 0 , s ] ( Y ( 0 ) + s Y ′ ( 0 ) )
Y
(
s
)
=
P
γ
∣
[
0
,
s
]
(
Y
(
0
)
+
s
Y
′
(
0
)
)
Y
(
s
)
=
P
γ
∣
[
0
,
s
]
Y
(
0
)
+
s
Y
′
(
0
)
Y(s)=P_(gamma∣[0,s])(Y(0)+sY^(')(0)) \boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma \mid[0, s]}\left(\boldsymbol{Y}(0)+s \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right) Y ( s ) = P γ ∣ [ 0 , s ] ( Y ( 0 ) + s Y ′ ( 0 ) )
Y
1
:
Y
1
(
0
)
=
0
,
Y
1
′
(
0
)
≠
0
となるヤコビ場
Y
2
:
Y
2
(
0
)
≠
0
,
Y
2
′
(
0
)
=
0
となるヤコビ場
Y
1
:
Y
1
(
0
)
=
0
,
Y
1
′
(
0
)
≠
0
となるヤコビ場
Y
2
:
Y
2
(
0
)
≠
0
,
Y
2
′
(
0
)
=
0
となるヤコビ場
{:[Y_(1):Y_(1)(0)=0","Y_(1)^(')(0)!=0" となるヤコビ場 "],[Y_(2):Y_(2)(0)!=0","Y_(2)^(')(0)=0" となるヤコビ場 "]:} \begin{aligned}
& \boldsymbol{Y}_{1}: \boldsymbol{Y}_{1}(0)=0, \boldsymbol{Y}_{1}^{\prime}(0) \neq 0 \text { となるヤコビ場 } \\
& \boldsymbol{Y}_{2}: \boldsymbol{Y}_{2}(0) \neq 0, \boldsymbol{Y}_{2}^{\prime}(0)=0 \text { となるヤコビ場 }
\end{aligned} と な る ヤ コ ビ 場 と な る ヤ コ ビ 場 Y 1 : Y 1 ( 0 ) = 0 , Y 1 ′ ( 0 ) ≠ 0 となるヤコビ場 Y 2 : Y 2 ( 0 ) ≠ 0 , Y 2 ′ ( 0 ) = 0 となるヤコビ場
図 4.5.3
E
n
E
n
E^(n) \mathbb{E}^{n} E n におけるヤコビ場
例 4.5.2
n
n
n n n 次元単位球面
(
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
)
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
(S^(n)(r),g_(S,r)) \left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right) ( S n ( r ) , g S , r ) におけるヤコビ場の振る舞いをみよ う.
(
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
)
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
(S^(n)(r),g_(S,r)) \left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right) ( S n ( r ) , g S , r ) は一定の断面曲率
1
r
2
1
r
2
(1)/(r^(2)) \frac{1}{r^{2}} 1 r 2 をもつので, 命題4.3.2により,
Y
1
:
Y
1
(
0
)
=
0
,
Y
1
′
(
0
)
≠
0
となるヤコビ場
Y
2
:
Y
2
(
0
)
≠
0
,
Y
2
′
(
0
)
=
0
となるヤコビ場
Y
1
:
Y
1
(
0
)
=
0
,
Y
1
′
(
0
)
≠
0
となるヤコビ場
Y
2
:
Y
2
(
0
)
≠
0
,
Y
2
′
(
0
)
=
0
となるヤコビ場
{:[Y_(1):Y_(1)(0)=0","Y_(1)^(')(0)!=0" となるヤコビ場 "],[Y_(2):Y_(2)(0)!=0","Y_(2)^(')(0)=0" となるヤコビ場 "]:} \begin{aligned}
& \boldsymbol{Y}_{1}: \boldsymbol{Y}_{1}(0)=0, \boldsymbol{Y}_{1}^{\prime}(0) \neq 0 \text { となるヤコビ場 } \\
& \boldsymbol{Y}_{2}: \boldsymbol{Y}_{2}(0) \neq 0, \boldsymbol{Y}_{2}^{\prime}(0)=0 \text { となるヤコビ場 }
\end{aligned} と な る ヤ コ ビ 場 と な る ヤ コ ビ 場 Y 1 : Y 1 ( 0 ) = 0 , Y 1 ′ ( 0 ) ≠ 0 となるヤコビ場 Y 2 : Y 2 ( 0 ) ≠ 0 , Y 2 ′ ( 0 ) = 0 となるヤコビ場
図 4.5.4
S
n
(
r
)
S
n
(
r
)
S^(n)(r) S^{n}(r) S n ( r ) におけるヤコビ場
R
(
X
1
,
X
2
)
X
3
=
1
r
2
(
g
(
X
2
,
X
3
)
X
1
−
g
(
X
1
,
X
3
)
X
2
)
(
X
1
,
X
2
,
X
3
∈
X
(
M
)
)
R
X
1
,
X
2
X
3
=
1
r
2
g
X
2
,
X
3
X
1
−
g
X
1
,
X
3
X
2
X
1
,
X
2
,
X
3
∈
X
(
M
)
{:[R(X_(1),X_(2))X_(3)=(1)/(r^(2))(g(X_(2),X_(3))X_(1)-g(X_(1),X_(3))X_(2))],[(X_(1),X_(2),X_(3)inX(M))]:} \begin{array}{r}
R\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right) \boldsymbol{X}_{3}=\frac{1}{r^{2}}\left(g\left(\boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{1}-g\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{2}\right) \\
\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3} \in \mathcal{X}(M)\right)
\end{array} R ( X 1 , X 2 ) X 3 = 1 r 2 ( g ( X 2 , X 3 ) X 1 − g ( X 1 , X 3 ) X 2 ) ( X 1 , X 2 , X 3 ∈ X ( M ) )
が成り立ち, また,
∇
R
=
0
∇
R
=
0
grad R=0 \nabla R=\mathbf{0} ∇ R = 0 が示されるので,
(
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
)
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
(S^(n)(r),g_(S,r)) \left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right) ( S n ( r ) , g S , r ) 上の速さ
a
a
a a a の測地線
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y が
g
(
Y
,
γ
′
)
=
0
g
Y
,
γ
′
=
0
g(Y,gamma^('))=0 g\left(\boldsymbol{Y}, \gamma^{\prime}\right)=0 g ( Y , γ ′ ) = 0 を満たす場合,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y は
(4.5.3)
Y
′
′
+
a
2
r
2
⋅
Y
=
0
(4.5.3)
Y
′
′
+
a
2
r
2
⋅
Y
=
0
{:(4.5.3)Y^('')+(a^(2))/(r^(2))*Y=0:} \begin{equation*}
\boldsymbol{Y}^{\prime \prime}+\frac{a^{2}}{r^{2}} \cdot \boldsymbol{Y}=0 \tag{4.5.3}
\end{equation*} (4.5.3) Y ′ ′ + a 2 r 2 ⋅ Y = 0
を満たす。式 (4.5.3) を解いて,
Y
(
s
)
=
P
γ
[
0
,
s
]
(
cos
a
s
r
Y
(
0
)
+
r
a
⋅
sin
a
s
r
Y
′
(
0
)
)
Y
(
s
)
=
P
γ
[
0
,
s
]
cos
a
s
r
Y
(
0
)
+
r
a
⋅
sin
a
s
r
Y
′
(
0
)
Y(s)=P_(gamma_([0,s]))(cos((as)/(r)Y)(0)+(r)/(a)*sin((as)/(r)Y^('))(0)) \boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma_{[0, s]}}\left(\cos \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}(0)+\frac{r}{a} \cdot \sin \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right) Y ( s ) = P γ [ 0 , s ] ( cos a s r Y ( 0 ) + r a ⋅ sin a s r Y ′ ( 0 ) )
をえる。それゆえ,
(
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
)
S
n
(
r
)
,
g
S
,
r
(S^(n)(r),g_(S,r)) \left(S^{n}(r), g_{\mathbb{S}, r}\right) ( S n ( r ) , g S , r ) 上の測地線に沿うヤコビ場の振る舞いは, 図 4.5.4のようになる.
例 4.5.3
n
n
n n n 次元双曲空間
(
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
)
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
(H^(n)(-r),g_(H,r)) \left(H^{n}(-r), g_{\mathbb{H}, r}\right) ( H n ( − r ) , g H , r ) におけるヤコビ場の振る舞いをみよ う. このとき, 一定の断面曲率
−
1
r
2
−
1
r
2
-(1)/(r^(2)) -\frac{1}{r^{2}} − 1 r 2 をもつので, 命題 4.3 .2 により
R
(
X
1
,
X
2
)
X
3
=
−
1
r
2
(
g
(
X
2
,
X
3
)
X
1
−
g
(
X
1
,
X
3
)
X
2
)
R
X
1
,
X
2
X
3
=
−
1
r
2
g
X
2
,
X
3
X
1
−
g
X
1
,
X
3
X
2
R(X_(1),X_(2))X_(3)=-(1)/(r^(2))(g(X_(2),X_(3))X_(1)-g(X_(1),X_(3))X_(2)) R\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right) \boldsymbol{X}_{3}=-\frac{1}{r^{2}}\left(g\left(\boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{1}-g\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{3}\right) \boldsymbol{X}_{2}\right) R ( X 1 , X 2 ) X 3 = − 1 r 2 ( g ( X 2 , X 3 ) X 1 − g ( X 1 , X 3 ) X 2 )
(
X
1
,
X
2
,
X
3
∈
X
(
M
)
)
X
1
,
X
2
,
X
3
∈
X
(
M
)
(X_(1),X_(2),X_(3)inX(M)) \left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3} \in \mathcal{X}(M)\right) ( X 1 , X 2 , X 3 ∈ X ( M ) )
が成り立ち, また
∇
R
=
0
∇
R
=
0
grad R=0 \nabla R=\mathbf{0} ∇ R = 0 が示されるので,
(
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
)
H
n
(
−
r
)
,
g
H
,
r
(H^(n)(-r),g_(H,r)) \left(H^{n}(-r), g_{H, r}\right) ( H n ( − r ) , g H , r ) 上の速さ
a
a
a a a の測地線
γ
γ
gamma \gamma γ に沿うヤコビ場
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y が
g
(
Y
,
γ
′
)
=
0
g
Y
,
γ
′
=
0
g(Y,gamma^('))=0 g\left(\boldsymbol{Y}, \gamma^{\prime}\right)=0 g ( Y , γ ′ ) = 0 を満たす場合,
Y
Y
Y \boldsymbol{Y} Y は
図 4.5.5
H
2
(
−
r
)
H
2
(
−
r
)
H^(2)(-r) H^{2}(-r) H 2 ( − r ) におけるヤコビ場
(4.5.4)
Y
′
′
−
a
2
r
2
⋅
Y
=
0
(4.5.4)
Y
′
′
−
a
2
r
2
⋅
Y
=
0
{:(4.5.4)Y^('')-(a^(2))/(r^(2))*Y=0:} \begin{equation*}
\boldsymbol{Y}^{\prime \prime}-\frac{a^{2}}{r^{2}} \cdot \boldsymbol{Y}=0 \tag{4.5.4}
\end{equation*} (4.5.4) Y ′ ′ − a 2 r 2 ⋅ Y = 0
を満たす.式(4.5.4)を解いて,
Y
(
s
)
=
P
γ
[
0
,
a
]
(
cosh
a
s
r
Y
(
0
)
+
r
a
⋅
sinh
a
s
r
Y
′
(
0
)
)
Y
(
s
)
=
P
γ
[
0
,
a
]
cosh
a
s
r
Y
(
0
)
+
r
a
⋅
sinh
a
s
r
Y
′
(
0
)
Y(s)=P_(gamma_([0,a]))(cosh((as)/(r)Y)(0)+(r)/(a)*sinh((as)/(r)Y^('))(0)) \boldsymbol{Y}(s)=P_{\gamma_{[0, a]}}\left(\cosh \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}(0)+\frac{r}{a} \cdot \sinh \frac{a s}{r} \boldsymbol{Y}^{\prime}(0)\right) Y ( s ) = P γ [ 0 , a ] ( cosh a s r Y ( 0 ) + r a ⋅ sinh a s r Y ′ ( 0 ) )
をえる. それゆえ,
H
n
(
−
r
)
H
n
(
−
r
)
H^(n)(-r) H^{n}(-r) H n ( − r ) 上の測地線に沿うヤコビ場の振る舞いは, 図 4.5.5 のようになる.
以上述べた 3 つの例からわかるように, 例えば, 曲面をはじめとする 2 次元リーマン多様体上の測地三角形の内角の和の大きさは, その上のヤコビ場を 分析することによっても、ある程度わかることを認識してもらえるであろう.
4.6 リーマン部分多様体論
この節において, 第 2 章で述べたユークリッド空間内の超曲面論の一般理論であるリーマン部分多様体論について述べることにする.
f
f
f f f を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M から
(
n
+
k
)
(
n
+
k
)
(n+k) (n+k) ( n + k ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込みと し, 誘導リーマン計量
f
∗
g
~
f
∗
g
~
f^(**) widetilde(g) f^{*} \widetilde{g} f ∗ g ~ を
g
g
g g g と表す。
∇
,
∇
~
∇
,
∇
~
grad, widetilde(grad) \nabla, \widetilde{\nabla} ∇ , ∇ ~ を各々,
g
,
g
~
g
,
g
~
g, widetilde(g) g, \widetilde{g} g , g ~ のリーマン接続と する.
(
T
f
(
p
)
M
~
,
g
~
f
(
p
)
)
T
f
(
p
)
M
~
,
g
~
f
(
p
)
(T_(f(p))( widetilde(M)), widetilde(g)_(f(p))) \left(T_{f(p)} \widetilde{M}, \widetilde{g}_{f(p)}\right) ( T f ( p ) M ~ , g ~ f ( p ) ) の部分ベクトル空間
d
f
p
(
T
p
M
)
d
f
p
T
p
M
df_(p)(T_(p)M) d f_{p}\left(T_{p} M\right) d f p ( T p M ) の直交補空間
d
f
p
(
T
p
M
)
⊥
d
f
p
T
p
M
⊥
df_(p)(T_(p)M)^(_|_) d f_{p}\left(T_{p} M\right)^{\perp} d f p ( T p M ) ⊥ を, リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f ) の点
p
p
p p p における法空間といい,
T
p
⊥
M
T
p
⊥
M
T_(p)^(_|_)M T_{p}^{\perp} M T p ⊥ M と表す。 また,
T
p
⊥
M
T
p
⊥
M
T_(p)^(_|_)M T_{p}^{\perp} M T p ⊥ M の各元を, リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または f)の点
p
p
p p p における法ベクトルという.
T
⊥
M
:=
⨿
p
∈
M
T
p
⊥
M
T
⊥
M
:=
⨿
p
∈
M
T
p
⊥
M
T^(_|_)M:=⨿_(p in M)T_(p)^(_|_)M T^{\perp} M:=\underset{p \in M}{\amalg} T_{p}^{\perp} M T ⊥ M := ⨿ p ∈ M T p ⊥ M には, 自然な方
法で
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造が定義され, 自然な射影
π
:
T
⊥
M
→
M
π
:
T
⊥
M
→
M
pi:T^(_|_)M rarr M \pi: T^{\perp} M \rightarrow M π : T ⊥ M → M は,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトルバ ンドルになる. この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトルバンドルを
f
f
f f f の法ベクトルバンドル(normal vector bundle) という。
T
⊥
M
T
⊥
M
T^(_|_)M T^{\perp} M T ⊥ M の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級切断を, リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f ) の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 法ベクトル場(
C
r
−
C
r
−
C^(r)- C^{r}- C r − normal vector field)とい い,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級法べクトル場の全体を
X
⊥
(
M
)
X
⊥
(
M
)
X^(_|_)(M) \mathcal{X}^{\perp}(M) X ⊥ ( M ) と表す.
次に, リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の第 2 基本形式を定義しよう.
h
p
:
T
p
M
h
p
:
T
p
M
h_(p):T_(p)M h_{p}: T_{p} M h p : T p M
×
T
p
M
→
T
f
(
p
)
M
~
×
T
p
M
→
T
f
(
p
)
M
~
xxT_(p)M rarrT_(f(p)) widetilde(M) \times T_{p} M \rightarrow T_{f(p)} \widetilde{M} × T p M → T f ( p ) M ~ を
h
p
(
v
,
w
)
:=
(
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
−
d
f
(
∇
X
Y
)
)
p
(
v
,
w
∈
T
p
M
)
h
p
(
v
,
w
)
:=
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
−
d
f
∇
X
Y
p
v
,
w
∈
T
p
M
h_(p)(v,w):=( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y)-df(grad_(X)Y))_(p)quad(v,w inT_(p)M) h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}):=\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})-d f\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)\right)_{p} \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M\right) h p ( v , w ) := ( ∇ ~ X f d f ( Y ) − d f ( ∇ X Y ) ) p ( v , w ∈ T p M )
によって定義する. ここで,
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y は各々,
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X_(p)=v,Y_(p)=w \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w} X p = v , Y p = w となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元であり,
d
f
(
∙
)
d
f
(
∙
)
df(∙) d f(\bullet) d f ( ∙ ) は,
d
f
(
∙
)
p
:=
d
f
p
(
(
∙
)
p
)
(
p
∈
M
)
d
f
(
∙
)
p
:=
d
f
p
(
∙
)
p
(
p
∈
M
)
df(∙)_(p):=df_(p)((∙)_(p))(p in M) d f(\bullet)_{p}:=d f_{p}\left((\bullet)_{p}\right)(p \in M) d f ( ∙ ) p := d f p ( ( ∙ ) p ) ( p ∈ M ) によって定義される
X
f
(
M
,
M
~
)
X
f
(
M
,
M
~
)
X_(f)(M, widetilde(M)) \mathcal{X}_{f}(M, \widetilde{M}) X f ( M , M ~ ) の元である。以下,
d
f
(
∙
)
d
f
(
∙
)
df(∙) d f(\bullet) d f ( ∙ ) は
f
∗
(
∙
)
f
∗
(
∙
)
f_(**)(∙) f_{*}(\bullet) f ∗ ( ∙ ) と表されることもある.
h
p
(
v
,
w
)
h
p
(
v
,
w
)
h_(p)(v,w) h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) h p ( v , w ) が well-defined, つまり,
v
,
w
v
,
w
v,w \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} v , w の拡張
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y のとり方によらずに定 まることを示そう。
p
p
p p p のまわりの
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) を とり、
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y の
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) に関する成分を
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X
i
,
Y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
X_(i),Y_(i)(i=1,dots,n) X_{i}, Y_{i}(i=1, \ldots, n) X i , Y i ( i = 1 , … , n ) とする. このと き,
(
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
)
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∇
~
∂
∂
x
i
f
(
Y
j
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
)
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∂
(
Y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
(
p
)
d
f
p
(
(
∂
∂
x
j
)
p
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
Y
j
(
p
)
(
∇
~
∂
∂
x
i
f
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
p
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
∇
~
∂
∂
x
i
f
Y
j
d
f
∂
∂
x
j
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
∂
Y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
(
p
)
d
f
p
∂
∂
x
j
p
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
Y
j
(
p
)
∇
~
∂
∂
x
i
f
d
f
∂
∂
x
j
p
{:[( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))_(p)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(f)(Y_(j)df((del)/(delx_(j)))))_(p)],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)((del(Y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)(p)df_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p))],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)Y_(j)(p)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(f)df((del)/(delx_(j))))_(p)]:} \begin{aligned}
\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right)_{p}= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p)\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f}\left(Y_{j} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right)_{p} \\
= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial\left(Y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)(p) d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) \\
& +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) Y_{j}(p)\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)_{p}
\end{aligned} ( ∇ ~ X f d f ( Y ) ) p = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) ( ∇ ~ ∂ ∂ x i f ( Y j d f ( ∂ ∂ x j ) ) ) p = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) ( ∂ ( Y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) ( p ) d f p ( ( ∂ ∂ x j ) p ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) ( ∇ ~ ∂ ∂ x i f d f ( ∂ ∂ x j ) ) p
をえる。一方,
(
d
f
(
∇
X
Y
)
)
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
d
f
p
(
∇
(
∂
∂
x
i
)
p
(
Y
j
∂
∂
x
j
)
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
(
∂
(
Y
j
∘
φ
−
1
)
∂
x
i
∘
φ
)
(
p
)
d
f
p
(
(
∂
∂
x
j
)
p
)
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
Y
j
(
p
)
d
f
p
(
∇
(
∂
∂
x
i
)
p
∂
∂
x
j
)
d
f
∇
X
Y
p
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
d
f
p
∇
∂
∂
x
i
p
Y
j
∂
∂
x
j
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
∂
Y
j
∘
φ
−
1
∂
x
i
∘
φ
(
p
)
d
f
p
∂
∂
x
j
p
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
Y
j
(
p
)
d
f
p
∇
∂
∂
x
i
p
∂
∂
x
j
{:[(df(grad_(X)Y))_(p)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)df_(p)(grad_(((del)/(delx_(i)))_(p))(Y_(j)(del)/(delx_(j))))],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)((del(Y_(j)@varphi^(-1)))/(delx_(i))@varphi)(p)df_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p))],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)Y_(j)(p)df_(p)(grad_(((del)/(delx_(i)))_(p))(del)/(delx_(j)))]:} \begin{aligned}
\left(d f\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)\right)_{p}= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) d f_{p}\left(\nabla_{\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}}\left(Y_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p)\left(\frac{\partial\left(Y_{j} \circ \varphi^{-1}\right)}{\partial x_{i}} \circ \varphi\right)(p) d f_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) \\
& +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) Y_{j}(p) d f_{p}\left(\nabla_{\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)
\end{aligned} ( d f ( ∇ X Y ) ) p = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) d f p ( ∇ ( ∂ ∂ x i ) p ( Y j ∂ ∂ x j ) ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) ( ∂ ( Y j ∘ φ − 1 ) ∂ x i ∘ φ ) ( p ) d f p ( ( ∂ ∂ x j ) p ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) d f p ( ∇ ( ∂ ∂ x i ) p ∂ ∂ x j )
をえる. したがって,
(4.6.1)
h
p
(
v
,
w
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
Y
j
(
p
)
h
p
(
(
∂
∂
x
i
)
p
,
(
∂
∂
x
j
)
p
)
(4.6.1)
h
p
(
v
,
w
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
X
i
(
p
)
Y
j
(
p
)
h
p
∂
∂
x
i
p
,
∂
∂
x
j
p
{:(4.6.1)h_(p)(v","w)=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)X_(i)(p)Y_(j)(p)h_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p),((del)/(delx_(j)))_(p)):} \begin{equation*}
h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_{i}(p) Y_{j}(p) h_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right) \tag{4.6.1}
\end{equation*} (4.6.1) h p ( v , w ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n X i ( p ) Y j ( p ) h p ( ( ∂ ∂ x i ) p , ( ∂ ∂ x j ) p )
が導かれる. このように,
h
p
(
v
,
w
)
h
p
(
v
,
w
)
h_(p)(v,w) h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) h p ( v , w ) が
v
,
w
v
,
w
v,w \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} v , w の拡張
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y のとり方によらな いことが示される。また, 式 (4.6.1) から,
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p が
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M 上の
T
f
(
p
)
M
~
T
f
(
p
)
M
~
T_(f(p)) widetilde(M) T_{f(p)} \widetilde{M} T f ( p ) M ~ に値をと る 2 次共変テンソル, つまり,
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
T
f
(
p
)
M
~
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
T
f
(
p
)
M
~
T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxT_(f(p)) widetilde(M) T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{f(p)} \widetilde{M} T p ∗ M ⊗ T p ∗ M ⊗ T f ( p ) M ~ の元になることが示さ れる.さらに、
∇
,
∇
~
∇
,
∇
~
grad, widetilde(grad) \nabla, \widetilde{\nabla} ∇ , ∇ ~ が㧖れ0であることと
[
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
]
=
0
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
=
0
[(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))]=0 \left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right]=\mathbf{0} [ ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ] = 0 から,
h
p
(
(
∂
∂
x
i
)
p
,
(
∂
∂
x
j
)
p
)
=
(
∇
~
∂
∂
x
i
f
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
p
−
d
f
p
(
(
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
j
)
p
)
p
)
=
(
∇
~
∂
∂
x
j
f
d
f
(
∂
∂
x
i
)
)
p
−
d
f
p
(
(
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
i
)
p
)
=
h
p
(
(
∂
∂
x
j
)
p
,
(
∂
∂
x
i
)
p
)
h
p
∂
∂
x
i
p
,
∂
∂
x
j
p
=
∇
~
∂
∂
x
i
f
d
f
∂
∂
x
j
p
−
d
f
p
∇
∂
∂
x
i
∂
∂
x
j
p
p
=
∇
~
∂
∂
x
j
f
d
f
∂
∂
x
i
p
−
d
f
p
∇
∂
∂
x
j
∂
∂
x
i
p
=
h
p
∂
∂
x
j
p
,
∂
∂
x
i
p
{:[{:h_(p)(((del)/(delx_(i)))_(p),((del)/(delx_(j)))_(p))=( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(f)df((del)/(delx_(j))))_(p)-df_(p)((grad_((del)/(delx_(i)))(del)/(delx_(j)))_(p))_(p))],[=( widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(f)df((del)/(delx_(i))))_(p)-df_(p)((grad_((del)/(delx_(j)))(del)/(delx_(i)))_(p))=h_(p)(((del)/(delx_(j)))_(p),((del)/(delx_(i)))_(p))]:} \begin{aligned}
& \left.h_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)=\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{f} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)_{p}-d f_{p}\left(\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p}\right)_{p}\right) \\
= & \left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{f} d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)_{p}-d f_{p}\left(\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)=h_{p}\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{p},\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{p}\right)
\end{aligned} h p ( ( ∂ ∂ x i ) p , ( ∂ ∂ x j ) p ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ x i f d f ( ∂ ∂ x j ) ) p − d f p ( ( ∇ ∂ ∂ x i ∂ ∂ x j ) p ) p ) = ( ∇ ~ ∂ ∂ x j f d f ( ∂ ∂ x i ) ) p − d f p ( ( ∇ ∂ ∂ x j ∂ ∂ x i ) p ) = h p ( ( ∂ ∂ x j ) p , ( ∂ ∂ x i ) p )
をえる。それゆえ, 式 (4.6.1) から,
h
p
(
v
,
w
)
=
h
p
(
w
,
v
)
h
p
(
v
,
w
)
=
h
p
(
w
,
v
)
h_(p)(v,w)=h_(p)(w,v) h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w})=h_{p}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{v}) h p ( v , w ) = h p ( w , v ) が導かれ,
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p が対称であることがわかる. 次に, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p を対応させる対応
h
h
h h h が, テンソル積バンドル
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
:=
⨿
p
∈
M
(
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
T
f
(
p
)
M
~
)
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
:=
⨿
p
∈
M
T
p
∗
M
⊗
T
p
∗
M
⊗
T
f
(
p
)
M
~
T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M):=⨿_(p in M)(T_(p)^(**)M oxT_(p)^(**)M oxT_(f(p))( widetilde(M))) T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M}:=\underset{p \in M}{\amalg}\left(T_{p}^{*} M \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{f(p)} \widetilde{M}\right) T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ := ⨿ p ∈ M ( T p ∗ M ⊗ T p ∗ M ⊗ T f ( p ) M ~ )
の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断を与えることを示そう。まず,自然な射影
π
:
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
π
:
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
pi:T^(**)M oxT^(**)M ox \pi: T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes π : T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗
f
∗
T
M
~
→
M
f
∗
T
M
~
→
M
f^(**)T widetilde(M)rarr M f^{*} T \widetilde{M} \rightarrow M f ∗ T M ~ → M が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルになることを説明しよう.
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T^(**)M ox T^{*} M \otimes T ∗ M ⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T^(**)M oxf^(**)T widetilde(M) T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M} T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造は次のように定義される. 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
p
p
p p p のまわりの局所チャート
(
U
p
,
φ
p
)
U
p
,
φ
p
(U_(p),varphi_(p)) \left(U_{p}, \varphi_{p}\right) ( U p , φ p ) と
f
(
p
)
f
(
p
)
f(p) f(p) f ( p ) のまわりの局所チャート
(
V
p
,
ψ
p
)
V
p
,
ψ
p
(V_(p),psi_(p)) \left(V_{p}, \psi_{p}\right) ( V p , ψ p ) の 組をとり,族
{
(
U
p
,
φ
p
)
∣
p
∈
M
}
U
p
,
φ
p
∣
p
∈
M
{(U_(p),varphi_(p))∣p in M} \left\{\left(U_{p}, \varphi_{p}\right) \mid p \in M\right\} { ( U p , φ p ) ∣ p ∈ M } と族
{
(
V
p
,
ψ
p
)
∣
p
∈
M
}
V
p
,
ψ
p
∣
p
∈
M
{(V_(p),psi_(p))∣p in M} \left\{\left(V_{p}, \psi_{p}\right) \mid p \in M\right\} { ( V p , ψ p ) ∣ p ∈ M } をつくる. 各
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し,
W
p
:=
U
p
∩
f
−
1
(
V
p
)
W
p
:=
U
p
∩
f
−
1
V
p
W_(p):=U_(p)nnf^(-1)(V_(p)) W_{p}:=U_{p} \cap f^{-1}\left(V_{p}\right) W p := U p ∩ f − 1 ( V p ) とおき,
η
p
:
π
−
1
(
W
p
)
→
W
p
×
R
n
2
(
n
+
k
)
η
p
:
π
−
1
W
p
→
W
p
×
R
n
2
(
n
+
k
)
eta_(p):pi^(-1)(W_(p))rarrW_(p)xxR^(n^(2)(n+k)) \eta_{p}: \pi^{-1}\left(W_{p}\right) \rightarrow W_{p} \times \mathbb{R}^{n^{2}(n+k)} η p : π − 1 ( W p ) → W p × R n 2 ( n + k ) を
η
p
(
S
)
:=
(
π
(
S
)
,
(
S
i
j
α
)
)
(
S
∈
π
−
1
(
W
p
)
)
η
p
(
S
)
:=
π
(
S
)
,
S
i
j
α
S
∈
π
−
1
W
p
eta_(p)(S):=(pi(S),(S_(ij)^(alpha)))quad(S inpi^(-1)(W_(p))) \eta_{p}(S):=\left(\pi(S),\left(S_{i j}{ }^{\alpha}\right)\right) \quad\left(S \in \pi^{-1}\left(W_{p}\right)\right) η p ( S ) := ( π ( S ) , ( S i j α ) ) ( S ∈ π − 1 ( W p ) )
によって定義する. ここで,
S
i
j
α
S
i
j
α
S_(ij)^(alpha) S_{i j}{ }^{\alpha} S i j α は,
S
S
S S S の
(
U
p
,
φ
p
)
U
p
,
φ
p
(U_(p),varphi_(p)) \left(U_{p}, \varphi_{p}\right) ( U p , φ p ) と
(
V
p
,
ψ
p
)
V
p
,
ψ
p
(V_(p),psi_(p)) \left(V_{p}, \psi_{p}\right) ( V p , ψ p ) に関する成分, つまり,
φ
p
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
ψ
p
=
(
y
1
,
…
,
y
n
+
k
)
φ
p
=
x
1
,
…
,
x
n
,
ψ
p
=
y
1
,
…
,
y
n
+
k
varphi_(p)=(x_(1),dots,x_(n)),psi_(p)=(y_(1),dots,y_(n+k)) \varphi_{p}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \psi_{p}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n+k}\right) φ p = ( x 1 , … , x n ) , ψ p = ( y 1 , … , y n + k ) として,
S
(
(
∂
∂
x
i
)
π
(
S
)
,
(
∂
∂
x
j
)
π
(
S
)
)
=
∑
α
=
1
n
+
k
S
i
j
α
(
∂
∂
y
α
)
f
(
π
(
S
)
)
S
∂
∂
x
i
π
(
S
)
,
∂
∂
x
j
π
(
S
)
=
∑
α
=
1
n
+
k
S
i
j
α
∂
∂
y
α
f
(
π
(
S
)
)
S(((del)/(delx_(i)))_(pi(S)),((del)/(delx_(j)))_(pi(S)))=sum_(alpha=1)^(n+k)S_(ij)^(alpha)((del)/(dely_(alpha)))_(f(pi(S))) S\left(\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)_{\pi(S)},\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)_{\pi(S)}\right)=\sum_{\alpha=1}^{n+k} S_{i j}^{\alpha}\left(\frac{\partial}{\partial y_{\alpha}}\right)_{f(\pi(S))} S ( ( ∂ ∂ x i ) π ( S ) , ( ∂ ∂ x j ) π ( S ) ) = ∑ α = 1 n + k S i j α ( ∂ ∂ y α ) f ( π ( S ) )
により定義される実数族を表す. このとき,
D
:=
{
(
W
p
,
(
φ
p
×
i
d
)
∘
η
p
)
∣
p
∈
D
:=
W
p
,
φ
p
×
i
d
∘
η
p
∣
p
∈
D:={(W_(p),(varphi_(p)xx id)@eta_(p))∣p in:} \mathcal{D}:=\left\{\left(W_{p},\left(\varphi_{p} \times i d\right) \circ \eta_{p}\right) \mid p \in\right. D := { ( W p , ( φ p × i d ) ∘ η p ) ∣ p ∈
M
}
M
}
M} M\} M } は,
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M) T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M} T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造を与え, さらに
π
:
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
π
:
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
pi:T^(**)M oxT^(**)M ox \pi: T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes π : T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗
f
∗
T
M
~
→
M
f
∗
T
M
~
→
M
f^(**)T widetilde(M)rarr M f^{*} T \widetilde{M} \rightarrow M f ∗ T M ~ → M が,
{
η
p
:
π
−
1
(
W
p
)
→
W
p
×
R
n
2
(
n
+
k
)
}
p
∈
M
η
p
:
π
−
1
W
p
→
W
p
×
R
n
2
(
n
+
k
)
p
∈
M
{eta_(p):pi^(-1)(W_(p))rarrW_(p)xxR^(n^(2)(n+k))}_(p in M) \left\{\eta_{p}: \pi^{-1}\left(W_{p}\right) \rightarrow W_{p} \times \mathbb{R}^{n^{2}(n+k)}\right\}_{p \in M} { η p : π − 1 ( W p ) → W p × R n 2 ( n + k ) } p ∈ M を局所自明化写像 の族とするような
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドルになることが示される.
h
h
h h h がこ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級実ベクトルバンドル
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M) T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M} T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断であることを 示すには,
h
h
h h h の
(
U
p
,
φ
p
)
U
p
,
φ
p
(U_(p),varphi_(p)) \left(U_{p}, \varphi_{p}\right) ( U p , φ p ) と
(
V
p
,
ψ
p
)
V
p
,
ψ
p
(V_(p),psi_(p)) \left(V_{p}, \psi_{p}\right) ( V p , ψ p ) に関する成分
h
i
j
α
h
i
j
α
h_(ij)^(alpha) h_{i j}{ }^{\alpha} h i j α が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることを 示せばよいのだが,
h
h
h h h の定義式によれば,
h
(
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
h
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
h((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))) h\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) h ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) は
f
∣
W
p
f
∣
W
p
f∣W_(p) f \mid W_{p} f ∣ W p に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級ベクトル場であるので,
h
i
j
α
h
i
j
α
h_(ij)^(alpha) h_{i j}{ }^{\alpha} h i j α が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級であることが導かれる。したがって,
h
h
h h h が
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M) T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M} T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断を与えることがわかる. この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断
h
h
h h h を
f
f
f f f の第
2
2
2 \mathbf{2} 2 基本形式という. 実は, 任意の
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M と任意の
v
,
w
∈
T
p
M
v
,
w
∈
T
p
M
v,w inT_(p)M \boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M v , w ∈ T p M に 対し,
h
p
(
v
,
w
)
∈
T
p
⊥
M
h
p
(
v
,
w
)
∈
T
p
⊥
M
h_(p)(v,w)inT_(p)^(_|_)M h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \in T_{p}^{\perp} M h p ( v , w ) ∈ T p ⊥ M が示される。この事実を証明しよう。Mのアフィン 接続
∇
^
∇
^
widehat(grad) \widehat{\nabla} ∇ ^ を
d
f
(
∇
^
X
Y
)
=
pr
T
(
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
)
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
)
d
f
∇
^
X
Y
=
pr
T
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
)
df( widehat(grad)_(X)Y)=pr_(T)( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))quad(X,Y inX(M)) d f\left(\widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \mathbf{Y}\right)=\operatorname{pr}_{T}\left(\widetilde{\nabla}_{\mathbf{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M)) d f ( ∇ ^ X Y ) = pr T ( ∇ ~ X f d f ( Y ) ) ( X , Y ∈ X ( M ) )
によって定義する. ここで,
pr
T
pr
T
pr_(T) \mathrm{pr}_{T} pr T は,
f
∗
T
M
~
f
∗
T
M
~
f^(**)T widetilde(M) f^{*} T \widetilde{M} f ∗ T M ~ からその部分ベクトルバンドル
d
f
(
T
M
)
(
:=
⨿
p
∈
M
d
f
p
(
T
p
M
)
)
d
f
(
T
M
)
:=
⨿
p
∈
M
d
f
p
T
p
M
df(TM)quad(:=⨿_(p in M)df_(p)(T_(p)M)) d f(T M) \quad\left(:=\amalg_{p \in M} d f_{p}\left(T_{p} M\right)\right) d f ( T M ) ( := ⨿ p ∈ M d f p ( T p M ) ) への直交射影を表す.
∇
^
∇
^
widehat(grad) \widehat{\nabla} ∇ ^ が
M
M
M M M の捩れ 0 のアフ イン接続であることは容易に示される。このアフィン接続
∇
^
∇
^
widehat(grad) \widehat{\nabla} ∇ ^ は, 2.3 節で述 べた曲面上の接べクトル場の共変微分の定義に倣って定義されるものであるこ とを注意しておく.
∇
^
=
∇
∇
^
=
∇
widehat(grad)=grad \widehat{\nabla}=\nabla ∇ ^ = ∇ であることを示そう.
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
X,Y,Z inX(M) \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M) X , Y , Z ∈ X ( M ) に対し,
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
=
X
(
g
~
(
d
f
(
Y
)
,
d
f
(
Z
)
)
)
=
g
~
(
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
,
d
f
(
Z
)
)
+
g
~
(
d
f
(
Y
)
,
∇
~
X
f
d
f
(
Z
)
)
=
g
~
(
d
f
(
∇
^
X
Y
)
,
d
f
(
Z
)
)
+
g
~
(
d
f
(
Y
)
,
d
f
(
∇
^
X
Z
)
)
=
g
(
∇
^
X
Y
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
^
X
Z
)
X
(
g
(
Y
,
Z
)
)
=
X
g
~
(
d
f
(
Y
)
,
d
f
(
Z
)
=
g
~
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
,
d
f
(
Z
)
+
g
~
d
f
(
Y
)
,
∇
~
X
f
d
f
(
Z
)
=
g
~
d
f
∇
^
X
Y
,
d
f
(
Z
)
+
g
~
d
f
(
Y
)
,
d
f
∇
^
X
Z
=
g
∇
^
X
Y
,
Z
+
g
Y
,
∇
^
X
Z
{:[X(g(Y","Z)){:=X( widetilde(g)^((df)(Y),df(Z)))],[= widetilde(g)( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y),df(Z))+ widetilde(g)(df(Y), widetilde(grad)_(X)^(f)df(Z))],[= widetilde(g)(df( widehat(grad)_(X)Y),df(Z))+ widetilde(g)(df(Y),df( widehat(grad)_(X)Z))],[=g( widehat(grad)_(X)Y,Z)+g(Y, widehat(grad)_(X)Z)]:} \begin{aligned}
\boldsymbol{X}(g(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})) & \left.=\boldsymbol{X}\left(\widetilde{g}^{(d f}(\boldsymbol{Y}), d f(\boldsymbol{Z})\right)\right) \\
& =\widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y}), d f(\boldsymbol{Z})\right)+\widetilde{g}\left(d f(\boldsymbol{Y}), \widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Z})\right) \\
& =\widetilde{g}\left(d f\left(\widehat{\nabla}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right), d f(\boldsymbol{Z})\right)+\widetilde{g}\left(d f(\boldsymbol{Y}), d f\left(\widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Z}\right)\right) \\
& =g\left(\widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}\right)+g\left(\boldsymbol{Y}, \widehat{\nabla}_{\mathbf{X}} \boldsymbol{Z}\right)
\end{aligned} X ( g ( Y , Z ) ) = X ( g ~ ( d f ( Y ) , d f ( Z ) ) ) = g ~ ( ∇ ~ X f d f ( Y ) , d f ( Z ) ) + g ~ ( d f ( Y ) , ∇ ~ X f d f ( Z ) ) = g ~ ( d f ( ∇ ^ X Y ) , d f ( Z ) ) + g ~ ( d f ( Y ) , d f ( ∇ ^ X Z ) ) = g ( ∇ ^ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ ^ X Z )
が導かれる. それゆえ,
∇
^
g
=
0
∇
^
g
=
0
widehat(grad)g=0 \widehat{\nabla} g=0 ∇ ^ g = 0 をえる. したがって,
∇
^
∇
^
hat(grad) \hat{\nabla} ∇ ^ が
g
g
g g g のリーマン接続 であることが示され,それゆえ,リーマン接続の一意性により,
∇
^
=
∇
∇
^
=
∇
hat(grad)=grad \hat{\nabla}=\nabla ∇ ^ = ∇ が導
かれる. したがって,
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p の定義式から
h
p
(
v
,
w
)
∈
T
p
⊥
M
h
p
(
v
,
w
)
∈
T
p
⊥
M
h_(p)(v,w)inT_(p)^(_|_)M h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}) \in T_{p}^{\perp} M h p ( v , w ) ∈ T p ⊥ M が示される. このよ うに,
h
h
h h h はテンソル積バンドル
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
⊥
M
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
⊥
M
T^(**)M oxT^(**)M oxT^(_|_)M T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{\perp} M T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ⊥ M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断になること がわかる. ここで,
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
⊥
M
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
⊥
M
T^(**)M oxT^(**)M oxT^(_|_)M T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{\perp} M T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ⊥ M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 構造, および局所自明化写像の族は, 上述の
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T^(**)M oxT^(**)M oxf^(**)T widetilde(M) T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M} T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ の場合に倣って与えられることに注意する.
h
h
h h h の定義より,
(4.6.2)
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
=
d
f
(
∇
X
Y
)
+
h
(
X
,
Y
)
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
)
(4.6.2)
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
=
d
f
∇
X
Y
+
h
(
X
,
Y
)
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
)
{:(4.6.2) widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y)=df(grad_(X)Y)+h(X","Y)quad(X","Y inX(M)):} \begin{equation*}
\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})=d f\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)+h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M)) \tag{4.6.2}
\end{equation*} (4.6.2) ∇ ~ X f d f ( Y ) = d f ( ∇ X Y ) + h ( X , Y ) ( X , Y ∈ X ( M ) )
が成り立つが, この式は,
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y) \widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y}) ∇ ~ X f d f ( Y ) の接成分と法成分への直交分解を表す式 であることがわかる. 式 (4.6.2) をガウスの公式という.
3.12 節の注意で述べたように, hの
g
g
g g g に関するトレース
Tr
g
h
Tr
g
h
Tr_(g)h \operatorname{Tr}_{g} h Tr g h が
(
Tr
g
h
)
p
:=
∑
i
=
1
n
h
p
(
e
i
,
e
i
)
(
p
∈
M
)
Tr
g
h
p
:=
∑
i
=
1
n
h
p
e
i
,
e
i
(
p
∈
M
)
(Tr_(g)h)_(p):=sum_(i=1)^(n)h_(p)(e_(i),e_(i))quad(p in M) \left(\operatorname{Tr}_{g} h\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n} h_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right) \quad(p \in M) ( Tr g h ) p := ∑ i = 1 n h p ( e i , e i ) ( p ∈ M )
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
:
(
T
p
M
,
g
p
)
(
e
1
,
…
,
e
n
:
T
p
M
,
g
p
((e_(1),dots,e_(n)):(T_(p)M,g_(p)) (\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right):\left(T_{p} M, g_{p}\right) ( ( ( e 1 , … , e n ) : ( T p M , g p ) の正規直交基底)によって定義される.
1
n
Tr
g
h
1
n
Tr
g
h
(1)/(n)Tr_(g)h \frac{1}{n} \operatorname{Tr}_{g} h 1 n Tr g h を
f
f
f f f の平均曲率ベクトル場といい,
H
H
H H H で表す.
H
=
0
H
=
0
H=0 H=\mathbf{0} H = 0 が成り立つとき,
f
f
f f f を
M
M
M M M から
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) への極小はめ込み(minimal immersion)という. なぜこ のようによばれるかについては,次節で説明する.
次に, リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の形テンソル場を定義する.
A
p
:
T
p
⊥
M
×
A
p
:
T
p
⊥
M
×
A_(p):T_(p)^(_|_)M xx A_{p}: T_{p}^{\perp} M \times A p : T p ⊥ M ×
T
p
M
→
T
p
M
T
p
M
→
T
p
M
T_(p)M rarrT_(p)M T_{p} M \rightarrow T_{p} M T p M → T p M を
d
f
p
(
A
p
(
ξ
,
v
)
)
:=
−
pr
T
f
(
p
)
(
(
∇
~
X
f
ξ
~
)
p
)
(
ξ
∈
T
p
⊥
M
,
v
∈
T
p
M
)
d
f
p
A
p
(
ξ
,
v
)
:=
−
pr
T
f
(
p
)
∇
~
X
f
ξ
~
p
ξ
∈
T
p
⊥
M
,
v
∈
T
p
M
df_(p)(A_(p)(xi,v)):=-pr_(T_(f(p)))(( widetilde(grad)_(X)^(f)( widetilde(xi)))_(p))quad(xi inT_(p)^(_|_)M,v inT_(p)M) d f_{p}\left(A_{p}(\xi, \boldsymbol{v})\right):=-\operatorname{pr}_{T_{f(p)}}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}\right)_{p}\right) \quad\left(\xi \in T_{p}^{\perp} M, v \in T_{p} M\right) d f p ( A p ( ξ , v ) ) := − pr T f ( p ) ( ( ∇ ~ X f ξ ~ ) p ) ( ξ ∈ T p ⊥ M , v ∈ T p M )
で定める. ここで,
X
X
X \boldsymbol{X} X は
X
p
=
v
X
p
=
v
X_(p)=v \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v} X p = v となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元であり,
ξ
~
ξ
~
widetilde(xi) \widetilde{\xi} ξ ~ は
ξ
~
p
=
ξ
ξ
~
p
=
ξ
widetilde(xi)_(p)=xi \widetilde{\xi}_{p}=\xi ξ ~ p = ξ となる
X
⊥
(
M
)
X
⊥
(
M
)
X^(_|_)(M) \mathcal{X}^{\perp}(M) X ⊥ ( M ) の元であり,
pr
T
f
(
p
)
pr
T
f
(
p
)
pr_(T_(f(p))) \mathrm{pr}_{T_{f(p)}} pr T f ( p ) は
T
f
(
p
)
M
~
T
f
(
p
)
M
~
T_(f(p)) widetilde(M) T_{f(p)} \widetilde{M} T f ( p ) M ~ から
d
f
p
(
T
p
M
)
d
f
p
T
p
M
df_(p)(T_(p)M) d f_{p}\left(T_{p} M\right) d f p ( T p M ) への直交射影を 表す. この定義は,
v
,
ξ
v
,
ξ
v,xi \boldsymbol{v}, \xi v , ξ の拡張
X
,
ξ
~
X
,
ξ
~
X, widetilde(xi) \boldsymbol{X}, \widetilde{\xi} X , ξ ~ のとり方によらないことが示される. 通常,
A
p
(
ξ
,
v
)
A
p
(
ξ
,
v
)
A_(p)(xi,v) A_{p}(\xi, \boldsymbol{v}) A p ( ξ , v ) は
(
A
p
)
ξ
(
v
)
A
p
ξ
(
v
)
(A_(p))_(xi)(v) \left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v}) ( A p ) ξ ( v ) と表される。また,
A
p
:
T
p
⊥
M
×
T
p
M
→
T
p
M
A
p
:
T
p
⊥
M
×
T
p
M
→
T
p
M
A_(p):T_(p)^(_|_)M xxT_(p)M rarrT_(p)M A_{p}: T_{p}^{\perp} M \times T_{p} M \rightarrow T_{p} M A p : T p ⊥ M × T p M → T p M が双線形であること, つまり,
(
T
p
⊥
M
)
∗
⊗
T
p
∗
M
⊗
T
p
M
T
p
⊥
M
∗
⊗
T
p
∗
M
⊗
T
p
M
(T_(p)^(_|_)M)^(**)oxT_(p)^(**)M oxT_(p)M \left(T_{p}^{\perp} M\right)^{*} \otimes T_{p}^{*} M \otimes T_{p} M ( T p ⊥ M ) ∗ ⊗ T p ∗ M ⊗ T p M の元であることが容易に示 される. さらに, 各点
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M に対し
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p を対応させる対応
A
A
A A A は, テンソル積 バンドル
(
T
⊥
M
)
∗
⊗
T
∗
M
⊗
T
M
T
⊥
M
∗
⊗
T
∗
M
⊗
T
M
(T^(_|_)M)^(**)oxT^(**)M ox TM \left(T^{\perp} M\right)^{*} \otimes T^{*} M \otimes T M ( T ⊥ M ) ∗ ⊗ T ∗ M ⊗ T M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級切断を与えることが示される. ここ で,
(
T
⊥
M
)
∗
⊗
T
∗
M
⊗
T
M
T
⊥
M
∗
⊗
T
∗
M
⊗
T
M
(T^(_|_)M)^(**)oxT^(**)M ox TM \left(T^{\perp} M\right)^{*} \otimes T^{*} M \otimes T M ( T ⊥ M ) ∗ ⊗ T ∗ M ⊗ T M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトルバンドル構造は, 前述の
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T^(**)M ox T^{*} M \otimes T ∗ M ⊗
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T
∗
M
⊗
f
∗
T
M
~
T^(**)M oxf^(**)T widetilde(M) T^{*} M \otimes f^{*} T \widetilde{M} T ∗ M ⊗ f ∗ T M ~ の場合に做って与えられることに注意する。この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断
A
A
A A A をリーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f )の形テンソル場(shape tensor)
といい,
(
A
p
)
ξ
A
p
ξ
(A_(p))_(xi) \left(A_{p}\right)_{\xi} ( A p ) ξ を
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f ) の
ξ
ξ
xi \xi ξ に対する形作用素(shape operator) とよぶ.
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p と
A
p
A
p
A_(p) A_{p} A p の間に,
g
~
f
(
p
)
(
h
p
(
v
,
w
)
,
ξ
)
=
g
p
(
(
A
p
)
ξ
(
v
)
,
w
)
(
v
,
w
∈
T
p
M
,
ξ
∈
T
p
⊥
M
)
g
~
f
(
p
)
h
p
(
v
,
w
)
,
ξ
=
g
p
A
p
ξ
(
v
)
,
w
v
,
w
∈
T
p
M
,
ξ
∈
T
p
⊥
M
widetilde(g)_(f(p))(h_(p)(v,w),xi)=g_(p)((A_(p))_(xi)(v),w)quad(v,w inT_(p)M,xi inT_(p)^(_|_)M) \widetilde{g}_{f(p)}\left(h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}), \xi\right)=g_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v}), \boldsymbol{w}\right) \quad\left(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w} \in T_{p} M, \xi \in T_{p}^{\perp} M\right) g ~ f ( p ) ( h p ( v , w ) , ξ ) = g p ( ( A p ) ξ ( v ) , w ) ( v , w ∈ T p M , ξ ∈ T p ⊥ M )
が成り立つことが示されるので,
h
p
h
p
h_(p) h_{p} h p の対称性より
(
A
p
)
ξ
A
p
ξ
(A_(p))_(xi) \left(A_{p}\right)_{\xi} ( A p ) ξ が
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) の対称変換であること,それゆえ,
(
A
p
)
ξ
A
p
ξ
(A_(p))_(xi) \left(A_{p}\right)_{\xi} ( A p ) ξ の固有ベクトルからなる
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) の正規直交基底が存在することがわかる。上式は, 次のように示される:
g
~
f
(
p
)
(
h
p
(
v
,
w
)
,
ξ
)
=
g
~
f
(
p
)
(
(
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
)
p
−
d
f
p
(
(
∇
X
Y
)
p
)
,
ξ
)
=
g
~
f
(
p
)
(
(
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
)
p
,
ξ
)
=
−
g
~
f
(
p
)
(
d
f
p
(
w
)
,
(
∇
~
X
f
ξ
~
p
)
=
−
g
~
f
(
p
)
(
d
f
p
(
w
)
,
−
d
f
p
(
(
A
p
)
ξ
(
v
)
)
)
=
g
p
(
w
,
(
A
p
)
ξ
(
v
)
)
g
~
f
(
p
)
h
p
(
v
,
w
)
,
ξ
=
g
~
f
(
p
)
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
p
−
d
f
p
∇
X
Y
p
,
ξ
=
g
~
f
(
p
)
∇
~
X
f
d
f
(
Y
)
p
,
ξ
=
−
g
~
f
(
p
)
d
f
p
(
w
)
,
∇
~
X
f
ξ
~
p
=
−
g
~
f
(
p
)
d
f
p
(
w
)
,
−
d
f
p
A
p
ξ
(
v
)
=
g
p
w
,
A
p
ξ
(
v
)
{:[ widetilde(g)_(f(p))(h_(p)(v,w),xi)= widetilde(g)_(f(p))(( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))_(p)-df_(p)((grad_(X)Y)_(p)),xi)],[= widetilde(g)_(f(p))(( widetilde(grad)_(X)^(f)df(Y))_(p),xi)=- widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(w),( widetilde(grad)_(X)^(f) widetilde(xi)_(p)):}],[=- widetilde(g)_(f(p))(df_(p)(w),-df_(p)((A_(p))_(xi)(v)))=g_(p)(w,(A_(p))_(xi)(v))]:} \begin{aligned}
\widetilde{g}_{f(p)}\left(h_{p}(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}), \xi\right) & =\widetilde{g}_{f(p)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right)_{p}-d f_{p}\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}\right)_{p}\right), \xi\right) \\
& =\widetilde{g}_{f(p)}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} d f(\boldsymbol{Y})\right)_{p}, \xi\right)=-\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{w}),\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}_{p}\right)\right. \\
& =-\widetilde{g}_{f(p)}\left(d f_{p}(\boldsymbol{w}),-d f_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)\right)=g_{p}\left(\boldsymbol{w},\left(A_{p}\right)_{\xi}(\boldsymbol{v})\right)
\end{aligned} g ~ f ( p ) ( h p ( v , w ) , ξ ) = g ~ f ( p ) ( ( ∇ ~ X f d f ( Y ) ) p − d f p ( ( ∇ X Y ) p ) , ξ ) = g ~ f ( p ) ( ( ∇ ~ X f d f ( Y ) ) p , ξ ) = − g ~ f ( p ) ( d f p ( w ) , ( ∇ ~ X f ξ ~ p ) = − g ~ f ( p ) ( d f p ( w ) , − d f p ( ( A p ) ξ ( v ) ) ) = g p ( w , ( A p ) ξ ( v ) )
(ここで
X
,
Y
X
,
Y
X,Y \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} X , Y は,
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X
p
=
v
,
Y
p
=
w
X_(p)=v,Y_(p)=w \boldsymbol{X}_{p}=\boldsymbol{v}, \boldsymbol{Y}_{p}=\boldsymbol{w} X p = v , Y p = w となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元であり,
ξ
~
ξ
~
widetilde(xi) \widetilde{\xi} ξ ~ は
ξ
~
p
=
ξ
ξ
~
p
=
ξ
widetilde(xi)_(p)=xi \widetilde{\xi}_{p}=\xi ξ ~ p = ξ となる
x
⊥
(
M
)
x
⊥
(
M
)
x^(_|_)(M) x^{\perp}(M) x ⊥ ( M ) の元である).
(
A
p
)
ξ
A
p
ξ
(A_(p))_(xi) \left(A_{p}\right)_{\xi} ( A p ) ξ の固有ベクトルからなる
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) の正規直交基底を
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
(e_(1),dots,e_(n)) \left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( e 1 , … , e n ) とし,
(
A
p
)
ξ
(
e
i
)
=
λ
i
e
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
A
p
ξ
e
i
=
λ
i
e
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
(A_(p))_(xi)(e_(i))=lambda_(i)e_(i)(i=1,dots,n) \left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\lambda_{i} \boldsymbol{e}_{i}(i=1, \ldots, n) ( A p ) ξ ( e i ) = λ i e i ( i = 1 , … , n ) とするとき
(4.6.3)
g
~
f
(
p
)
(
H
p
,
ξ
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
g
~
f
(
p
)
(
h
p
(
e
i
,
e
i
)
,
ξ
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
g
p
(
(
A
p
)
ξ
(
e
i
)
,
e
i
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
λ
i
(4.6.3)
g
~
f
(
p
)
H
p
,
ξ
=
1
n
∑
i
=
1
n
g
~
f
(
p
)
h
p
e
i
,
e
i
,
ξ
=
1
n
∑
i
=
1
n
g
p
A
p
ξ
e
i
,
e
i
=
1
n
∑
i
=
1
n
λ
i
{:[(4.6.3) widetilde(g)_(f(p))(H_(p),xi)=(1)/(n)sum_(i=1)^(n) widetilde(g)_(f(p))(h_(p)(e_(i),e_(i)),xi)],[=(1)/(n)sum_(i=1)^(n)g_(p)((A_(p))_(xi)(e_(i)),e_(i))=(1)/(n)sum_(i=1)^(n)lambda_(i)]:} \begin{align*}
\widetilde{g}_{f(p)}\left(H_{p}, \xi\right) & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \widetilde{g}_{f(p)}\left(h_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{e}_{i}\right), \xi\right) \tag{4.6.3}\\
& =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} g_{p}\left(\left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right), \boldsymbol{e}_{i}\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}
\end{align*} (4.6.3) g ~ f ( p ) ( H p , ξ ) = 1 n ∑ i = 1 n g ~ f ( p ) ( h p ( e i , e i ) , ξ ) = 1 n ∑ i = 1 n g p ( ( A p ) ξ ( e i ) , e i ) = 1 n ∑ i = 1 n λ i
が成り立つことを注意しておく.
次に, リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の法接続を定義する.
∇
⊥
:
X
(
M
)
×
∇
⊥
:
X
(
M
)
×
grad^(_|_):X(M)xx \nabla^{\perp} : \mathcal{X}(M) \times : ∇ ⊥ : X ( M ) ×
X
⊥
(
M
)
→
X
⊥
(
M
)
X
⊥
(
M
)
→
X
⊥
(
M
)
X^(_|_)(M)rarrX^(_|_)(M) \mathcal{X}^{\perp}(M) \rightarrow \mathcal{X}^{\perp}(M) X ⊥ ( M ) → X ⊥ ( M ) を
(
∇
⊥
(
X
,
ξ
~
)
)
p
:=
pr
T
f
(
p
)
⊥
(
(
∇
~
X
f
ξ
~
)
p
)
(
X
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
∈
X
⊥
(
M
)
)
∇
⊥
(
X
,
ξ
~
)
p
:=
pr
T
f
(
p
)
⊥
∇
~
X
f
ξ
~
p
X
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
∈
X
⊥
(
M
)
(grad^(_|_)(X,( widetilde(xi))))_(p):=pr_(T_(f(p))^(_|_))(( widetilde(grad)_(X)^(f)( widetilde(xi)))_(p))quad(X inX(M),( widetilde(xi))inX^(_|_)(M)) \left(\nabla^{\perp}(\boldsymbol{X}, \widetilde{\xi})\right)_{p}:=\operatorname{pr}_{T_{f(p)}^{\perp}}\left(\left(\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}\right)_{p}\right) \quad\left(\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right) ( ∇ ⊥ ( X , ξ ~ ) ) p := pr T f ( p ) ⊥ ( ( ∇ ~ X f ξ ~ ) p ) ( X ∈ X ( M ) , ξ ~ ∈ X ⊥ ( M ) )
によって定義する。ただし,
pr
T
f
(
p
)
⊥
pr
T
f
(
p
)
⊥
pr_(T_(f(p))^(_|_)) \operatorname{pr}_{T_{f(p)}^{\perp}} pr T f ( p ) ⊥ は
T
f
(
p
)
M
~
T
f
(
p
)
M
~
T_(f(p)) widetilde(M) T_{f(p)} \widetilde{M} T f ( p ) M ~ から
T
p
⊥
M
T
p
⊥
M
T_(p)^(_|_)M T_{p}^{\perp} M T p ⊥ M への直交射影を表 す.
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ は法ベクトルバンドル
T
⊥
M
T
⊥
M
T^(_|_)M T^{\perp} M T ⊥ M の接続になる.
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ を、リーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f ) の法接続という。通常,
∇
⊥
(
X
,
ξ
~
)
∇
⊥
(
X
,
ξ
~
)
grad^(_|_)(X, widetilde(xi)) \nabla^{\perp}(\boldsymbol{X}, \widetilde{\xi}) ∇ ⊥ ( X , ξ ~ ) は
∇
X
ξ
~
∇
X
ξ
~
grad(X)/() widetilde(xi) \nabla \frac{\boldsymbol{X}}{} \widetilde{\xi} ∇ X ξ ~ と表され る.
A
A
A A A と
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ の定義より,
(4.6.4)
∇
~
X
f
ξ
~
=
−
d
f
(
A
ξ
~
X
)
+
∇
X
⊥
ξ
~
(
X
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
∈
X
⊥
(
M
)
)
(4.6.4)
∇
~
X
f
ξ
~
=
−
d
f
A
ξ
~
X
+
∇
X
⊥
ξ
~
X
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
∈
X
⊥
(
M
)
{:(4.6.4) widetilde(grad)_(X)^(f) widetilde(xi)=-df(A_( tilde(xi))X)+grad_(X)^(_|_) widetilde(xi)quad(X inX(M),( widetilde(xi))inX^(_|_)(M)):} \begin{equation*}
\widetilde{\nabla}_{\boldsymbol{X}}^{f} \widetilde{\xi}=-d f\left(A_{\tilde{\xi}} \boldsymbol{X}\right)+\nabla_{\boldsymbol{X}}^{\perp} \widetilde{\xi} \quad\left(\boldsymbol{X} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right) \tag{4.6.4}
\end{equation*} (4.6.4) ∇ ~ X f ξ ~ = − d f ( A ξ ~ X ) + ∇ X ⊥ ξ ~ ( X ∈ X ( M ) , ξ ~ ∈ X ⊥ ( M ) )
が成り立つ. この式は,
∇
~
X
f
ξ
~
∇
~
X
f
ξ
~
widetilde(grad)_(X)^(f) widetilde(xi) \widetilde{\nabla}_{X}^{f} \widetilde{\xi} ∇ ~ X f ξ ~ の接成分と法成分への直交分解を表す式であ る. 式(4.6.4)をワインガルテンの公式(Weingarten formula)という.
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) 内のはめ込まれたリーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) に対し,
k
=
dim
M
~
−
k
=
dim
M
~
−
k=dim widetilde(M)- k=\operatorname{dim} \widetilde{M}- k = dim M ~ −
dim
M
dim
M
dim M \operatorname{dim} M dim M はその余次元とよばれる。特に, 余次元 1 のはめ込まれたリーマン 部分多様体は,はめ込まれたリーマン超曲面 (immersed Riemannian hypersurface) とよばれる。
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) をによってはめ込まれ た
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) 内の
n
n
n n n 次元リーマン超曲面とし,
A
A
A A A をその形テンソル場とする。
M
M
M M M 上で大域的に定義される
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級単位法べクトル場
N
N
N N N が存在するとする. 例 えば,
M
,
M
~
M
,
M
~
M, widetilde(M) M, \widetilde{M} M , M ~ が向き付け可能ならば,
N
N
N \boldsymbol{N} N は存在する。このとき,
N
N
N \boldsymbol{N} N を用い て,
M
M
M M M 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) テンソル場
A
A
A \mathcal{A} A を
A
p
:=
(
A
p
)
N
p
(
p
∈
M
)
A
p
:=
A
p
N
p
(
p
∈
M
)
A_(p):=(A_(p))_(N_(p))(p in M) \mathcal{A}_{p}:=\left(A_{p}\right)_{N_{p}}(p \in M) A p := ( A p ) N p ( p ∈ M ) により定義す る.
A
A
A \mathcal{A} A をリーマン超曲面
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f ) の
N
N
N \boldsymbol{N} N に対する形作用素といい,
h
S
:=
g
(
A
(
∙
)
,
∙
)
h
S
:=
g
(
A
(
∙
)
,
∙
)
h^(S):=g(A(∙),∙) h^{S}:=g(\mathcal{A}(\bullet), \bullet) h S := g ( A ( ∙ ) , ∙ ) をリーマン超曲面
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f )の
N
N
N \boldsymbol{N} N に対するスカラ 一値第 2 基本形式(scalar-valued second fundamental form)といい う. また,
H
:=
1
n
Tr
A
H
:=
1
n
Tr
A
H:=(1)/(n)TrA \mathcal{H}:=\frac{1}{n} \operatorname{Tr} \mathcal{A} H := 1 n Tr A をリーマン超曲面
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) (または
f
f
f f f ) の
N
N
N \boldsymbol{N} N に対する 平均曲率という.リーマン超曲面
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の(法ベクトル値)第 2 基本形式
h
h
h h h は
h
=
h
S
⊗
N
h
=
h
S
⊗
N
h=h^(S)ox N h=h^{S} \otimes \boldsymbol{N} h = h S ⊗ N と記述され, リーマン超曲面
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の平均曲率ベクトル場
H
H
H H H は
H
=
H
N
H
=
H
N
H=HN H=\mathcal{H} \boldsymbol{N} H = H N と記述される.
次に,
f
f
f f f によってはめ込まれた
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) 内のリーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) に対 するガウスの方程式・コダッチの方程式・リッチの方程式について述べること にする。
R
~
,
R
,
R
⊥
R
~
,
R
,
R
⊥
widetilde(R),R,R^(_|_) \widetilde{R}, R, R^{\perp} R ~ , R , R ⊥ を各々,
∇
~
,
∇
,
∇
⊥
∇
~
,
∇
,
∇
⊥
widetilde(grad),grad,grad^(_|_) \widetilde{\nabla}, \nabla, \nabla^{\perp} ∇ ~ , ∇ , ∇ ⊥ の曲率テンソル場とする. 最初に, ガ ウスの方程式(Gauss equation)について述べる.
定理 4.6.1
R
~
,
R
,
h
R
~
,
R
,
h
widetilde(R),R,h \widetilde{R}, R, h R ~ , R , h の間に次の関係式が成り立つ:
g
~
(
R
~
(
d
f
(
X
)
,
d
f
(
Y
)
)
d
f
(
Z
)
,
d
f
(
W
)
)
=
g
(
R
(
X
,
Y
)
Z
,
W
)
+
g
~
(
h
(
X
,
Z
)
,
h
(
Y
,
W
)
)
−
g
~
(
h
(
X
,
W
)
,
h
(
Y
,
Z
)
)
(
X
,
Y
,
Z
,
W
∈
X
(
M
)
)
g
~
(
R
~
(
d
f
(
X
)
,
d
f
(
Y
)
)
d
f
(
Z
)
,
d
f
(
W
)
)
=
g
(
R
(
X
,
Y
)
Z
,
W
)
+
g
~
(
h
(
X
,
Z
)
,
h
(
Y
,
W
)
)
−
g
~
(
h
(
X
,
W
)
,
h
(
Y
,
Z
)
)
(
X
,
Y
,
Z
,
W
∈
X
(
M
)
)
{:[ widetilde(g)( widetilde(R)(df(X)","df(Y))df(Z)","df(W))],[=g(R(X","Y)Z","W)+ widetilde(g)(h(X","Z)","h(Y","W))- widetilde(g)(h(X","W)","h(Y","Z))],[(X","Y","Z","W inX(M))]:} \begin{aligned}
& \widetilde{g}(\widetilde{R}(d f(\boldsymbol{X}), d f(\boldsymbol{Y})) d f(\boldsymbol{Z}), d f(\boldsymbol{W})) \\
= & g(R(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W})+\widetilde{g}(h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}), h(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{W}))-\widetilde{g}(h(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{W}), h(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})) \\
& (\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}, \boldsymbol{W} \in \mathcal{X}(M))
\end{aligned} g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) d f ( Z ) , d f ( W ) ) = g ( R ( X , Y ) Z , W ) + g ~ ( h ( X , Z ) , h ( Y , W ) ) − g ~ ( h ( X , W ) , h ( Y , Z ) ) ( X , Y , Z , W ∈ X ( M ) )
∇
∇
grad \nabla ∇ と
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ を用いて,
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
⊥
M
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
∗
M
⊗
T
⊥
M
T^(**)M oxT^(**)M oxT^(**)M oxT^(_|_)M T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{*} M \otimes T^{\perp} M T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ⊥ M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断
∇
¯
h
∇
¯
h
bar(grad)h \bar{\nabla} h ∇ ¯ h を
(
∇
¯
h
)
p
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
:=
∇
v
1
⊥
(
h
(
X
2
,
X
3
)
)
−
h
p
(
∇
v
1
X
2
,
v
3
)
−
h
p
(
v
2
,
∇
v
1
X
3
)
(
p
∈
M
,
v
i
∈
T
p
M
(
i
=
1
,
2
,
3
)
)
(
∇
¯
h
)
p
v
1
,
v
2
,
v
3
:=
∇
v
1
⊥
h
X
2
,
X
3
−
h
p
∇
v
1
X
2
,
v
3
−
h
p
v
2
,
∇
v
1
X
3
p
∈
M
,
v
i
∈
T
p
M
(
i
=
1
,
2
,
3
)
{:[( bar(grad)h)_(p)(v_(1),v_(2),v_(3)):=grad_(v_(1))^(_|_)(h(X_(2),X_(3)))-h_(p)(grad_(v_(1))X_(2),v_(3))-h_(p)(v_(2),grad_(v_(1))X_(3))],[(p in M,quadv_(i)inT_(p)M(i=1,2,3))]:} \begin{array}{r}
(\bar{\nabla} h)_{p}\left(\boldsymbol{v}_{1}, \boldsymbol{v}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right):=\nabla_{\boldsymbol{v}_{1}}^{\perp}\left(h\left(\boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{X}_{3}\right)\right)-h_{p}\left(\nabla_{\boldsymbol{v}_{1}} \boldsymbol{X}_{2}, \boldsymbol{v}_{3}\right)-h_{p}\left(\boldsymbol{v}_{2}, \nabla_{\boldsymbol{v}_{1}} \boldsymbol{X}_{3}\right) \\
\left(p \in M, \quad \boldsymbol{v}_{i} \in T_{p} M(i=1,2,3)\right)
\end{array} ( ∇ ¯ h ) p ( v 1 , v 2 , v 3 ) := ∇ v 1 ⊥ ( h ( X 2 , X 3 ) ) − h p ( ∇ v 1 X 2 , v 3 ) − h p ( v 2 , ∇ v 1 X 3 ) ( p ∈ M , v i ∈ T p M ( i = 1 , 2 , 3 ) )
によって定義する. ここで,
X
i
(
i
=
2
,
3
)
X
i
(
i
=
2
,
3
)
X_(i)(i=2,3) \boldsymbol{X}_{i}(i=2,3) X i ( i = 2 , 3 ) は,
(
X
i
)
p
=
v
i
X
i
p
=
v
i
(X_(i))_(p)=v_(i) \left(\boldsymbol{X}_{i}\right)_{p}=\boldsymbol{v}_{i} ( X i ) p = v i となる
X
(
M
)
X
(
M
)
X(M) \mathcal{X}(M) X ( M ) の元を表す. 以下,
(
∇
¯
h
)
(
X
,
Y
,
Z
)
(
∇
¯
h
)
(
X
,
Y
,
Z
)
( bar(grad)h)(X,Y,Z) (\bar{\nabla} h)(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}) ( ∇ ¯ h ) ( X , Y , Z ) を
(
∇
¯
X
h
)
(
Y
,
Z
)
∇
¯
X
h
(
Y
,
Z
)
( bar(grad)_(X)h)(Y,Z) \left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} h\right)(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}) ( ∇ ¯ X h ) ( Y , Z ) と表すことにする. 次
に, コダッチの方程式(Codazzi equation)を述べる.
定理 4.6.2
R
~
R
~
widetilde(R) \widetilde{R} R ~ と
∇
¯
h
∇
¯
h
bar(grad)h \bar{\nabla} h ∇ ¯ h の間に次の関係式が成り立つ:
g
~
(
R
~
(
d
f
(
X
)
,
d
f
(
Y
)
)
d
f
(
Z
)
,
ξ
~
)
=
g
~
(
(
∇
¯
X
h
)
(
Y
,
Z
)
,
ξ
~
)
−
g
~
(
(
∇
¯
Y
h
)
(
X
,
Z
)
,
ξ
~
)
g
~
(
R
~
(
d
f
(
X
)
,
d
f
(
Y
)
)
d
f
(
Z
)
,
ξ
~
)
=
g
~
∇
¯
X
h
(
Y
,
Z
)
,
ξ
~
−
g
~
∇
¯
Y
h
(
X
,
Z
)
,
ξ
~
widetilde(g)( widetilde(R)(df(X),df(Y))df(Z), widetilde(xi))= widetilde(g)(( bar(grad)_(X)h)(Y,Z),( widetilde(xi)))- widetilde(g)(( bar(grad)_(Y)h)(X,Z),( widetilde(xi))) \widetilde{g}(\widetilde{R}(d f(\boldsymbol{X}), d f(\boldsymbol{Y})) d f(\boldsymbol{Z}), \widetilde{\xi})=\widetilde{g}\left(\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} h\right)(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z}), \widetilde{\xi}\right)-\widetilde{g}\left(\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{Y}} h\right)(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}), \widetilde{\xi}\right) g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) d f ( Z ) , ξ ~ ) = g ~ ( ( ∇ ¯ X h ) ( Y , Z ) , ξ ~ ) − g ~ ( ( ∇ ¯ Y h ) ( X , Z ) , ξ ~ )
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
∈
X
⊥
(
M
)
)
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
∈
X
⊥
(
M
)
(X,Y,Z inX(M),( widetilde(xi))inX^(_|_)(M)) \left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right) ( X , Y , Z ∈ X ( M ) , ξ ~ ∈ X ⊥ ( M ) )
特に,
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) が定曲率空間の場合,
(
∇
¯
X
h
)
(
Y
,
Z
)
=
(
∇
¯
Y
h
)
(
X
,
Z
)
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
)
∇
¯
X
h
(
Y
,
Z
)
=
∇
¯
Y
h
(
X
,
Z
)
(
X
,
Y
,
Z
∈
X
(
M
)
)
( bar(grad)_(X)h)(Y,Z)=( bar(grad)_(Y)h)(X,Z)quad(X,Y,Z inX(M)) \left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} h\right)(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z})=\left(\bar{\nabla}_{\boldsymbol{Y}} h\right)(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z}) \quad(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Z} \in \mathcal{X}(M)) ( ∇ ¯ X h ) ( Y , Z ) = ( ∇ ¯ Y h ) ( X , Z ) ( X , Y , Z ∈ X ( M ) )
が成り立つ.
次に, リッチの方程式(Ricci equation)について述べることにする.
定理 4.6.3
R
~
,
R
⊥
,
A
R
~
,
R
⊥
,
A
widetilde(R),R^(_|_),A \widetilde{R}, R^{\perp}, A R ~ , R ⊥ , A の間に次の関係式が成り立つ:
g
~
(
R
~
(
d
f
(
X
)
,
d
f
(
Y
)
)
ξ
~
1
,
ξ
~
2
)
=
g
~
(
R
⊥
(
X
,
Y
)
ξ
~
1
,
ξ
~
2
)
−
g
(
[
A
ξ
~
1
,
A
ξ
~
2
]
(
X
)
,
Y
)
g
~
R
~
(
d
f
(
X
)
,
d
f
(
Y
)
)
ξ
~
1
,
ξ
~
2
=
g
~
R
⊥
(
X
,
Y
)
ξ
~
1
,
ξ
~
2
−
g
A
ξ
~
1
,
A
ξ
~
2
(
X
)
,
Y
widetilde(g)(( widetilde(R))(df(X),df(Y)) widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2))= widetilde(g)(R^(_|_)(X,Y) widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2))-g([A_( tilde(xi)_(1)),A_( widetilde(xi)_(2))](X),Y) \widetilde{g}\left(\widetilde{R}(d f(\boldsymbol{X}), d f(\boldsymbol{Y})) \widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2}\right)=\widetilde{g}\left(R^{\perp}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) \widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2}\right)-g\left(\left[A_{\tilde{\xi}_{1}}, A_{\widetilde{\xi}_{2}}\right](\boldsymbol{X}), \boldsymbol{Y}\right) g ~ ( R ~ ( d f ( X ) , d f ( Y ) ) ξ ~ 1 , ξ ~ 2 ) = g ~ ( R ⊥ ( X , Y ) ξ ~ 1 , ξ ~ 2 ) − g ( [ A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ] ( X ) , Y )
(
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
1
,
ξ
~
2
∈
X
⊥
(
M
)
)
X
,
Y
∈
X
(
M
)
,
ξ
~
1
,
ξ
~
2
∈
X
⊥
(
M
)
(X,Y inX(M), widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2)inX^(_|_)(M)) \left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in \mathcal{X}(M), \widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right) ( X , Y ∈ X ( M ) , ξ ~ 1 , ξ ~ 2 ∈ X ⊥ ( M ) )
ここで,
[
A
ξ
~
1
,
A
ξ
~
2
]
A
ξ
~
1
,
A
ξ
~
2
[A_( tilde(xi)_(1)),A_( tilde(xi)_(2))] \left[A_{\tilde{\xi}_{1}}, A_{\tilde{\xi}_{2}}\right] [ A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ] は交換子積
A
ξ
~
1
∘
A
ξ
~
2
−
A
ξ
~
2
∘
A
ξ
~
1
A
ξ
~
1
∘
A
ξ
~
2
−
A
ξ
~
2
∘
A
ξ
~
1
A_( tilde(xi)_(1))@A_( tilde(xi)_(2))-A_( tilde(xi)_(2))@A_( tilde(xi)_(1)) A_{\tilde{\xi}_{1}} \circ A_{\tilde{\xi}_{2}}-A_{\tilde{\xi}_{2}} \circ A_{\tilde{\xi}_{1}} A ξ ~ 1 ∘ A ξ ~ 2 − A ξ ~ 2 ∘ A ξ ~ 1 を表す.
これらの定理の証明については,
[
K
o
8
]
[
K
o
8
]
[Ko8] [K o 8] [ K o 8 ] の 5.9 節を参照のこと.
次に, リーマン部分多様体の主曲率を定義する。
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を
f
f
f f f によってはめ 込まれた
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) 内の
n
n
n n n 次元リーマン部分多様体とし,
A
,
H
,
∇
⊥
A
,
H
,
∇
⊥
A,H,grad^(_|_) A, H, \nabla^{\perp} A , H , ∇ ⊥ をその形テ ンソル場, 平均曲率ベクトル場, 法接続とする。法ベクトル
ξ
∈
T
p
⊥
M
ξ
∈
T
p
⊥
M
xi inT_(p)^(_|_)M \xi \in T_{p}^{\perp} M ξ ∈ T p ⊥ M に対 し,
(
A
p
)
ξ
A
p
ξ
(A_(p))_(xi) \left(A_{p}\right)_{\xi} ( A p ) ξ の固有値をリーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の
ξ
ξ
xi \boldsymbol{\xi} ξ に対する主曲率といい, その固有ベクトルを
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) の
ξ
ξ
xi \boldsymbol{\xi} ξ に対する主曲率ベクトルという.
特に,
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) が定曲率空間で, 法接続
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ が平坦(つまり
R
⊥
=
0
)
の
R
⊥
=
0
)
の
R^(_|_)=0)の R^{\perp}=0 ) の ) の R ⊥ = 0 ) の 場合を考える. このとき, リッチの方程式と命題 4.3 .2 によれば,
[
A
ξ
~
1
,
A
ξ
~
2
]
=
0
(
ξ
~
1
,
ξ
~
2
∈
X
⊥
(
M
)
)
A
ξ
~
1
,
A
ξ
~
2
=
0
ξ
~
1
,
ξ
~
2
∈
X
⊥
(
M
)
[A_( tilde(xi)_(1)),A_( tilde(xi)_(2))]=0quad( widetilde(xi)_(1), widetilde(xi)_(2)inX^(_|_)(M)) \left[A_{\tilde{\xi}_{1}}, A_{\tilde{\xi}_{2}}\right]=0 \quad\left(\widetilde{\xi}_{1}, \widetilde{\xi}_{2} \in \mathcal{X}^{\perp}(M)\right) [ A ξ ~ 1 , A ξ ~ 2 ] = 0 ( ξ ~ 1 , ξ ~ 2 ∈ X ⊥ ( M ) )
が成り立つ, つまり,
{
(
A
p
)
ξ
}
ξ
∈
T
p
⊥
M
A
p
ξ
ξ
∈
T
p
⊥
M
{(A_(p))_(xi)}_(xi inT_(p)^(_|_)M) \left\{\left(A_{p}\right)_{\xi}\right\}_{\xi \in T_{p}^{\perp} M} { ( A p ) ξ } ξ ∈ T p ⊥ M は対称変換の可換族になる。それゆえ,
(
A
p
)
ξ
(
ξ
∈
T
p
⊥
M
)
A
p
ξ
ξ
∈
T
p
⊥
M
(A_(p))_(xi)(xi inT_(p)^(_|_)M) \left(A_{p}\right)_{\xi}\left(\xi \in T_{p}^{\perp} M\right) ( A p ) ξ ( ξ ∈ T p ⊥ M ) は, ある正規直交基底に関して同時に対角化される,つま り, それらは
T
p
M
T
p
M
T_(p)M T_{p} M T p M の同時固有空間分解
T
p
M
=
E
1
p
⊕
⋯
⊕
E
l
p
p
(
(
A
p
)
ξ
|
E
i
p
=
∃
λ
ξ
,
i
p
id
E
i
p
(
i
=
1
,
…
,
l
p
,
ξ
∈
T
p
⊥
M
)
)
T
p
M
=
E
1
p
⊕
⋯
⊕
E
l
p
p
A
p
ξ
E
i
p
=
∃
λ
ξ
,
i
p
id
E
i
p
i
=
1
,
…
,
l
p
,
ξ
∈
T
p
⊥
M
{:[T_(p)M=E_(1)^(p)o+cdots o+E_(l_(p))^(p)],[((A_(p))_(xi)|_(E_(i)^(p))=^(EE)lambda_(xi,i)^(p)id_(E_(i)^(p))quad(i=1,dots,l_(p),xi inT_(p)^(_|_)M))]:} \begin{gathered}
T_{p} M=E_{1}^{p} \oplus \cdots \oplus E_{l_{p}}^{p} \\
\left(\left.\left(A_{p}\right)_{\xi}\right|_{E_{i}^{p}}={ }^{\exists} \lambda_{\xi, i}^{p} \operatorname{id}_{E_{i}^{p}} \quad\left(i=1, \ldots, l_{p}, \xi \in T_{p}^{\perp} M\right)\right)
\end{gathered} T p M = E 1 p ⊕ ⋯ ⊕ E l p p ( ( A p ) ξ | E i p = ∃ λ ξ , i p id E i p ( i = 1 , … , l p , ξ ∈ T p ⊥ M ) )
を許容する. この事実の証明は, 線形代数の本を参照のこと.
T
p
⊥
M
T
p
⊥
M
T_(p)^(_|_)M T_{p}^{\perp} M T p ⊥ M 上の関数
λ
^
p
,
i
(
i
=
1
,
…
,
l
p
)
λ
^
p
,
i
i
=
1
,
…
,
l
p
widehat(lambda)_(p,i)(i=1,dots,l_(p)) \widehat{\lambda}_{p, i}\left(i=1, \ldots, l_{p}\right) λ ^ p , i ( i = 1 , … , l p ) を
λ
^
p
,
i
(
ξ
)
:=
λ
ξ
,
i
p
(
ξ
∈
T
p
⊥
M
)
λ
^
p
,
i
(
ξ
)
:=
λ
ξ
,
i
p
ξ
∈
T
p
⊥
M
widehat(lambda)_(p,i)(xi):=lambda_(xi,i)^(p)(xi inT_(p)^(_|_)M) \widehat{\lambda}_{p, i}(\xi):=\lambda_{\xi, i}^{p}\left(\xi \in T_{p}^{\perp} M\right) λ ^ p , i ( ξ ) := λ ξ , i p ( ξ ∈ T p ⊥ M ) にり定める. これらは,
T
p
⊥
M
T
p
⊥
M
T_(p)^(_|_)M T_{p}^{\perp} M T p ⊥ M 上の線形関数になることが示される。. 実際,
ξ
1
,
ξ
2
∈
T
p
⊥
M
ξ
1
,
ξ
2
∈
T
p
⊥
M
xi_(1),xi_(2)inT_(p)^(_|_)M \xi_{1}, \xi_{2} \in T_{p}^{\perp} M ξ 1 , ξ 2 ∈ T p ⊥ M と
a
,
b
∈
R
a
,
b
∈
R
a,b inR a, b \in \mathbb{R} a , b ∈ R に対し,
(
A
p
)
a
ξ
1
+
b
ξ
2
|
E
i
p
=
λ
^
p
,
i
(
a
ξ
1
+
b
ξ
2
)
id
E
i
p
(
A
p
)
a
ξ
1
+
b
ξ
2
|
E
i
p
=
a
(
A
p
)
ξ
1
|
E
i
p
+
b
(
A
p
)
ξ
2
|
E
i
p
=
(
a
λ
^
p
,
i
(
ξ
1
)
+
b
λ
^
p
,
i
(
ξ
2
)
)
id
E
i
p
A
p
a
ξ
1
+
b
ξ
2
E
i
p
=
λ
^
p
,
i
a
ξ
1
+
b
ξ
2
id
E
i
p
A
p
a
ξ
1
+
b
ξ
2
E
i
p
=
a
A
p
ξ
1
E
i
p
+
b
A
p
ξ
2
E
i
p
=
a
λ
^
p
,
i
ξ
1
+
b
λ
^
p
,
i
ξ
2
id
E
i
p
{:[(A_(p))_(axi_(1)+bxi_(2))|_(E_(i)^(p))= widehat(lambda)_(p,i)(axi_(1)+bxi_(2))id_(E_(i)^(p))],[(A_(p))_(axi_(1)+bxi_(2))|_(E_(i)^(p))=a(A_(p))_(xi_(1))|_(E_(i)^(p))+b(A_(p))_(xi_(2))|_(E_(i)^(p))=(a widehat(lambda)_(p,i)(xi_(1))+b widehat(lambda)_(p,i)(xi_(2)))id_(E_(i)^(p))]:} \begin{aligned}
& \left.\left(A_{p}\right)_{a \xi_{1}+b \xi_{2}}\right|_{E_{i}^{p}}=\widehat{\lambda}_{p, i}\left(a \xi_{1}+b \xi_{2}\right) \operatorname{id}_{E_{i}^{p}} \\
& \left.\left(A_{p}\right)_{a \xi_{1}+b \xi_{2}}\right|_{E_{i}^{p}}=\left.a\left(A_{p}\right)_{\xi_{1}}\right|_{E_{i}^{p}}+\left.b\left(A_{p}\right)_{\xi_{2}}\right|_{E_{i}^{p}}=\left(a \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{1}\right)+b \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{2}\right)\right) \mathrm{id}_{E_{i}^{p}}
\end{aligned} ( A p ) a ξ 1 + b ξ 2 | E i p = λ ^ p , i ( a ξ 1 + b ξ 2 ) id E i p ( A p ) a ξ 1 + b ξ 2 | E i p = a ( A p ) ξ 1 | E i p + b ( A p ) ξ 2 | E i p = ( a λ ^ p , i ( ξ 1 ) + b λ ^ p , i ( ξ 2 ) ) id E i p
が示され, それゆえ,
λ
^
p
,
i
(
a
ξ
1
+
b
ξ
2
)
=
a
λ
^
p
,
i
(
ξ
1
)
+
b
λ
^
p
,
i
(
ξ
2
)
λ
^
p
,
i
a
ξ
1
+
b
ξ
2
=
a
λ
^
p
,
i
ξ
1
+
b
λ
^
p
,
i
ξ
2
widehat(lambda)_(p,i)(axi_(1)+bxi_(2))=a widehat(lambda)_(p,i)(xi_(1))+b widehat(lambda)_(p,i)(xi_(2)) \widehat{\lambda}_{p, i}\left(a \xi_{1}+b \xi_{2}\right)=a \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{1}\right)+b \widehat{\lambda}_{p, i}\left(\xi_{2}\right) λ ^ p , i ( a ξ 1 + b ξ 2 ) = a λ ^ p , i ( ξ 1 ) + b λ ^ p , i ( ξ 2 ) をえる.
λ
^
p
,
i
(
i
=
λ
^
p
,
i
(
i
=
widehat(lambda)_(p,i)(i= \widehat{\lambda}_{p, i}(i= λ ^ p , i ( i =
1
,
…
,
l
p
)
1
,
…
,
l
p
{:1,dots,l_(p)) \left.1, \ldots, l_{p}\right) 1 , … , l p ) を, 平坦な法接続をもつリーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, \boldsymbol{g}) ( M , g ) の点
p
p
p \boldsymbol{p} p におけ る主曲率という.
l
p
l
p
l_(p) l_{p} l p が
p
∈
M
p
∈
M
p in M p \in M p ∈ M によらず一定の場合を考える.
l
:=
l
p
l
:=
l
p
l:=l_(p) l:=l_{p} l := l p とお く. このとき,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) を主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体という. 点
p
p
p p p ごとに
E
i
p
(
i
=
1
,
…
,
l
)
E
i
p
(
i
=
1
,
…
,
l
)
E_(i)^(p)(i=1,dots,l) E_{i}^{p}(i=1, \ldots, l) E i p ( i = 1 , … , l ) を並べ替えることにより, 対応
p
↦
E
i
p
(
i
=
1
,
…
,
l
)
p
↦
E
i
p
(
i
=
1
,
…
,
l
)
p|->E_(i)^(p)(i=1,dots,l) p \mapsto E_{i}^{p}(i=1, \ldots, l) p ↦ E i p ( i = 1 , … , l ) が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級接分布を与えるようにすることができ, そのとき, 対応
λ
^
i
:
p
↦
λ
^
p
,
i
(
p
∈
M
)
λ
^
i
:
p
↦
λ
^
p
,
i
(
p
∈
M
)
widehat(lambda)_(i):p|-> widehat(lambda)_(p,i)(p in M) \widehat{\lambda}_{i}: p \mapsto \widehat{\lambda}_{p, i}(p \in M) λ ^ i : p ↦ λ ^ p , i ( p ∈ M ) は, 法ベクトルバンドル
T
⊥
M
T
⊥
M
T^(_|_)M T^{\perp} M T ⊥ M の 双対バンドル
(
T
⊥
M
)
∗
T
⊥
M
∗
(T^(_|_)M)^(**) \left(T^{\perp} M\right)^{*} ( T ⊥ M ) ∗ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級切断を与えることになる。これらの
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断
λ
^
i
(
i
=
1
,
…
,
l
)
λ
^
i
(
i
=
1
,
…
,
l
)
widehat(lambda)_(i)(i=1,dots,l) \widehat{\lambda}_{i}(i=1, \ldots, l) λ ^ i ( i = 1 , … , l ) を, 主曲率の個数一定の平坦な法接続をもつリーマン部分多様体
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, \boldsymbol{g}) ( M , g ) の主曲率という.定曲率空間内の主曲率の個数一定の平坦 な法接続をもつリーマン部分多様体で,主曲率の法接続に関する平行性を課 したものとして, 等径部分多様体(isoparametric submanifold)という 概念が
[
Te
1
]
[
Te
1
]
[Te1] [\mathrm{Te} 1] [ Te 1 ] において定義され,その後 [Te2] において,その無限次元版とし て, 可分なヒルベルト空間内で, 無限次元等径部分多様体という概念が定義さ れた. さらに, [TT]において, リーマン対称空間(Riemannian symmetric space)とよばれる定曲率空間を一般化した空間内で,等径部分多様体の 一般概念として,等焦部分多様体(equifocal submanifold)という概念が 定義された。 これらの部分多様体の平行族とよばれる族とその切断とよばれ る族は, 極座標と同種の幾何学模様を与え, 興味深い研究対象として, R. S. Palais, C. L. Terng, G. Thorbergssonをはじめとする多くの微分幾何学者に よって研究されている。 これらの部分多様体のモデルは, 極作用とよばれるリ
一群作用の軌道として与えられる. これらの部分多様体の研究に興味のある方 は, [Ch], [HL], [HLO], [Mo1], [Mo2], [PT], [Te1], [Te2], [TT], [Ko5], [Ko6]等を参照のこと. 特に, 等径超曲面(余次元 1 の等径部分多様体)に興味の ある方は, [Ca1], [Ca2], [FKM], [Miy1]-[Miy4], [Mu1], [Mu2], [OT1], [OT2]等を参照のこと.
4.7 体積汎関数の第 1 変分公式・第 2 変分公式
この節において, 向き付けられた
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
(
M
,
O
)
(
M
,
O
)
(M,O) (M, O) ( M , O ) の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつコンパクト閉領域
D
D
D D D から
(
n
+
k
)
(
n
+
k
)
(n+k) (n+k) ( n + k ) 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン多様体
(
M
~
,
g
~
)
(
M
~
,
g
~
)
( widetilde(M), widetilde(g)) (\widetilde{M}, \widetilde{g}) ( M ~ , g ~ ) への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込み全体のなす集合上で体積汎関数を定義し,その第 1 変分公式と第 2 変分公式を導くことにする。
D
D
D D D から
M
~
へ
の
C
∞
M
~
へ
の
C
∞
widetilde(M)へのC^(oo) \widetilde{M} へ の C^{\infty} へ の M ~ へ の C ∞ はめ込み写像全体のなす集合を
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) で表すことにする。この集合は、フレシェ 多様体とよばれる無限次元多様体になり,
g
~
g
~
widetilde(g) \widetilde{g} g ~ を用いて自然に定義されるリーマ ン計量
g
L
2
g
L
2
g_(L^(2)) \mathbf{g}_{L^{2}} g L 2 をもつ.
g
L
2
g
L
2
g_(L^(2)) \mathbf{g}_{L^{2}} g L 2 の定義を述べよう。そのために,
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) の点
f
f
f f f における接空間
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M)) T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) T f Imm ∞ ( D , M ~ ) がどのように定義されるべきかを述べるこ とにする。まず,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ达みの
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形を定義しょう.
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f inImm^(oo)(D, widetilde(M)) f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) f ∈ Imm ∞ ( D , M ~ ) に対し、Dから
M
~
M
~
widetilde(M) \widetilde{M} M ~ への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込みの 1 パラメーター族
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) で, 次 の 2 条件を満たすものを考える:
(i)
F
(
p
,
t
)
:=
f
t
(
p
)
(
(
p
,
t
)
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
)
F
(
p
,
t
)
:=
f
t
(
p
)
(
(
p
,
t
)
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
)
F(p,t):=f_(t)(p)((p,t)in D xx(-epsi,epsi)) F(p, t):=f_{t}(p)((p, t) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon)) F ( p , t ) := f t ( p ) ( ( p , t ) ∈ D × ( − ε , ε ) ) によって定義される写像
F
F
F F F :
D
×
(
−
ε
,
ε
)
→
M
~
D
×
(
−
ε
,
ε
)
→
M
~
D xx(-epsi,epsi)rarr widetilde(M) D \times(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \widetilde{M} D × ( − ε , ε ) → M ~ は
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像である;
(ii)
f
0
=
f
f
0
=
f
f_(0)=f f_{0}=f f 0 = f .
このような族
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) (または
F
)
F
)
F) F ) ) F ) を
f
f
f f f C
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級変形
(
C
∞
C
∞
(C^(oo):} \left(C^{\infty}\right. ( C ∞ -deformation)という. 以下,
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) と表す.
t
↦
f
t
(
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
t
↦
f
t
(
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
t|->f_(t)(t in(-epsi,epsi)) t \mapsto f_{t}(t \in(-\varepsilon, \varepsilon)) t ↦ f t ( t ∈ ( − ε , ε ) ) は
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) における
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とみなされるので,
f
f
f f f の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級変形
F
F
F F F に対 し,
(
V
F
)
p
:=
d
F
(
p
,
0
)
(
(
∂
∂
t
)
(
p
,
0
)
)
(
∈
T
f
(
p
)
M
~
)
(
p
∈
D
)
V
F
p
:=
d
F
(
p
,
0
)
∂
∂
t
(
p
,
0
)
∈
T
f
(
p
)
M
~
(
p
∈
D
)
(V_(F))_(p):=dF_((p,0))(((del)/(del t))_((p,0)))(inT_(f(p))( widetilde(M)))quad(p in D) \left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{p}:=d F_{(p, 0)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{(p, 0)}\right)\left(\in T_{f(p)} \widetilde{M}\right) \quad(p \in D) ( V F ) p := d F ( p , 0 ) ( ( ∂ ∂ t ) ( p , 0 ) ) ( ∈ T f ( p ) M ~ ) ( p ∈ D )
によって定義される
f
f
f f f に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトル場
V
F
V
F
V_(F) \boldsymbol{V}_{F} V F は,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
t
↦
f
t
t
↦
f
t
t|->f_(t) t \mapsto f_{t} t ↦ f t の初速度とみなされ、それゆえ,
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) の点
f
f
f f f における接空間
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M)) T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) T f Imm ∞ ( D , M ~ ) の元とみなされる.
V
F
V
F
V_(F) V_{F} V F は,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) の変分べ クトル場とよばれる。特に,
f
t
|
∂
D
=
f
|
∂
D
(
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
f
t
∂
D
=
f
∂
D
(
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
f_(t)|_(del D)=f|_(del D)(t in(-epsi,epsi)) \left.f_{t}\right|_{\partial D}=\left.f\right|_{\partial D}(t \in(-\varepsilon, \varepsilon)) f t | ∂ D = f | ∂ D ( t ∈ ( − ε , ε ) ) であるとき, その 変形を
f
f
f \boldsymbol{f} f の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形(boundary-fixed
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ -deformation of f)といい,
V
F
V
F
V_(F) \boldsymbol{V}_{F} V F が
f
f
f f f の法べクトル場であるとき, その変形を
f
f
f \boldsymbol{f} f の
C
∞
C
∞
C^(oo) \boldsymbol{C}^{\infty} C ∞ 級法変形
(
C
∞
C
∞
(C^(oo):} \left(C^{\infty}\right. ( C ∞ -normal deformation of
f
)
f
{:f) \left.\boldsymbol{f}\right) f ) という。逆に,
f
f
f f f に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベク トル場
V
V
V \boldsymbol{V} V が与えられたとき, 十分小さな正の数
ε
ε
epsi \varepsilon ε に対し,
V
V
V \boldsymbol{V} V を変分ベクトル 場としてもつ
f
f
f f f の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級変形
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) を
f
t
(
p
)
:=
exp
f
(
p
)
(
t
V
p
)
(
(
p
,
t
)
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
)
f
t
(
p
)
:=
exp
f
(
p
)
t
V
p
(
(
p
,
t
)
∈
D
×
(
−
ε
,
ε
)
)
f_(t)(p):=exp_(f(p))(tV_(p))quad((p,t)in D xx(-epsi,epsi)) f_{t}(p):=\exp _{f(p)}\left(t V_{p}\right) \quad((p, t) \in D \times(-\varepsilon, \varepsilon)) f t ( p ) := exp f ( p ) ( t V p ) ( ( p , t ) ∈ D × ( − ε , ε ) )
によって定義することができる。したがって,
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M)) T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) T f Imm ∞ ( D , M ~ ) が,
f
f
f f f に沿う
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ ベクトル場の全体
X
f
(
D
,
M
~
)
X
f
(
D
,
M
~
)
X_(f)(D, widetilde(M)) \mathcal{X}_{f}(D, \widetilde{M}) X f ( D , M ~ ) として定義されることがわかる. 接空間
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
=
X
f
(
D
,
M
~
)
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
=
X
f
(
D
,
M
~
)
T_(f)Imm^(oo)(D, widetilde(M))=X_(f)(D, widetilde(M)) T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})=\mathcal{X}_{f}(D, \widetilde{M}) T f Imm ∞ ( D , M ~ ) = X f ( D , M ~ ) に与える内積
(
g
L
2
)
f
g
L
2
f
(g_(L^(2)))_(f) \left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f} ( g L 2 ) f は次のように定義され る:
(
g
L
2
)
f
(
X
,
Y
)
:=
∫
D
g
~
f
(
⋅
)
(
X
,
Y
)
d
V
f
∗
g
~
(
X
,
Y
∈
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
)
g
L
2
f
(
X
,
Y
)
:=
∫
D
g
~
f
(
⋅
)
(
X
,
Y
)
d
V
f
∗
g
~
X
,
Y
∈
T
f
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
(g_(L^(2)))_(f)(X,Y):=int_(D) widetilde(g)_(f(*))(X,Y)dV_(f^(**) tilde(g))quad(X,Y inT_(f)Imm^(oo)(D,( widetilde(M)))) \left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}):=\int_{D} \widetilde{g}_{f(\cdot)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) d V_{f^{*} \tilde{g}} \quad\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})\right) ( g L 2 ) f ( X , Y ) := ∫ D g ~ f ( ⋅ ) ( X , Y ) d V f ∗ g ~ ( X , Y ∈ T f Imm ∞ ( D , M ~ ) )
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) の各点
f
f
f f f に対し,
(
g
L
2
)
f
g
L
2
f
(g_(L^(2)))_(f) \left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f} ( g L 2 ) f を対応させる対応として,
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ リーマン計量
g
L
2
g
L
2
g_(L^(2)) \mathbf{g}_{L^{2}} g L 2 が定義される.
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) 上の汎関数
Vol
Vol
Vol \mathrm{Vol} Vol を
Vol
(
f
)
:=
∫
D
d
V
f
∗
g
~
(
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
)
Vol
(
f
)
:=
∫
D
d
V
f
∗
g
~
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Vol(f):=int_(D)dV_(f^(**) tilde(g))quad(f inImm^(oo)(D,( widetilde(M)))) \operatorname{Vol}(f):=\int_{D} d V_{f^{*} \tilde{g}} \quad\left(f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M})\right) Vol ( f ) := ∫ D d V f ∗ g ~ ( f ∈ Imm ∞ ( D , M ~ ) )
によって定義する. この右辺の量は, リーマン多様体
(
M
,
f
∗
g
~
)
M
,
f
∗
g
~
(M,f^(**)( widetilde(g))) \left(M, f^{*} \widetilde{g}\right) ( M , f ∗ g ~ ) の区分的に
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の境界をもつコンパクト閉領域
D
D
D D D のリーマン体積とよばれるものなの で,この汎関数は,体積汎関数(volume functional)とよばれる。ここで,関数ではなく汎関数という言葉を用いた理由は,
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) が写像空間 (関数空間の一般化)であり,その上で定義される関数だからである.体積汎関数
Vol
Vol
Vol \mathrm{Vol} Vol の臨界点, つまり, Vol の
f
f
f f f における微分
d
Vol
f
d
Vol
f
dVol_(f) d \mathrm{Vol}_{f} d Vol f が 0 になるよう な
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ はめ込み
f
f
f f f を求めることは, 変分学の視点から重要である. そのため に, 微分
d
Vol
f
d
Vol
f
dVol_(f) d \mathrm{Vol}_{f} d Vol f の積分表示式を与えることは重要であり,
Vol
Vol
Vol \mathrm{Vol} Vol の第 1 変分公式 がそれに相当する.
f
f
f f f の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
V
F
V
F
V_(F) \boldsymbol{V}_{F} V F が
t
↦
f
t
t
↦
f
t
t|->f_(t) t \mapsto f_{t} t ↦ f t を
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) における
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線とみたときの初速度なので,
d
Vol
f
(
V
F
)
d
Vol
f
V
F
dVol_(f)(V_(F)) d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right) d Vol f ( V F ) は,
d
Vol
f
(
V
F
)
=
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
d
Vol
f
V
F
=
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
dVol_(f)(V_(F))=(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t)) d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right) d Vol f ( V F ) = d d t | t = 0 Vol ( f t )
によって与えられる。以下,
r
≥
2
r
≥
2
r >= 2 r \geq 2 r ≥ 2 とする。
定理 4.7.1 (第 1 変分公式)
f
f
quad f \quad f f の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級変形
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
(4.7.1)
d
Vol
f
(
V
F
)
=
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
∫
D
(
div
g
(
V
F
)
T
−
n
g
~
(
H
,
V
F
)
)
d
V
g
(4.7.1)
d
Vol
f
V
F
=
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
∫
D
div
g
V
F
T
−
n
g
~
H
,
V
F
d
V
g
{:(4.7.1)dVol_(f)(V_(F))=(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D)(div_(g)(V_(F))_(T)-n( widetilde(g))(H,V_(F)))dV_(g):} \begin{equation*}
d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D}\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}-n \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right)\right) d V_{g} \tag{4.7.1}
\end{equation*} (4.7.1) d Vol f ( V F ) = d d t | t = 0 Vol ( f t ) = ∫ D ( div g ( V F ) T − n g ~ ( H , V F ) ) d V g
が成り立つ. ここで,
g
g
g g g は
f
∗
g
~
f
∗
g
~
f^(**) widetilde(g) f^{*} \widetilde{g} f ∗ g ~ を表し,
H
H
H H H は
f
f
f f f の平均曲率ベクトル場を表す.特に,
M
M
M M M が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体であるとき,
D
D
D D D として
M
M
M M M をとことができ, その とき,
(4.7.2)
d
Vol
f
(
V
F
)
=
−
n
∫
M
g
~
(
H
,
V
F
)
d
V
g
(4.7.2)
d
Vol
f
V
F
=
−
n
∫
M
g
~
H
,
V
F
d
V
g
{:(4.7.2)dVol_(f)(V_(F))=-nint_(M) widetilde(g)(H,V_(F))dV_(g):} \begin{equation*}
d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=-n \int_{M} \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right) d V_{g} \tag{4.7.2}
\end{equation*} (4.7.2) d Vol f ( V F ) = − n ∫ M g ~ ( H , V F ) d V g
が成り立つ.
証明
g
t
:=
f
t
∗
g
~
g
t
:=
f
t
∗
g
~
g_(t):=f_(t)^(**) widetilde(g) g_{t}:=f_{t}^{*} \widetilde{g} g t := f t ∗ g ~ とおく.
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に関す
( g..
)
)
) ) ) の第
(
i
,
j
)
(
i
,
j
)
(i,j) (i, j) ( i , j ) 余因子を
G
i
j
G
i
j
G_(ij) G_{i j} G i j と表すことにする. このとき, 行列式の展開と逆行列を求める公式により,
U
U
U U U 上で,
d
d
t
|
t
=
0
d
V
g
t
=
d
d
t
|
t
=
0
det
(
(
g
t
)
i
j
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
d
d
t
t
=
0
d
V
g
t
=
d
d
t
t
=
0
det
g
t
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{:(d)/(dt)|_(t=0)dV_(g_(t))=(d)/(dt)|_(t=0)sqrt(det((g_(t))_(ij)))dx_(1)^^cdots^^dx_(n):} \begin{aligned}
& \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} d V_{g_{t}}=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right)_{i j}\right)} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}
\end{aligned} d d t | t = 0 d V g t = d d t | t = 0 det ( ( g t ) i j ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n
(4.7.3)
=
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
G
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
det
(
g
.
.
)
2
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
g
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
=
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
g
i
j
d
V
g
(4.7.3)
=
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
G
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
det
(
g
.
.
)
2
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
g
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
=
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
g
i
j
d
V
g
{:[(4.7.3)=(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(j=1)^(n)sum_(i=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)G_(ij)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(sqrt(det(g..)))/(2)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)],[=(1)/(2)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)g^(ij)dV_(g)]:} \begin{align*}
& =\left.\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} G_{i j} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \tag{4.7.3}\\
& =\left.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\sqrt{\operatorname{det}(g . .)}}{2} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \\
& =\left.\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0} g^{i j} d V_{g}
\end{align*} (4.7.3) = 1 2 det ( g . . ) ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 G i j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n det ( g . . ) 2 d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n = 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d ( g t ) i j d t | t = 0 g i j d V g
が成り立つことが示される。一方,
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
=
d
d
t
|
t
=
0
g
~
(
d
f
t
(
∂
∂
x
i
)
,
d
f
t
(
∂
∂
x
j
)
)
=
g
~
(
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
x
i
)
)
|
t
=
0
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
(4.7.4)
+
g
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
x
j
)
)
|
t
=
0
)
=
g
~
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
+
g
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
∇
~
∂
∂
x
j
F
V
F
)
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
=
d
d
t
t
=
0
g
~
d
f
t
∂
∂
x
i
,
d
f
t
∂
∂
x
j
=
g
~
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
x
i
t
=
0
,
d
f
∂
∂
x
j
(4.7.4)
+
g
~
d
f
∂
∂
x
i
,
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
x
j
t
=
0
=
g
~
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
d
f
∂
∂
x
j
+
g
~
d
f
∂
∂
x
i
,
∇
~
∂
∂
x
j
F
V
F
{:[(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)=(d)/(dt)|_(t=0) widetilde(g)(df_(t)((del)/(delx_(i))),df_(t)((del)/(delx_(j))))],[= widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(i))))|_(t=0),df((del)/(delx_(j))))],[(4.7.4)+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))),( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(j))))|_(t=0))],[= widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F),df((del)/(delx_(j))))+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))), widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(F)V_(F))]:} \begin{align*}
& \left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0}=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \widetilde{g}\left(d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
= & \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)\right|_{t=0}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
& +\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right),\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right|_{t=0}\right) \tag{4.7.4}\\
= & \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)+\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right)
\end{align*} d ( g t ) i j d t | t = 0 = d d t | t = 0 g ~ ( d f t ( ∂ ∂ x i ) , d f t ( ∂ ∂ x j ) ) = g ~ ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ x i ) ) | t = 0 , d f ( ∂ ∂ x j ) ) (4.7.4) + g ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ x j ) ) | t = 0 ) = g ~ ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F V F , d f ( ∂ ∂ x j ) ) + g ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , ∇ ~ ∂ ∂ x j F V F )
をえる.
f
f
f f f の第 2 基本形式, 形テンソル場を各々,
h
,
A
h
,
A
h,A h, A h , A と表す. このとき,
g
~
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
(4.7.5)
=
g
(
∇
∂
∂
x
i
(
V
F
)
T
,
∂
∂
x
j
)
−
g
(
A
(
V
F
)
⊥
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
=
g
(
∇
∂
∂
x
i
(
V
F
)
T
,
∂
∂
x
j
)
−
g
~
(
h
(
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
,
(
V
F
)
⊥
)
g
~
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
d
f
∂
∂
x
j
(4.7.5)
=
g
∇
∂
∂
x
i
V
F
T
,
∂
∂
x
j
−
g
A
V
F
⊥
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
=
g
∇
∂
∂
x
i
V
F
T
,
∂
∂
x
j
−
g
~
h
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
,
V
F
⊥
{:[ widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F),df((del)/(delx_(j))))],[(4.7.5)=g(grad_((del)/(delx_(i)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(j)))-g(A_((V_(F))_(_|_))(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))],[=g(grad_((del)/(delx_(i)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(j)))- widetilde(g)(h((del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j))),(V_(F))_(_|_))]:} \begin{align*}
& \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
= & g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)-g\left(A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \tag{4.7.5}\\
= & g\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)-\widetilde{g}\left(h\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right),\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right)
\end{align*} g ~ ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F V F , d f ( ∂ ∂ x j ) ) (4.7.5) = g ( ∇ ∂ ∂ x i ( V F ) T , ∂ ∂ x j ) − g ( A ( V F ) ⊥ ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) = g ( ∇ ∂ ∂ x i ( V F ) T , ∂ ∂ x j ) − g ~ ( h ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) , ( V F ) ⊥ )
をえる. ここで,
(
V
F
)
⊥
V
F
⊥
(V_(F))_(_|_) \left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp} ( V F ) ⊥ は
V
F
V
F
V_(F) \boldsymbol{V}_{F} V F の法成分を表し,
(
V
F
)
T
V
F
T
(V_(F))_(T) \left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T} ( V F ) T は,
d
f
(
(
V
F
)
T
)
d
f
V
F
T
df((V_(F))_(T)) d f\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right) d f ( ( V F ) T ) が
V
F
V
F
V_(F) \boldsymbol{V}_{F} V F の接成分になるような
D
D
D D D の接ベクトル場を表す。式 (4.7.3), (4.7.4), (4.7.5) から,
U
U
U U U 上で
d
d
t
|
t
=
0
d
V
g
t
=
(
div
g
(
V
F
)
T
−
n
g
~
(
H
,
V
F
)
)
d
V
g
d
d
t
t
=
0
d
V
g
t
=
div
g
V
F
T
−
n
g
~
H
,
V
F
d
V
g
(d)/(dt)|_(t=0)dV_(g_(t))=(div_(g)(V_(F))_(T)-n( widetilde(g))(H,V_(F)))dV_(g) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} d V_{g_{t}}=\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}-n \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right)\right) d V_{g} d d t | t = 0 d V g t = ( div g ( V F ) T − n g ~ ( H , V F ) ) d V g
が成り立つことが導かれる。したがって,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) の任意性により,
D
D
D D D 上でこ の関係式が成り立つことがわかる。この両辺を
D
D
D D D 上で積分し,微分と積分の 順序交換を用いることにより,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
∫
D
(
div
g
(
V
F
)
T
−
n
g
~
(
H
,
V
F
)
)
d
V
g
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
∫
D
div
g
V
F
T
−
n
g
~
H
,
V
F
d
V
g
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D)(div_(g)(V_(F))_(T)-n( widetilde(g))(H,V_(F)))dV_(g) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D}\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}-n \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right)\right) d V_{g} d d t | t = 0 Vol ( f t ) = ∫ D ( div g ( V F ) T − n g ~ ( H , V F ) ) d V g
をえる. 特に
M
M
M M M が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体であるとき,
D
=
M
D
=
M
D=M D=M D = M として, ガウスの発散定理(系 3.12.2)を用いることにより, 式 (4.7.2) が示される。
特に, 境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形, または
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形の場合に, 次の事実が導か れる。
系 4.7.2
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) を
f
f
f f f の
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
Imm^(oo)(D, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) Imm ∞ ( D , M ~ ) における境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形, または
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形とする。このとき,
d
Vol
f
(
V
F
)
=
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
−
n
∫
D
g
~
(
H
,
V
F
)
d
V
g
d
Vol
f
V
F
=
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
−
n
∫
D
g
~
H
,
V
F
d
V
g
dVol_(f)(V_(F))=(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=-nint_(D) widetilde(g)(H,V_(F))dV_(g) d \operatorname{Vol}_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=-n \int_{D} \widetilde{g}\left(H, \boldsymbol{V}_{F}\right) d V_{g} d Vol f ( V F ) = d d t | t = 0 Vol ( f t ) = − n ∫ D g ~ ( H , V F ) d V g
が成り立つ.
証明
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形の場合,
(
V
F
)
T
=
0
V
F
T
=
0
(V_(F))_(T)=0 \left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}=\mathbf{0} ( V F ) T = 0 となるので, 式 (4.7.1) から主張における関係式が導かれる。
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) が境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形の場合を考えよう. この場合,
(
V
F
)
T
|
∂
D
=
0
V
F
T
∂
D
=
0
(V_(F))_(T)|_(del D)=0 \left.\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right|_{\partial D}=\mathbf{0} ( V F ) T | ∂ D = 0 なので, ガウスの発散定理(定理 3.12.1) より,
∫
D
div
g
(
V
F
)
T
d
V
g
=
∫
∂
D
g
(
(
V
F
)
T
,
N
)
d
V
ι
∗
g
=
0
∫
D
div
g
V
F
T
d
V
g
=
∫
∂
D
g
V
F
T
,
N
d
V
ι
∗
g
=
0
int_(D)div_(g)(V_(F))_(T)dV_(g)=int_(del D)g((V_(F))_(T),N)dV_(iota^(**)g)=0 \int_{D} \operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T} d V_{g}=\int_{\partial D} g\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \boldsymbol{N}\right) d V_{\iota^{*} g}=0 ∫ D div g ( V F ) T d V g = ∫ ∂ D g ( ( V F ) T , N ) d V ι ∗ g = 0
が成り立つ. ここでしは,
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D から
M
M
M M M への包含写像を表し,
N
N
N \boldsymbol{N} N は
∂
D
∂
D
del D \partial D ∂ D の外側向きの単位法ベクトル場を表す。それゆえ,式(4.7.1)から主張における関係式が導かれる。
この系から, 次の事実が導かれる。
定理 4.7.3
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f inImm^(oo)(D, widetilde(M)) f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) f ∈ Imm ∞ ( D , M ~ ) とする. このとき, 次の 3 つの主張は同値 である:
(i)
f
f
quad f \quad f f の任意の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t)) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right) d d t | t = 0 Vol ( f t )
=
0
=
0
=0 =0 = 0 が成り立つ;
(ii)
f
f
f f f の任意の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
0
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
0
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=0 \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=0 d d t | t = 0 Vol ( f t ) = 0 が成り 立つ;
(iii)
H
|
D
=
0
H
D
=
0
H|_(D)=0 \left.H\right|_{D}=\mathbf{0} H | D = 0 が成り立つ.
特に
M
M
M M M が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体であるとき,
D
D
D D D として
M
M
M M M をとることができる.
D
=
M
D
=
M
D=M D=M D = M のとき, 次の 2 つの主張は同値である:
(iv)
f
f
f f f の任意の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
0
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
0
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=0 \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=0 d d t | t = 0 Vol ( f t ) = 0 が成り 立つ;
(v)
H
=
0
H
=
0
H=0 H=\mathbf{0} H = 0 が成り立つ.
証明 (iii)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (i), および (iii)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (ii) は, 系 4.7 .2 における変分公式から直接導かれる. (i)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (iii)を示そう.
ρ
ρ
rho \rho ρ を
ρ
|
∂
D
=
0
,
ρ
|
D
∖
∂
D
>
0
ρ
∂
D
=
0
,
ρ
D
∖
∂
D
>
0
rho|_(del D)=0, rho|_(D\\del D) > 0 \left.\rho\right|_{\partial D}=0,\left.\rho\right|_{D \backslash \partial D}>0 ρ | ∂ D = 0 , ρ | D ∖ ∂ D > 0 を満たす
D
D
D D D 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級関数とし,
f
f
f f f の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) を
f
t
(
p
)
:=
exp
f
(
p
)
(
t
ρ
(
p
)
H
p
)
(
p
∈
D
)
f
t
(
p
)
:=
exp
f
(
p
)
t
ρ
(
p
)
H
p
(
p
∈
D
)
f_(t)(p):=exp_(f(p))(t rho(p)H_(p))quad(p in D) f_{t}(p):=\exp _{f(p)}\left(t \rho(p) H_{p}\right) \quad(p \in D) f t ( p ) := exp f ( p ) ( t ρ ( p ) H p ) ( p ∈ D )
によって定義する. 明らかに, この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形は
x
x
x \boldsymbol{x} x の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形に なる。それゆえ,(i)を仮定しているので,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
0
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
0
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=0 \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=0 d d t | t = 0 Vol ( f t ) = 0 となる。一方, この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形の変分ベクトル場
V
F
V
F
V_(F) \boldsymbol{V}_{F} V F が
V
F
=
ρ
H
|
D
V
F
=
ρ
H
D
V_(F)= rho H|_(D) \boldsymbol{V}_{F}=\left.\rho H\right|_{D} V F = ρ H | D によって与えられるので,系 4.7.2における変分公式より,
d
d
t
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
−
n
∫
D
ρ
g
~
(
H
,
H
)
d
V
g
d
d
t
t
=
0
Vol
f
t
=
−
n
∫
D
ρ
g
~
(
H
,
H
)
d
V
g
(d)/(dt)|_(t=0)Vol(f_(t))=-nint_(D)rho widetilde(g)(H,H)dV_(g) \left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=-n \int_{D} \rho \widetilde{g}(H, H) d V_{g} d d t | t = 0 Vol ( f t ) = − n ∫ D ρ g ~ ( H , H ) d V g
が示される. したがって,
∫
D
ρ
g
~
(
H
,
H
)
d
V
g
=
0
∫
D
ρ
g
~
(
H
,
H
)
d
V
g
=
0
int_(D)rho widetilde(g)(H,H)dV_(g)=0 \int_{D} \rho \widetilde{g}(H, H) d V_{g}=0 ∫ D ρ g ~ ( H , H ) d V g = 0 がえられ,
ρ
ρ
rho \rho ρ の任意性から
H
|
D
=
0
H
D
=
0
H|_(D)=0 \left.H\right|_{D}=\mathbf{0} H | D = 0 が導かれる. この
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形は,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形であり, 上述と同様の議論により, (ii)
⇒
⇒
=> \Rightarrow ⇒ (iii) が示される. 後半部も, 定理 4.7.1 の後半部の主張を用 いて同様に示される.
注意 この事実に基づいて,
H
=
0
H
=
0
H=0 H=0 H = 0 となるリーマン多様体へのはめ达みは、極小 はめ込みとよばれるようになった。
次に, 体積沉関数 Vol の第 2 変分公式を述べるために,
T
M
,
T
⊥
M
T
M
,
T
⊥
M
TM,T^(_|_)M T M, T^{\perp} M T M , T ⊥ M , また は
f
∗
T
M
~
f
∗
T
M
~
f^(**)T widetilde(M) f^{*} T \widetilde{M} f ∗ T M ~ の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断の空間からそれ自身への 5 つの作用素を定義しておこ う.
g
:=
f
∗
g
~
g
:=
f
∗
g
~
g:=f^(**) widetilde(g) g:=f^{*} \widetilde{g} g := f ∗ g ~ のリーマン接続を
∇
∇
grad \nabla ∇ と表し,
f
f
f f f の法接続を
∇
⊥
∇
⊥
grad^(_|_) \nabla^{\perp} ∇ ⊥ と表す.また,
g
~
g
~
widetilde(g) \widetilde{g} g ~ の曲率テンソル場を
R
~
R
~
widetilde(R) \widetilde{R} R ~ と表す.接ベクトルバンドル
T
M
T
M
TM T M T M の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断の空間
Γ
∞
(
T
M
)
Γ
∞
(
T
M
)
Gamma^(oo)(TM) \Gamma^{\infty}(T M) Γ ∞ ( T M ) からそれ自身への 2 階の微分作用素
Δ
Δ
Delta \Delta Δ を
(
Δ
X
)
p
:=
∑
i
=
1
n
(
(
∇
e
i
(
∇
e
i
X
)
)
p
−
(
∇
∇
e
i
e
i
X
)
p
)
(
X
∈
Γ
∞
(
T
M
)
,
p
∈
M
)
(
Δ
X
)
p
:=
∑
i
=
1
n
∇
e
i
∇
e
i
X
p
−
∇
∇
e
i
e
i
X
p
X
∈
Γ
∞
(
T
M
)
,
p
∈
M
(Delta X)_(p):=sum_(i=1)^(n)((grad_(e_(i))(grad_(e_(i))X))_(p)-(grad_({:grad_(e_(i)e_(i))X)_(p)))quad(X inGamma^(oo)(TM),quad p in M):} (\Delta \boldsymbol{X})_{p}:=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\nabla_{e_{i}}\left(\nabla_{e_{i}} \boldsymbol{X}\right)\right)_{p}-\left(\nabla_{\left.\left.\nabla_{e_{i} e_{i}} \boldsymbol{X}\right)_{p}\right)} \quad\left(\boldsymbol{X} \in \Gamma^{\infty}(T M), \quad p \in M\right)\right.\right. ( Δ X ) p := ∑ i = 1 n ( ( ∇ e i ( ∇ e i X ) ) p − ( ∇ ∇ e i e i X ) p ) ( X ∈ Γ ∞ ( T M ) , p ∈ M )
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
:
p
e
1
,
…
,
e
n
:
p
((e_(1),dots,e_(n)):p:} \left(\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right): p\right. ( ( e 1 , … , e n ) : p の近傍上で定義された
g
g
g g g に関する局所正規直交基底場)に よって定義し,
f
f
f f f の法ベクトルバンドルの
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 切断の空間
Γ
∞
(
T
⊥
M
)
Γ
∞
T
⊥
M
Gamma^(oo)(T^(_|_)M) \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right) Γ ∞ ( T ⊥ M ) からそ れ自身への 2 階の微分作用素
Δ
⊥
Δ
⊥
Delta^(_|_) \Delta^{\perp} Δ ⊥ を
(
Δ
⊥
ξ
)
p
:=
∑
i
=
1
n
(
(
∇
e
i
⊥
(
∇
e
i
⊥
ξ
)
)
p
−
(
∇
∇
e
i
e
i
⊥
ξ
)
p
)
(
ξ
∈
Γ
∞
(
T
⊥
M
)
,
p
∈
M
)
Δ
⊥
ξ
p
:=
∑
i
=
1
n
∇
e
i
⊥
∇
e
i
⊥
ξ
p
−
∇
∇
e
i
e
i
⊥
ξ
p
ξ
∈
Γ
∞
T
⊥
M
,
p
∈
M
(Delta^(_|_)xi)_(p):=sum_(i=1)^(n)((grad_(e_(i))^(_|_)(grad_(e_(i))^(_|_)xi))_(p)-(grad_(grad_(e_(i))e_(i))^(_|_)xi)_(p))quad(xi inGamma^(oo)(T^(_|_)M),p in M) \left(\Delta^{\perp} \xi\right)_{p}:=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\nabla_{e_{i}}^{\perp}\left(\nabla_{e_{i}}^{\perp} \xi\right)\right)_{p}-\left(\nabla_{\nabla_{e_{i}} e_{i}}^{\perp} \xi\right)_{p}\right) \quad\left(\xi \in \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right), p \in M\right) ( Δ ⊥ ξ ) p := ∑ i = 1 n ( ( ∇ e i ⊥ ( ∇ e i ⊥ ξ ) ) p − ( ∇ ∇ e i e i ⊥ ξ ) p ) ( ξ ∈ Γ ∞ ( T ⊥ M ) , p ∈ M )
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
((e_(1),dots,e_(n)):} \left(\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)\right. ( ( e 1 , … , e n ) :上と同様)によって定義する。また,
Γ
∞
(
T
⊥
M
)
Γ
∞
T
⊥
M
Gamma^(oo)(T^(_|_)M) \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right) Γ ∞ ( T ⊥ M ) からそれ自身への線形作用素
A
⊥
,
R
⊥
A
⊥
,
R
⊥
A^(_|_),R^(_|_) \mathcal{A}^{\perp}, \mathcal{R}^{\perp} A ⊥ , R ⊥ を
g
~
(
A
⊥
(
ξ
1
)
,
ξ
2
)
:=
−
Tr
(
A
ξ
1
∘
A
ξ
2
)
,
g
~
(
R
⊥
(
ξ
1
)
,
ξ
2
)
:=
−
Tr
(
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
ξ
1
)
ξ
2
)
T
(
ξ
1
,
ξ
2
∈
Γ
∞
(
T
⊥
M
)
)
g
~
A
⊥
ξ
1
,
ξ
2
:=
−
Tr
A
ξ
1
∘
A
ξ
2
,
g
~
R
⊥
ξ
1
,
ξ
2
:=
−
Tr
R
~
d
f
(
⋅
)
,
ξ
1
ξ
2
T
ξ
1
,
ξ
2
∈
Γ
∞
T
⊥
M
{:[ widetilde(g)(A^(_|_)(xi_(1)),xi_(2)):=-Tr(A_(xi_(1))@A_(xi_(2)))","quad widetilde(g)(R^(_|_)(xi_(1)),xi_(2)):=-Tr(( widetilde(R))(df(*),xi_(1))xi_(2))_(T)],[(xi_(1),xi_(2)inGamma^(oo)(T^(_|_)M))]:} \begin{array}{r}
\widetilde{g}\left(\mathcal{A}^{\perp}\left(\xi_{1}\right), \xi_{2}\right):=-\operatorname{Tr}\left(A_{\xi_{1}} \circ A_{\xi_{2}}\right), \quad \widetilde{g}\left(\mathcal{R}^{\perp}\left(\xi_{1}\right), \xi_{2}\right):=-\operatorname{Tr}\left(\widetilde{R}\left(d f(\cdot), \xi_{1}\right) \xi_{2}\right)_{T} \\
\left(\xi_{1}, \xi_{2} \in \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right)\right)
\end{array} g ~ ( A ⊥ ( ξ 1 ) , ξ 2 ) := − Tr ( A ξ 1 ∘ A ξ 2 ) , g ~ ( R ⊥ ( ξ 1 ) , ξ 2 ) := − Tr ( R ~ ( d f ( ⋅ ) , ξ 1 ) ξ 2 ) T ( ξ 1 , ξ 2 ∈ Γ ∞ ( T ⊥ M ) )
により定め,
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
Γ
∞
f
∗
T
M
~
Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M))) \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) からそれ自身への線形作用素
R
R
R \mathcal{R} R を,
g
~
(
R
(
W
1
)
,
W
2
)
:=
−
Tr
(
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
W
1
)
W
2
)
T
(
W
1
,
W
2
∈
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
)
g
~
R
W
1
,
W
2
:=
−
Tr
R
~
d
f
(
⋅
)
,
W
1
W
2
T
W
1
,
W
2
∈
Γ
∞
f
∗
T
M
~
widetilde(g)(R(W_(1)),W_(2)):=-Tr(( widetilde(R))(df(*),W_(1))W_(2))_(T)quad(W_(1),W_(2)inGamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))) \widetilde{g}\left(\mathcal{R}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right):=-\operatorname{Tr}\left(\widetilde{R}\left(d f(\cdot), \boldsymbol{W}_{1}\right) \boldsymbol{W}_{2}\right)_{T} \quad\left(\boldsymbol{W}_{1}, \boldsymbol{W}_{2} \in \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)\right) g ~ ( R ( W 1 ) , W 2 ) := − Tr ( R ~ ( d f ( ⋅ ) , W 1 ) W 2 ) T ( W 1 , W 2 ∈ Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) )
によって定める.ここで,
(
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
∙
)
∙
)
T
(
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
∙
)
∙
)
T
( widetilde(R)(df(*),∙)∙)_(T) (\widetilde{R}(d f(\cdot), \bullet) \bullet)_{T} ( R ~ ( d f ( ⋅ ) , ∙ ) ∙ ) T は,
d
f
(
(
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
∙
)
T
)
d
f
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
∙
)
T
df((( widetilde(R))(df(*),∙)_(T)):} d f\left(\left(\widetilde{R}(d f(\cdot), \bullet)_{T}\right)\right. d f ( ( R ~ ( d f ( ⋅ ) , ∙ ) T ) が
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
∙
)
∙
)
R
~
(
d
f
(
⋅
)
,
∙
)
∙
)
widetilde(R)(df(*),∙)∙) \widetilde{R}(d f(\cdot), \bullet) \bullet) R ~ ( d f ( ⋅ ) , ∙ ) ∙ ) の接成分になるような
M
M
M M M 上のベクトル場を表す.
また, ファイバー計量
g
E
g
E
g_(E) g_{E} g E を備えたべクトルバンドル
E
E
E E E に値をとる,
(
M
,
g
)
(
M
,
g
)
(M,g) (M, g) ( M , g ) 上の 2 次共変テンソル場同士の内積を定義しておこう。ここで, ファイバー 計量とは,
M
M
M M M の各点
p
p
p p p に対し,
p
p
p p p 上のファイバー
E
p
E
p
E_(p) E_{p} E p の内積
(
g
E
)
p
g
E
p
(g_(E))_(p) \left(g_{E}\right)_{p} ( g E ) p を対応さ せる対応
g
E
g
E
g_(E) g_{E} g E のことである。
M
M
M M M 上の
E
E
E E E に值をとる
k
k
k k k 次共変テンソル場
S
1
,
S
2
S
1
,
S
2
S_(1),S_(2) S_{1}, S_{2} S 1 , S 2 (つまり
S
1
,
S
2
∈
Γ
(
(
⊗
k
T
∗
M
)
⊗
E
)
)
S
1
,
S
2
∈
Γ
⊗
k
T
∗
M
⊗
E
{:S_(1),S_(2)in Gamma((ox^(k)T^(**)M)ox E)) \left.S_{1}, S_{2} \in \Gamma\left(\left(\otimes^{k} T^{*} M\right) \otimes E\right)\right) S 1 , S 2 ∈ Γ ( ( ⊗ k T ∗ M ) ⊗ E ) ) に対し,それらの内積
⟨
S
1
,
S
2
⟩
S
1
,
S
2
(:S_(1),S_(2):) \left\langle S_{1}, S_{2}\right\rangle ⟨ S 1 , S 2 ⟩ が
⟨
S
1
,
S
2
⟩
(
p
)
:=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
(
g
E
)
p
(
(
S
1
)
p
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
(
S
2
)
p
(
e
i
1
,
…
,
e
i
k
)
)
(
p
∈
M
)
S
1
,
S
2
(
p
)
:=
∑
i
1
=
1
n
⋯
∑
i
k
=
1
n
g
E
p
S
1
p
e
i
1
,
…
,
e
i
k
S
2
p
e
i
1
,
…
,
e
i
k
(
p
∈
M
)
{:[(:S_(1),S_(2):)(p):=sum_(i_(1)=1)^(n)cdotssum_(i_(k)=1)^(n)(g_(E))_(p)((S_(1))_(p)(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k)))(S_(2))_(p)(e_(i_(1)),dots,e_(i_(k))))],[(p in M)]:} \begin{array}{r}
\left\langle S_{1}, S_{2}\right\rangle(p):=\sum_{i_{1}=1}^{n} \cdots \sum_{i_{k}=1}^{n}\left(g_{E}\right)_{p}\left(\left(S_{1}\right)_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\left(S_{2}\right)_{p}\left(\boldsymbol{e}_{i_{1}}, \ldots, \boldsymbol{e}_{i_{k}}\right)\right) \\
(p \in M)
\end{array} ⟨ S 1 , S 2 ⟩ ( p ) := ∑ i 1 = 1 n ⋯ ∑ i k = 1 n ( g E ) p ( ( S 1 ) p ( e i 1 , … , e i k ) ( S 2 ) p ( e i 1 , … , e i k ) ) ( p ∈ M )
(
e
1
,
…
,
e
n
)
(
e
1
,
…
,
e
n
{:(e_(1),dots,e_(n)) \left.( \boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( ( e 1 , … , e n ) は
(
T
p
M
,
g
p
)
T
p
M
,
g
p
(T_(p)M,g_(p)) \left(T_{p} M, g_{p}\right) ( T p M , g p ) の正規直交基底)によって定義され, 特に,
S
1
S
1
S_(1) S_{1} S 1 同士の内積の平方根
⟨
S
1
,
S
1
⟩
S
1
,
S
1
sqrt((:S_(1),S_(1):)) \sqrt{\left\langle S_{1}, S_{1}\right\rangle} ⟨ S 1 , S 1 ⟩ は
‖
S
1
‖
S
1
||S_(1)|| \left\|S_{1}\right\| ‖ S 1 ‖ と表される. また,
M
M
M M M 上の
(
1
,
1
)
(
1
,
1
)
(1,1) (1,1) ( 1 , 1 ) 次テン ソル場
S
^
1
,
S
^
2
S
^
1
,
S
^
2
hat(S)_(1), hat(S)_(2) \hat{S}_{1}, \hat{S}_{2} S ^ 1 , S ^ 2 に対し,それらの内積
⟨
S
^
1
,
S
^
2
⟩
S
^
1
,
S
^
2
(: hat(S)_(1), hat(S)_(2):) \left\langle\hat{S}_{1}, \hat{S}_{2}\right\rangle ⟨ S ^ 1 , S ^ 2 ⟩ が
⟨
S
^
1
,
S
^
2
⟩
:=
Tr
(
S
^
1
∘
S
^
2
)
S
^
1
,
S
^
2
:=
Tr
S
^
1
∘
S
^
2
(: hat(S)_(1), hat(S)_(2):):=Tr( hat(S)_(1)@ hat(S)_(2)) \left\langle\hat{S}_{1}, \hat{S}_{2}\right\rangle:=\operatorname{Tr}\left(\hat{S}_{1} \circ \hat{S}_{2}\right) ⟨ S ^ 1 , S ^ 2 ⟩ := Tr ( S ^ 1 ∘ S ^ 2 )
で定義され, 特に,
S
^
1
S
^
1
hat(S)_(1) \hat{S}_{1} S ^ 1 同士の内積の平方根
⟨
S
^
1
,
S
^
1
⟩
S
^
1
,
S
^
1
sqrt((: hat(S)_(1), hat(S)_(1):)) \sqrt{\left\langle\hat{S}_{1}, \hat{S}_{1}\right\rangle} ⟨ S ^ 1 , S ^ 1 ⟩ は
‖
S
^
1
‖
S
^
1
|| hat(S)_(1)|| \left\|\hat{S}_{1}\right\| ‖ S ^ 1 ‖ と表される.
Vol
Vol
Vol \mathrm{Vol} Vol の臨界点
f
f
f f f におけるヘッシアン
(
H
Vol
)
f
(
H
Vol
)
f
(HVol)_(f) (H \mathrm{Vol})_{f} ( H Vol ) f は,
f
f
f f f の任意の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 変形
F
=
F
=
F= F= F =
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
{f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) \left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
(
H
Vol
)
f
(
V
F
,
V
F
)
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
(
H
Vol
)
f
V
F
,
V
F
=
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
f
t
(H Vol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t)) (H \operatorname{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right) ( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t )
が成り立つような
T
f
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
T
f
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
T_(f)Imm^(oo)(M, widetilde(M)) T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}) T f Imm ∞ ( M , M ~ ) 上の対称 2 次共変テンソルとして定義さ れる。
以下,
r
≥
3
r
≥
3
r >= 3 r \geq 3 r ≥ 3 とする.
定理 4.7.4(第 2 変分公式)
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f inImm^(oo)(D, widetilde(M)) f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) f ∈ Imm ∞ ( D , M ~ ) を Vol の臨界点とする. こ のとき,
f
f
f f f の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級変形
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
(
H
Vol
)
f
(
V
F
,
V
F
)
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
∫
D
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
d
v
f
∗
g
~
(
H
Vol
)
f
V
F
,
V
F
=
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
f
t
=
∫
D
g
~
J
~
V
F
,
V
F
d
v
f
∗
g
~
(HVol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D) widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F))dv_(f^(**) tilde(g)) (H \mathrm{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D} \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d v_{f^{*} \tilde{g}} ( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) = ∫ D g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) d v f ∗ g ~
が成り立つ. ここで
J
~
J
~
widetilde(J) \widetilde{\mathcal{J}} J ~ は, 次式によって定義される
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
Γ
∞
f
∗
T
M
~
Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M))) \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) からそれ自身への作用素を表す:
g
~
(
J
~
(
W
1
)
,
W
2
)
=
−
(
div
g
(
W
1
)
T
)
(
div
g
(
W
2
)
T
)
+
g
(
Δ
(
W
1
)
T
,
(
W
2
)
T
)
−
g
~
(
Δ
⊥
(
W
1
)
⊥
,
W
2
)
+
g
~
(
A
⊥
(
(
W
1
)
⊥
)
,
W
2
)
+
g
~
(
R
(
W
1
)
,
W
2
)
+
⟨
h
(
(
W
1
)
T
,
⋅
)
,
h
(
(
W
2
)
T
,
…
)
⟩
+
2
⟨
h
(
⋅
,
(
W
1
)
T
)
,
∇
⊥
(
W
2
)
⊥
⟩
+
2
⟨
A
(
W
1
)
⊥
,
∇
(
W
2
)
T
⟩
(
W
1
,
W
2
∈
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
)
g
~
J
~
W
1
,
W
2
=
−
div
g
W
1
T
div
g
W
2
T
+
g
Δ
W
1
T
,
W
2
T
−
g
~
Δ
⊥
W
1
⊥
,
W
2
+
g
~
A
⊥
W
1
⊥
,
W
2
+
g
~
R
W
1
,
W
2
+
h
W
1
T
,
⋅
,
h
W
2
T
,
…
+
2
h
⋅
,
W
1
T
,
∇
⊥
W
2
⊥
+
2
A
W
1
⊥
,
∇
W
2
T
W
1
,
W
2
∈
Γ
∞
f
∗
T
M
~
{:[ widetilde(g)(( widetilde(J))(W_(1)),W_(2))],[=-(div_(g)(W_(1))_(T))(div_(g)(W_(2))_(T))+g(Delta(W_(1))_(T),(W_(2))_(T))- widetilde(g)(Delta^(_|_)(W_(1))_(_|_),W_(2))],[+ widetilde(g)(A^(_|_)((W_(1))_(_|_)),W_(2))+ widetilde(g)(R(W_(1)),W_(2))+(:h((W_(1))_(T),*),h((W_(2))_(T),dots):)],[+2(:h(*,(W_(1))_(T)),grad^(_|_)(W_(2))_(_|_):)+2(:A_((W_(1))_(_|_)),grad(W_(2))_(T):)],[quad(W_(1),W_(2)inGamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M))))]:} \begin{aligned}
& \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right) \\
= & -\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T}\right)\left(\operatorname{div}_{g}\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}\right)+g\left(\Delta\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T},\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}\right)-\widetilde{g}\left(\Delta^{\perp}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{\perp}, \boldsymbol{W}_{2}\right) \\
& +\widetilde{g}\left(\mathcal{A}^{\perp}\left(\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right)+\widetilde{g}\left(\mathcal{R}\left(\boldsymbol{W}_{1}\right), \boldsymbol{W}_{2}\right)+\left\langle h\left(\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T}, \cdot\right), h\left(\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}, \ldots\right)\right\rangle \\
& +2\left\langle h\left(\cdot,\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{T}\right), \nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{\perp}\right\rangle+2\left\langle A_{\left(\boldsymbol{W}_{1}\right)_{\perp}}, \nabla\left(\boldsymbol{W}_{2}\right)_{T}\right\rangle \\
& \quad\left(\boldsymbol{W}_{1}, \boldsymbol{W}_{2} \in \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right)\right)
\end{aligned} g ~ ( J ~ ( W 1 ) , W 2 ) = − ( div g ( W 1 ) T ) ( div g ( W 2 ) T ) + g ( Δ ( W 1 ) T , ( W 2 ) T ) − g ~ ( Δ ⊥ ( W 1 ) ⊥ , W 2 ) + g ~ ( A ⊥ ( ( W 1 ) ⊥ ) , W 2 ) + g ~ ( R ( W 1 ) , W 2 ) + ⟨ h ( ( W 1 ) T , ⋅ ) , h ( ( W 2 ) T , … ) ⟩ + 2 ⟨ h ( ⋅ , ( W 1 ) T ) , ∇ ⊥ ( W 2 ) ⊥ ⟩ + 2 ⟨ A ( W 1 ) ⊥ , ∇ ( W 2 ) T ⟩ ( W 1 , W 2 ∈ Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) )
証明
g
:=
f
∗
g
~
,
g
t
:=
f
t
∗
g
~
g
:=
f
∗
g
~
,
g
t
:=
f
t
∗
g
~
g:=f^(**) widetilde(g),g_(t):=f_(t)^(**) widetilde(g) g:=f^{*} \widetilde{g}, g_{t}:=f_{t}^{*} \widetilde{g} g := f ∗ g ~ , g t := f t ∗ g ~ とおく.
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=(x_(1),dots,x_(n))) \left(U, \varphi=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right) ( U , φ = ( x 1 , … , x n ) ) に関する
g
t
g
t
g_(t) g_{t} g t の成分を
(
g
t
)
i
j
g
t
i
j
(g_(t))_(ij) \left(g_{t}\right)_{i j} ( g t ) i j , 行列
(
(
g
t
)
.
.
)
g
t
.
.
((g_(t))..) \left(\left(g_{t}\right) ..\right) ( ( g t ) . . ) の逆行列を
(
g
t
∙
)
g
t
∙
(g_(t)^(∙)) \left(g_{t}^{\bullet}\right) ( g t ∙ ) と表し, 行列
(
(
g
t
)
.
.
)
g
t
.
.
((g_(t))..) \left(\left(g_{t}\right) ..\right) ( ( g t ) . . ) の第
(
i
,
j
)
(
i
,
j
)
(i,j) (i, j) ( i , j ) 余因子を
(
G
t
)
i
j
G
t
i
j
(G_(t))_(ij) \left(G_{t}\right)_{i j} ( G t ) i j と表す. また,
(
V
F
)
t
0
(
t
0
∈
(
−
ε
,
ε
)
)
V
F
t
0
t
0
∈
(
−
ε
,
ε
)
(V_(F))_(t_(0))(t_(0)in(-epsi,epsi)) \left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{t_{0}}\left(t_{0} \in(-\varepsilon, \varepsilon)\right) ( V F ) t 0 ( t 0 ∈ ( − ε , ε ) ) を
(
(
V
F
)
t
0
)
p
:=
d
F
(
p
,
t
0
)
(
(
∂
∂
t
)
(
p
,
t
0
)
)
(
p
∈
M
)
V
F
t
0
p
:=
d
F
p
,
t
0
∂
∂
t
p
,
t
0
(
p
∈
M
)
((V_(F))_(t_(0)))_(p):=dF_((p,t_(0)))(((del)/(del t))_((p,t_(0))))quad(p in M) \left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{t_{0}}\right)_{p}:=d F_{\left(p, t_{0}\right)}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)_{\left(p, t_{0}\right)}\right) \quad(p \in M) ( ( V F ) t 0 ) p := d F ( p , t 0 ) ( ( ∂ ∂ t ) ( p , t 0 ) ) ( p ∈ M )
によって定義する. このとき,
d
2
d
t
2
|
t
=
0
d
V
g
t
=
d
d
t
|
t
=
0
(
1
2
det
(
(
g
t
)
…
)
×
∑
j
=
1
n
|
(
g
t
)
11
⋯
d
(
g
t
)
1
j
d
t
⋯
(
g
t
)
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
(
g
t
)
n
1
⋯
d
(
g
t
)
n
j
d
t
⋯
(
g
t
)
n
n
|
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
d
2
d
t
2
t
=
0
d
V
g
t
=
d
d
t
t
=
0
1
2
det
g
t
…
×
∑
j
=
1
n
g
t
11
⋯
d
g
t
1
j
d
t
⋯
g
t
1
n
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
g
t
n
1
⋯
d
g
t
n
j
d
t
⋯
g
t
n
n
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{:[(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)dV_(g_(t))],[=(d)/(dt)|_(t=0)((1)/(2sqrt(det((g_(t))dots))):}],[{: xxsum_(j=1)^(n)|[(g_(t))_(11),cdots,(d(g_(t))_(1j))/(dt),cdots,(g_(t))_(1n)],[vdots,vdots,vdots,vdots,vdots],[(g_(t))_(n1),cdots,(d(g_(t))_(nj))/(dt),cdots,(g_(t))_(nn)]|dx_(1)^^cdots^^dx_(n))]:} \begin{aligned}
& \left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} d V_{g_{t}} \\
& =\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}\left(\left(g_{t}\right) \ldots\right)}}\right. \\
& \left.\times \sum_{j=1}^{n}\left|\begin{array}{ccccc}
\left(g_{t}\right)_{11} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{1 j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\left(g_{t}\right)_{n 1} & \cdots & \frac{d\left(g_{t}\right)_{n j}}{d t} & \cdots & \left(g_{t}\right)_{n n}
\end{array}\right| d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n}\right)
\end{aligned} d 2 d t 2 | t = 0 d V g t = d d t | t = 0 ( 1 2 det ( ( g t ) … ) × ∑ j = 1 n | ( g t ) 11 ⋯ d ( g t ) 1 j d t ⋯ ( g t ) 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ( g t ) n 1 ⋯ d ( g t ) n j d t ⋯ ( g t ) n n | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n )
=
−
1
4
1
(
det
(
g
.
.
)
)
3
=
−
1
4
1
(
det
(
g
.
.
)
)
3
{:=-(1)/(4)(1)/((sqrt(det(g..)))^(3)):} \begin{aligned}
& =-\frac{1}{4} \frac{1}{(\sqrt{\operatorname{det}(g . .)})^{3}}
\end{aligned} = − 1 4 1 ( det ( g . . ) ) 3
+
1
det
(
g
.
.
)
+
1
det
(
g
.
.
)
{:+(1)/(sqrt(det(g..))):} \begin{aligned}
& +\frac{1}{\sqrt{\operatorname{det}(g . .)}}
\end{aligned} + 1 det ( g . . )
が示される. 定理 4.7.1の証明中の計算によれば,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目
)
=
−
(
div
g
V
T
−
n
g
~
(
H
,
V
)
)
2
d
V
g
)
=
−
div
g
V
T
−
n
g
~
(
H
,
V
)
2
d
V
g
)=-(div_(g)V_(T)-n( widetilde(g))(H,V))^(2)dV_(g) )=-\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}-n \widetilde{g}(H, \boldsymbol{V})\right)^{2} d V_{g} ) = − ( div g V T − n g ~ ( H , V ) ) 2 d V g
をえる. それゆえ,
f
f
f f f は極小はめ込み, つまり
H
=
0
H
=
0
H=0 H=\mathbf{0} H = 0 なので,
(4.7.7)
(式 (4.7.6) の最終辺の第
1
項目 )
=
−
(
div
g
V
T
)
2
d
V
g
(4.7.7)
(式 (4.7.6) の最終辺の第
1
項目 )
=
−
div
g
V
T
2
d
V
g
{:(4.7.7)" (式 (4.7.6) の最終辺の第 "1" 項目 ) "=-(div_(g)V_(T))^(2)dV_(g):} \begin{equation*}
\text { (式 (4.7.6) の最終辺の第 } 1 \text { 項目 ) }=-\left(\operatorname{div}_{g} \boldsymbol{V}_{T}\right)^{2} d V_{g} \tag{4.7.7}
\end{equation*} 式 の 最 終 辺 の 第 項 目 (4.7.7) (式 (4.7.6) の最終辺の第 1 項目 ) = − ( div g V T ) 2 d V g
をえる。
次に, 式 (4.7.6) の最終辺の第 3 項目を計算しよう.
∇
~
∇
~
widetilde(grad) \widetilde{\nabla} ∇ ~ が捩れ0 の接続であ ることと
R
~
R
~
widetilde(R) \widetilde{R} R ~ の定義から,
d
2
(
g
t
)
i
j
d
t
2
|
t
=
0
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
g
~
(
d
f
t
(
∂
∂
x
i
)
,
d
f
t
(
∂
∂
x
j
)
)
=
g
~
(
(
∇
~
∂
∂
t
F
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
x
i
)
)
)
|
t
=
0
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
+
g
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
(
∇
~
∂
∂
t
F
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
x
j
)
)
)
|
t
=
0
)
d
2
g
t
i
j
d
t
2
t
=
0
=
d
2
d
t
2
t
=
0
g
~
d
f
t
∂
∂
x
i
,
d
f
t
∂
∂
x
j
=
g
~
∇
~
∂
∂
t
F
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
x
i
t
=
0
,
d
f
∂
∂
x
j
+
g
~
d
f
∂
∂
x
i
,
∇
~
∂
∂
t
F
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
x
j
t
=
0
{:[(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0) widetilde(g)(df_(t)((del)/(delx_(i))),df_(t)((del)/(delx_(j))))],[= widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(i)))))|_(t=0),df((del)/(delx_(j))))],[+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))),( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(j)))))|_(t=0))]:} \begin{aligned}
& \left.\frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0}=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \widetilde{g}\left(d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), d f_{t}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
= & \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)\right)\right|_{t=0}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
& +\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right),\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right)\right|_{t=0}\right)
\end{aligned} d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 = d 2 d t 2 | t = 0 g ~ ( d f t ( ∂ ∂ x i ) , d f t ( ∂ ∂ x j ) ) = g ~ ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t F ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ x i ) ) ) | t = 0 , d f ( ∂ ∂ x j ) ) + g ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , ( ∇ ~ ∂ ∂ t F ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ x j ) ) ) | t = 0 )
+
2
g
~
(
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
x
i
)
)
|
t
=
0
,
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
x
j
)
)
|
t
=
0
)
=
g
~
(
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
t
)
)
)
|
t
=
0
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
−
g
~
(
R
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
V
F
)
V
F
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
+
g
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
t
)
)
)
|
t
=
0
)
−
g
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
R
~
(
d
F
(
∂
∂
x
j
)
,
V
F
)
V
F
)
+
2
g
~
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
∇
~
∂
∂
x
j
F
V
F
)
+
2
g
~
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
x
i
t
=
0
,
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
x
j
t
=
0
=
g
~
∇
~
∂
∂
x
i
F
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
t
t
=
0
,
d
f
∂
∂
x
j
−
g
~
R
~
d
f
∂
∂
x
i
,
V
F
V
F
,
d
f
∂
∂
x
j
+
g
~
d
f
∂
∂
x
i
,
∇
~
∂
∂
x
i
F
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
t
t
=
0
−
g
~
d
f
∂
∂
x
i
,
R
~
d
F
∂
∂
x
j
,
V
F
V
F
+
2
g
~
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
∇
~
∂
∂
x
j
F
V
F
{:[+2 widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(i))))|_(t=0),( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(delx_(j))))|_(t=0))],[= widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t))))|_(t=0),df((del)/(delx_(j))))],[- widetilde(g)(( widetilde(R))(df((del)/(delx_(i))),V_(F))V_(F),df((del)/(delx_(j))))],[+ widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))), quad( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t))))|_(t=0))],[- widetilde(g)(df((del)/(delx_(i))),( widetilde(R))(dF((del)/(delx_(j))),V_(F))V_(F))],[+2 widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F), widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(F)V_(F))]:} \begin{aligned}
& +2 \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)\right)\right|_{t=0},\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right)\right|_{t=0}\right) \\
= & \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\right|_{t=0}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
& -\widetilde{g}\left(\widetilde{R}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) \\
& +\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right),\left.\quad\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\right|_{t=0}\right) \\
& -\widetilde{g}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \widetilde{R}\left(d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) \boldsymbol{V}_{F}\right) \\
& +2 \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, \widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right)
\end{aligned} + 2 g ~ ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ x i ) ) | t = 0 , ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ x j ) ) | t = 0 ) = g ~ ( ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ t ) ) ) | t = 0 , d f ( ∂ ∂ x j ) ) − g ~ ( R ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , V F ) V F , d f ( ∂ ∂ x j ) ) + g ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ t ) ) ) | t = 0 ) − g ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , R ~ ( d F ( ∂ ∂ x j ) , V F ) V F ) + 2 g ~ ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F V F , ∇ ~ ∂ ∂ x j F V F )
が導かれる. この式を用いて,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 3 項目)
=
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
2
(
g
t
)
i
j
d
t
2
|
t
=
0
G
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
=
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
2
(
g
t
)
i
j
d
t
2
|
t
=
0
g
i
j
d
V
g
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
~
(
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
0
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
t
)
)
)
|
t
=
0
,
d
F
(
∂
∂
x
j
)
)
g
i
j
d
V
g
−
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
~
(
R
~
(
d
f
(
∂
∂
x
i
)
,
V
F
)
V
F
,
d
f
(
∂
∂
x
j
)
)
g
i
j
d
V
g
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
~
(
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
∇
~
∂
∂
x
j
F
V
F
)
g
i
j
d
V
g
=
div
g
(
(
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
t
)
)
|
t
=
0
)
T
)
d
V
g
−
n
g
~
(
H
,
(
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
(
∂
∂
t
)
)
|
t
=
0
)
d
V
g
(4.7.8)
+
g
(
R
(
V
F
)
,
V
F
)
d
V
g
+
‖
∇
~
F
V
F
‖
2
d
V
g
=
1
2
det
(
g
.
.
)
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
2
g
t
i
j
d
t
2
t
=
0
G
i
j
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
=
1
2
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
d
2
g
t
i
j
d
t
2
t
=
0
g
i
j
d
V
g
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
~
∇
~
∂
∂
x
i
F
0
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
t
t
=
0
,
d
F
∂
∂
x
j
g
i
j
d
V
g
−
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
~
R
~
d
f
∂
∂
x
i
,
V
F
V
F
,
d
f
∂
∂
x
j
g
i
j
d
V
g
+
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
g
~
∇
~
∂
∂
x
i
F
V
F
,
∇
~
∂
∂
x
j
F
V
F
g
i
j
d
V
g
=
div
g
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
t
t
=
0
T
d
V
g
−
n
g
~
H
,
∇
~
∂
∂
t
F
d
F
∂
∂
t
t
=
0
d
V
g
(4.7.8)
+
g
R
V
F
,
V
F
d
V
g
+
∇
~
F
V
F
2
d
V
g
{:[=(1)/(2sqrt(det(g..)))sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)G_(ij)dx_(1)^^cdots^^dx_(n)],[=(1)/(2)sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(d^(2)(g_(t))_(ij))/(dt^(2))|_(t=0)g^(ij)dV_(g)],[=sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n) widetilde(g)(( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F_(0))( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t))))|_(t=0),dF((del)/(delx_(j))))g^(ij)dV_(g)],[-sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n) widetilde(g)(( widetilde(R))(df((del)/(delx_(i))),V_(F))V_(F),df((del)/(delx_(j))))g^(ij)dV_(g)],[+sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n) widetilde(g)( widetilde(grad)_((del)/(delx_(i)))^(F)V_(F), widetilde(grad)_((del)/(delx_(j)))^(F)V_(F))g^(ij)dV_(g)],[=div_(g)((( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t)))|_(t=0))_(T))dV_(g)-n widetilde(g)(H,( widetilde(grad)_((del)/(del t))^(F)dF((del)/(del t)))|_(t=0))dV_(g)],[(4.7.8)+g(R(V_(F)),V_(F))dV_(g)+|| widetilde(grad)^(F)V_(F)||^(2)dV_(g)]:} \begin{align*}
= & \left.\frac{1}{2 \sqrt{\operatorname{det}(g . .)}} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} G_{i j} d x_{1} \wedge \cdots \wedge d x_{n} \\
= & \left.\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{d^{2}\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t^{2}}\right|_{t=0} g^{i j} d V_{g} \\
= & \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{g}\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F_{0}}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right)\right|_{t=0}, d F\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) g^{i j} d V_{g} \\
& -\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{g}\left(\widetilde{R}\left(d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) \boldsymbol{V}_{F}, d f\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right) g^{i j} d V_{g} \\
& +\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \widetilde{g}\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}, \widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right) g^{i j} d V_{g} \\
= & \operatorname{div}{ }_{g}\left(\left(\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right|_{t=0}\right)_{T}\right) d V_{g}-n \widetilde{g}\left(H,\left.\left(\widetilde{\nabla}_{\frac{\partial}{\partial t}}^{F} d F\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)\right)\right|_{t=0}\right) d V_{g} \\
& +g\left(\mathcal{R}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d V_{g}+\left\|\widetilde{\nabla}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right\|^{2} d V_{g} \tag{4.7.8}
\end{align*} = 1 2 det ( g . . ) ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 G i j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n = 1 2 ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n d 2 ( g t ) i j d t 2 | t = 0 g i j d V g = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g ~ ( ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F 0 ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ t ) ) ) | t = 0 , d F ( ∂ ∂ x j ) ) g i j d V g − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g ~ ( R ~ ( d f ( ∂ ∂ x i ) , V F ) V F , d f ( ∂ ∂ x j ) ) g i j d V g + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n g ~ ( ∇ ~ ∂ ∂ x i F V F , ∇ ~ ∂ ∂ x j F V F ) g i j d V g = div g ( ( ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ t ) ) | t = 0 ) T ) d V g − n g ~ ( H , ( ∇ ~ ∂ ∂ t F d F ( ∂ ∂ t ) ) | t = 0 ) d V g (4.7.8) + g ( R ( V F ) , V F ) d V g + ‖ ∇ ~ F V F ‖ 2 d V g
が導かれる. この式の最終辺の最終項は, ガウスの公式とワインガルテンの公式を用いて, 次のように変形される:
‖
∇
~
F
V
F
‖
2
=
‖
∇
(
V
F
)
T
‖
2
+
‖
A
(
V
F
)
⊥
‖
2
+
‖
∇
⊥
(
V
F
)
⊥
‖
2
+
‖
h
(
(
V
F
)
T
,
⋅
)
‖
2
(4.7.9)
−
2
⟨
∇
(
V
F
)
T
,
A
(
V
F
)
⊥
⟩
+
2
⟨
h
(
⋅
,
(
V
F
)
T
)
,
∇
⊥
(
V
F
)
⊥
⟩
∇
~
F
V
F
2
=
∇
V
F
T
2
+
A
V
F
⊥
2
+
∇
⊥
V
F
⊥
2
+
h
V
F
T
,
⋅
2
(4.7.9)
−
2
∇
V
F
T
,
A
V
F
⊥
+
2
h
⋅
,
V
F
T
,
∇
⊥
V
F
⊥
{:[|| widetilde(grad)^(F)V_(F)||^(2)=||grad(V_(F))_(T)||^(2)+||A_((V_(F))_(_|_))||^(2)+||grad^(_|_)(V_(F))_(_|_)||^(2)+||h((V_(F))_(T),*)||^(2)],[(4.7.9)-2(:grad(V_(F))_(T),A_((V_(F))_(_|_)):)+2(:h(*,(V_(F))_(T)),grad^(_|_)(V_(F))_(_|_):)]:} \begin{align*}
\left\|\widetilde{\nabla}^{F} \boldsymbol{V}_{F}\right\|^{2}= & \left\|\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\|^{2}+\left\|A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\|^{2}+\left\|\nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\|^{2}+\left\|h\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \cdot\right)\right\|^{2} \\
& -2\left\langle\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\rangle+2\left\langle h\left(\cdot,\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right), \nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\rangle \tag{4.7.9}
\end{align*} ‖ ∇ ~ F V F ‖ 2 = ‖ ∇ ( V F ) T ‖ 2 + ‖ A ( V F ) ⊥ ‖ 2 + ‖ ∇ ⊥ ( V F ) ⊥ ‖ 2 + ‖ h ( ( V F ) T , ⋅ ) ‖ 2 (4.7.9) − 2 ⟨ ∇ ( V F ) T , A ( V F ) ⊥ ⟩ + 2 ⟨ h ( ⋅ , ( V F ) T ) , ∇ ⊥ ( V F ) ⊥ ⟩
さらに,
‖
∇
(
V
F
)
T
‖
2
=
∑
i
=
1
n
g
(
∇
e
i
(
V
F
)
T
,
∇
e
i
(
V
F
)
T
)
=
∑
i
=
1
n
(
1
2
e
i
(
e
i
(
g
(
(
V
F
)
T
,
(
V
F
)
T
)
)
−
g
(
∇
e
i
(
∇
e
i
(
V
F
)
T
)
,
(
V
F
)
T
)
)
(4.7.10)
=
1
2
Δ
g
(
g
(
(
V
F
)
T
,
(
V
F
)
T
)
)
−
g
(
Δ
g
(
V
F
)
T
,
(
V
F
)
T
)
∇
V
F
T
2
=
∑
i
=
1
n
g
∇
e
i
V
F
T
,
∇
e
i
V
F
T
=
∑
i
=
1
n
1
2
e
i
e
i
g
V
F
T
,
V
F
T
−
g
∇
e
i
∇
e
i
V
F
T
,
V
F
T
(4.7.10)
=
1
2
Δ
g
g
V
F
T
,
V
F
T
−
g
Δ
g
V
F
T
,
V
F
T
{:[||grad(V_(F))_(T)||^(2)=sum_(i=1)^(n)g(grad_(e_(i))(V_(F))_(T),grad_(e_(i))(V_(F))_(T))],[=sum_(i=1)^(n)((1)/(2)e_(i)(e_(i)(g((V_(F))_(T),(V_(F))_(T)))-g(grad_(e_(i))(grad_(e_(i))(V_(F))_(T)),(V_(F))_(T))):}],[(4.7.10)=(1)/(2)Delta_(g)(g((V_(F))_(T),(V_(F))_(T)))-g(Delta_(g)(V_(F))_(T),(V_(F))_(T))]:} \begin{align*}
\left\|\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\|^{2} & =\sum_{i=1}^{n} g\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right) \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{i}\left(\boldsymbol{e}_{i}\left(g\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)\right)-g\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right),\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)\right)\right. \\
& =\frac{1}{2} \Delta_{g}\left(g\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right)\right)-g\left(\Delta_{g}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right) \tag{4.7.10}
\end{align*} ‖ ∇ ( V F ) T ‖ 2 = ∑ i = 1 n g ( ∇ e i ( V F ) T , ∇ e i ( V F ) T ) = ∑ i = 1 n ( 1 2 e i ( e i ( g ( ( V F ) T , ( V F ) T ) ) − g ( ∇ e i ( ∇ e i ( V F ) T ) , ( V F ) T ) ) (4.7.10) = 1 2 Δ g ( g ( ( V F ) T , ( V F ) T ) ) − g ( Δ g ( V F ) T , ( V F ) T )
が示され, 同様に,
(4.7.11)
‖
∇
⊥
(
V
F
)
⊥
‖
2
=
1
2
Δ
⊥
(
g
~
(
(
V
F
)
⊥
,
(
V
F
)
⊥
)
)
−
g
(
Δ
⊥
(
V
F
)
⊥
,
V
F
)
(4.7.11)
∇
⊥
V
F
⊥
2
=
1
2
Δ
⊥
g
~
V
F
⊥
,
V
F
⊥
−
g
Δ
⊥
V
F
⊥
,
V
F
{:(4.7.11)||grad^(_|_)(V_(F))_(_|_)||^(2)=(1)/(2)Delta^(_|_)(( widetilde(g))((V_(F))_(_|_),(V_(F))_(_|_)))-g(Delta^(_|_)(V_(F))_(_|_),V_(F)):} \begin{equation*}
\left\|\nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\|^{2}=\frac{1}{2} \Delta^{\perp}\left(\widetilde{g}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right)\right)-g\left(\Delta^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}, \boldsymbol{V}_{F}\right) \tag{4.7.11}
\end{equation*} (4.7.11) ‖ ∇ ⊥ ( V F ) ⊥ ‖ 2 = 1 2 Δ ⊥ ( g ~ ( ( V F ) ⊥ , ( V F ) ⊥ ) ) − g ( Δ ⊥ ( V F ) ⊥ , V F )
が示される.
次に, 式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目を計算しよう。単純計算により,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目)
=
−
1
2
∑
j
1
=
1
n
∑
j
2
=
1
n
∑
k
1
=
1
n
∑
k
2
=
1
n
(
d
(
g
t
)
k
1
j
1
d
t
|
t
=
0
)
(
d
(
g
t
)
k
2
j
2
d
t
|
t
=
0
)
g
k
1
k
2
g
j
1
j
2
d
V
g
(4.7.12)
=
−
1
2
‖
d
(
g
t
)
.
.
d
t
|
t
=
0
‖
2
d
V
g
=
−
1
2
∑
j
1
=
1
n
∑
j
2
=
1
n
∑
k
1
=
1
n
∑
k
2
=
1
n
d
g
t
k
1
j
1
d
t
t
=
0
d
g
t
k
2
j
2
d
t
t
=
0
g
k
1
k
2
g
j
1
j
2
d
V
g
(4.7.12)
=
−
1
2
d
g
t
.
.
d
t
t
=
0
2
d
V
g
{:[=-(1)/(2)sum_(j_(1)=1)^(n)sum_(j_(2)=1)^(n)sum_(k_(1)=1)^(n)sum_(k_(2)=1)^(n)((d(g_(t))_(k_(1)j_(1)))/(dt)|_(t=0))((d(g_(t))_(k_(2)j_(2)))/(dt)|_(t=0))g^(k_(1)k_(2))g^(j_(1)j_(2))dV_(g)],[(4.7.12)=-(1)/(2)||(d(g_(t))..)/(dt)|_(t=0)||^(2)dV_(g)]:} \begin{align*}
& =-\frac{1}{2} \sum_{j_{1}=1}^{n} \sum_{j_{2}=1}^{n} \sum_{k_{1}=1}^{n} \sum_{k_{2}=1}^{n}\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{1} j_{1}}}{d t}\right|_{t=0}\right)\left(\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{k_{2} j_{2}}}{d t}\right|_{t=0}\right) g^{k_{1} k_{2}} g^{j_{1} j_{2}} d V_{g} \\
& =-\frac{1}{2}\left\|\left.\frac{d\left(g_{t}\right) . .}{d t}\right|_{t=0}\right\|^{2} d V_{g} \tag{4.7.12}
\end{align*} = − 1 2 ∑ j 1 = 1 n ∑ j 2 = 1 n ∑ k 1 = 1 n ∑ k 2 = 1 n ( d ( g t ) k 1 j 1 d t | t = 0 ) ( d ( g t ) k 2 j 2 d t | t = 0 ) g k 1 k 2 g j 1 j 2 d V g (4.7.12) = − 1 2 ‖ d ( g t ) . . d t | t = 0 ‖ 2 d V g
をえる。一方, 式
(
4.7
.4
)
,
(
4.7
.5
)
(
4.7
.4
)
,
(
4.7
.5
)
(4.7.4),(4.7.5) (4.7 .4),(4.7 .5) ( 4.7 .4 ) , ( 4.7 .5 ) から,
(4.7.13)
d
(
g
t
)
i
j
d
t
|
t
=
0
=
g
~
(
∇
∂
∂
x
i
(
V
F
)
T
,
∂
∂
x
j
)
+
g
~
(
∇
∂
∂
x
j
(
V
F
)
T
,
∂
∂
x
i
)
−
2
g
(
A
(
V
F
)
⊥
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
)
(4.7.13)
d
g
t
i
j
d
t
t
=
0
=
g
~
∇
∂
∂
x
i
V
F
T
,
∂
∂
x
j
+
g
~
∇
∂
∂
x
j
V
F
T
,
∂
∂
x
i
−
2
g
A
V
F
⊥
∂
∂
x
i
,
∂
∂
x
j
{:[(4.7.13)(d(g_(t))_(ij))/(dt)|_(t=0)= widetilde(g)(grad_((del)/(delx_(i)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(j)))+ widetilde(g)(grad_((del)/(delx_(j)))(V_(F))_(T),(del)/(delx_(i)))],[-2g(A_((V_(F))_(_|_))(del)/(delx_(i)),(del)/(delx_(j)))]:} \begin{align*}
\left.\frac{d\left(g_{t}\right)_{i j}}{d t}\right|_{t=0}= & \widetilde{g}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)+\widetilde{g}\left(\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right) \tag{4.7.13}\\
& -2 g\left(A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)
\end{align*} (4.7.13) d ( g t ) i j d t | t = 0 = g ~ ( ∇ ∂ ∂ x i ( V F ) T , ∂ ∂ x j ) + g ~ ( ∇ ∂ ∂ x j ( V F ) T , ∂ ∂ x i ) − 2 g ( A ( V F ) ⊥ ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j )
が導かれる。式 (4.7.13) を式 (4.7.12) に代入して,
(式 (4.7.6) の最終辺の第 2 項目)
(4.7.14)
=
−
2
(
‖
∇
(
V
F
)
T
‖
2
+
‖
A
(
V
F
)
⊥
‖
2
−
2
⟨
∇
(
V
F
)
T
,
A
(
V
F
)
⊥
⟩
)
d
V
g
(4.7.14)
=
−
2
∇
V
F
T
2
+
A
V
F
⊥
2
−
2
∇
V
F
T
,
A
V
F
⊥
d
V
g
{:(4.7.14)=-2(||grad(V_(F))_(T)||^(2)+||A_((V_(F))_(_|_))||^(2)-2(:grad(V_(F))_(T),A_((V_(F))_(_|_)):))dV_(g):} \begin{equation*}
=-2\left(\left\|\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\|^{2}+\left\|A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\|^{2}-2\left\langle\nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}\right\rangle\right) d V_{g} \tag{4.7.14}
\end{equation*} (4.7.14) = − 2 ( ‖ ∇ ( V F ) T ‖ 2 + ‖ A ( V F ) ⊥ ‖ 2 − 2 ⟨ ∇ ( V F ) T , A ( V F ) ⊥ ⟩ ) d V g
をえる。式 (4.7.7)-(4.7.11), および式 (4.7.14) を式 (4.7.6) へ代入して, その 両辺を
D
D
D D D 上で積分し, ガウスの発散定理(定理 3.12.1)を用いることにより,主張における第 2 変分公式が導かれる.
定理2.6.4における第 2 変分公式 (2.6.13) と比較してみよう. まず, 式 (2.6.13) の被積分関数の項
‖
A
(
V
T
)
‖
2
A
V
T
2
||A(V_(T))||^(2) \left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2} ‖ A ( V T ) ‖ 2 が,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) のどの項に相当する か説明することにする.
‖
A
(
V
T
)
‖
2
(
p
)
=
(
∑
i
=
1
n
(
A
p
(
(
V
T
)
p
)
⋅
e
i
)
e
i
)
⋅
(
∑
j
=
1
n
(
A
p
(
(
V
T
)
p
)
⋅
e
j
)
e
j
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
p
(
(
V
T
)
p
)
⋅
e
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
h
p
(
(
V
T
)
p
,
e
i
)
2
=
⟨
h
(
V
T
,
⋅
)
,
h
(
V
T
,
⋅
)
⟩
(
p
)
A
V
T
2
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
A
p
V
T
p
⋅
e
i
e
i
⋅
∑
j
=
1
n
A
p
V
T
p
⋅
e
j
e
j
=
∑
i
=
1
n
A
p
V
T
p
⋅
e
i
2
=
∑
i
=
1
n
h
p
V
T
p
,
e
i
2
=
h
V
T
,
⋅
,
h
V
T
,
⋅
(
p
)
{:[||A(V_(T))||^(2)(p)=(sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))e_(i))*(sum_(j=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(j))e_(j))],[=sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))^(2)=sum_(i=1)^(n)h_(p)((V_(T))_(p),e_(i))^(2)],[=(:h(V_(T),*),h(V_(T),*):)(p)]:} \begin{aligned}
\left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2}(p) & =\left(\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right) \boldsymbol{e}_{i}\right) \cdot\left(\sum_{j=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{j}\right) \boldsymbol{e}_{j}\right) \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n} h_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}, \boldsymbol{e}_{i}\right)^{2} \\
& =\left\langle h\left(\boldsymbol{V}_{T}, \cdot\right), h\left(\boldsymbol{V}_{T}, \cdot\right)\right\rangle(p)
\end{aligned} ‖ A ( V T ) ‖ 2 ( p ) = ( ∑ i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) ⋅ e i ) e i ) ⋅ ( ∑ j = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) ⋅ e j ) e j ) = ∑ i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) ⋅ e i ) 2 = ∑ i = 1 n h p ( ( V T ) p , e i ) 2 = ⟨ h ( V T , ⋅ ) , h ( V T , ⋅ ) ⟩ ( p )
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
((e_(1),dots,e_(n)):} \left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right. ( ( e 1 , … , e n ) は
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) の正規直交基底)となるので, 項
‖
A
(
V
T
)
‖
2
A
V
T
2
||A(V_(T))||^(2) \left\|A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right\|^{2} ‖ A ( V T ) ‖ 2 は,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の項
⟨
h
(
(
V
F
)
T
,
⋅
)
,
h
(
(
V
F
)
T
,
⋅
)
⟩
h
V
F
T
,
⋅
,
h
V
F
T
,
⋅
(:h((V_(F))_(T),*),h((V_(F))_(T),*):) \left\langle h\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \cdot\right), h\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}, \cdot\right)\right\rangle ⟨ h ( ( V F ) T , ⋅ ) , h ( ( V F ) T , ⋅ ) ⟩ に相当することがわかる.
次に, 式 (2.6.13)の被積分関数の項
‖
∇
V
T
‖
2
∇
V
T
2
||gradV_(T)||^(2) \left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2} ‖ ∇ V T ‖ 2 が,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) のどの項 に相当するか説明することにする。
‖
∇
V
T
‖
2
=
1
2
Δ
(
‖
V
T
‖
2
)
−
(
Δ
V
T
)
⋅
V
T
∇
V
T
2
=
1
2
Δ
V
T
2
−
Δ
V
T
⋅
V
T
||gradV_(T)||^(2)=(1)/(2)Delta(||V_(T)||^(2))-(DeltaV_(T))*V_(T) \left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}=\frac{1}{2} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}\right)-\left(\Delta \boldsymbol{V}_{T}\right) \cdot \boldsymbol{V}_{T} ‖ ∇ V T ‖ 2 = 1 2 Δ ( ‖ V T ‖ 2 ) − ( Δ V T ) ⋅ V T
となり,
S
S
S S S が閉超曲面の場合
∫
S
Δ
(
‖
V
T
‖
2
)
d
V
g
=
0
∫
S
Δ
V
T
2
d
V
g
=
0
int_(S)Delta(||V_(T)||^(2))dV_(g)=0 \int_{S} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2}\right) d V_{g}=0 ∫ S Δ ( ‖ V T ‖ 2 ) d V g = 0 となるので, 項
‖
∇
V
T
‖
2
∇
V
T
2
||gradV_(T)||^(2) \left\|\nabla \boldsymbol{V}_{T}\right\|^{2} ‖ ∇ V T ‖ 2 は,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の項
g
(
Δ
(
V
F
)
T
,
(
V
F
)
T
)
g
Δ
V
F
T
,
V
F
T
g(Delta(V_(F))_(T),(V_(F))_(T)) g\left(\Delta\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T},\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right) g ( Δ ( V F ) T , ( V F ) T ) に相当することがわかる.
式 (2.6.13) の被積分関数の項
2
(
V
⋅
N
)
Tr
(
A
∘
∇
V
T
)
2
(
V
⋅
N
)
Tr
A
∘
∇
V
T
2(V*N)Tr(A@gradV_(T)) 2(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \operatorname{Tr}\left(A \circ \nabla \boldsymbol{V}_{T}\right) 2 ( V ⋅ N ) Tr ( A ∘ ∇ V T ) が,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の 項
2
⟨
A
(
V
F
)
⊥
,
∇
(
V
F
)
T
⟩
2
A
V
F
⊥
,
∇
V
F
T
2(:A_((V_(F))_(_|_)),grad(V_(F))_(T):) 2\left\langle A_{\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}}, \nabla\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right\rangle 2 ⟨ A ( V F ) ⊥ , ∇ ( V F ) T ⟩ に相当することは明らかである.
次に, 式 (2.6.13) の被積分関数の項
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
(
V
T
)
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
V
T
2grad_(g)(V*N)*A(V_(T)) 2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) 2 grad g ( V ⋅ N ) ⋅ A ( V T ) が,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
g
~
J
~
V
F
widetilde(g)(( tilde(J))(V_(F)):} \widetilde{g}\left(\tilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)\right. g ~ ( J ~ ( V F ) ,
V
F
)
V
F
{:V_(F)) \left.\boldsymbol{V}_{F}\right) V F ) のどの項に相当するのかをみよう.
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
(
V
T
)
)
p
=
(
d
(
V
⋅
N
)
(
A
(
V
T
)
)
)
p
grad
g
(
V
⋅
N
)
⋅
A
V
T
p
=
d
(
V
⋅
N
)
A
V
T
p
grad_(g)(V*N)*A(V_(T)))_(p)=(d(V*N)(A(V_(T))))_(p) \left.\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) \cdot A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right)_{p}=\left(d(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\right)\right)_{p} grad g ( V ⋅ N ) ⋅ A ( V T ) ) p = ( d ( V ⋅ N ) ( A ( V T ) ) ) p
=
(
A
(
V
T
)
(
V
⊥
⋅
N
)
)
p
=
(
(
∇
A
(
V
T
)
⊥
V
⊥
)
⋅
N
)
p
=
(
∇
∑
i
=
1
n
(
A
p
(
(
V
T
)
p
)
⋅
e
i
)
e
i
⊥
V
⊥
)
⋅
N
p
=
∑
i
=
1
n
(
A
p
(
(
V
T
)
p
)
⋅
e
i
)
(
(
∇
e
i
⊥
V
⊥
)
⋅
N
p
)
=
∑
i
=
1
n
h
p
(
(
V
T
)
p
,
e
i
)
(
(
∇
e
i
⊥
V
⊥
)
⋅
N
p
)
=
A
V
T
V
⊥
⋅
N
p
=
∇
A
V
T
⊥
V
⊥
⋅
N
p
=
∇
∑
i
=
1
n
A
p
V
T
p
⋅
e
i
e
i
⊥
V
⊥
⋅
N
p
=
∑
i
=
1
n
A
p
V
T
p
⋅
e
i
∇
e
i
⊥
V
⊥
⋅
N
p
=
∑
i
=
1
n
h
p
V
T
p
,
e
i
∇
e
i
⊥
V
⊥
⋅
N
p
{:[=(A(V_(T))(V_(_|_)*N))_(p)=((grad_(A(V_(T)))^(_|_)V_(_|_))*N)_(p)],[=(grad_(sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N_(p)=sum_(i=1)^(n)(A_(p)((V_(T))_(p))*e_(i))((grad_(e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N_(p))],[=sum_(i=1)^(n)h_(p)((V_(T))_(p),e_(i))((grad_(e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N_(p))]:} \begin{aligned}
& =\left(A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)\left(\boldsymbol{V}_{\perp} \cdot \boldsymbol{N}\right)\right)_{p}=\left(\left(\nabla_{A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}\right)_{p} \\
& =\left(\nabla_{\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right) \boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}=\sum_{i=1}^{n}\left(A_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right)\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}\right) \\
& =\sum_{i=1}^{n} h_{p}\left(\left(\boldsymbol{V}_{T}\right)_{p}, \boldsymbol{e}_{i}\right)\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}_{p}\right)
\end{aligned} = ( A ( V T ) ( V ⊥ ⋅ N ) ) p = ( ( ∇ A ( V T ) ⊥ V ⊥ ) ⋅ N ) p = ( ∇ ∑ i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) ⋅ e i ) e i ⊥ V ⊥ ) ⋅ N p = ∑ i = 1 n ( A p ( ( V T ) p ) ⋅ e i ) ( ( ∇ e i ⊥ V ⊥ ) ⋅ N p ) = ∑ i = 1 n h p ( ( V T ) p , e i ) ( ( ∇ e i ⊥ V ⊥ ) ⋅ N p )
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
(
e
1
,
…
,
e
n
((e_(1),dots,e_(n)) (\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right) ( ( ( e 1 , … , e n ) は
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) の正規直交基底)となるので, 項
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
2grad_(g)(V*N) 2 \operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N}) 2 grad g ( V ⋅ N ) .
A
(
V
T
)
A
V
T
A(V_(T)) A\left(\boldsymbol{V}_{T}\right) A ( V T ) は,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の項
2
⟨
h
(
⋅
,
(
V
F
)
T
)
,
∇
⊥
(
V
F
)
⊥
⟩
2
h
⋅
,
V
F
T
,
∇
⊥
V
F
⊥
2(:h(*,(V_(F))_(T)),grad^(_|_)(V_(F))_(_|_):) 2\left\langle h\left(\cdot,\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{T}\right), \nabla^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right\rangle 2 ⟨ h ( ⋅ , ( V F ) T ) , ∇ ⊥ ( V F ) ⊥ ⟩ に相当することが わかる。
式 (2.6.13)の被積分関数の項
−
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
−
(
V
⋅
N
)
2
‖
A
‖
2
-(V*N)^(2)||A||^(2) -(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})^{2}\|A\|^{2} − ( V ⋅ N ) 2 ‖ A ‖ 2 が,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の項
g
~
(
A
⊥
(
(
V
F
)
⊥
)
,
V
F
)
g
~
A
⊥
V
F
⊥
,
V
F
widetilde(g)(A^(_|_)((V_(F))_(_|_)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\mathcal{A}^{\perp}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( A ⊥ ( ( V F ) ⊥ ) , V F ) に相当することは明らかである.
次に, 式 (2.6.13)の被積分関数の項
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
||grad_(g)(V*N)||^(2) \left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2} ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 が,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の どの項に相当するのかをみよう.
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
(
(
grad
g
(
V
⋅
N
)
)
p
⋅
e
i
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
e
i
(
V
⊥
⋅
N
)
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
(
∇
e
i
⊥
V
⊥
)
⋅
N
)
2
=
‖
∇
⊥
V
⊥
‖
2
=
1
2
Δ
(
‖
V
⊥
‖
2
)
−
(
Δ
⊥
V
⊥
)
⋅
V
⊥
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
(
p
)
=
∑
i
=
1
n
grad
g
(
V
⋅
N
)
p
⋅
e
i
2
=
∑
i
=
1
n
e
i
V
⊥
⋅
N
2
=
∑
i
=
1
n
∇
e
i
⊥
V
⊥
⋅
N
2
=
∇
⊥
V
⊥
2
=
1
2
Δ
V
⊥
2
−
Δ
⊥
V
⊥
⋅
V
⊥
{:[||grad_(g)(V*N)||^(2)(p)=sum_(i=1)^(n)((grad_(g)(V*N))_(p)*e_(i))^(2)=sum_(i=1)^(n)(e_(i)(V_(_|_)*N))^(2)],[=sum_(i=1)^(n)((grad_(e_(i))^(_|_)V_(_|_))*N)^(2)=||grad^(_|_)V_(_|_)||^(2)],[=(1)/(2)Delta(||V_(_|_)||^(2))-(Delta^(_|_)V_(_|_))*V_(_|_)]:} \begin{aligned}
\left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2}(p) & =\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right)_{p} \cdot \boldsymbol{e}_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\boldsymbol{e}_{i}\left(\boldsymbol{V}_{\perp} \cdot \boldsymbol{N}\right)\right)^{2} \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\left(\nabla_{\boldsymbol{e}_{i}}^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{N}\right)^{2}=\left\|\nabla^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right\|^{2} \\
& =\frac{1}{2} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{\perp}\right\|^{2}\right)-\left(\Delta^{\perp} \boldsymbol{V}_{\perp}\right) \cdot \boldsymbol{V}_{\perp}
\end{aligned} ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 ( p ) = ∑ i = 1 n ( ( grad g ( V ⋅ N ) ) p ⋅ e i ) 2 = ∑ i = 1 n ( e i ( V ⊥ ⋅ N ) ) 2 = ∑ i = 1 n ( ( ∇ e i ⊥ V ⊥ ) ⋅ N ) 2 = ‖ ∇ ⊥ V ⊥ ‖ 2 = 1 2 Δ ( ‖ V ⊥ ‖ 2 ) − ( Δ ⊥ V ⊥ ) ⋅ V ⊥
(
(
e
1
,
…
,
e
n
)
e
1
,
…
,
e
n
((e_(1),dots,e_(n)):} \left(\left(\boldsymbol{e}_{1}, \ldots, \boldsymbol{e}_{n}\right)\right. ( ( e 1 , … , e n ) は
(
T
p
S
,
g
p
)
T
p
S
,
g
p
(T_(p)S,g_(p)) \left(T_{p} S, g_{p}\right) ( T p S , g p ) の正規直交基底)となり,
S
S
S S S が閉超曲面の場合,
∫
S
Δ
(
‖
V
⊥
‖
2
)
d
V
g
=
0
∫
S
Δ
V
⊥
2
d
V
g
=
0
int_(S)Delta(||V_(_|_)||^(2))dV_(g)=0 \int_{S} \Delta\left(\left\|\boldsymbol{V}_{\perp}\right\|^{2}\right) d V_{g}=0 ∫ S Δ ( ‖ V ⊥ ‖ 2 ) d V g = 0 となるので, 項
‖
grad
g
(
V
⋅
N
)
‖
2
grad
g
(
V
⋅
N
)
2
||grad_(g)(V*N)||^(2) \left\|\operatorname{grad}_{g}(\boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{N})\right\|^{2} ‖ grad g ( V ⋅ N ) ‖ 2 は,
g
~
(
J
~
(
V
F
)
,
V
F
)
g
~
J
~
V
F
,
V
F
widetilde(g)(( widetilde(J))(V_(F)),V_(F)) \widetilde{g}\left(\widetilde{\mathcal{J}}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) g ~ ( J ~ ( V F ) , V F ) の 項
−
g
~
(
Δ
⊥
(
V
F
)
⊥
,
V
F
)
−
g
~
Δ
⊥
V
F
⊥
,
V
F
- widetilde(g)(Delta^(_|_)(V_(F))_(_|_),V_(F)) -\widetilde{g}\left(\Delta^{\perp}\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}, \boldsymbol{V}_{F}\right) − g ~ ( Δ ⊥ ( V F ) ⊥ , V F ) に相当することがわかる.
このように, 定理 4.7.4における第 2 変分公式は, 定理 2.6 .4 における第 2 変分公式の一般化であることがわかる.
さらに,
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 法変形でもある場合に, 次のサイモンズの 定理(Simons' theorem)が導かれる。
定理 4.7.5(サイモンズの定理)
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f
∈
Imm
∞
(
D
,
M
~
)
f inImm^(oo)(D, widetilde(M)) f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(D, \widetilde{M}) f ∈ Imm ∞ ( D , M ~ ) を
Vol
Vol
Vol \mathrm{Vol} Vol の臨界点とす る. このとき,
f
f
f f f の境界固定の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級法変形
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
(
H
Vol
)
f
(
V
F
,
V
F
)
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
∫
D
g
~
(
J
(
(
V
F
)
⊥
)
,
V
F
)
d
v
f
∗
g
~
(
H
Vol
)
f
V
F
,
V
F
=
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
f
t
=
∫
D
g
~
J
V
F
⊥
,
V
F
d
v
f
∗
g
~
(H Vol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(D) widetilde(g)(J((V_(F))_(_|_)),V_(F))dv_(f^(**) widetilde(g)) (H \operatorname{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{D} \widetilde{g}\left(\mathcal{J}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d v_{f^{*} \widetilde{g}} ( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) = ∫ D g ~ ( J ( ( V F ) ⊥ ) , V F ) d v f ∗ g ~
が成り立つ. ここで
J
J
J \mathcal{J} J は,
J
:=
−
Δ
⊥
+
R
⊥
+
A
⊥
J
:=
−
Δ
⊥
+
R
⊥
+
A
⊥
J:=-Delta^(_|_)+R^(_|_)+A^(_|_) \mathcal{J}:=-\Delta^{\perp}+\mathcal{R}^{\perp}+\mathcal{A}^{\perp} J := − Δ ⊥ + R ⊥ + A ⊥ にって定義される
erator)とよばれる). 特に
M
M
M M M が
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体であるとき,
D
D
D D D として
M
M
M M M を とることができ,
f
f
f f f の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級法変形
F
=
{
f
t
}
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F
=
f
t
t
∈
(
−
ε
,
ε
)
F={f_(t)}_(t in(-epsi,epsi)) F=\left\{f_{t}\right\}_{t \in(-\varepsilon, \varepsilon)} F = { f t } t ∈ ( − ε , ε ) に対し,
(
H
Vol
)
f
(
V
F
,
V
F
)
=
d
2
d
t
2
|
t
=
0
Vol
(
f
t
)
=
∫
M
g
~
(
J
(
(
V
F
)
⊥
)
,
V
F
)
d
v
f
∗
g
~
(
H
Vol
)
f
V
F
,
V
F
=
d
2
d
t
2
t
=
0
Vol
f
t
=
∫
M
g
~
J
V
F
⊥
,
V
F
d
v
f
∗
g
~
(HVol)_(f)(V_(F),V_(F))=(d^(2))/(dt^(2))|_(t=0)Vol(f_(t))=int_(M) widetilde(g)(J((V_(F))_(_|_)),V_(F))dv_(f^(**) tilde(g)) (H \mathrm{Vol})_{f}\left(\boldsymbol{V}_{F}, \boldsymbol{V}_{F}\right)=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \operatorname{Vol}\left(f_{t}\right)=\int_{M} \widetilde{g}\left(\mathcal{J}\left(\left(\boldsymbol{V}_{F}\right)_{\perp}\right), \boldsymbol{V}_{F}\right) d v_{f^{*} \tilde{g}} ( H Vol ) f ( V F , V F ) = d 2 d t 2 | t = 0 Vol ( f t ) = ∫ M g ~ ( J ( ( V F ) ⊥ ) , V F ) d v f ∗ g ~
が成り立つ.
注意
f
f
f f f が極小はめ込み, つまり, Vol の臨界点であるとき, Volの
f
f
f f f におけるへ ッシアン
H
Vol
f
:
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
×
Γ
∞
(
f
∗
T
M
~
)
→
R
H
Vol
f
:
Γ
∞
f
∗
T
M
~
×
Γ
∞
f
∗
T
M
~
→
R
HVol_(f):Gamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))xxGamma^(oo)(f^(**)T( widetilde(M)))rarrR H \operatorname{Vol}_{f}: \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) \times \Gamma^{\infty}\left(f^{*} T \widetilde{M}\right) \rightarrow \mathbb{R} H Vol f : Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) × Γ ∞ ( f ∗ T M ~ ) → R
の指数は, 極小はめ込み
f
f
f \boldsymbol{f} f の指数(the index of the minimal immersion
f
f
f \boldsymbol{f} f ) とよばれる. ここで
H
Vol
f
H
Vol
f
HVol_(f) H \mathrm{Vol}_{f} H Vol f の指数は, その
Γ
∞
(
T
⊥
M
)
×
Γ
∞
(
T
⊥
M
)
Γ
∞
T
⊥
M
×
Γ
∞
T
⊥
M
Gamma^(oo)(T^(_|_)M)xxGamma^(oo)(T^(_|_)M) \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right) \times \Gamma^{\infty}\left(T^{\perp} M\right) Γ ∞ ( T ⊥ M ) × Γ ∞ ( T ⊥ M ) への制限の 指数と一致し, 必ず有限値をとる。
f
f
f f f が真に体積極小であるためには, その指数が 0 でなければならない。極小はめ込み
f
f
f f f の指数が 0 であるとき,
f
f
f f f は安定(stable) であるという(図 4.7.1, 4.7.2を参照)サイモンズの定理によれば, 極小はめ込み
f
f
f f f の指数を求めるには, ヤコビ作用素
J
J
J \mathcal{J} J の負の固有値の重複度の和を求めればよい ことがわかる。極小はめ込みの指数・安定性の研究は, 多くの微分幾何学者により 研究されている. 例えば, 球面, 複素グラスマン多様体をはじめとするコンパクト 型対称空間とよばれるリーマン多様体上のある種のリー群作用の軌道として与えら れる極小部分多様体(正確には,その包含写像)の指数を計算するための公式が, コンパクトリー群の複素既約表現に関する理論を用いて与えらている。さらに, そ の公式を用いて, そのような軌道として与えられる極小部分多様体の安定性, およ び具体的な指数の値が調べられている([Ik], [Ki], [KT], [Ta], [Oh1], [Oh2], [Ko3],
[
K
o
4
]
[
K
o
4
]
[Ko4] [K o 4] [ K o 4 ] 等を参照).
この節の終わりに,
−
Vol
−
Vol
-Vol -\mathrm{Vol} − Vol の勾配流について述べておくことにしよう. 以下,
M
M
M M M は
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 閉多様体とする. Vol :
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
→
R
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
→
R
Imm^(oo)(M, widetilde(M))rarrR \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}) \rightarrow \mathbb{R} Imm ∞ ( M , M ~ ) → R の勾配べ クトル場
gradVol
gradVol
gradVol \operatorname{gradVol} gradVol (これは
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
Imm^(oo)(M, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}) Imm ∞ ( M , M ~ ) 上のベクトル場)が
d
Vol
f
(
X
)
=
(
g
L
2
)
f
(
(
gradVol
)
f
,
X
)
(
∀
f
∈
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
,
∀
X
∈
T
f
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
)
d
Vol
f
(
X
)
=
g
L
2
f
(
gradVol
)
f
,
X
∀
f
∈
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
,
∀
X
∈
T
f
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
{:[dVol_(f)(X)=(g_(L^(2)))_(f)((gradVol)_(f),X)],[(AA f inImm^(oo)(M,( widetilde(M))),quad AA X inT_(f)Imm^(oo)(M,( widetilde(M))))]:} \begin{gathered}
d \operatorname{Vol}_{f}(\boldsymbol{X})=\left(\mathbf{g}_{L^{2}}\right)_{f}\left((\operatorname{gradVol})_{f}, \boldsymbol{X}\right) \\
\left(\forall f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}), \quad \forall \boldsymbol{X} \in T_{f} \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M})\right)
\end{gathered} d Vol f ( X ) = ( g L 2 ) f ( ( gradVol ) f , X ) ( ∀ f ∈ Imm ∞ ( M , M ~ ) , ∀ X ∈ T f Imm ∞ ( M , M ~ ) )
によって定義され(この存在は明らかではない), これを用いて,
−
Vol
−
Vol
-Vol -\operatorname{Vol} − Vol の勾配流(gradient flow)が
∂
f
t
∂
t
=
−
(
grad
Vol
)
f
t
∂
f
t
∂
t
=
−
(
grad
Vol
)
f
t
(delf_(t))/(del t)=-(gradVol)_(f_(t)) \frac{\partial f_{t}}{\partial t}=-(\mathrm{grad} \mathrm{Vol})_{f_{t}} ∂ f t ∂ t = − ( grad Vol ) f t を満たす
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
Imm^(oo)(M, widetilde(M)) \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}) Imm ∞ ( M , M ~ ) 内の
図 4.7.1極小はめ込みの安定性と平均曲率流
f
1
:
f
1
:
f_(1): f_{1}: f 1 : 安定な極小はめ込み
f
2
f
2
f_(2) f_{2} f 2 : 安定でない極小はめ込み
図 4.7.2 安定な極小はめ込みと安定でない極小はめ込みの例
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 曲線
t
↦
f
t
t
↦
f
t
t|->f_(t) t \mapsto f_{t} t ↦ f t (つまり,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級はめ込み写像の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級族
{
f
t
}
t
)
f
t
t
)
{f_(t)}_(t)) \left\{f_{t}\right\}_{t} ) ) { f t } t ) たちを流線としてもつ流れとして定義される。実は,
(
gradVol
)
f
t
(
gradVol
)
f
t
(gradVol)_(f_(t)) (\operatorname{gradVol})_{f_{t}} ( gradVol ) f t は
f
t
f
t
f_(t) f_{t} f t の平均曲率べ クトル場
H
t
H
t
H_(t) H_{t} H t の
(
−
n
)
(
−
n
)
(-n) (-n) ( − n ) 倍と一致することが示され, 上述の定義式は
∂
f
t
∂
t
=
n
H
t
∂
f
t
∂
t
=
n
H
t
(delf_(t))/(del t)=nH_(t) \frac{\partial f_{t}}{\partial t}=n H_{t} ∂ f t ∂ t = n H t と書き直すことができる。つまりこの流れは, 各時刻
t
t
t t t にいて,
f
t
(
M
)
f
t
(
M
)
f_(t)(M) f_{t}(M) f t ( M ) 上 の各点
f
t
(
p
)
f
t
(
p
)
f_(t)(p) f_{t}(p) f t ( p ) が
n
(
H
t
)
p
n
H
t
p
n(H_(t))_(p) n\left(H_{t}\right)_{p} n ( H t ) p 方向へ流れる流れである. この事実から, この勾配流 は平均曲率流(mean curvature flow)とよばれる(図 4.7.1 を参照)。それ ゆえ,
f
∈
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
f
∈
Imm
∞
(
M
,
M
~
)
f inImm^(oo)(M, widetilde(M)) f \in \operatorname{Imm}^{\infty}(M, \widetilde{M}) f ∈ Imm ∞ ( M , M ~ ) を発する平均曲率流が有限時間で特異点を生じずに 無限時間まで存在する場合,無限時間において Vol の臨界点である極小はめ 达みに収束することが期待される。有限時間で特異点を生じてしまう場合は, その特異点の構造を分析した上で, その寸前で適切な手術をして, 再び平均曲率流で流す。再び有限時間で特異点を生じてしまう場合は, その寸前で適切な
手術をして, 再び平均曲率流で流す。この手術を有限回繰り返すことにより,無限時間まで存在する平均曲率流に辿り着き, 無限時間において, 極小はめ込 みを発見することができることが期待される。このように、極小はめ込みの発見において, 平均曲率流(および手術付き平均曲率流)は強力な道具となる.平均曲率流を微分幾何学の視点から本格的に学びたい人は,
[
K
o
7
]
[
K
o
7
]
[Ko7] [K o 7] [ K o 7 ] を読むこと を打勧めする。
5
CHAPTER
―
CHAPTER
¯
bar(" CHAPTER ") \overline{\text { CHAPTER }} CHAPTER ―
微分幾何学における ガウス・ボンネの定理
この章の前半部では, はじめに, 位相空間の特異コホモロジー群, CW 分割可能な位相空間の CW コホモロジー群, および, 多様体のド・ラームコホ モロジー群を定義する。次に,“閉多様体のド・ラームコホモロジー群がその 特異コホモロジー群と同型になること”を主張するド・ラームの定理を証明す る. 後半部ではまず,閉多様体上のモース関数の臨界点の指数の情報から, そ の閉多様体とホモトピー同値な CW 複体を構成できることを主張する, モー スの基本定理の厳密な証明を与える。さらにこの定理から、その閉多様体上の モース関数の偶数指数の臨界点の個数から奇数指数の臨界点の個数を引いた倡 が, その閉多様体のオイラー標数に等しくなるという事実を導く. 次に, 第 2 章で述べた閉曲面に対するガウス・ボンネの定理(閉曲面のオイラー標数の積分表示公式)に相当する事実が, より一般に, ユークリッド空間内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対しても成り立つことを証明する。この証明は,外の ユークリッド空間の各単位ベクトルに対する高さ関数たちに上述のモースの基本定理から導かれる事実を適用し,ガウス写像の微分を計算することにより遂行される。さらに, 球面内の偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ ボンネ型定理を証明する。この証明は, 球面の各点からの 2 乗距離関数に上述のモースの基本定理から導かれる事実を適用し,法指数写像の微分を計算す ることにより遂行される.
5.1 特異コホモロジー群,
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW コホモロジー群, ド・ラーム コホモロジー群
この節において, まず, ホモロジー代数学の範疇で抽象的に定義されるチ エイン複体, コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義されるホモロジ
一群, コホモロジー群について説明する。次に,一般の位相空間に対して定義 される特異チェイン複体, 特異コチェイン複体, さらに, それらに付随して定義される特異ホモロジー群, 特異コホモロジー群について説明する. また,
C
C
C C C 性と
W
W
W W W 性とよばれる 2 つの性質を満たす胞体分割可能な位相空間に対して定義される CWチェイン複体,
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW コチェイン複体, さらに, それらに付随し て定義される CW ホモロジー群, CW コホモロジー群について説明する。さ らに, 閉多様体に対して定義されるド・ラームコチェイン複体, それに付随し て定義されるド・ラームコホモロジー群について説明する.
はじめに, ホモロジー代数学の範疇で抽象的に定義されるチェイン複体, コ チェイン複体, さらに, それらに付随して定義されるホモロジー群, コホモロ ジー群について説明する。
F
F
F \mathbb{F} F を環とする。.
F
F
F \mathbb{F} F 加群間の
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像の系列
C
:
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
→
∂
k
C
k
−
1
→
∂
k
−
1
⋯
→
∂
3
C
2
→
∂
2
C
1
→
∂
1
C
0
→
0
{
0
}
C
:
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
→
∂
k
C
k
−
1
→
∂
k
−
1
⋯
→
∂
3
C
2
→
∂
2
C
1
→
∂
1
C
0
→
0
{
0
}
C:cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)rarr"del_(k)"C_(k-1)rarr"del_(k-1)"cdotsrarr"del_(3)"C_(2)rarr"del_(2)"C_(1)rarr"del_(1)"C_(0)rarr"0"{0} \mathcal{C}: \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k} \xrightarrow{\partial_{k}} C_{k-1} \xrightarrow{\partial_{k-1}} \cdots \xrightarrow{\partial_{3}} C_{2} \xrightarrow{\partial_{2}} C_{1} \xrightarrow{\partial_{1}} C_{0} \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\} C : ⋯ → ∂ k + 1 C k → ∂ k C k − 1 → ∂ k − 1 ⋯ → ∂ 3 C 2 → ∂ 2 C 1 → ∂ 1 C 0 → 0 { 0 }
が,
∂
k
−
1
∘
∂
k
=
0
(
k
∈
N
)
∂
k
−
1
∘
∂
k
=
0
(
k
∈
N
)
del_(k-1)@del_(k)=0(k inN) \partial_{k-1} \circ \partial_{k}=0 ( k \in \mathbb{N} ) ( ) ∂ k − 1 ∘ ∂ k = 0 ( k ∈ N ) を満たすとき, この系列
C
C
C \mathcal{C} C をチェイン複体 (chain complex) という.
Z
k
(
C
)
:=
{
c
∈
C
k
∣
∂
k
(
c
)
=
0
}
,
B
k
(
C
)
:=
{
∂
k
+
1
(
c
)
∣
c
∈
C
k
+
1
}
Z
k
(
C
)
:=
c
∈
C
k
∣
∂
k
(
c
)
=
0
,
B
k
(
C
)
:=
∂
k
+
1
(
c
)
∣
c
∈
C
k
+
1
Z_(k)(C):={c inC_(k)∣del_(k)(c)=0},quadB_(k)(C):={del_(k+1)(c)∣c inC_(k+1)} Z_{k}(\mathcal{C}):=\left\{c \in C_{k} \mid \partial_{k}(c)=0\right\}, \quad B_{k}(\mathcal{C}):=\left\{\partial_{k+1}(c) \mid c \in C_{k+1}\right\} Z k ( C ) := { c ∈ C k ∣ ∂ k ( c ) = 0 } , B k ( C ) := { ∂ k + 1 ( c ) ∣ c ∈ C k + 1 }
とおく.
C
k
C
k
C_(k) C_{k} C k は
k
k
k \boldsymbol{k} k 次チェイン群(
k
−
k
−
k- \boldsymbol{k}- k − chain group)とよばれ, その各元は
k
k
k \boldsymbol{k} k
∂
k
=
0
(
k
∈
N
)
∂
k
=
0
(
k
∈
N
)
del_(k)=0(k inN) \partial_{k}=0(k \in \mathbb{N}) ∂ k = 0 ( k ∈ N ) が成り立つので,
B
k
(
C
)
B
k
(
C
)
B_(k)(C) B_{k}(\mathcal{C}) B k ( C ) が
Z
k
(
C
)
Z
k
(
C
)
Z_(k)(C) Z_{k}(\mathcal{C}) Z k ( C ) の部分
F
F
F \mathbb{F} F 加群であること が示され, 商
F
F
F \mathbb{F} F 加群
Z
k
(
C
)
/
B
k
(
C
)
Z
k
(
C
)
/
B
k
(
C
)
Z_(k)(C)//B_(k)(C) Z_{k}(\mathcal{C}) / B_{k}(\mathcal{C}) Z k ( C ) / B k ( C ) は, チェイン複体
C
C
C \mathcal{C} C の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次ホモロジー群 (k-th homology group) とよばれ,
H
k
(
C
)
H
k
(
C
)
H_(k)(C) H_{k}(\mathcal{C}) H k ( C ) と表される.
同様に,
F
F
F \mathbb{F} F 加群間の
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像の系列
C
^
:
{
0
}
→
0
C
0
→
δ
0
C
1
→
δ
1
C
2
→
δ
2
⋯
→
∂
k
−
1
C
k
→
δ
k
C
k
+
1
→
δ
k
+
1
⋯
C
^
:
{
0
}
→
0
C
0
→
δ
0
C
1
→
δ
1
C
2
→
δ
2
⋯
→
∂
k
−
1
C
k
→
δ
k
C
k
+
1
→
δ
k
+
1
⋯
widehat(C):{0}rarr"0"C^(0)rarr"delta_(0)"C^(1)rarr"delta_(1)"C^(2)rarr"delta_(2)"cdotsrarr"del_(k-1)"C^(k)rarr"delta_(k)"C^(k+1)rarr"delta_(k+1)"cdots \widehat{\mathcal{C}}:\{\mathbf{0}\} \xrightarrow{0} C^{0} \xrightarrow{\delta_{0}} C^{1} \xrightarrow{\delta_{1}} C^{2} \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \xrightarrow{\partial_{k-1}} C^{k} \xrightarrow{\delta_{k}} C^{k+1} \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots C ^ : { 0 } → 0 C 0 → δ 0 C 1 → δ 1 C 2 → δ 2 ⋯ → ∂ k − 1 C k → δ k C k + 1 → δ k + 1 ⋯
が,
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
(
k
∈
N
)
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
(
k
∈
N
)
delta_(k)@delta_(k-1)=0(k inN) \delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0 ( k \in \mathbb{N} ) ( ) δ k ∘ δ k − 1 = 0 ( k ∈ N ) を満たすとき, この系列
C
^
C
^
widehat(C) \widehat{\mathcal{C}} C ^ をコチェイン複体 (cochain complex) という.
Z
k
(
C
^
)
:=
{
ρ
∈
C
k
∣
δ
k
(
ρ
)
=
0
}
,
B
k
(
C
^
)
:=
{
δ
k
−
1
(
ρ
)
∣
ρ
∈
C
^
k
−
1
}
Z
k
(
C
^
)
:=
ρ
∈
C
k
∣
δ
k
(
ρ
)
=
0
,
B
k
(
C
^
)
:=
δ
k
−
1
(
ρ
)
∣
ρ
∈
C
^
k
−
1
Z^(k)( widehat(C)):={rho inC^(k)∣delta_(k)(rho)=0},quadB^(k)( widehat(C)):={delta_(k-1)(rho)∣rho in widehat(C)^(k-1)} Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}}):=\left\{\rho \in C^{k} \mid \delta_{k}(\rho)=0\right\}, \quad B^{k}(\widehat{\mathcal{C}}):=\left\{\delta_{k-1}(\rho) \mid \rho \in \widehat{C}^{k-1}\right\} Z k ( C ^ ) := { ρ ∈ C k ∣ δ k ( ρ ) = 0 } , B k ( C ^ ) := { δ k − 1 ( ρ ) ∣ ρ ∈ C ^ k − 1 }
とおく.
C
k
C
k
C^(k) C^{k} C k は
k
k
k \boldsymbol{k} k 次コチェイン群(k-cochain group)とよばれ, その各元
は
k
k
k \boldsymbol{k} k コチェイン(
k
k
k \boldsymbol{k} k -cochain)とよばれる。また,
Z
k
(
C
^
)
Z
k
(
C
^
)
Z^(k)( widehat(C)) Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) Z k ( C ^ ) の各元は
k
k
k \boldsymbol{k} k 余輪体
よばれる.
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
(
k
∈
N
)
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
(
k
∈
N
)
delta_(k)@delta_(k-1)=0(k inN) \delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0(k \in \mathbb{N}) δ k ∘ δ k − 1 = 0 ( k ∈ N ) が成り立つので,
B
k
(
C
^
)
B
k
(
C
^
)
B^(k)( widehat(C)) B^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) B k ( C ^ ) が
Z
k
(
C
^
)
Z
k
(
C
^
)
Z^(k)( widehat(C)) Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) Z k ( C ^ ) の部分
F
F
F \mathbb{F} F 加群であることが示され, 商
F
F
F \mathbb{F} F 加群
Z
k
(
C
^
)
/
B
k
(
C
^
)
Z
k
(
C
^
)
/
B
k
(
C
^
)
Z^(k)( widehat(C))//B^(k)( widehat(C)) Z^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) / B^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) Z k ( C ^ ) / B k ( C ^ ) は, コチエイン複体
C
^
C
^
widehat(C) \widehat{\mathcal{C}} C ^ の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次コホモロジー群(k-th cohomology group)とよばれ,
H
k
(
C
^
)
H
k
(
C
^
)
H^(k)( widehat(C)) H^{k}(\widehat{\mathcal{C}}) H k ( C ^ ) と表さ れる。
次に, 位相空間の特異ホモロジー群・特異コホモロジー群を定義しよう.
X
X
X X X を位相空間とし,花を環とする。
Δ
k
:=
{
(
x
0
,
…
,
x
k
)
∈
R
k
+
1
∣
∑
i
=
1
k
+
1
x
i
=
1
,
x
i
≥
0
(
i
=
1
,
…
,
k
+
1
)
}
Δ
k
:=
x
0
,
…
,
x
k
∈
R
k
+
1
∣
∑
i
=
1
k
+
1
x
i
=
1
,
x
i
≥
0
(
i
=
1
,
…
,
k
+
1
)
Delta^(k):={(x_(0),dots,x_(k))inR^(k+1)∣sum_(i=1)^(k+1)x_(i)=1,x_(i) >= 0quad(i=1,dots,k+1)} \Delta^{k}:=\left\{\left(x_{0}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k+1} \mid \sum_{i=1}^{k+1} x_{i}=1, x_{i} \geq 0 \quad(i=1, \ldots, k+1)\right\} Δ k := { ( x 0 , … , x k ) ∈ R k + 1 ∣ ∑ i = 1 k + 1 x i = 1 , x i ≥ 0 ( i = 1 , … , k + 1 ) }
とおく. これを標準
k
k
k \boldsymbol{k} k 単体(standard
k
k
k \boldsymbol{k} k -simplex)といい,
△
k
△
k
/_\^(k) \triangle^{k} △ k から
X
へ
X
へ
Xへ X へ へ X へ の連続写像
σ
σ
sigma \sigma σ を,Xにおける特異
k
k
k \boldsymbol{k} k 単体(singular
k
k
k \boldsymbol{k} k -simplex)という.特異
k
k
k k k 単体の形式的有限和
c
:=
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
c
:=
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
c:=sum_(i=1)^(r)a_(i)sigma_(i) c:=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \sigma_{i} c := ∑ i = 1 r a i σ i (
σ
i
:
X
σ
i
:
X
sigma_(i):X \sigma_{i}: X σ i : X における特異
k
k
k k k 単体,
a
i
∈
a
i
∈
a_(i)in a_{i} \in a i ∈
F
F
F \mathbb{F} F ) を一般に,
X
X
X X X における
F
F
F \mathbb{F} F 係数の特異
k
k
k k k チェイン(singular
k
k
k k k -chain of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient)という。
X
X
X X X における
F
F
F \mathbb{F} F 係数の特異
k
k
k k k チェインの全体がなす自由加群を
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) と表し,
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数
k
k
k \boldsymbol{k} k 次特異チェイン群(
k
−
th
k
−
th
k-th \boldsymbol{k}-\mathrm{th} k − th singular chain group of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient) という.
ε
i
k
:
△
k
−
1
→
△
k
ε
i
k
:
△
k
−
1
→
△
k
epsi_(i)^(k):/_\_(k-1)rarr/_\_(k) \varepsilon_{i}^{k}: \triangle_{k-1} \rightarrow \triangle_{k} ε i k : △ k − 1 → △ k を
ε
i
k
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
−
1
)
:=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
i
−
1
,
0
,
x
i
,
…
,
x
k
−
1
)
(
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
−
1
)
∈
△
k
−
1
)
ε
i
k
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
−
1
:=
x
0
,
x
1
,
…
,
x
i
−
1
,
0
,
x
i
,
…
,
x
k
−
1
x
0
,
x
1
,
…
,
x
k
−
1
∈
△
k
−
1
{:[epsi_(i)^(k)(x_(0),x_(1),dots,x_(k-1)):=(x_(0),x_(1),dots,x_(i-1),0,x_(i),dots,x_(k-1))],[((x_(0),x_(1),dots,x_(k-1))in/_\_(k-1))]:} \begin{array}{r}
\varepsilon_{i}^{k}\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right):=\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i}, \ldots, x_{k-1}\right) \\
\left(\left(x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{k-1}\right) \in \triangle_{k-1}\right)
\end{array} ε i k ( x 0 , x 1 , … , x k − 1 ) := ( x 0 , x 1 , … , x i − 1 , 0 , x i , … , x k − 1 ) ( ( x 0 , x 1 , … , x k − 1 ) ∈ △ k − 1 )
によって定義し, 特異
k
k
k k k 単体
σ
σ
sigma \sigma σ に対し, 特異
(
k
−
1
)
(
k
−
1
)
(k-1) (k-1) ( k − 1 ) 単体
∂
k
(
σ
)
∂
k
(
σ
)
del_(k)(sigma) \partial_{k}(\sigma) ∂ k ( σ ) を
∂
k
(
σ
)
:=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
(
σ
∘
ε
i
k
)
∂
k
(
σ
)
:=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
σ
∘
ε
i
k
del_(k)(sigma):=sum_(i=0)^(k)(-1)^(i)(sigma@epsi_(i)^(k)) \partial_{k}(\sigma):=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}\left(\sigma \circ \varepsilon_{i}^{k}\right) ∂ k ( σ ) := ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( σ ∘ ε i k )
により定義する(図 5.1.1 を参照)。これを
σ
σ
sigma \sigma σ の境界(the boundary of
σ
σ
sigma \sigma σ ) という.
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
∂
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
C
k
−
1
(
X
,
F
)
∂
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
C
k
−
1
(
X
,
F
)
del_(k):C_(k)(X,F)rarrC_(k-1)(X,F) \partial_{k}: C_{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k-1}(X, \mathbb{F}) ∂ k : C k ( X , F ) → C k − 1 ( X , F ) を
∂
k
(
c
)
:=
∑
i
=
1
r
a
i
∂
k
(
σ
i
)
(
c
=
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
∈
C
k
(
X
,
F
)
)
∂
k
(
c
)
:=
∑
i
=
1
r
a
i
∂
k
σ
i
c
=
∑
i
=
1
r
a
i
σ
i
∈
C
k
(
X
,
F
)
del_(k)(c):=sum_(i=1)^(r)a_(i)del_(k)(sigma_(i))quad(c=sum_(i=1)^(r)a_(i)sigma_(i)inC_(k)(X,F)) \partial_{k}(c):=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \partial_{k}\left(\sigma_{i}\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \sigma_{i} \in C_{k}(X, \mathbb{F})\right) ∂ k ( c ) := ∑ i = 1 r a i ∂ k ( σ i ) ( c = ∑ i = 1 r a i σ i ∈ C k ( X , F ) )
図 5.1.1特異チェインとその境界
によって定義する。この
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
∂
k
∂
k
del_(k) \partial_{k} ∂ k を境界作用素(boundary operator)という.このとき容易に,
∂
k
−
1
∘
∂
k
=
0
∂
k
−
1
∘
∂
k
=
0
del_(k-1)@del_(k)=0 \partial_{k-1} \circ \partial_{k}=0 ∂ k − 1 ∘ ∂ k = 0 が示され,それゆえ、
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
(
X
,
F
)
→
∂
k
C
k
−
1
(
X
,
F
)
→
∂
k
−
1
⋯
⋯
→
∂
3
C
2
(
X
,
F
)
→
∂
2
C
1
(
X
,
F
)
→
∂
1
C
0
(
X
,
F
)
→
0
{
0
}
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
(
X
,
F
)
→
∂
k
C
k
−
1
(
X
,
F
)
→
∂
k
−
1
⋯
⋯
→
∂
3
C
2
(
X
,
F
)
→
∂
2
C
1
(
X
,
F
)
→
∂
1
C
0
(
X
,
F
)
→
0
{
0
}
{:[ cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)(X","F)rarr"del_(k)"C_(k-1)(X","F)rarr"del_(k-1)"cdots],[ cdotsrarr"del_(3)"C_(2)(X","F)rarr"del_(2)"C_(1)(X","F)rarr"del_(1)"C_(0)(X","F)rarr"0"{0}]:} \begin{aligned}
& \cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}} C_{k-1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}} \cdots \\
& \cdots \xrightarrow{\partial_{3}} C_{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}} C_{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}} C_{0}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\}
\end{aligned} ⋯ → ∂ k + 1 C k ( X , F ) → ∂ k C k − 1 ( X , F ) → ∂ k − 1 ⋯ ⋯ → ∂ 3 C 2 ( X , F ) → ∂ 2 C 1 ( X , F ) → ∂ 1 C 0 ( X , F ) → 0 { 0 }
はチエイン複体を与える. このチェイン複体の
k
k
k k k 次ホモロジー群を
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次特異ホモロジー群
(
k
(
k
(k (\boldsymbol{k} ( k -th singular homology group of
F
F
F \mathbb{F} F coefficient)といい, 本書では,
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^("sing ")(X,F) H_{k}^{\text {sing }}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) と表す。以下, 非負の各整数
k
k
k k k に対し,
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^(sing)(X,F) H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) が
F
F
F \mathbb{F} F 加群として有限生成であるとする. このとき, 2.9 節で述べたように,
F
F
F \mathbb{F} F 加群
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^(sing)(X,F) H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) の階数(この定義については 2.9 節を 参照のこと)を,Xの
k
k
k \boldsymbol{k} k 次ベッチ数といい,
b
k
(
X
)
b
k
(
X
)
b_(k)(X) b_{k}(X) b k ( X ) と表す. また,それらの 交代和
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
b
k
(
X
)
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
b
k
(
X
)
sum_(k=0)^(oo)(-1)^(k)b_(k)(X) \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} b_{k}(X) ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k b k ( X ) を
X
X
X X X のオイラー標数といい,
χ
(
X
)
χ
(
X
)
chi(X) \chi(X) χ ( X ) と表す. ここで
F
F
F \mathbb{F} F が体のとき,
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^(sing)(X,F) H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) の階数は, その
F
F
F \mathbb{F} F 係数のベクトル空間としての次元 に等しいことを注意しておく。特に
X
X
X X X がコンパクトならば, すべての非負の
整数
k
k
k k k に対し,
H
k
sing
(
X
,
Z
)
H
k
sing
(
X
,
Z
)
H_(k)^(sing)(X,Z) H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{Z}) H k sing ( X , Z ) は有限生成になり, そのオイラー標数が定義され る. また,奇数次元閉多様体のオイラー標数は 0 になることが知られている. この事実は,5.6 節で述べる偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ ボンネの定理が, なぜ, 偶数次元の場合に限定されているのかを示唆すること になるであろう.
次に, 特異コホモロジー群を定義しよう。
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) の双対空間,つまり、
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) から
F
F
F \mathbb{F} F への
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像全体のなす
F
F
F \mathbb{F} F 加群
C
k
(
X
,
F
)
∗
C
k
(
X
,
F
)
∗
C_(k)(X,F)^(**) C_{k}(X, \mathbb{F})^{*} C k ( X , F ) ∗ を
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C^(k)(X,F) C^{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) と表す.
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
δ
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
C
k
+
1
(
X
,
F
)
δ
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
C
k
+
1
(
X
,
F
)
delta_(k):C^(k)(X,F)rarrC^(k+1)(X,F) \delta_{k}: C^{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C^{k+1}(X, \mathbb{F}) δ k : C k ( X , F ) → C k + 1 ( X , F ) を
δ
k
=
ρ
∘
∂
k
+
1
δ
k
=
ρ
∘
∂
k
+
1
delta_(k)=rho@del_(k+1) \delta_{k}=\rho \circ \partial_{k+1} δ k = ρ ∘ ∂ k + 1 によって 定義する. この
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
δ
k
δ
k
delta_(k) \delta_{k} δ k を余境界作用素(coboundary operator) という. このとき, 容易に
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
delta_(k)@delta_(k-1)=0 \delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0 δ k ∘ δ k − 1 = 0 が示され, それゆえ,
{
0
}
→
δ
0
C
1
(
X
,
F
)
→
δ
1
C
2
(
X
,
F
)
→
δ
2
⋯
⋯
→
δ
k
−
1
C
k
(
X
,
F
)
→
δ
k
C
k
+
1
(
X
,
F
)
→
δ
k
+
1
⋯
{
0
}
→
δ
0
C
1
(
X
,
F
)
→
δ
1
C
2
(
X
,
F
)
→
δ
2
⋯
⋯
→
δ
k
−
1
C
k
(
X
,
F
)
→
δ
k
C
k
+
1
(
X
,
F
)
→
δ
k
+
1
⋯
{:[{0}rarr"delta_(0)"C^(1)(X","F)rarr"delta_(1)"C^(2)(X","F)rarr"delta_(2)"cdots],[ cdotsrarr"delta_(k-1)"C^(k)(X","F)rarr"delta_(k)"C^(k+1)(X","F)rarr"delta_(k+1)"cdots]:} \begin{aligned}
& \{\mathbf{0}\} \xrightarrow{\delta_{0}} C^{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{1}} C^{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \\
& \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}} C^{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}} C^{k+1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots
\end{aligned} { 0 } → δ 0 C 1 ( X , F ) → δ 1 C 2 ( X , F ) → δ 2 ⋯ ⋯ → δ k − 1 C k ( X , F ) → δ k C k + 1 ( X , F ) → δ k + 1 ⋯
は、コチエイン複体を与える. このコチェイン複体の
k
k
k k k 次コホモロジー群を
group of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient)といい, 本書では,
H
sing
k
(
X
,
F
)
H
sing
k
(
X
,
F
)
H_("sing ")^(k)(X,F) H_{\text {sing }}^{k}(X, \mathbb{F}) H sing k ( X , F ) と表す. ここで,
ρ
∈
C
k
(
X
,
F
)
ρ
∈
C
k
(
X
,
F
)
rho inC^(k)(X,F) \rho \in C^{k}(X, \mathbb{F}) ρ ∈ C k ( X , F ) は, 形式的無限和
∑
σ
ρ
(
σ
)
σ
∑
σ
ρ
(
σ
)
σ
sum_(sigma)rho(sigma)sigma \sum_{\sigma} \rho(\sigma) \sigma ∑ σ ρ ( σ ) σ と同一視されることに注意する. ここで
∑
σ
∑
σ
sum_(sigma) \sum_{\sigma} ∑ σ は,
σ
σ
sigma \sigma σ が
X
X
X X X の
k
k
k k k 次特異単体全体からなる集合上を動き回る範囲で和をとることを意味する。このように,
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) は,
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C^(k)(X,F) C^{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) の部分
F
F
F \mathbb{F} F 加群とみなさるる。この事実から, 特異ホモロジー群
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^(sing)(X,F) H_{k}^{\operatorname{sing}}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) と特異コホモロジー群
H
sing
k
(
X
,
F
)
H
sing
k
(
X
,
F
)
H_(sing)^(k)(X,F) H_{\operatorname{sing}}^{k}(X, \mathbb{F}) H sing k ( X , F ) の違いを認識してもらえるで あろう.
次に, CW 性を満たす胞体分割可能な位相空間の CW ホモロジー群を定義 しよう.
X
X
X X X をハウスドルフ位相空間とし,
F
F
F \mathbb{F} F を環とする.
D
k
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
k
)
∈
R
k
∣
∑
i
=
1
x
i
2
≤
1
}
D
`
k
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
k
)
∈
R
k
∣
∑
i
=
1
x
i
2
<
1
}
∂
D
k
:=
{
(
x
1
,
…
,
x
k
)
∈
R
k
∣
∑
i
=
1
x
i
2
=
1
}
D
k
:=
x
1
,
…
,
x
k
∈
R
k
∣
∑
i
=
1
x
i
2
≤
1
D
`
k
:=
x
1
,
…
,
x
k
∈
R
k
∣
∑
i
=
1
x
i
2
<
1
∂
D
k
:=
x
1
,
…
,
x
k
∈
R
k
∣
∑
i
=
1
x
i
2
=
1
{:[D^(k):={(x_(1),dots,x_(k))inR^(k)∣sum_(i=1)x_(i)^(2) <= 1}],[D^(`)^(k):={(x_(1),dots,x_(k))inR^(k)∣sum_(i=1)x_(i)^(2) < 1}],[delD^(k):={(x_(1),dots,x_(k))inR^(k)∣sum_(i=1)x_(i)^(2)=1}]:} \begin{aligned}
& D^{k}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid \sum_{i=1} x_{i}^{2} \leq 1\right\} \\
& \grave{D}^{k}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid \sum_{i=1} x_{i}^{2}<1\right\} \\
& \partial D^{k}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathbb{R}^{k} \mid \sum_{i=1} x_{i}^{2}=1\right\}
\end{aligned} D k := { ( x 1 , … , x k ) ∈ R k ∣ ∑ i = 1 x i 2 ≤ 1 } D ` k := { ( x 1 , … , x k ) ∈ R k ∣ ∑ i = 1 x i 2 < 1 } ∂ D k := { ( x 1 , … , x k ) ∈ R k ∣ ∑ i = 1 x i 2 = 1 }
(
k
≥
1
)
(
k
≥
1
)
(k >= 1) (k \geq 1) ( k ≥ 1 ) とし,
D
0
=
D
0
=
{
0
}
,
∂
D
0
=
∅
D
0
=
D
0
=
{
0
}
,
∂
D
0
=
∅
D^(0)=D^(0)={0},delD^(0)=O/ D^{0}=D^{0}=\{0\}, \partial D^{0}=\emptyset D 0 = D 0 = { 0 } , ∂ D 0 = ∅ とする.
σ
σ
sigma \sigma σ が
D
k
D
k
D^(k) D^{k} D k から
X
X
X X X への連続写像で,
σ
σ
sigma \sigma σ の
D
k
D
k
D^(k) D^{k} D k への制限
σ
|
D
k
σ
D
k
sigma|_(D^(k)) \left.\sigma\right|_{D^{k}} σ | D k が
D
k
D
k
D^(k) D^{k} D k から
X
X
X X X の部分位相空間
e
:=
σ
(
D
k
)
e
:=
σ
D
k
e:=sigma(D^(k)) e:=\sigma\left(D^{k}\right) e := σ ( D k ) への同相写像を与えるようなものであるとき,
e
e
e e e (または組
(
e
,
σ
)
)
(
e
,
σ
)
)
(e,sigma)) (e, \sigma) ) ) ( e , σ ) ) &
k
k
k \boldsymbol{k} k 胞体
k
k
k k k はその次元とよばれ,
dim
e
dim
e
dim e \operatorname{dim} e dim e と表される。
σ
(
D
k
)
σ
D
k
sigma(D^(k)) \sigma\left(D^{k}\right) σ ( D k ) は,
e
e
e e e の
X
X
X X X における閉包
e
¯
e
¯
bar(e) \bar{e} e ¯ と一致することが,“ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は閉集合である” という事実を用いて容易に示される。組
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) が次の 3 条件 を満たすとする:
(i) 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
(
e
λ
,
σ
λ
)
e
λ
,
σ
λ
(e_(lambda),sigma_(lambda)) \left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) ( e λ , σ λ ) は
X
X
X X X における胞体である;
(ii)
X
=
⨿
λ
∈
Λ
e
λ
X
=
⨿
λ
∈
Λ
e
λ
X=⨿_(lambda in Lambda)e_(lambda) X=\underset{\lambda \in \Lambda}{\amalg} e_{\lambda} X = ⨿ λ ∈ Λ e λ (直和)が成り立つ;
(iii)
k
λ
:=
dim
e
λ
(
λ
∈
Λ
k
λ
:=
dim
e
λ
λ
∈
Λ
k_(lambda):=dime_(lambda)(lambda in Lambda:} k_{\lambda}:=\operatorname{dim} e_{\lambda}\left(\lambda \in \Lambda\right. k λ := dim e λ ( λ ∈ Λ ) とし,
X
(
k
)
:=
⨿
k
λ
≤
k
e
λ
X
(
k
)
:=
⨿
k
λ
≤
k
e
λ
X^((k)):=⨿_(k_(lambda) <= k)e_(lambda) X^{(k)}:=\amalg_{k_{\lambda} \leq k} e_{\lambda} X ( k ) := ⨿ k λ ≤ k e λ (これは
k
k
k \boldsymbol{k} k 骨格
成り立つ.
このとき,
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) を胞体複体(cell complex)という. ま た,
X
X
X X X の分割
X
=
⨿
λ
∈
Λ
e
λ
X
=
⨿
λ
∈
Λ
e
λ
X=⨿_(lambda in Lambda)e_(lambda) X=\underset{\lambda \in \Lambda}{\amalg} e_{\lambda} X = ⨿ λ ∈ Λ e λ を
X
X
X X X の胞体分割 (cell decomposition)という.胞体分割を許容するハウスドルフ空間を胞体分割可能な位相空間 (cell decomposable topological space)という.
λ
λ
lambda \lambda λ の部分集合
Λ
′
Λ
′
Lambda^(') \Lambda^{\prime} Λ ′ で
(
⨿
λ
∈
Λ
′
e
λ
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
′
}
)
⨿
λ
∈
Λ
′
e
λ
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
′
(⨿_(lambda inLambda^('))e_(lambda),{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda inLambda^(')}) \left(\underset{\lambda \in \Lambda^{\prime}}{\amalg} e_{\lambda},\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda^{\prime}\right\}\right) ( ⨿ λ ∈ Λ ′ e λ , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ ′ } )
が胞体複体を与えるとき, この胞体複体を
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) の部分胞体複体(cell subcomplex)という. 各
k
≥
1
k
≥
1
k >= 1 k \geq 1 k ≥ 1 に対し,
(
X
(
k
)
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
X
(
k
)
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
(X^((k)),{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in:} \left(X^{(k)},\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in\right.\right. ( X ( k ) , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ s.t.
k
λ
≤
k
}
)
k
λ
≤
k
{:k_(lambda) <= k}) \left.\left.k_{\lambda} \leq k\right\}\right) k λ ≤ k } ) は,
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) の部分胞体複体になることが容易 に示される.
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ が有限集合であるとき,
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) を有限胞体複体(finite cell complex)という。明らかに, 有限胞体複体はコンパクトに なる.
例 5.1.1
n
n
n n n 次元単位球面
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) は,
R
n
+
1
R
n
+
1
R^(n+1) \mathbb{R}^{n+1} R n + 1 の部分位相空間としてハウスドル フ空間である. このハウスドルフ空間
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の胞体分割を与えよう.
σ
±
k
σ
±
k
sigma_(+-)^(k) \sigma_{ \pm}^{k} σ ± k :
D
k
→
S
n
(
1
)
(
k
=
1
,
…
,
n
)
D
k
→
S
n
(
1
)
(
k
=
1
,
…
,
n
)
D^(k)rarrS^(n)(1)(k=1,dots,n) D^{k} \rightarrow S^{n}(1)(k=1, \ldots, n) D k → S n ( 1 ) ( k = 1 , … , n ) を
σ
±
k
(
x
1
,
…
,
x
k
)
:=
(
x
1
,
…
,
x
k
,
±
1
−
∑
i
=
1
k
x
i
2
,
0
,
…
,
0
)
(
(
x
1
,
…
,
x
k
)
∈
D
k
)
σ
±
k
x
1
,
…
,
x
k
:=
x
1
,
…
,
x
k
,
±
1
−
∑
i
=
1
k
x
i
2
,
0
,
…
,
0
x
1
,
…
,
x
k
∈
D
k
sigma_(+-)^(k)(x_(1),dots,x_(k)):=(x_(1),dots,x_(k),+-sqrt(1-sum_(i=1)^(k)x_(i)^(2)),0,dots,0)quad((x_(1),dots,x_(k))inD^(k)) \sigma_{ \pm}^{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right):=\left(x_{1}, \ldots, x_{k}, \pm \sqrt{1-\sum_{i=1}^{k} x_{i}^{2}}, 0, \ldots, 0\right) \quad\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in D^{k}\right) σ ± k ( x 1 , … , x k ) := ( x 1 , … , x k , ± 1 − ∑ i = 1 k x i 2 , 0 , … , 0 ) ( ( x 1 , … , x k ) ∈ D k ) によって定義し,
σ
±
0
:
D
0
→
S
n
(
1
)
σ
±
0
:
D
0
→
S
n
(
1
)
sigma_(+-)^(0):D^(0)rarrS^(n)(1) \sigma_{ \pm}^{0} : D^{0} \rightarrow S^{n}(1) : σ ± 0 : D 0 → S n ( 1 ) を
σ
±
0
(
0
)
=
(
±
1
,
0
,
…
,
0
)
σ
±
0
(
0
)
=
(
±
1
,
0
,
…
,
0
)
sigma_(+-)^(0)(0)=(+-1,0,dots,0) \sigma_{ \pm}^{0}(0)=( \pm 1,0, \ldots, 0) σ ± 0 ( 0 ) = ( ± 1 , 0 , … , 0 ) と定める.
e
±
k
:=
σ
±
k
(
D
k
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
e
±
k
:=
σ
±
k
D
k
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
e_(+-)^(k):=sigma_(+-)^(k)(D^(k))(k=0,1,dots,n) e_{ \pm}^{k}:=\sigma_{ \pm}^{k}\left(D^{k}\right)(k=0,1, \ldots, n) e ± k := σ ± k ( D k ) ( k = 0 , 1 , … , n ) とおく.このとき,
S
n
(
1
)
=
(
⨿
n
e
k
)
⨿
(
⨿
n
e
k
e
−
k
)
S
n
(
1
)
=
⨿
n
e
k
⨿
⨿
n
e
k
e
−
k
S^(n)(1)=((⨿^(n))e^(k))⨿((⨿^(n))e^(k)e_(-)^(k)) S^{n}(1)=\left(\stackrel{n}{\amalg} e^{k}\right) \amalg\left(\stackrel{n}{\amalg} e^{k} e_{-}^{k}\right) S n ( 1 ) = ( ⨿ n e k ) ⨿ ( ⨿ n e k e − k )
は,
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の胞体分割を与える
(
n
=
2
(
n
=
2
(n=2 (n=2 ( n = 2 の場合については図 5.1 .2 を参照).
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) から
n
n
n n n 次元実射影空間
R
P
n
R
P
n
RP^(n) \mathbb{R} P^{n} R P n への自然な射影を
π
π
pi \pi π で表す.
σ
^
k
:
D
k
→
σ
^
k
:
D
k
→
widehat(sigma)^(k):D^(k)rarr \widehat{\sigma}^{k}: D^{k} \rightarrow σ ^ k : D k →
R
P
n
(
k
=
1
,
…
,
n
)
R
P
n
(
k
=
1
,
…
,
n
)
RP^(n)(k=1,dots,n) \mathbb{R} P^{n}(k=1, \ldots, n) R P n ( k = 1 , … , n ) を
σ
^
k
:=
π
∘
σ
+
k
σ
^
k
:=
π
∘
σ
+
k
hat(sigma)^(k):=pi@sigma_(+)^(k) \hat{\sigma}^{k}:=\pi \circ \sigma_{+}^{k} σ ^ k := π ∘ σ + k によって定義する.
σ
^
0
:
D
0
→
R
P
n
σ
^
0
:
D
0
→
R
P
n
hat(sigma)^(0):D^(0)rarrRP^(n) \hat{\sigma}^{0}: D^{0} \rightarrow \mathbb{R} P^{n} σ ^ 0 : D 0 → R P n を
σ
^
0
(
0
)
=
[
1
:
0
:
⋯
:
0
]
σ
^
0
(
0
)
=
[
1
:
0
:
⋯
:
0
]
widehat(sigma)^(0)(0)=[1:0:cdots:0] \widehat{\sigma}^{0}(0)=[1: 0: \cdots: 0] σ ^ 0 ( 0 ) = [ 1 : 0 : ⋯ : 0 ] で定める.
e
^
k
:=
σ
^
k
(
D
k
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
e
^
k
:=
σ
^
k
D
k
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
hat(e)^(k):= widehat(sigma)^(k)(D^(k))(k=0,1,dots,n) \hat{e}^{k}:=\widehat{\sigma}^{k}\left(D^{k}\right)(k=0,1, \ldots, n) e ^ k := σ ^ k ( D k ) ( k = 0 , 1 , … , n ) とおく. こ のとき
R
P
n
=
n
k
=
0
e
^
k
R
P
n
=
n
k
=
0
e
^
k
RP^(n)=n_(k=0) widehat(e)^(k) \mathbb{R} P^{n}=\underset{k=0}{n} \widehat{e}^{k} R P n = n k = 0 e ^ k は,
R
P
n
R
P
n
RP^(n) \mathbb{R} P^{n} R P n の胞体分割を与える
(
n
=
2
(
n
=
2
(n=2 (n=2 ( n = 2 の場合について は図 5.1.2 を参照).
例 5.1.2 ハウスドルフ空間
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) のもう 1 つの胞体分割を与えよう.
σ
n
σ
n
sigma^(n) \sigma^{n} σ n :
D
n
→
S
n
(
1
)
D
n
→
S
n
(
1
)
D^(n)rarrS^(n)(1) D^{n} \rightarrow S^{n}(1) D n → S n ( 1 ) を
σ
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
(
2
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
x
1
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
+
1
,
…
2
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
x
n
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
+
1
,
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
1
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
+
1
)
(
ρ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
tan
(
π
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
)
σ
n
x
1
,
…
,
x
n
:=
2
ρ
x
1
,
…
,
x
n
x
1
ρ
x
1
,
…
,
x
n
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
+
1
,
…
2
ρ
x
1
,
…
,
x
n
x
n
ρ
x
1
,
…
,
x
n
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
+
1
,
ρ
x
1
,
…
,
x
n
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
1
ρ
x
1
,
…
,
x
n
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
+
1
ρ
x
1
,
…
,
x
n
:=
tan
π
2
∑
i
=
1
n
x
i
2
{:[sigma^(n)(x_(1),dots,x_(n)):=((2rho(x_(1),dots,x_(n))x_(1))/(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)+1),dots:}],[{:(2rho(x_(1),dots,x_(n))x_(n))/(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)+1),(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)-1)/(rho(x_(1),dots,x_(n))^(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)+1))],[quad(rho(x_(1),dots,x_(n)):=tan((pi)/(2)sum_(i=1)^(n)x_(i)^(2)))]:} \begin{aligned}
& \sigma^{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\left(\frac{2 \rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{1}}{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+1}, \ldots\right. \\
& \left.\frac{2 \rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) x_{n}}{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+1}, \frac{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-1}{\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+1}\right) \\
& \quad\left(\rho\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\tan \left(\frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\right)
\end{aligned} σ n ( x 1 , … , x n ) := ( 2 ρ ( x 1 , … , x n ) x 1 ρ ( x 1 , … , x n ) 2 ∑ i = 1 n x i 2 + 1 , … 2 ρ ( x 1 , … , x n ) x n ρ ( x 1 , … , x n ) 2 ∑ i = 1 n x i 2 + 1 , ρ ( x 1 , … , x n ) 2 ∑ i = 1 n x i 2 − 1 ρ ( x 1 , … , x n ) 2 ∑ i = 1 n x i 2 + 1 ) ( ρ ( x 1 , … , x n ) := tan ( π 2 ∑ i = 1 n x i 2 ) )
と定義し,
σ
0
:
D
0
→
S
n
(
1
)
σ
0
:
D
0
→
S
n
(
1
)
sigma^(0):D^(0)rarrS^(n)(1) \sigma^{0}: D^{0} \rightarrow S^{n}(1) σ 0 : D 0 → S n ( 1 ) を
σ
0
(
0
)
=
(
0
,
…
,
0
,
1
)
σ
0
(
0
)
=
(
0
,
…
,
0
,
1
)
sigma^(0)(0)=(0,dots,0,1) \sigma^{0}(0)=(0, \ldots, 0,1) σ 0 ( 0 ) = ( 0 , … , 0 , 1 ) と定義する.
e
n
:=
e
n
:=
e^(n):= e^{n}:= e n :=
σ
n
(
D
n
)
,
e
0
:=
σ
0
(
D
0
)
σ
n
D
n
,
e
0
:=
σ
0
D
0
sigma^(n)(D^(n)),e^(0):=sigma^(0)(D^(0)) \sigma^{n}\left(D^{n}\right), e^{0}:=\sigma^{0}\left(D^{0}\right) σ n ( D n ) , e 0 := σ 0 ( D 0 ) とおく.このとき,
e
n
=
S
n
(
1
)
∖
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
,
e
0
=
e
n
=
S
n
(
1
)
∖
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
,
e
0
=
e^(n)=S^(n)(1)\\{(0,dots,0,1)},e^(0)= e^{n}=S^{n}(1) \backslash\{(0, \ldots, 0,1)\}, e^{0}= e n = S n ( 1 ) ∖ { ( 0 , … , 0 , 1 ) } , e 0 =
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
{(0,dots,0,1)} \{(0, \ldots, 0,1)\} { ( 0 , … , 0 , 1 ) } となり,
S
n
(
1
)
=
e
n
⨿
e
0
S
n
(
1
)
=
e
n
⨿
e
0
S^(n)(1)=e^(n)⨿e^(0) S^{n}(1)=e^{n} \amalg e^{0} S n ( 1 ) = e n ⨿ e 0 は
S
n
(
1
)
S
n
(
1
)
S^(n)(1) S^{n}(1) S n ( 1 ) の胞体分割を与える
(
n
=
2
(
n
=
2
(n=2 (n=2 ( n = 2 の場合については図 5.1 .2 を参照).
胞体複体の1つの構成法を与えよう.
(
X
,
{
(
e
λ
X
,
σ
λ
X
)
∣
λ
∈
Λ
X
}
)
X
,
e
λ
X
,
σ
λ
X
∣
λ
∈
Λ
X
(X,{(e_(lambda)^(X),sigma_(lambda)^(X))∣lambda inLambda_(X)}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}^{X}, \sigma_{\lambda}^{X}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{X}\right\}\right) ( X , { ( e λ X , σ λ X ) ∣ λ ∈ Λ X } ) と
(
Y
,
{
(
e
λ
Y
,
σ
λ
Y
)
∣
λ
∈
Λ
Y
}
)
Y
,
e
λ
Y
,
σ
λ
Y
∣
λ
∈
Λ
Y
(Y,{(e_(lambda)^(Y),sigma_(lambda)^(Y))∣lambda inLambda_(Y)}) \left(Y,\left\{\left(e_{\lambda}^{Y}, \sigma_{\lambda}^{Y}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{Y}\right\}\right) ( Y , { ( e λ Y , σ λ Y ) ∣ λ ∈ Λ Y } ) を胞体複体とする. このとき,積位相空間
X
×
Y
X
×
Y
X xx Y X \times Y X × Y もハウスドルフ空間になり,
X
×
Y
=
⨿
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
X
×
Λ
Y
(
e
λ
X
×
e
μ
Y
)
X
×
Y
=
⨿
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
X
×
Λ
Y
e
λ
X
×
e
μ
Y
X xx Y=⨿_((lambda,mu)inLambda_(X)xxLambda_(Y))(e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y)) X \times Y=\underset{(\lambda, \mu) \in \Lambda_{X} \times \Lambda_{Y}}{\amalg}\left(e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}\right) X × Y = ⨿ ( λ , μ ) ∈ Λ X × Λ Y ( e λ X × e μ Y )
図 5.1.2 単位球面の胞体分割
は
X
×
Y
X
×
Y
X xx Y X \times Y X × Y の胞体分割を与える.
k
λ
X
:=
dim
e
λ
X
,
k
λ
Y
:=
dim
e
λ
Y
k
λ
X
:=
dim
e
λ
X
,
k
λ
Y
:=
dim
e
λ
Y
k_(lambda)^(X):=dime_(lambda)^(X),k_(lambda)^(Y):=dime_(lambda)^(Y) k_{\lambda}^{X}:=\operatorname{dim} e_{\lambda}^{X}, k_{\lambda}^{Y}:=\operatorname{dim} e_{\lambda}^{Y} k λ X := dim e λ X , k λ Y := dim e λ Y とおく. 胞体
e
λ
X
×
e
μ
Y
e
λ
X
×
e
μ
Y
e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y) e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y} e λ X × e μ Y の特性写像は,
σ
λ
X
σ
λ
X
sigma_(lambda)^(X) \sigma_{\lambda}^{X} σ λ X と
σ
μ
Y
σ
μ
Y
sigma_(mu)^(Y) \sigma_{\mu}^{Y} σ μ Y の積写像
σ
λ
X
×
σ
μ
Y
σ
λ
X
×
σ
μ
Y
sigma_(lambda)^(X)xxsigma_(mu)^(Y) \sigma_{\lambda}^{X} \times \sigma_{\mu}^{Y} σ λ X × σ μ Y によって与えられる. 実際, この積写像は,
D
k
λ
X
×
D
k
μ
Y
D
k
λ
X
×
D
k
μ
Y
D^(k_(lambda)^(X))xxD^(k_(mu)^(Y)) D^{k_{\lambda}^{X}} \times D^{k_{\mu}^{Y}} D k λ X × D k μ Y (これは
D
k
λ
X
+
k
μ
Y
D
k
λ
X
+
k
μ
Y
D^(k_(lambda)^(X)+k_(mu)^(Y)) D^{k_{\lambda}^{X}+k_{\mu}^{Y}} D k λ X + k μ Y と同一視される)から
X
×
Y
X
×
Y
X xx Y X \times Y X × Y への連続写像を与え, その像
(
σ
λ
X
×
σ
μ
Y
)
(
D
λ
k
λ
X
×
D
k
μ
Y
)
σ
λ
X
×
σ
μ
Y
D
λ
k
λ
X
×
D
k
μ
Y
(sigma_(lambda)^(X)xxsigma_(mu)^(Y))(D_(lambda)^(k_(lambda)^(X))xxD^(k_(mu)^(Y))) \left(\sigma_{\lambda}^{X} \times \sigma_{\mu}^{Y}\right)\left(D_{\lambda}^{k_{\lambda}^{X}} \times D^{k_{\mu}^{Y}}\right) ( σ λ X × σ μ Y ) ( D λ k λ X × D k μ Y ) は,
e
λ
X
×
e
μ
Y
―
e
λ
X
×
e
μ
Y
¯
bar(e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y)) \overline{e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}} e λ X × e μ Y ― に等しく なる. このように,
(
X
×
Y
,
{
(
e
λ
X
×
e
μ
Y
,
σ
λ
X
×
σ
μ
Y
)
∣
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
X
×
Λ
Y
}
)
X
×
Y
,
e
λ
X
×
e
μ
Y
,
σ
λ
X
×
σ
μ
Y
∣
(
λ
,
μ
)
∈
Λ
X
×
Λ
Y
(X xx Y,{(e_(lambda)^(X)xxe_(mu)^(Y),sigma_(lambda)^(X)xxsigma_(mu)^(Y))∣(lambda,mu)inLambda_(X)xxLambda_(Y)}) \left(X \times Y,\left\{\left(e_{\lambda}^{X} \times e_{\mu}^{Y}, \sigma_{\lambda}^{X} \times \sigma_{\mu}^{Y}\right) \mid(\lambda, \mu) \in \Lambda_{X} \times \Lambda_{Y}\right\}\right) ( X × Y , { ( e λ X × e μ Y , σ λ X × σ μ Y ) ∣ ( λ , μ ) ∈ Λ X × Λ Y } )
は胞体複体になる。この胞体複体を,
(
X
,
{
(
e
λ
X
,
σ
λ
X
)
∣
λ
∈
Λ
X
}
)
X
,
e
λ
X
,
σ
λ
X
∣
λ
∈
Λ
X
(X,{(e_(lambda)^(X),sigma_(lambda)^(X))∣lambda inLambda_(X)}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}^{X}, \sigma_{\lambda}^{X}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{X}\right\}\right) ( X , { ( e λ X , σ λ X ) ∣ λ ∈ Λ X } ) と
(
Y
,
{
(
e
λ
Y
,
σ
λ
Y
)
∣
λ
∈
Λ
Y
}
)
Y
,
e
λ
Y
,
σ
λ
Y
∣
λ
∈
Λ
Y
(Y,{(e_(lambda)^(Y),sigma_(lambda)^(Y))∣lambda inLambda_(Y)}) \left(Y,\left\{\left(e_{\lambda}^{Y}, \sigma_{\lambda}^{Y}\right) \mid \lambda \in \Lambda_{Y}\right\}\right) ( Y , { ( e λ Y , σ λ Y ) ∣ λ ∈ Λ Y } ) の積胞体複体(product cell complex)という. このように, 2 つの胞体複体から, それらの積をとることにより, 第 3 の胞体複体を構成することができる。
次に, 胞体複体の閉包有限性と弱位相性を定義する. 胞体複体
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣:} \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid\right.\right. ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣
λ
∈
Λ
}
)
λ
∈
Λ
}
)
lambda in Lambda}) \lambda \in \Lambda\}) λ ∈ Λ } ) に対し,次の2つの条件を考える:
(C)
X
X
X X X の各点
p
p
p p p に対し,
p
p
p p p を含む
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) の有限部分胞体複体が存在する;
(W)
A
A
A A A を
X
X
X X X の任意の部分集合とする. 各
λ
∈
Λ
λ
∈
Λ
lambda in Lambda \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ に対し,
A
∩
e
¯
λ
A
∩
e
¯
λ
A nn bar(e)_(lambda) A \cap \bar{e}_{\lambda} A ∩ e ¯ λ が部分位
相空間
e
¯
λ
e
¯
λ
bar(e)_(lambda) \bar{e}_{\lambda} e ¯ λ の開集合であるならば,
A
A
A A A は
X
X
X X X の開集合である.
(C)は閉包有限性条件(closed finiteness condition)とよばれ,(W)は 弱位相性条件(weak topology condition)とよばれる. これらの2つの条件を満たす胞体複体は, CW 複体(CW-complex)とよばれる。
CW 複体の CW ホモロジー群を定義する前に, 一般に, 位相空間
Y
Y
Y Y Y とその 部分集合
B
B
B B B に対し, “
B
B
B B B を 1 点に潰してえられる空間”とよばれる位相空間 を定義しておく.Yにおける同値関係〜を
p
∼
q
:
⟺
def
p
=
q
or
p
,
q
∈
B
p
∼
q
:
⟺
def
p
=
q
or
p
,
q
∈
B
p∼q:Longleftrightarrow_(def)p=q" or "p,q in B p \sim q: \underset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} p=q \text { or } p, q \in B p ∼ q : ⟺ def p = q or p , q ∈ B
によって定義する.この同値関係〜に関する商位相空間
Y
/
∼
Y
/
∼
Y//∼ Y / \sim Y / ∼ を
Y
/
B
Y
/
B
Y//B Y / B Y / B と表 し,
B
B
B \boldsymbol{B} B を 1 点に潰してえられる空間という.
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) をW 複体とし、
F
F
F \mathbb{F} F を環とする。以下,
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW 複体
(
X
,
{
(
e
λ
,
σ
λ
)
∣
λ
∈
Λ
}
)
X
,
e
λ
,
σ
λ
∣
λ
∈
Λ
(X,{(e_(lambda),sigma_(lambda))∣lambda in Lambda}) \left(X,\left\{\left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) \mid \lambda \in \Lambda\right\}\right) ( X , { ( e λ , σ λ ) ∣ λ ∈ Λ } ) を
X
X
X X X と略記し, 胞体
(
e
λ
,
σ
λ
)
e
λ
,
σ
λ
(e_(lambda),sigma_(lambda)) \left(e_{\lambda}, \sigma_{\lambda}\right) ( e λ , σ λ ) を
e
λ
e
λ
e_(lambda) e_{\lambda} e λ と略記する.この
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW 複体の
k
k
k k k 胞体の形式的有限和
c
:=
∑
i
=
1
r
a
i
e
λ
i
(
e
λ
i
:
k
c
:=
∑
i
=
1
r
a
i
e
λ
i
e
λ
i
:
k
c:=sum_(i=1)^(r)a_(i)e_(lambda_(i))(e_(lambda_(i)):k:} c:=\sum_{i=1}^{r} a_{i} e_{\lambda_{i}}\left(e_{\lambda_{i}}: k\right. c := ∑ i = 1 r a i e λ i ( e λ i : k 胞体,
a
i
∈
F
)
a
i
∈
F
{:a_(i)inF) \left.a_{i} \in \mathbb{F}\right) a i ∈ F ) を一般に, CW 複体
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k \boldsymbol{k} k チェイン(k-chain of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient)という.
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k チェインの 全体がなす自由加群を
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) と表し,
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数
k
k
k \boldsymbol{k} k 次チェイン群(
k
−
th
k
−
th
k-th \boldsymbol{k}-\mathrm{th} k − th chain group of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient)という.
e
λ
e
λ
e_(lambda) e_{\lambda} e λ を
X
X
X X X の胞体とし、
e
μ
e
μ
e_(mu) e_{\mu} e μ を
X
X
X X X の
(
k
−
1
)
(
k
−
1
)
(k-1) (k-1) ( k − 1 ) 胞体とする。
π
μ
π
μ
pi_(mu) \pi_{\mu} π μ を
X
(
k
−
1
)
X
(
k
−
1
)
X^((k-1)) X^{(k-1)} X ( k − 1 ) から
X
(
k
−
1
)
/
(
X
(
k
−
1
)
∖
e
μ
―
)
X
(
k
−
1
)
/
X
(
k
−
1
)
∖
e
μ
¯
X^((k-1))//(X^((k-1))\\ bar(e_(mu))) X^{(k-1)} /\left(X^{(k-1)} \backslash \overline{e_{\mu}}\right) X ( k − 1 ) / ( X ( k − 1 ) ∖ e μ ― ) への商写像とす る。明らかに,
X
(
k
−
1
)
/
(
X
(
k
−
1
)
∖
e
μ
―
)
X
(
k
−
1
)
/
X
(
k
−
1
)
∖
e
μ
¯
X^((k-1))//(X^((k-1))\\ bar(e_(mu))) X^{(k-1)} /\left(X^{(k-1)} \backslash \overline{e_{\mu}}\right) X ( k − 1 ) / ( X ( k − 1 ) ∖ e μ ― ) は
D
k
−
1
/
∂
D
k
−
1
=
S
k
−
1
(
1
)
D
k
−
1
/
∂
D
k
−
1
=
S
k
−
1
(
1
)
D^(k-1)//delD^(k-1)=S^(k-1)(1) D^{k-1} / \partial D^{k-1}=S^{k-1}(1) D k − 1 / ∂ D k − 1 = S k − 1 ( 1 ) と同相であ る。
χ
λ
μ
:=
π
μ
∘
σ
λ
|
∂
D
k
:
∂
D
k
=
S
k
−
1
(
1
)
→
X
(
k
−
1
)
/
(
X
(
k
−
1
)
∖
e
μ
―
)
=
S
k
−
1
(
1
)
χ
λ
μ
:=
π
μ
∘
σ
λ
∂
D
k
:
∂
D
k
=
S
k
−
1
(
1
)
→
X
(
k
−
1
)
/
X
(
k
−
1
)
∖
e
μ
¯
=
S
k
−
1
(
1
)
chi_(lambda mu):=pi_(mu)@sigma_(lambda)|_(delD^(k)):delD^(k)=S^(k-1)(1)rarrX^((k-1))//(X^((k-1))\\ bar(e_(mu)))=S^(k-1)(1) \chi_{\lambda \mu}:=\left.\pi_{\mu} \circ \sigma_{\lambda}\right|_{\partial D^{k}}: \partial D^{k}=S^{k-1}(1) \rightarrow X^{(k-1)} /\left(X^{(k-1)} \backslash \overline{e_{\mu}}\right)=S^{k-1}(1) χ λ μ := π μ ∘ σ λ | ∂ D k : ∂ D k = S k − 1 ( 1 ) → X ( k − 1 ) / ( X ( k − 1 ) ∖ e μ ― ) = S k − 1 ( 1 )
の写像度を
deg
(
χ
λ
μ
)
deg
χ
λ
μ
deg(chi_(lambda mu)) \operatorname{deg}\left(\chi_{\lambda \mu}\right) deg ( χ λ μ ) と表す. ここで,
χ
λ
μ
χ
λ
μ
chi_(lambda mu) \chi_{\lambda \mu} χ λ μ の写像度とは,
χ
λ
μ
χ
λ
μ
chi_(lambda mu) \chi_{\lambda \mu} χ λ μ を
S
k
−
1
(
1
)
S
k
−
1
(
1
)
S^(k-1)(1) S^{k-1}(1) S k − 1 ( 1 ) の 特異
(
k
−
1
)
(
k
−
1
)
quad(k-1) \quad(k-1) ( k − 1 ) 輪体とみなして, その属する特異ホモロジー類
[
χ
λ
μ
]
χ
λ
μ
[chi_(lambda mu)] \left[\chi_{\lambda \mu}\right] [ χ λ μ ]
(
∈
H
sing
k
−
1
(
S
k
−
1
(
1
)
)
≅
Z
)
∈
H
sing
k
−
1
S
k
−
1
(
1
)
≅
Z
(inH_("sing ")^(k-1)(S^(k-1)(1))~=Z) \left(\in H_{\text {sing }}^{k-1}\left(S^{k-1}(1)\right) \cong \mathbb{Z}\right) ( ∈ H sing k − 1 ( S k − 1 ( 1 ) ) ≅ Z ) を考えたときに,このコホモロジー類の表す整数 のことである。
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW 複体
X
X
X X X の
k
k
k k k 胞体全体からなる集合を
{
e
λ
∣
λ
∈
Λ
k
}
e
λ
∣
λ
∈
Λ
k
{e_(lambda)∣lambda inLambda_(k)} \left\{e_{\lambda} \mid \lambda \in \Lambda_{k}\right\} { e λ ∣ λ ∈ Λ k } とす る.
k
k
k k k 胞体
e
λ
e
λ
e_(lambda) e_{\lambda} e λ に対し,
(
k
−
1
)
(
k
−
1
)
(k-1) (k-1) ( k − 1 ) 胞体
∂
k
(
e
λ
)
∂
k
e
λ
del_(k)(e_(lambda)) \partial_{k}\left(e_{\lambda}\right) ∂ k ( e λ ) を
∂
k
(
e
λ
)
:=
∑
μ
∈
Λ
k
−
1
deg
(
χ
λ
μ
)
e
μ
∂
k
e
λ
:=
∑
μ
∈
Λ
k
−
1
deg
χ
λ
μ
e
μ
del_(k)(e_(lambda)):=sum_(mu inLambda_(k-1))deg(chi_(lambda mu))e_(mu) \partial_{k}\left(e_{\lambda}\right):=\sum_{\mu \in \Lambda_{k-1}} \operatorname{deg}\left(\chi_{\lambda \mu}\right) e_{\mu} ∂ k ( e λ ) := ∑ μ ∈ Λ k − 1 deg ( χ λ μ ) e μ
図 5.1.3 境界作用素の結合係数
によって定義する.
deg
(
χ
λ
μ
)
deg
χ
λ
μ
deg(chi_(lambda mu)) \operatorname{deg}\left(\chi_{\lambda \mu}\right) deg ( χ λ μ ) を
e
λ
e
λ
e_(lambda) e_{\lambda} e λ と
e
μ
e
μ
e_(mu) e_{\mu} e μ の結合係数といい,
[
e
λ
,
e
μ
]
e
λ
,
e
μ
[e_(lambda),e_(mu)] \left[e_{\lambda}, e_{\mu}\right] [ e λ , e μ ] と表す (図 5.1.3 を参照).
X
X
X X X が条件 (C) を满たすことより,右辺の和が有限和であ ること、つまり、
∂
k
(
e
λ
)
∂
k
e
λ
del_(k)(e_(lambda)) \partial_{k}\left(e_{\lambda}\right) ∂ k ( e λ ) が
(
k
−
1
)
(
k
−
1
)
(k-1) (k-1) ( k − 1 ) チエインであることがわかる。 これを
e
λ
e
λ
e_(lambda) \boldsymbol{e}_{\lambda} e λ の境界(the boundary of
e
λ
e
λ
e_(lambda) \boldsymbol{e}_{\boldsymbol{\lambda}} e λ ) という.
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
∂
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
∂
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
del_(k):C_(k)(X,F)rarr \partial_{k}: C_{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow ∂ k : C k ( X , F ) →
C
k
−
1
(
X
,
F
)
C
k
−
1
(
X
,
F
)
C_(k-1)(X,F) C_{k-1}(X, \mathbb{F}) C k − 1 ( X , F ) を
∂
k
(
c
)
:=
∑
i
=
1
r
a
i
∂
k
(
e
λ
i
)
(
c
=
∑
i
=
1
r
a
i
e
λ
i
∈
C
k
(
X
,
F
)
)
∂
k
(
c
)
:=
∑
i
=
1
r
a
i
∂
k
e
λ
i
c
=
∑
i
=
1
r
a
i
e
λ
i
∈
C
k
(
X
,
F
)
del_(k)(c):=sum_(i=1)^(r)a_(i)del_(k)(e_(lambda_(i)))quad(c=sum_(i=1)^(r)a_(i)e_(lambda_(i))inC_(k)(X,F)) \partial_{k}(c):=\sum_{i=1}^{r} a_{i} \partial_{k}\left(e_{\lambda_{i}}\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{r} a_{i} e_{\lambda_{i}} \in C_{k}(X, \mathbb{F})\right) ∂ k ( c ) := ∑ i = 1 r a i ∂ k ( e λ i ) ( c = ∑ i = 1 r a i e λ i ∈ C k ( X , F ) )
によって定める。この
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
∂
k
∂
k
del_(k) \partial_{k} ∂ k を境界作用素という. このとき, 容易 に
∂
k
−
1
∘
∂
k
=
0
∂
k
−
1
∘
∂
k
=
0
del_(k-1)@del_(k)=0 \partial_{k-1} \circ \partial_{k}=0 ∂ k − 1 ∘ ∂ k = 0 が示され, それゆえ,
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
(
X
,
F
)
→
∂
k
C
k
−
1
(
X
,
F
)
→
∂
k
−
1
⋯
⋯
→
∂
3
C
2
(
X
,
F
)
→
∂
2
C
1
(
X
,
F
)
→
∂
1
C
0
(
X
,
F
)
→
0
{
0
}
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
(
X
,
F
)
→
∂
k
C
k
−
1
(
X
,
F
)
→
∂
k
−
1
⋯
⋯
→
∂
3
C
2
(
X
,
F
)
→
∂
2
C
1
(
X
,
F
)
→
∂
1
C
0
(
X
,
F
)
→
0
{
0
}
{:[cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)(X","F)rarr"del_(k)"C_(k-1)(X","F)rarr"del_(k-1)"cdots],[cdotsrarr"del_(3)"C_(2)(X","F)rarr"del_(2)"C_(1)(X","F)rarr"del_(1)"C_(0)(X","F)rarr"0"{0}]:} \begin{gathered}
\cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}} C_{k-1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}} \cdots \\
\cdots \xrightarrow{\partial_{3}} C_{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}} C_{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}} C_{0}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\}
\end{gathered} ⋯ → ∂ k + 1 C k ( X , F ) → ∂ k C k − 1 ( X , F ) → ∂ k − 1 ⋯ ⋯ → ∂ 3 C 2 ( X , F ) → ∂ 2 C 1 ( X , F ) → ∂ 1 C 0 ( X , F ) → 0 { 0 }
はチェイン複体を与える. このチェイン複体の
k
k
k k k 次ホモロジー群を
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW ホモロジー群 (
k
k
k \boldsymbol{k} k -th CW-homology group of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient)といい, 本書では
H
k
CW
(
X
,
F
)
H
k
CW
(
X
,
F
)
H_(k)^(CW)(X,F) H_{k}^{\mathrm{CW}}(X, \mathbb{F}) H k CW ( X , F ) と表す.
次に, CWコホモロジー群を定義しよう。
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) の双対空間,つまり,
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C_(k)(X,F) C_{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) から
F
へ
の
F
F
へ
の
F
FへのF \mathbb{F} へ の \mathbb{F} へ の F へ の F 準同型写像全体のなす
F
F
F \mathbb{F} F 加群
C
k
(
X
,
F
)
∗
C
k
(
X
,
F
)
∗
C_(k)(X,F)^(**) C_{k}(X, \mathbb{F})^{*} C k ( X , F ) ∗ を
C
k
(
X
,
F
)
C
k
(
X
,
F
)
C^(k)(X,F) C^{k}(X, \mathbb{F}) C k ( X , F ) と表す.
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
δ
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
C
k
+
1
(
X
,
F
)
δ
k
:
C
k
(
X
,
F
)
→
C
k
+
1
(
X
,
F
)
delta_(k):C^(k)(X,F)rarrC^(k+1)(X,F) \delta_{k}: C^{k}(X, \mathbb{F}) \rightarrow C^{k+1}(X, \mathbb{F}) δ k : C k ( X , F ) → C k + 1 ( X , F ) を
δ
k
=
ρ
∘
∂
k
+
1
δ
k
=
ρ
∘
∂
k
+
1
delta_(k)=rho@del_(k+1) \delta_{k}=\rho \circ \partial_{k+1} δ k = ρ ∘ ∂ k + 1 によ って定義する。 この
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
δ
k
δ
k
delta_(k) \delta_{k} δ k を余境界作用素という. このとき, 容易
に
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
delta_(k)@delta_(k-1)=0 \delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0 δ k ∘ δ k − 1 = 0 が示され, それゆえ,
{
0
}
→
δ
0
C
1
(
X
,
F
)
→
δ
1
C
2
(
X
,
F
)
→
δ
2
⋯
⋯
→
δ
k
−
1
C
k
(
X
,
F
)
→
δ
k
C
k
+
1
(
X
,
F
)
→
δ
k
+
1
⋯
{
0
}
→
δ
0
C
1
(
X
,
F
)
→
δ
1
C
2
(
X
,
F
)
→
δ
2
⋯
⋯
→
δ
k
−
1
C
k
(
X
,
F
)
→
δ
k
C
k
+
1
(
X
,
F
)
→
δ
k
+
1
⋯
{:[{0}rarr"delta_(0)"C^(1)(X","F)rarr"delta_(1)"C^(2)(X","F)rarr"delta_(2)"cdots],[ cdotsrarr"delta_(k-1)"C^(k)(X","F)rarr"delta_(k)"C^(k+1)(X","F)rarr"delta_(k+1)"cdots]:} \begin{aligned}
& \{\mathbf{0}\} \xrightarrow{\delta_{0}} C^{1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{1}} C^{2}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \\
& \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}} C^{k}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}} C^{k+1}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots
\end{aligned} { 0 } → δ 0 C 1 ( X , F ) → δ 1 C 2 ( X , F ) → δ 2 ⋯ ⋯ → δ k − 1 C k ( X , F ) → δ k C k + 1 ( X , F ) → δ k + 1 ⋯
はコチェイン複体を与える. このコチェイン複体の
k
k
k k k 次コホモロジー群を
X
X
X X X の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW コホモロジー群(
k
k
k \boldsymbol{k} k -th
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW -cohomology group of
F
F
F \mathbb{F} F -coefficient) といい, 本書では
H
CW
k
(
X
,
F
)
H
CW
k
(
X
,
F
)
H_(CW)^(k)(X,F) H_{\mathrm{CW}}^{k}(X, \mathbb{F}) H CW k ( X , F ) と表す.
位相空間の胞体分割以外に, 2.9 節で述べた曲面の三角形分割の一般概念と して, 位相空間の単体分割という概念がある。この分割に付随して単体分割可能な位相空間に対し, その
k
k
k \boldsymbol{k} k 次単体ホモロジー群(
k
k
k \boldsymbol{k} k -th simplicial homology group),
k
k
k \boldsymbol{k} k 次単体コホモロジー群(
k
k
k \boldsymbol{k} k -th simplicial cohomology group)という概念が定義される。これらの群を
H
k
simp
(
X
,
F
)
H
k
simp
(
X
,
F
)
H_(k)^("simp ")(X,F) H_{k}^{\text {simp }}(X, \mathbb{F}) H k simp ( X , F ) ,
H
simp
k
(
X
,
F
)
H
simp
k
(
X
,
F
)
H_("simp ")^(k)(X,F) H_{\text {simp }}^{k}(X, \mathbb{F}) H simp k ( X , F ) と表すことにする. 特異(コ)ホモロジー群, CW(コ)ホモロ ジー群, 単体(コ)ホモロジー群について, 次の事実が成り立つ.
定理 5.1.1 (i) 任意の CW 分割可能な位相空間
X
X
X X X と任意の 0 以上の整数
k
k
k k k に対し,
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^(sing)(X,F) H_{k}^{\mathrm{sing}}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) と
H
k
CW
(
X
,
F
)
H
k
CW
(
X
,
F
)
H_(k)^(CW)(X,F) H_{k}^{\mathrm{CW}}(X, \mathbb{F}) H k CW ( X , F ) は同型であり,
H
sing
k
(
X
,
F
)
H
sing
k
(
X
,
F
)
H_(sing)^(k)(X,F) H_{\mathrm{sing}}^{k}(X, \mathbb{F}) H sing k ( X , F ) と
H
CW
k
(
X
,
F
)
H
CW
k
(
X
,
F
)
H_(CW)^(k)(X,F) H_{\mathrm{CW}}^{k}(X, \mathbb{F}) H CW k ( X , F ) も同型である.
(ii) 任意の単体分割可能な位相空間
X
X
X X X と任意の 0 以上の整数
k
k
k k k に対し,
H
k
sing
(
X
,
F
)
H
k
sing
(
X
,
F
)
H_(k)^("sing ")(X,F) H_{k}^{\text {sing }}(X, \mathbb{F}) H k sing ( X , F ) と
H
k
simp
(
X
,
F
)
H
k
simp
(
X
,
F
)
H_(k)^("simp ")(X,F) H_{k}^{\text {simp }}(X, \mathbb{F}) H k simp ( X , F ) は同型であり,
H
sing
k
(
X
,
F
)
H
sing
k
(
X
,
F
)
H_(sing)^(k)(X,F) H_{\mathrm{sing}}^{k}(X, \mathbb{F}) H sing k ( X , F ) と
H
simp
k
(
X
,
F
)
H
simp
k
(
X
,
F
)
H_(simp)^(k)(X,F) H_{\mathrm{simp}}^{k}(X, \mathbb{F}) H simp k ( X , F ) も同型である.
この定理の証明は省くことにする。この定理によれば, 位相空間
X
X
X X X が
CW
CW
CW \mathrm{CW} CW 分割可能である場合,
X
X
X X X の(コ)ホモロジー群を計算するには, その特異 (コ)ホモロジー群を計算する代わりに,Xを CW 分割してその CW(コ) ホモロジー群を計算すればよい。同様に, 位相空間
X
X
X X X が単体分割可能である 場合, Xの(コ)ホモロジー群を計算するには, その特異(コ)ホモロジー 群を計算する代わりに,Xを単体分割してその単体(コ)ホモロジー群を計算すればよい。
次に, ド・ラームコホモロジー群を定義しよう.
M
M
M M M を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体と し,3.10 節で述べたように,
M
M
M M M 上の
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級
k
k
k k k 次微分形式全体のなす実ベクト ル空間を
Ω
k
(
M
)
Ω
k
(
M
)
Omega^(k)(M) \Omega^{k}(M) Ω k ( M ) と表す. 系列
(DR)
{
0
}
→
0
Ω
0
(
M
)
→
d
0
Ω
1
(
M
)
→
d
1
⋯
⋯
→
d
k
−
1
Ω
k
(
M
)
→
d
k
Ω
k
+
1
(
M
)
→
d
k
+
1
⋯
→
d
n
−
1
Ω
n
(
M
)
(DR)
{
0
}
→
0
Ω
0
(
M
)
→
d
0
Ω
1
(
M
)
→
d
1
⋯
⋯
→
d
k
−
1
Ω
k
(
M
)
→
d
k
Ω
k
+
1
(
M
)
→
d
k
+
1
⋯
→
d
n
−
1
Ω
n
(
M
)
{:[(DR){0}rarr"0"Omega^(0)(M)rarr"d_(0)"Omega^(1)(M)rarr"d_(1)"cdots],[ cdotsrarr"d_(k-1)"Omega^(k)(M)rarr"d_(k)"Omega^(k+1)(M)rarr"d_(k+1)"cdotsrarr"d_(n-1)"Omega^(n)(M)]:} \begin{align*}
&\{\mathbf{0}\} \xrightarrow{0} \Omega^{0}(M) \xrightarrow{d_{0}} \Omega^{1}(M) \xrightarrow{d_{1}} \cdots \tag{DR}\\
& \cdots \xrightarrow{d_{k-1}} \Omega^{k}(M) \xrightarrow{d_{k}} \Omega^{k+1}(M) \xrightarrow{d_{k+1}} \cdots \xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^{n}(M)
\end{align*} (DR) { 0 } → 0 Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → d 1 ⋯ ⋯ → d k − 1 Ω k ( M ) → d k Ω k + 1 ( M ) → d k + 1 ⋯ → d n − 1 Ω n ( M )
がコチエイン複体であることを示そう.
ω
∈
Ω
k
(
M
)
ω
∈
Ω
k
(
M
)
omega inOmega^(k)(M) \omega \in \Omega^{k}(M) ω ∈ Ω k ( M ) の
M
M
M M M の局所チャート
(
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
)
U
,
φ
=
x
1
,
…
,
x
n
(U,varphi=x_(1),dots,x_(n)) \left(U, \varphi=x_{1}, \ldots, x_{n}\right) ( U , φ = x 1 , … , x n ) に関する成分を
ω
i
1
⋯
i
k
(
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
)
ω
i
1
⋯
i
k
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
omega_(i_(1)cdotsi_(k))(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n) \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}\left(1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n\right) ω i 1 ⋯ i k ( 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ) とす る. このとき,
U
U
U U U 上で,
(
d
k
+
1
∘
d
k
)
(
ω
)
=
(
d
k
+
1
∘
d
k
)
(
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
⋯
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
=
d
k
+
1
(
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
∑
j
=
1
n
∂
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
j
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
∑
l
=
1
n
∑
j
=
1
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
d
x
l
∧
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
(
∑
1
≤
l
<
j
≤
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
d
x
l
∧
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∑
1
≤
j
<
l
≤
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
d
x
l
∧
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
)
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
(
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
−
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
j
∂
x
l
)
=
0
d
k
+
1
∘
d
k
(
ω
)
=
d
k
+
1
∘
d
k
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
ω
i
1
⋯
i
k
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
d
k
+
1
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
∑
j
=
1
n
∂
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
j
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
∑
l
=
1
n
∑
j
=
1
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
d
x
l
∧
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
∑
1
≤
l
<
j
≤
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
d
x
l
∧
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
=
∑
1
≤
j
<
l
≤
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
d
x
l
∧
d
x
j
∧
d
x
i
1
∧
⋯
∧
d
x
i
k
∑
1
≤
i
1
<
⋯
<
i
k
≤
n
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
l
∂
x
j
−
∂
2
ω
i
1
⋯
i
k
∂
x
j
∂
x
l
=
0
{:[(d_(k+1)@d_(k))(omega)],[=(d_(k+1)@d_(k))(sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)omega_(i_(1)cdotsi_(k))dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)))],[=d_(k+1)(sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)sum_(j=1)^(n)(delomega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(j))dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)))],[=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)sum_(l=1)^(n)sum_(j=1)^(n)(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))dx_(l)^^dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k))],[=sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)(sum_(1 <= l < j <= n)(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))dx_(l)^^dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)):}],[={:sum_(1 <= j < l <= n)(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))dx_(l)^^dx_(j)^^dx_(i_(1))^^cdots^^dx_(i_(k)))],[sum_(1 <= i_(1) < cdots < i_(k) <= n)((del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(l)delx_(j))-(del^(2)omega_(i_(1)cdotsi_(k)))/(delx_(j)delx_(l)))],[=0]:} \begin{aligned}
&\left(d_{k+1} \circ d_{k}\right)(\omega) \\
&=\left(d_{k+1} \circ d_{k}\right)\left(\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}} d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right) \\
&= d_{k+1}\left(\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{j}} d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right) \\
&= \sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \sum_{l=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \wedge d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}} \\
&= \sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n}\left(\sum_{1 \leq l<j \leq n} \frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \wedge d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right. \\
&=\left.\sum_{1 \leq j<l \leq n} \frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}} d x_{l} \wedge d x_{j} \wedge d x_{i_{1}} \wedge \cdots \wedge d x_{i_{k}}\right) \\
& \sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n}\left(\frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{l} \partial x_{j}}-\frac{\partial^{2} \omega_{i_{1} \cdots i_{k}}}{\partial x_{j} \partial x_{l}}\right) \\
&= 0
\end{aligned} ( d k + 1 ∘ d k ) ( ω ) = ( d k + 1 ∘ d k ) ( ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ω i 1 ⋯ i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) = d k + 1 ( ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ∑ j = 1 n ∂ ω i 1 ⋯ i k ∂ x j d x j ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ∑ l = 1 n ∑ j = 1 n ∂ 2 ω i 1 ⋯ i k ∂ x l ∂ x j d x l ∧ d x j ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ( ∑ 1 ≤ l < j ≤ n ∂ 2 ω i 1 ⋯ i k ∂ x l ∂ x j d x l ∧ d x j ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∑ 1 ≤ j < l ≤ n ∂ 2 ω i 1 ⋯ i k ∂ x l ∂ x j d x l ∧ d x j ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ) ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n ( ∂ 2 ω i 1 ⋯ i k ∂ x l ∂ x j − ∂ 2 ω i 1 ⋯ i k ∂ x j ∂ x l ) = 0
が示され,
(
U
,
φ
)
(
U
,
φ
)
(U,varphi) (U, \varphi) ( U , φ ) の任意性から,
M
M
M M M 上で
(
d
k
+
1
∘
d
k
)
(
ω
)
=
0
d
k
+
1
∘
d
k
(
ω
)
=
0
(d_(k+1)@d_(k))(omega)=0 \left(d_{k+1} \circ d_{k}\right)(\omega)=0 ( d k + 1 ∘ d k ) ( ω ) = 0 が成り立つことが 導かれる。そゆえ,
ω
ω
omega \omega ω の任意性より
d
k
+
1
∘
d
k
=
0
d
k
+
1
∘
d
k
=
0
d_(k+1)@d_(k)=0 d_{k+1} \circ d_{k}=0 d k + 1 ∘ d k = 0 が示される. したがって,系列
(
C
DR
)
C
DR
(C_(DR)) \left(\mathcal{C}_{\mathrm{DR}}\right) ( C DR ) がコチェイン複体であることがわかる. このコチェイン複体の
k
k
k k k 次コホモロジー群を
M
M
M M M の
k
k
k \boldsymbol{k} k 次ド・ラームコホモロジー群
(
k
−
th
(
k
−
th
(k-th (\boldsymbol{k}-\mathrm{th} ( k − th de Rham cohomology group)といい, 本書では
H
DR
k
(
M
)
H
DR
k
(
M
)
H_(DR)^(k)(M) H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) H DR k ( M ) と表す. 各
Ω
k
(
M
)
Ω
k
(
M
)
Omega^(k)(M) \Omega^{k}(M) Ω k ( M ) は実 ベクトル空間なので,
H
DR
k
(
M
)
H
DR
k
(
M
)
H_(DR)^(k)(M) H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) H DR k ( M ) も実べクトル空間であることに注意する. ま た, Ker
d
k
d
k
d_(k) d_{k} d k の各元は
k
k
k \boldsymbol{k} k 次閉微分形式 (closed form of degree
k
k
k \boldsymbol{k} k ) とよば れ,
Im
d
k
−
1
Im
d
k
−
1
Imd_(k-1) \operatorname{Im} d_{k-1} Im d k − 1 の各元は
k
k
k \boldsymbol{k} k 次完全微分形式 (exact form of degree
k
k
k \boldsymbol{k} k ) とよば
れる。
5.2 ド・ラームの定理
この節において,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体のド・ラームコホモロジー群と実係数の特異コ ホモロジー群が同型であることを主張する, ド・ラームの定理について述べる ことにする。その証明には、ストークスの定理(定理 3.10.1)が用いられる。
この節において,
r
≥
1
r
≥
1
r >= 1 r \geq 1 r ≥ 1 とする.
M
M
M M M を
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体とし,
c
=
∑
i
=
1
l
a
i
σ
i
c
=
∑
i
=
1
l
a
i
σ
i
c=sum_(i=1)^(l)a_(i)sigma_(i) c=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \sigma_{i} c = ∑ i = 1 l a i σ i
M
M
M M M への
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 写像であるとき,
c
c
c c c を
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級特異
k
k
k \boldsymbol{k} k チェイン
(
C
r
−
C
r
−
(C^(r)-:} \left(\boldsymbol{C}^{r}-\right. ( C r − singular
k
k
k \boldsymbol{k} k -chain of coefficient
F
F
F \mathbb{F} F ) という。Mにおける
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級特異
k
k
k k k チエインの全体のなす自由加群を
C
k
r
(
M
,
F
)
C
k
r
(
M
,
F
)
C_(k)^(r)(M,F) C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) C k r ( M , F ) と表す。明らかに,
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
∂
k
:
C
k
(
M
,
F
)
→
C
k
−
1
(
M
,
F
)
∂
k
:
C
k
(
M
,
F
)
→
C
k
−
1
(
M
,
F
)
del_(k):C_(k)(M,F)rarrC_(k-1)(M,F) \partial_{k}: C_{k}(M, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k-1}(M, \mathbb{F}) ∂ k : C k ( M , F ) → C k − 1 ( M , F ) の
C
k
r
(
M
,
F
)
C
k
r
(
M
,
F
)
C_(k)^(r)(M,F) C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) C k r ( M , F ) への制限は,
C
k
r
(
M
,
F
)
C
k
r
(
M
,
F
)
C_(k)^(r)(M,F) C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) C k r ( M , F ) から
C
k
−
1
r
(
M
,
F
)
C
k
−
1
r
(
M
,
F
)
C_(k-1)^(r)(M,F) C_{k-1}^{r}(M, \mathbb{F}) C k − 1 r ( M , F ) への
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像を導く. この制限された
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像を
∂
k
C
r
∂
k
C
r
del_(k)^(C^(r)) \partial_{k}^{C^{r}} ∂ k C r と表すことにする.
∂
k
−
1
C
r
∘
∂
k
C
r
=
0
∂
k
−
1
C
r
∘
∂
k
C
r
=
0
del_(k-1)^(C^(r))@del_(k)^(C^(r))=0 \partial_{k-1}^{C^{r}} \circ \partial_{k}^{C^{r}}=0 ∂ k − 1 C r ∘ ∂ k C r = 0 が成り立つので,
(
C
r
⋅
SC
)
C
r
⋅
SC
(C^(r)*SC) \left(C^{r} \cdot \mathrm{SC}\right) ( C r ⋅ SC )
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
r
(
M
,
F
)
→
∂
k
C
r
C
k
−
1
r
(
M
,
F
)
→
∂
k
−
1
C
r
⋯
⋯
→
∂
3
C
r
C
2
r
(
M
,
F
)
→
∂
2
C
r
C
1
r
(
M
,
F
)
→
∂
1
C
r
C
0
r
(
M
,
F
)
→
0
{
0
}
⋯
→
∂
k
+
1
C
k
r
(
M
,
F
)
→
∂
k
C
r
C
k
−
1
r
(
M
,
F
)
→
∂
k
−
1
C
r
⋯
⋯
→
∂
3
C
r
C
2
r
(
M
,
F
)
→
∂
2
C
r
C
1
r
(
M
,
F
)
→
∂
1
C
r
C
0
r
(
M
,
F
)
→
0
{
0
}
{:[cdotsrarr"del_(k+1)"C_(k)^(r)(M","F)rarr"del_(k)^(C^(r))"C_(k-1)^(r)(M","F)rarr"del_(k-1)^(C^(r))"cdots],[cdotsrarr"del_(3)^(C^(r))"C_(2)^(r)(M","F)rarr"del_(2)^(C^(r))"C_(1)^(r)(M","F)rarr"del_(1)^(C^(r))"C_(0)^(r)(M","F)rarr"0"{0}]:} \begin{gathered}
\cdots \xrightarrow{\partial_{k+1}} C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k}^{C^{r}}} C_{k-1}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{k-1}^{C^{r}}} \cdots \\
\cdots \xrightarrow{\partial_{3}^{C^{r}}} C_{2}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{2}^{C^{r}}} C_{1}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{\partial_{1}^{C^{r}}} C_{0}^{r}(M, \mathbb{F}) \xrightarrow{0}\{\mathbf{0}\}
\end{gathered} ⋯ → ∂ k + 1 C k r ( M , F ) → ∂ k C r C k − 1 r ( M , F ) → ∂ k − 1 C r ⋯ ⋯ → ∂ 3 C r C 2 r ( M , F ) → ∂ 2 C r C 1 r ( M , F ) → ∂ 1 C r C 0 r ( M , F ) → 0 { 0 }
は,チェイン複体を与える。このチェイン複体の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次ホモロジー群 を
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r)) H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}} H sing k ( M , F ) C r と表し,
c
∈
Ker
∂
k
C
r
c
∈
Ker
∂
k
C
r
c in Kerdel_(k)^(C^(r)) c \in \operatorname{Ker} \partial_{k}^{C^{r}} c ∈ Ker ∂ k C r の属するホモロジー類を
[
c
]
C
r
[
c
]
C
r
[c]_(C^(r)) [c]_{C^{r}} [ c ] C r と表そ う.
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r)) H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}} H sing k ( M , F ) C r は
M
M
M M M の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次特異ホモロジー群
H
k
sing
(
M
,
F
)
H
k
sing
(
M
,
F
)
H_(k)^(sing)(M,F) H_{k}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F}) H k sing ( M , F ) と同型であることが示される。その証明の概略を述べておこう.
Λ
:
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
Λ
:
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
Lambda:H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r)) \Lambda: H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}} Λ : H sing k ( M , F ) C r
→
H
sing
k
(
M
,
F
)
→
H
sing
k
(
M
,
F
)
rarrH_("sing ")^(k)(M,F) \rightarrow H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F}) → H sing k ( M , F ) を
Λ
(
[
c
]
C
r
)
:=
[
c
]
(
[
c
]
C
r
∈
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
)
Λ
[
c
]
C
r
:=
[
c
]
[
c
]
C
r
∈
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
Lambda([c]_(C^(r))):=[c]quad([c]_(C^(r))inH_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r))) \Lambda\left([c]_{C^{r}}\right):=[c] \quad\left([c]_{C^{r}} \in H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}}\right) Λ ( [ c ] C r ) := [ c ] ( [ c ] C r ∈ H sing k ( M , F ) C r )
によって定義する. この写像が well-defined であること,および,花準同型写像であることは明らかである.
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ が単射であることを示そう.
[
c
1
]
C
r
,
[
c
2
]
C
r
∈
c
1
C
r
,
c
2
C
r
∈
[c_(1)]_(C^(r)),[c_(2)]_(C^(r))in \left[c_{1}\right]_{C^{r}},\left[c_{2}\right]_{C^{r}} \in [ c 1 ] C r , [ c 2 ] C r ∈
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H_("sing ")^(k)(M,F)_(C^(r)) H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}} H sing k ( M , F ) C r を任意にとる。
c
i
=
∑
j
=
1
l
i
a
i
j
σ
i
j
(
a
i
j
∈
F
,
σ
i
j
:
C
r
c
i
=
∑
j
=
1
l
i
a
i
j
σ
i
j
a
i
j
∈
F
,
σ
i
j
:
C
r
c_(i)=sum_(j=1)^(l_(i))a_(ij)sigma_(ij)(a_(ij)inF,sigma_(ij):C^(r):} c_{i}=\sum_{j=1}^{l_{i}} a_{i j} \sigma_{i j}\left(a_{i j} \in \mathbb{F}, \sigma_{i j}: C^{r}\right. c i = ∑ j = 1 l i a i j σ i j ( a i j ∈ F , σ i j : C r 級の特異
k
k
k k k 単体
)
(
i
=
1
,
2
)
)
(
i
=
1
,
2
)
)(i=1,2) )(i=1,2) ) ( i = 1 , 2 ) とする.
Λ
(
[
c
1
]
C
r
)
=
Λ
(
[
c
2
]
C
r
)
Λ
c
1
C
r
=
Λ
c
2
C
r
Lambda([c_(1)]_(C^(r)))=Lambda([c_(2)]_(C^(r))) \Lambda\left(\left[c_{1}\right]_{C^{r}}\right)=\Lambda\left(\left[c_{2}\right]_{C^{r}}\right) Λ ( [ c 1 ] C r ) = Λ ( [ c 2 ] C r ) とすると,
c
1
−
c
2
=
∂
η
c
1
−
c
2
=
∂
η
c_(1)-c_(2)=del eta c_{1}-c_{2}=\partial \eta c 1 − c 2 = ∂ η と なる
η
∈
C
k
+
1
sing
(
M
,
F
)
η
∈
C
k
+
1
sing
(
M
,
F
)
eta inC_(k+1)^(sing)(M,F) \eta \in C_{k+1}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F}) η ∈ C k + 1 sing ( M , F ) が存在する. さらに,
η
=
∑
j
=
1
l
b
j
τ
j
(
b
j
∈
F
,
τ
j
η
=
∑
j
=
1
l
b
j
τ
j
b
j
∈
F
,
τ
j
eta=sum_(j=1)^(l)b_(j)tau_(j)quad(b_(j)inF,tau_(j):} \eta=\sum_{j=1}^{l} b_{j} \tau_{j} \quad\left(b_{j} \in \mathbb{F}, \tau_{j}\right. η = ∑ j = 1 l b j τ j ( b j ∈ F , τ j : 特異
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) 単体)として, 各
τ
j
τ
j
tau_(j) \tau_{j} τ j の境界を固定してわずかに連続変形してえられる
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の特異
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) 単体を
τ
^
j
τ
^
j
widehat(tau)_(j) \widehat{\tau}_{j} τ ^ j とし,
η
^
:=
∑
j
=
1
l
b
j
τ
^
j
η
^
:=
∑
j
=
1
l
b
j
τ
^
j
hat(eta):=sum_(j=1)^(l)b_(j) hat(tau)_(j) \hat{\eta}:=\sum_{j=1}^{l} b_{j} \hat{\tau}_{j} η ^ := ∑ j = 1 l b j τ ^ j とする. このとき,
η
^
η
^
hat(eta) \hat{\eta} η ^ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の特異
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) チェインになり,
∂
k
+
1
C
r
(
η
^
)
=
∂
k
+
1
(
η
)
=
c
1
−
c
2
∂
k
+
1
C
r
(
η
^
)
=
∂
k
+
1
(
η
)
=
c
1
−
c
2
del_(k+1)^(C^(r))( hat(eta))=del_(k+1)(eta)=c_(1)-c_(2) \partial_{k+1}^{C^{r}}(\hat{\eta})=\partial_{k+1}(\eta)=c_{1}-c_{2} ∂ k + 1 C r ( η ^ ) = ∂ k + 1 ( η ) = c 1 − c 2
となる、それゆえ,
[
c
1
]
C
r
=
[
c
2
]
C
r
c
1
C
r
=
c
2
C
r
[c_(1)]_(C^(r))=[c_(2)]_(C^(r)) \left[c_{1}\right]_{C^{r}}=\left[c_{2}\right]_{C^{r}} [ c 1 ] C r = [ c 2 ] C r をえる. したがって、
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ が単射であること が示される. 次に,
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ が全射であることを示そう. 任意に,
[
c
]
∈
H
sing
k
(
M
,
F
)
[
c
]
∈
H
sing
k
(
M
,
F
)
[c]inH_(sing)^(k)(M,F) [c] \in H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F}) [ c ] ∈ H sing k ( M , F ) をとる.
c
=
∑
j
=
1
l
a
j
σ
j
(
a
j
∈
F
,
σ
j
c
=
∑
j
=
1
l
a
j
σ
j
a
j
∈
F
,
σ
j
c=sum_(j=1)^(l)a_(j)sigma_(j)(a_(j)inF,sigma_(j):} c=\sum_{j=1}^{l} a_{j} \sigma_{j}\left(a_{j} \in \mathbb{F}, \sigma_{j}\right. c = ∑ j = 1 l a j σ j ( a j ∈ F , σ j : 特異
k
k
k k k 単体
)
)
) ) ) とする. 各
σ
j
σ
j
sigma_(j) \sigma_{j} σ j の境界を 固定してわずかに連続変形してえられる
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の特異
k
k
k k k 単体を
σ
^
j
σ
^
j
widehat(sigma)_(j) \widehat{\sigma}_{j} σ ^ j とし,
c
^
:=
c
^
:=
hat(c):= \hat{c}:= c ^ :=
∑
j
=
1
l
a
j
σ
^
j
∑
j
=
1
l
a
j
σ
^
j
sum_(j=1)^(l)a_(j) hat(sigma)_(j) \sum_{j=1}^{l} a_{j} \hat{\sigma}_{j} ∑ j = 1 l a j σ ^ j とする. このとき,
c
^
c
^
hat(c) \hat{c} c ^ は
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級の特異
(
k
+
1
)
(
k
+
1
)
(k+1) (k+1) ( k + 1 ) チェインになり,
∂
k
C
r
(
c
^
)
∂
k
C
r
(
c
^
)
del_(k)^(C^(r))( hat(c)) \partial_{k}^{C^{r}}(\hat{c}) ∂ k C r ( c ^ )
=
∂
k
(
c
)
=
0
=
∂
k
(
c
)
=
0
=del_(k)(c)=0 =\partial_{k}(c)=0 = ∂ k ( c ) = 0 , さらに
[
c
]
=
[
c
^
]
=
Λ
(
[
c
^
]
C
r
)
[
c
]
=
[
c
^
]
=
Λ
[
c
^
]
C
r
[c]=[ hat(c)]=Lambda([( hat(c))]_(C^(r))) [c]=[\hat{c}]=\Lambda\left([\hat{c}]_{C^{r}}\right) [ c ] = [ c ^ ] = Λ ( [ c ^ ] C r ) が示される. したがって,
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ が 全射であることがわかる。このように
Λ
Λ
Lambda \Lambda Λ は,
H
k
sing
(
M
,
F
)
C
r
H
k
sing
(
M
,
F
)
C
r
H_(k)^(sing)(M,F)_(C_(r)) H_{k}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F})_{C_{r}} H k sing ( M , F ) C r から
H
k
sing
(
M
,
F
)
H
k
sing
(
M
,
F
)
H_(k)^(sing)(M,F) H_{k}^{\operatorname{sing}}(M, \mathbb{F}) H k sing ( M , F ) への
F
F
F \mathbb{F} F 同型写像であり, この
F
F
F \mathbb{F} F 同型写像を通じて,
H
sing
k
(
M
,
F
)
H
sing
k
(
M
,
F
)
H_(sing)^(k)(M,F) H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F}) H sing k ( M , F ) を
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r)) H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}} H sing k ( M , F ) C r と同一視することにする。以下,
H
sing
k
(
M
,
F
)
H
sing
k
(
M
,
F
)
H_(sing)^(k)(M,F) H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F}) H sing k ( M , F ) は
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H
sing
k
(
M
,
F
)
C
r
H_(sing)^(k)(M,F)_(C^(r)) H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F})_{C^{r}} H sing k ( M , F ) C r を意味するものとする.
C
k
r
(
X
,
F
)
C
k
r
(
X
,
F
)
C_(k)^(r)(X,F) C_{k}^{r}(X, \mathbb{F}) C k r ( X , F ) の双対空間,つまり,
C
k
r
(
X
,
F
)
C
k
r
(
X
,
F
)
C_(k)^(r)(X,F) C_{k}^{r}(X, \mathbb{F}) C k r ( X , F ) から
F
へ
の
F
F
へ
の
F
FへのF \mathbb{F} へ の \mathbb{F} へ の F へ の F 準同型写像全体の なす
F
F
F \mathbb{F} F 加群
C
k
r
(
X
,
F
)
∗
C
k
r
(
X
,
F
)
∗
C_(k)^(r)(X,F)^(**) C_{k}^{r}(X, \mathbb{F})^{*} C k r ( X , F ) ∗ を
(
C
k
)
r
(
X
,
F
)
C
k
r
(
X
,
F
)
(C^(k))^(r)(X,F) \left(C^{k}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) ( C k ) r ( X , F ) と表す.
F
F
F \mathbb{F} F 準同型写像
δ
k
:
(
C
k
)
r
(
X
,
F
)
δ
k
:
C
k
r
(
X
,
F
)
delta_(k):(C^(k))^(r)(X,F) \delta_{k}:\left(C^{k}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) δ k : ( C k ) r ( X , F )
→
(
C
k
+
1
)
r
(
X
,
F
)
→
C
k
+
1
r
(
X
,
F
)
rarr(C^(k+1))^(r)(X,F) \rightarrow\left(C^{k+1}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) → ( C k + 1 ) r ( X , F ) を
δ
k
=
ρ
∘
∂
k
+
1
δ
k
=
ρ
∘
∂
k
+
1
delta_(k)=rho@del_(k+1) \delta_{k}=\rho \circ \partial_{k+1} δ k = ρ ∘ ∂ k + 1 によって定義する. このとき明らかに,
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
δ
k
∘
δ
k
−
1
=
0
delta_(k)@delta_(k-1)=0 \delta_{k} \circ \delta_{k-1}=0 δ k ∘ δ k − 1 = 0 が成り立ち, それゆえ,
(
C
r
⋅
SCC
)
C
r
⋅
SCC
(C^(r)*SCC) \left(C^{r} \cdot \mathrm{SCC}\right) ( C r ⋅ SCC )
{
0
}
→
δ
0
(
C
1
)
r
(
X
,
F
)
→
δ
1
(
C
2
)
r
(
X
,
F
)
→
δ
2
⋯
⋯
→
δ
k
−
1
(
C
k
)
r
(
X
,
F
)
→
δ
k
(
C
k
+
1
)
r
(
X
,
F
)
→
δ
k
+
1
⋯
{
0
}
→
δ
0
C
1
r
(
X
,
F
)
→
δ
1
C
2
r
(
X
,
F
)
→
δ
2
⋯
⋯
→
δ
k
−
1
C
k
r
(
X
,
F
)
→
δ
k
C
k
+
1
r
(
X
,
F
)
→
δ
k
+
1
⋯
{:[{0}rarr"delta_(0)"(C^(1))^(r)(X","F)rarr"delta_(1)"(C^(2))^(r)(X","F)rarr"delta_(2)"cdots],[ cdotsrarr"delta_(k-1)"(C^(k))^(r)(X","F)rarr"delta_(k)"(C^(k+1))^(r)(X","F)rarr"delta_(k+1)"cdots]:} \begin{aligned}
& \{\mathbf{0}\} \xrightarrow{\delta_{0}}\left(C^{1}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{1}}\left(C^{2}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{2}} \cdots \\
& \cdots \xrightarrow{\delta_{k-1}}\left(C^{k}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k}}\left(C^{k+1}\right)^{r}(X, \mathbb{F}) \xrightarrow{\delta_{k+1}} \cdots
\end{aligned} { 0 } → δ 0 ( C 1 ) r ( X , F ) → δ 1 ( C 2 ) r ( X , F ) → δ 2 ⋯ ⋯ → δ k − 1 ( C k ) r ( X , F ) → δ k ( C k + 1 ) r ( X , F ) → δ k + 1 ⋯
は, コチェイン複体を与える。このコチェイン複体の
k
k
k k k 次コホモロジー群は,
M
M
M M M の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次特異コホモロジー群
H
sing
k
(
M
,
F
)
H
sing
k
(
M
,
F
)
H_(sing)^(k)(M,F) H_{\operatorname{sing}}^{k}(M, \mathbb{F}) H sing k ( M , F ) と
F
F
F \mathbb{F} F 同型であることが示 される. 以下,
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次特異コホモロジー群
H
sing
k
(
M
,
F
)
H
sing
k
(
M
,
F
)
H_(sing)^(k)(M,F) H_{\mathrm{sing}}^{k}(M, \mathbb{F}) H sing k ( M , F ) は, コチェイン複体
(
C
r
⋅
SCC
)
C
r
⋅
SCC
(C^(r)*SCC) \left(C^{r} \cdot \mathrm{SCC}\right) ( C r ⋅ SCC ) の
k
k
k k k 次コホモロジー群として定義されるものを意味するものとする.
△
k
△
k
/_\^(k) \triangle^{k} △ k を,
R
k
R
k
R^(k) \mathbb{R}^{k} R k の区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ有界閉領域とみなし,
R
k
R
k
R^(k) \mathbb{R}^{k} R k の正の 向きから定まる向きにより向き付けられているとする。
M
M
M M M 上の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級
k
k
k k k 次微
分形式
ω
ω
omega \omega ω と
M
M
M M M におけ実係数の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級特異
k
k
k k k チェイン
c
=
∑
i
=
1
l
a
i
σ
i
c
=
∑
i
=
1
l
a
i
σ
i
c=sum_(i=1)^(l)a_(i)sigma_(i) c=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \sigma_{i} c = ∑ i = 1 l a i σ i に対し,
∫
c
ω
∫
c
ω
int_(c)omega \int_{c} \omega ∫ c ω を次式によって定義する:
∫
c
ω
:=
∑
i
=
1
l
a
i
∫
△
k
σ
i
∗
ω
∫
c
ω
:=
∑
i
=
1
l
a
i
∫
△
k
σ
i
∗
ω
int_(c)omega:=sum_(i=1)^(l)a_(i)int_(/_\^(k))sigma_(i)^(**)omega \int_{c} \omega:=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \int_{\triangle^{k}} \sigma_{i}^{*} \omega ∫ c ω := ∑ i = 1 l a i ∫ △ k σ i ∗ ω
ただし,
∫
△
k
σ
i
∗
ω
∫
△
k
σ
i
∗
ω
int_(/_\_(k))sigma_(i)^(**)omega \int_{\triangle_{k}} \sigma_{i}^{*} \omega ∫ △ k σ i ∗ ω は,区分的に
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 級の境界をもつ上述のように向き付けら れた有界閉領域
△
k
△
k
/_\^(k) \triangle^{k} △ k 上の
C
r
−
1
C
r
−
1
C^(r-1) C^{r-1} C r − 1 級の
k
k
k k k 次微分形式
σ
i
∗
ω
σ
i
∗
ω
sigma_(i)^(**)omega \sigma_{i}^{*} \omega σ i ∗ ω の積分を表している (これは 3.10 節で定義済み). この量
∫
c
ω
を
ω
∫
c
ω
を
ω
int_(c)omegaをomega \int_{c} \omega を \omega を ∫ c ω を ω の
C
r
C
r
C^(r) C^{r} C r 級特異
k
k
k k k チェイン
c
c
c c c 上 の積分(the integral of
ω
ω
omega \boldsymbol{\omega} ω over a
C
r
C
r
C^(r) \boldsymbol{C}^{r} C r -singular
k
k
k \boldsymbol{k} k -chain
c
c
c \boldsymbol{c} c ) とよぶ.
定理 5.2.1(ド・ラームの定理)
n
n
n n n 次元
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M に対し,
M
M
M M M の
k
k
k k k 次 ド・ラームコホモロジー群
H
DR
k
(
M
)
H
DR
k
(
M
)
H_(DR)^(k)(M) H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) H DR k ( M ) と
M
M
M M M の実係数の
k
k
k k k 次特異コホモロジー 群
H
sing
k
(
M
,
R
)
H
sing
k
(
M
,
R
)
H_("sing ")^(k)(M,R) H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{R}) H sing k ( M , R ) は同型である
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
(k=0,1,dots,n) (k=0,1, \ldots, n) ( k = 0 , 1 , … , n ) .
ド・ラームの定理を証明する前に, マイヤー・ヴイートリス完全系列につい て述べておく.
f
f
f f f を
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
M
M
M M M から
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 多様体
N
N
N N N への
C
∞
C
∞
C^(oo) C^{\infty} C ∞ 写像とする. このとき,
M
,
N
M
,
N
M,N M, N M , N の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次特異チェイン群間の準同型写像
f
∗
f
∗
f_(**) f_{*} f ∗ :
C
k
r
(
M
,
F
)
→
C
k
r
(
N
,
F
)
C
k
r
(
M
,
F
)
→
C
k
r
(
N
,
F
)
C_(k)^(r)(M,F)rarrC_(k)^(r)(N,F) C_{k}^{r}(M, \mathbb{F}) \rightarrow C_{k}^{r}(N, \mathbb{F}) C k r ( M , F ) → C k r ( N , F ) が次のように定義される:
f
∗
(
c
)
:=
∑
i
=
1
l
a
i
(
f
∘
σ
i
)
(
c
=
∑
i
=
1
l
a
i
σ
i
∈
C
k
r
(
M
,
F
)
)
f
∗
(
c
)
:=
∑
i
=
1
l
a
i
f
∘
σ
i
c
=
∑
i
=
1
l
a
i
σ
i
∈
C
k
r
(
M
,
F
)
f_(**)(c):=sum_(i=1)^(l)a_(i)(f@sigma_(i))quad(c=sum_(i=1)^(l)a_(i)sigma_(i)inC_(k)^(r)(M,F)) f_{*}(c):=\sum_{i=1}^{l} a_{i}\left(f \circ \sigma_{i}\right) \quad\left(c=\sum_{i=1}^{l} a_{i} \sigma_{i} \in C_{k}^{r}(M, \mathbb{F})\right) f ∗ ( c ) := ∑ i = 1 l a i ( f ∘ σ i ) ( c = ∑ i = 1 l a i σ i ∈ C k r ( M , F ) )
この準同型写像
f
∗
f
∗
f_(**) f_{*} f ∗ を用いて,
M
,
N
M
,
N
M,N M, N M , N の
F
F
F \mathbb{F} F 係数の
k
k
k k k 次特異コホモロジー群間の 準同型写像
f
sing
∗
:
H
sing
k
(
N
,
F
)
→
H
sing
k
(
M
,
F
)
f
sing
∗
:
H
sing
k
(
N
,
F
)
→
H
sing
k
(
M
,
F
)
f_("sing ")^(**):H_("sing ")^(k)(N,F)rarrH_("sing ")^(k)(M,F) f_{\text {sing }}^{*}: H_{\text {sing }}^{k}(N, \mathbb{F}) \rightarrow H_{\text {sing }}^{k}(M, \mathbb{F}) f sing ∗ : H sing k ( N , F ) → H sing k ( M , F ) が次のように定義される:
f
sing
∗
(
[
ρ
]
)
:=
[
ρ
∘
f
∗
]
(
[
ρ
]
∈
H
sing
k
(
N
,
F
)
)
f
sing
∗
(
[
ρ
]
)
:=
ρ
∘
f
∗
[
ρ
]
∈
H
sing
k
(
N
,
F
)
f_("sing ")^(**)([rho]):=[rho@f_(**)]quad([rho]inH_("sing ")^(k)(N,F)) f_{\text {sing }}^{*}([\rho]):=\left[\rho \circ f_{*}\right] \quad\left([\rho] \in H_{\text {sing }}^{k}(N, \mathbb{F})\right) f sing ∗ ( [ ρ ] ) := [ ρ ∘ f ∗ ] ( [ ρ ] ∈ H sing k ( N , F ) )
また, 線形写像
f
DR
∗
:
H
DR
k
(
N
)
→
H
DR
k
(
M
)
f
DR
∗
:
H
DR
k
(
N
)
→
H
DR
k
(
M
)
f_(DR)^(**):H_(DR)^(k)(N)rarrH_(DR)^(k)(M) f_{\mathrm{DR}}^{*}: H_{\mathrm{DR}}^{k}(N) \rightarrow H_{\mathrm{DR}}^{k}(M) f DR ∗ : H DR k ( N ) → H DR k ( M ) が次のように定義される:
f
DR
∗
(
[
ω
]
)
:=
[
f
∗
ω
]
(
[
ω
]
∈
H
DR
k
(
M
)
)
f
DR
∗
(
[
ω
]
)
:=
f
∗
ω
[
ω
]
∈
H
DR
k
(
M
)
f_(DR)^(**)([omega]):=[f^(**)omega]quad([omega]inH_(DR)^(k)(M)) f_{\mathrm{DR}}^{*}([\omega]):=\left[f^{*} \omega\right] \quad\left([\omega] \in H_{\mathrm{DR}}^{k}(M)\right) f DR ∗ ( [ ω ] ) := [ f ∗ ω ] ( [ ω ] ∈ H DR k ( M ) )
{
U
,
V
}
{
U
,
V
}
{U,V} \{U, V\} { U , V } を
M
M
M M M の開被覆とし,
ι
U
,
ι
V
ι
U
,
ι
V
iota_(U),iota_(V) \iota_{U}, \iota_{V} ι U , ι V を各々,
U
,
V
U
,
V
U,V U, V U , V から
M
M
M M M への包含写像とし,
ι
U
,
ι
V
ι
U
,
ι
V
iota^(U),iota^(V) \iota^{U}, \iota^{V} ι U , ι V を各々,
U
∩
V
U
∩
V
U nn V U \cap V U ∩ V から
U
,
V
U
,
V
U,V U, V U , V への包含写像とする. このとき, 次のマイヤ ー・ヴイートリス完全系列が成り立つ.